江苏省2019届高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练（二）（理） 3页

3个附加题综合仿真练(二)(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点，(0,1)分别变换为点，.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解：(1)设M＝，则＝，＝，即解得则M＝.(2)设矩阵M的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)＝＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f(λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin＝m(m∈R)，圆C的参数方程为(t为参数)．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．解：由ρsin＝m，得ρsinθcos－ρcosθsin＝m，即x－y＋m＝0，即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C到直线l的距离d＝＝，解得m＝－1或m＝－5.C．[选修4－5：不等式选讲]已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：(2＋x)(2＋y)·(2＋z)≥64.n证明：因为x为正数，所以2＋x≥2.同理2＋y≥2，2＋z≥2.所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥2·2·2＝8.因为xyz＝8，所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥64.2．如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，＝(－3,3,3)，＝(0，－3,2)，所以cos〈，〉＝＝＝－，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(2)由(1)知＝(0，－3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，所以＝(3,0，－1)，＝(0,0,3)．设平面BED1F的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝(1,2,3)是平面BED1F的一个法向量．设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则sinα＝＝＝，所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.3．对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.n(1)求A2；(2)设An＝，求f(n)．解：(1)当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故满足条件的x共有4个，分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A2＝22.(2)由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)，即满足条件的x共有nn(n－1)个，当a0分别取0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，故An中所有含a0项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝；同理，An中所有含a1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，故An中所有含an项的和为(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn.所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn＝(nn＋1＋nn－1)，故f(n)＝nn＋1＋nn－1.