2018届二轮复习 等差数列与等比数列 课件（全国通用） 29页

专题四　数　列 第 1 讲　等差数列与等比数列 热点突破 高考导航 备选例题 高考导航 演真题 · 明备考 高考体验 1. (2015 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 7) 已知 {a n } 是公差为 1 的等差数列 ,S n 为 {a n } 的前 n 项和 . 若 S 8 =4S 4 , 则 a 10 等于 ( 　 　 ) B 2 (2014 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 5) 等差数列 {a n } 的公差为 2, 若 a 2 ,a 4 ,a 8 成等比数列 , 则 {a n } 的前 n 项和 S n 等于 ( 　 　 ) A 3. (2013 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 6) 设首项为 1, 公比为 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 则 ( 　 　 ) (A)S n =2a n -1 (B)S n =3a n -2 (C)S n =4-3a n (D)S n =3-2a n D 4. (2015 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 13) 在数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a n+1 =2a n ,S n 为 {a n } 的前 n 项和 . 若 S n =126, 则 n= 　　　　 .   解析 : 因为在数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a n+1 =2a n , 所以数列 {a n } 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 , 因为 S n =126, 所以 =126, 解得 2 n+1 =128, 所以 n=6. 答案 : 6 5. (2016 · 全国 Ⅲ 卷 , 文 17) 已知各项都为正数的数列 {a n } 满足 a 1 =1, -(2a n+1 -1) a n -2a n+1 =0. (1) 求 a 2 ,a 3 ; (2) 求 {a n } 的通项公式 . 高考感悟 1. 考查角度 (1) 等差、等比数列的性质 . (2) 等差、等比数列的基本量运算 . (3) 等差、等比数列的证明 . 2. 题型及难易度 客观题或一客观题一解答题 ; 难度中档偏下 . 热点突破 剖典例 · 促迁移 等差、等比数列的基本运算 热点一 【 例 1】 (1) (2016 · 吉林白山二模 ) 在等差数列 {a n } 中 ,a 6 =9,a 3 =3a 2 , 则 a 1 等于 ( 　　 ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 解析 : (1) 因为 a 1 +5d=9,a 1 +2d=3(a 1 +d), 所以 a 1 =-1. 选 C. (2) (2016 · 青岛一模 ) 等比数列 {a n } 中 ,a 3 =6, 前三项和 S 3 =18, 则公比 q 的值为 ( 　　 ) (3) (2016 · 山西太原一模 ) 各项均为正数的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S n =2,S 3n =14, 则 S 4n 等于 ( 　　 ) (A)80 (B)30 (C)26 (D)16 【 方法技巧 】 等差 ( 比 ) 数列的通项公式、求和公式中一共包含 a 1 ,d( 或 q),n, a n 与 S n 这五个量 , 如果已知其中的三个 , 就可以求其余的两个 . 其中 a 1 和 d( 或 q) 是两个基本量 , 所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量 , 然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组 , 通过解方程组求其值 , 这也是方程思想在数列问题中的体现 . 但需注意等差数列中公差 d=0 的情况和等比数列中公比 q=1 的情况 . 热点训练 1:(1) (2016 · 广东茂名二模 ) 设数列 {a n } 是等差数列 ,S n 为其前 n 项和 , 若 S 6 =8S 3 ,a 3 -a 5 =8, 则 a 20 等于 ( 　　 ) (A)4 (B)36 (C)-74 (D)80 等差 ( 比 ) 数列的性质 热点二 考向 1 　与等差 ( 比 ) 数列的项有关的性质 【 例 2】 (1) (2016 · 广东佛山二模 ) 设 {a n } 是公差为正数的等差数列 , 若 a 1 +a 2 + a 3 =15,a 1 a 2 a 3 =80, 则 a 11 +a 12 +a 13 等于 ( 　　 ) (A)120 (B)105 (C)90 (D)75 解析 : (1) 因为 {a n } 是公差为正数的等差数列 , a 1 +a 2 +a 3 =15,a 1 a 2 a 3 =80, 所以 a 2 =5, 所以 a 1 a 3 =(5-d)(5+d)=16, 所以 d=3,a 12 =a 2 +10d=35, 所以 a 11 +a 12 +a 13 =105, 故选 B. (2) (2016 · 云南红河州一模 ) 在等比数列 {a n } 中 ,a 1 =8,a 4 =a 3 a 5 , 则 a 7 等于 ( 　　 ) 考向 2 　等差 ( 比 ) 数列和的有关性质 答案 : (1)D (2) (2016 · 贵州省习水县一中模拟 ) 已知等比数列前 n 项和为 S n , 若 S 2 =4,S 4 = 16, 则 S 6 = 　　　　 .   解析 : (2) 由等比数列前 n 项和的性质知 S 2 ,S 4 -S 2 ,S 6 -S 4 , … 也成等比数列 , 所以 4,12,S 6 -16 成等比数列 , 故 4(S 6 -16)=12 2 =144, 解得 S 6 =52. 答案 : (2)52 (2) 熟练运用等差、等比数列的性质 , 如 m+n=p+q 时 , 若 {a n } 为等差数列 , 则 a m +a n =a p +a q ; 若 {a n } 为等比数列 , 则有 a m · a n =a p · a q , 可减少运算过程 , 提高解题正确率 . (3) 灵活利用等差、等比数列和的性质 , 等差 ( 比 ) 数列的前 n 项和为 S n , 则 S n , S 2n -S n ,S 3n -S 2n , … 也是等差 ( 比 ) 数列 . 热点训练 2:(1) (2016 · 湖南怀化二模 ) 已知等差数列 {a n } 中 , 前四项的和为 60, 最后四项的和为 260, 且 S n =520, 则 a 7 为 ( 　　 ) (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 解析 : (1) 由题意及等差数列的性质可得 4(a 1 +a n )=60+260=320, 所以 a 1 +a n =80. 因为前 n 项和 S n =520= =40n, 解得 n=13,a 1 +a 13 =80, 又由等差数列的性质可得 2a 7 =a 1 +a 13 =80 解得 a 7 =40, 故选 B. 答案 : (1)B (2) (2016 · 江苏南通一模 ) 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 =3,S 4 =15, 则 S 6 = 　　　 .   解析 : (2) 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .S 2 =3,S 4 =15, 所以 S 2 ,S 4 -S 2 ,S 6 -S 4 也成等比数列 ,(S 4 -S 2 ) 2 =S 2 · (S 6 -S 4 ), 即 12 2 =3 · (S 6 -15), 解得 S 6 =63. 答案 : (2)63 等差、等比数列的综合问题 热点三 【 例 4】 (2016 · 湖南株洲模拟 ) 已知 f(x)=log a x(a>0 且 a≠1),f(a 1 ),f(a 2 ), … , f(a n )(n∈ N * ) 是首项为 4, 公差为 2 的等差数列 . (1) 设 a 为常数 , 求证 :{a n } 是等比数列 ; (2) 若 b n =a n f(a n ),{b n } 的前 n 项和是 S n , 当 a= 时 , 求 S n . 【 方法技巧 】 (1) 关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合题以及相互之间的转化 , 关键是求出两个数列的基本量 : 首项和公差 ( 或公比 ), 灵活运用性质转化条件 , 简化运算 , 准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键 . (2) 求数列中的最大项 , 可以利用图象或者数列的单调性求解 , 同时注意数列的单调性与函数单调性的区别 . 热点训练 3: (2016 · 湖南衡阳联考 ) 已知四个数 1,x 1 ,x 2 ,2 成等差数列 , 四个数 1, y 1 ,y 2 ,2 成等比数列 , 则点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ) 与直线 y=x 的位置关系是 ( 　　 ) (A)P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ) 都在直线 y=x 的下方 (B)P 1 (x 1 ,y 1 ) 在直线 y=x 的下方 ,P 2 (x 2 ,y 2 ) 在直线 y=x 的上方 (C)P 1 (x 1 ,y 1 ) 在直线 y=x 的上方 ,P 2 (x 2 ,y 2 ) 在直线 y=x 的下方 (D)P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ) 都在直线 y=x 的上方 备选例题 挖内涵 · 寻思路 解析 : 由题意可知 ,p 1 =1,p 2 =2,p 3 =4,p 4 =8,p 5 =1,p 6 =2,p 7 =4,p 8 =8,p 9 =1, p 10 =2,p 11 =4,p 12 =8,p 13 =1, … ,q 1 =-1,q 2 =-1,q 3 =1,q 4 =-1,q 5 =-1,q 6 =1, q 7 =-1,q 8 =-1,q 9 =1,q 10 =-1,q 11 =-1,q 12 =1,q 13 =-1, … , 由此可知对于数列 {p n · q n }, 每 12 项的和循环一次 , 易求出 p 1 · q 1 +p 2 · q 2 + … +p 12 · q 12 =-15, 因此 S 2 016 中有 168 组循环结构 , 故 S 2 016 =-15×168=-2 520. 答案 : -2 520 点击进入 限时训练