2019高三数学（人教B版+理）一轮：课时规范练46圆的方程 8页

课时规范练46　圆的方程 基础巩固组 ‎1.(2017云南昆明一中模拟)若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x-y=0 B.x+y=0‎ C.x-y-2=0 D.x+y-2=0‎ ‎2.(2017山西临汾模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(　　)‎ A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1‎ C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1‎ ‎3.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)‎ A.2 B.1 C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎4.已知三点A(1,0),B(0,‎3‎),C(2,‎3‎),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎21‎‎3‎ C.‎2‎‎5‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎ ‎5.已知圆C的圆心在曲线y=‎2‎x上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ ‎6.(2017广东深圳五校联考)已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为(　　)‎ A.2 B.-2 C.1 D.-1〚导学号21500756〛‎ ‎7.(2017北京东城调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0k‎2‎‎<‎‎4‎‎3‎所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)·x+2的倾斜角α=　　　　　. ‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. ‎ ‎9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ ‎10.(2017河北邯郸一模)已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=‎1‎‎2‎x上,并且在x轴上截得的弦长为2‎3‎,则圆M的标准方程为　　　　　　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(　　)‎ A.[-1,1] B.‎‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎ C.[-‎2‎‎,‎‎2‎] D.‎-‎2‎‎2‎,‎‎2‎‎2‎〚导学号21500757〛‎ ‎12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO‎·‎AP的最大值为　　　　　. ‎ ‎13.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求AB的坐标;‎ ‎(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.‎ 创新应用组 ‎14.已知平面区域x≥0,‎y≥0,‎x+2y+4≤0‎恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为　　　　　　　　　　.〚导学号21500758〛 ‎ ‎15.(2017北京东城模拟)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.‎ ‎(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;‎ ‎(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.‎ 参考答案 课时规范练46　圆的方程 ‎1.D　因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.‎ ‎2.A　由于圆心在第一象限且圆与x轴相切,因此设圆心为(a,1)(a>0).又由圆与直线4x-3y=0相切可得‎|4a-3|‎‎5‎=1,解得a=2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.‎ ‎3.B　设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[‎(x-0‎)‎‎2‎+(y-0‎‎)‎‎2‎]2=|OP|2.‎ 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.‎ ‎4.B　由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎x-‎‎1‎‎2‎,它与x=1联立得圆心P坐标为‎1,‎‎2‎‎3‎‎3‎,‎ 则|OP|=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎21‎‎3‎.‎ ‎5.C　设圆心的坐标是t,‎‎2‎t.‎ ‎∵圆C过坐标原点,‎ ‎∴|OC|2=t2+‎4‎t‎2‎,‎ ‎∴圆C的方程为(x-t)2+y-‎‎2‎t‎2‎=t2+‎4‎t‎2‎.‎ 令x=0,得y1=0,y2=‎4‎t,‎ ‎∴点B的坐标为‎0,‎‎4‎t;‎ 令y=0,得x1=0,x2=2t,‎ ‎∴点A的坐标为(2t,0),‎ ‎∴S△OAB=‎1‎‎2‎|OA|·|OB|=‎1‎‎2‎‎×‎‎4‎t×|2t|=4,即△OAB的面积为4.‎ ‎6.D　曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.‎ ‎7.‎3π‎4‎　由题意知,圆的半径r=‎1‎‎2‎k‎2‎‎+4-4‎k‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎‎4-3‎k‎2‎≤1k‎2‎‎<‎‎4‎‎3‎.‎ 当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=‎3π‎4‎.‎ ‎8.(x-1)2+y2=2　由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为‎(2-1‎)‎‎2‎+(-1-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.‎ ‎9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))‎ 设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.‎ 考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).‎ 所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).‎ ‎10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4　设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 由题意可得‎1‎‎2‎a-b=0,‎‎|a|=r,‎b‎2‎‎+3=r‎2‎,‎解得a=2,‎b=1,‎r=2‎或a=-2,‎b=-1,‎r=2,‎ 所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.‎ ‎11.A　如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,‎ 且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使∠OMN=45°,‎ 则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,‎ ‎∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.‎ 当∠AOM=45°时,x0=±1.‎ ‎∴结合图象知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,‎ ‎∴x0的取值范围为[-1,1].‎ ‎12.6　方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AO‎·‎AP=2cos α+4.‎ 当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.‎ 故AO‎·‎AP的最大值为6.‎ 方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO‎·‎AP=2x+4,故AO‎·‎AP的最大值为6.‎ ‎13.解 (1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB‎·‎OA=0,‎ 得x‎2‎‎+y‎2‎=100,‎‎4x-3y=0,‎ 解得x=6,‎y=8‎或x=-6,‎y=-8.‎ 若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.‎ ‎∴舍去x=-6,‎y=-8,‎即AB=(6,8).‎ ‎(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(‎10‎)2,其圆心为C(3,-1),半径r=‎10‎.‎ ‎∵OB‎=OA+‎AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),‎ ‎∴直线OB的方程为y=‎1‎‎2‎x.‎ 设圆心C(3,-1)关于直线y=‎1‎‎2‎x的对称点的坐标为(a,b),‎ 则b+1‎a-3‎‎=-2,‎b-1‎‎2‎‎=‎1‎‎2‎·a+3‎‎2‎,‎解得a=1,‎b=3,‎ 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.‎ ‎14.(x-2)2+(y-1)2=5　由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.‎ 因为△OPQ为直角三角形,‎ 所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=‎|PQ|‎‎2‎‎=‎‎5‎,‎ 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎15.解 (1)将圆C配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.‎ ‎①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由‎|k+2|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎,得k=2±‎6‎,‎ ‎∴切线方程为y=(2±‎6‎)x.‎ ‎②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由‎|-1+2-a|‎‎2‎‎=‎‎2‎,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.‎ ‎∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.‎ 综上,圆的切线方程为y=(2+‎6‎)x或y=(2-‎6‎)x或x+y+1=0或x+y-3=0.‎ ‎(2)由|PO|=|PM|,得x‎1‎‎2‎‎+‎y‎1‎‎2‎=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.‎ 当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,‎ ‎∴直线PO的方程为2x+y=0.‎ 解方程组‎2x+y=0,‎‎2x-4y+3=0,‎得点P的坐标为‎-‎3‎‎10‎,‎‎3‎‎5‎.‎