江苏省2019届高考数学3大题型14个填空题强化练（十二）椭圆、双曲线和抛物线 10页

14个填空题专项强化练(十二)　椭圆、双曲线和抛物线A组——题型分类练题型一　椭圆的定义及标准方程1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，所以PF1＝8，PF2＝6.因为F1F2＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24.答案：242．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上，知＋＝1.①又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝，②又c2＝a2－b2，③联立①②③得a2＝8，b2＝6.故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1[临门一脚]1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，则焦点在x轴上；若A＞B，则焦点在y轴上．2．椭圆的定义中一定满足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用椭圆的定义求解a，b，c有时比用方程简便．题型二　椭圆的几何性质1．椭圆＋＝1的离心率是________．n解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.答案：2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：由题意可得，＝，所以m＝4.答案：43．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需⇒0<≤.答案：4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.答案：[临门一脚]1．弄清楚a，b，c，e的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示．2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a，b.3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a，b，c的方程或不等式．题型三　双曲线的定义及标准方程1．F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为________．解析：由双曲线的方程可知a＝3，b＝，所以c＝4，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，据此可知△PF1F2的周长为8＋2＋8＝18.答案：18n2．已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，则－12＝λ，解得λ＝1，故双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：－y2＝13．(2018·柳州模拟)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________．解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋＝4×3＋＝16.答案：164．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是____________．解析：法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，②联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.法三：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的方程为－＝1.n答案：－＝1[临门一脚]1．先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．2．双曲线的定义运用时，首先要分清楚点在双曲线的哪一支上或在两支上，否则会出错．题型四　双曲线的几何性质1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率为________．解析：由已知得，a＝，b＝，则c＝＝3，所以e＝＝.答案：2．已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的焦距为________．解析：由题意得，＝2，所以a＝，所以c＝＝5，所以该双曲线的焦距为10.答案：103．(2018·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a得b＝2a，则该双曲线的离心率e＝＝＝.答案：4．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析：由题意得E(a,0)，不妨设A，B，显然△ABEn是等腰三角形，故当△ABE是锐角三角形时，∠AEB＜90°，从而＜a＋c，化简得c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案：(1,2)[临门一脚]1．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．根据渐近线方程求离心率时要注意有两解．2．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；(2)通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；(3)利用点在曲线内部建立不等式关系；(4)利用解析式的结构特点，如a2，|a|，等的非负性来完成范围的求解．题型五　抛物线1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是________．解析：因为抛物线方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，设PA⊥l，A为垂足，所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3，所以点P的横坐标是2.答案：22．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案：x2＝12y3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2)，所以AB＝4.故正三角形OAB的面积为×4×6＝12.答案：124．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．n解析：∵抛物线方程为y2＝6x，∴焦点F，准线l的方程为x＝－.∵直线AF的斜率为－，∴直线AF的方程为y＝－，当x＝－时，y＝3，由此可得A点坐标为.∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴PF＝PA＝－＝6.答案：6[临门一脚]1．一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．2．抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．3．求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p几何意义要明确．B组——高考提速练1．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2.答案：22．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为________．解析：依题意得AC＝5，所以椭圆的焦距为2c＝AB＝4，长轴长2a＝AC＋BC＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.答案：4n3．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得的弦长为2，则p＝________.解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为，圆心到准线的距离为，所以2＋1＝()2，解得p＝2.答案：24．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若1·2＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．解析：因为1·2＝0，tan∠PF1F2＝，所以1⊥2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，则PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝.答案：5．(2018·苏北四市质检)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，得＝，则该双曲线的离心率e＝＝＝.答案：6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为____________．解析：由△FMN为正三角形，得c＝OF＝MN＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.n答案：＋＝17．已知双曲线C：－y2＝1与直线l：x＋ky＋4＝0，若直线l与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的右焦点到直线l的距离是________．解析：由题意得，双曲线C：－y2＝1的右焦点F(2,0)，其渐近线方程为y＝±x，又直线l：x＋ky＋4＝0与双曲线C的一条渐近线平行，所以k＝±，所以直线l的方程为x±y＋4＝0，所以双曲线C的右焦点到直线l的距离d＝＝3.答案：38．(2018·镇江高三期末)已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：由题意知双曲线－y2＝1的左焦点为(－3,0)，所以a2＝8，因此双曲线的右准线方程为x＝.答案：x＝9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为____________．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点P(－5,4)代入得＋＝1.又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，解得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝110．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．解析：设点P在第一象限，由题意，p＝2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入椭圆方程，可得＋＝1，整理可得e4－6e2＋1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝－1.答案：－1n11.如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连结AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，AF1＝c，AF2＝c，因此该双曲线的离心率e＝＝＝＋1.答案：＋112.如图，已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．解析：法一：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，所以Q，由点Q在椭圆上得＋＝1，解得＝，故离心率e＝＝＝.法二：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故直线AP的方程为y＝x＋a，与椭圆方程联立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，从而(－a)xQ＝，即xQ＝－，又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2，得xQ＝－，故－＝－，即5c2＝4a2，e2＝，故e＝.答案：13．(2018·南京四校联考)已知右焦点为F的双曲线的离心率为，过点F且与一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线交于点A，AF＝2，则该双曲线的标准方程为____________．解析：法一：由e＝知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设直线l：y＝x－c，联立得解得A，AF＝＝2，解得c2＝8，又由e＝知，a2＝b2＝4，故双曲线的标准方程为－＝1.n法二：由e＝知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，且两条渐近线互相垂直，此时AF＝2＝b＝a，故双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝114.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，点P为椭圆在第一象限内的一点．若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，则直线PF1的斜率为________．解析：连结AF2交PF1于点B.由S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1得＝.而A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，所以由A，B，F2三点共线得B，kPF1＝＝.又因为离心率为，所以a＝2c，b＝c，故kPF1＝＝.答案：