2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教b版选修 15页

2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点　双曲线的几何性质1．渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．2．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．3．双曲线的几何性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a；虚轴长：2b渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．等轴双曲线的离心率是.(　√　)2．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)n3．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)4．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)题型一　由双曲线方程研究其几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.n反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.题型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为－＝1.(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.n方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.题型三　直线与双曲线的位置关系n例3　(1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程．解　(1)由得4x2－(x＋1)2－4＝0.化简得3x2－2x－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝－.故所截得的弦长d＝·|x1－x2|＝·＝·＝.(2)方法一　∵当该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)．由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，且x1＋x2＝，x1x2＝－，∴x＝(x1＋x2)＝，y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.由消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．方法二　设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，则①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，当直线AB的斜率k≠0时，得＝，即＝＝，整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)．当k＝0时，y1＝y2＝1，x1＋x2＝0，∴x＝0，y＝1，也满足4x2－y2＋y＝0.综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．n反思感悟　(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．跟踪训练3　已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积解　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.(2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝6.存在性问题需验证典例　已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其他问题解　设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，由两式相减并变形得＝2，n若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，联立得2x2－4x＋3＝0，而Δ＝－8<0，方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线．[素养评析]　(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养．1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)A．4B．－4C．－D.考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其它问题答案　C解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选C.2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)A．－4B．－3C．2D．1答案　A解析　∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x，n∴＝，解得a＝－4.3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意知a2＋5＝9,解得a＝2，e＝＝.4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．答案　(±，0)解析　由渐近线方程为y＝±x＝±x，得m＝3，c＝，且焦点在x轴上．5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．答案　y＝±x解析　由条件知2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，∴双曲线方程为－y2＝1，因此其渐近线方程为y＝±x.双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解．一、选择题n1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案　A解析　由双曲线的几何性质知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.2．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)A．(1,2)B．(－2，－1)C．(－1，－2)D．(2,1)答案　C解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝－1.故选C.3．过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　设弦与双曲线的交点为A，B(A点在B点上方)，由AB⊥x轴且过右焦点，可得A，B两点的横坐标为2，代入双曲线方程得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4.4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　A解析　双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.5．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)A．x2－y2＝6B．x2－y2＝9C．x2－y2＝16D．x2－y2＝25答案　Bn解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　C解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以＝.即渐近线方程为y＝±x.7．若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(＋∞)B．(1，)C．(2，＋∞)D．(1,2)答案　C解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意知，在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)A.B.C.D.答案　Dn解析　设F(c,0)，则过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，而渐近线方程是y＝±x，由得B，由得A，＝，＝，由＝－3，得＝－3，则＝－3·，即b＝a，则c＝＝a，则e＝＝，故选D.二、填空题9．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．答案　3x＋4y－5＝0解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，∴－＝6，∴k＝－，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.10．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案　3解析　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，n∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，∴|AB|＝·＝×＝3.11．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．答案　2解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，所以b＝＝＝2.所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4,0)．焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2.三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴　解得∴双曲线的标准方程为－＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴　解得n∴双曲线的标准方程为－＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.13．设双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程(l1的斜率大于零)；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．解　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，∴＝10，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.∵y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．答案　解析　如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°.n又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝＝c，|MF2|＝2c·tan30°＝c.∴2a＝|MF1|－|MF2|＝c.∴e＝＝.15．已知双曲线C1：x2－＝1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．考点　直线与双曲线的位置关系题点　直线与双曲线的其它问题解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.因为x1x2＝－，·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，所以m2＝3，即m＝±.n