2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教b版 16页

2.2.2　双曲线的几何性质学习目标　1.掌握双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一　双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)特别提醒：(1)已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得－＝0⇒y＝±x，这样便于记忆．(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．知识点二　等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.n1．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)2．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　√　)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)题型一　由双曲线方程研究其几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，n虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.题型二　由双曲线的几何性质求标准方程例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.考点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的几何性质求方程解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.n因此所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.n反思感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ0)，将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9，n∴双曲线方程为－＝1.题型三　双曲线离心率问题例3　设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率等于(　　)A.B．2C.D．3考点　题点　答案　B解析　设O为原点，则有|PO|＝2b，|OF1|＝c，又因为△PF1F2为等边三角形，所以|PF1|＝2c.而PO⊥F1F2，所以c2＋(2b)2＝(2c)2，即4b2＝3c2，即4c2－4a2＝3c2，于是c2＝4a2，因此e2＝＝4，故e＝2.反思感悟　求双曲线的离心率时，可以求出a与c的值，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能根据题目条件获得关于a和c的关系式，进而求得，这时关键是利用图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，再结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3　过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为(　　)A．2B.C．3D.考点　题点　答案　D题型四　直线与双曲线的位置关系例4　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(－3,2)．(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．考点　n题点　解　(1)由题意可知，双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，根据定义有2a＝＝2，∴a＝1，由以上可知，a2＝1，c2＝4，b2＝3，∴所求双曲线C的方程为x2－＝1.渐近线方程为y＝±x.(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意．②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝0得k＝±，此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意．综上所述，符合题意的k的所有取值为，－，，－.引申探究本例条件不变，若直线y＝2x＋m被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值．解　设直线y＝2x＋m与双曲线C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x2＋4mx＋m2＋3＝0，Δ＝16m2－4(m2＋3)>0，得m<－1或m>1，x1＋x2＝－4m，x1x2＝m2＋3，|AB|＝·＝·＝2，解得m＝±，适合m<－1或m>1，故m＝±.反思感悟　(1)直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考查方程的判别式．①当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．③当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．(2)双曲线的弦长公式与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样．设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.n跟踪训练4　已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．考点　题点　解　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意可知c＝，∴方程可以化为－＝1，将直线y＝x－1代入，得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，∵MN的中点的横坐标为－，∴×＝－，解得a2＝2，此时Δ>0，∴曲线的方程为－＝1.存在性问题需验证典例　已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题解　由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，由两式相减并变形得＝2，若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，联立得2x2－4x＋3＝0，而Δ＝－8<0，方程无实根，n即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线．[素养评析]　(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2B．2C．4D．4答案　C解析　双曲线的标准方程为－＝1，故实轴长为4.2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)A．－4B．－3C．2D．1答案　A解析　∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x，∴＝，解得a＝－4.3．已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意知a2＋5＝9,解得a＝2，则e＝＝.4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为____________．答案　y＝±xn解析　由条件知2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，一个焦点的坐标为(－，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．考点　题点　解　(1)∵实轴长为2，一个焦点的坐标为(－，0)，∴2a＝2，即a＝，c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴双曲线C的方程为－＝1.(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0，由Δ＝24(m2－10)>0，得|m|>，又x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝·＝×＝＝4，解得m＝±，满足|m|>，∴直线l的方程为y＝2x＋或y＝2x－.1．通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．2．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2n＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．3．直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系.一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案　A解析　由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2B．2C.D．1答案　A解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　依题意得，c＝3，e＝，所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.4．直线y＝kx－1与双曲线－＝1有且只有一个交点，则k的值为(　　)A．k＝±B．k＝±nC．k＝±或k＝±D．k∈∅答案　C解析　将直线方程代入双曲线方程，得(9－4k2)x2＋8kx－40＝0.当9－4k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；当9－4k2≠0，Δ＝0时，k＝±，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点．5．若实数k满足00，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案　B解析　双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1，得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点Pn使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D．3答案　B解析　不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a.又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)．故e＝＝＝＝＝，故选B.二、填空题8．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________．答案　－＝1解析　设所求双曲线方程为x2－＝λ，将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线方程为－＝1.9．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案　3解析　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，∴|AB|＝·＝×＝3.n10．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－2x－8＝0上，则双曲线的渐近线方程为________________．答案　y＝±x解析　由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为－＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.11．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．答案　(4，＋∞)解析　∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e＞，即＞2，∴m＞4.三、解答题12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，求双曲线的离心率．解　设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝2c，|PF2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且双曲线C经过点(2，)．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．考点　题点　解　(1)由题意有解得∴双曲线C的方程是x2－＝1.(2)由消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，n则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，∴AB的中点坐标是x0＝＝m，y0＝2m，又∵(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，解得m＝±1.14．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．答案　(1,2)解析　要使△ABE是锐角三角形，只需满足∠AEB为锐角．又△ABE是等腰三角形，其中|AE|＝|BE|，所以只需满足∠AEF＜45°.在Rt△AFE中，tan∠AEF＝＝＜1，即c2－ac－2a2＜0，两边同除以a2，得e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2.又e＞1，所以离心率e的取值范围是(1,2)．15．已知双曲线C1：x2－＝1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其它问题解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.n因为x1x2＝－，·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，所以m2＝3，即m＝±.