江苏省2019届高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练（四）（理） 5页

3个附加题综合仿真练(四)(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]2x－11已知矩阵A＝，X＝，且AX＝，其中x，y∈R.y212(1)求x，y的值；1－1－1(2)若B＝，求(AB).022x－1x－2解：(1)AX＝＝.y212－y1x－2＝1，因为AX＝，所以22－y＝2，解得x＝3，y＝0.231－1(2)由(1)知A＝，又B＝，0202231－124所以AB＝＝.020204ab24ab10－1设(AB)＝，则＝，cd04cd012a＋4c2b＋4d10即＝.4c4d012a＋4c＝1，4c＝0，111所以解得a＝，b＝－，c＝0，d＝，2242b＋4d＝0，4d＝1，11－22－1即(AB)＝1.04B．[选修4－4：坐标系与参数方程]2x＝1－t，2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2(t为参数)，以坐y＝2＋t22标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cosθ＝0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．n2解：因为曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cosθ＝0，22所以ρsinθ＝4ρcosθ，2即曲线C的直角坐标方程为y＝4x.2x＝1－t，222＋t22将直线l的参数方程2代入抛物线方程y＝4x，得2＝y＝2＋t221－t42，2即t＋82t＝0，解得t1＝0，t2＝－82.所以AB＝|t1－t2|＝82.C．[选修4－5：不等式选讲]2222已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)对任意的实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．222解：因为a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，2222222所以由柯西不等式得(a－b＋c)≤(a＋b＋c)·[1＋(－1)＋1]＝3，2因为|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)对任意的实数a，b，c恒成立，所以|x－1|＋|x＋1|≥3.3当x<－1时，－2x≥3，即x≤－；2当－1≤x≤1时，2≥3不成立；3当x>1时，2x≥3，即x≥.233－∞，－，＋∞综上，实数x的取值范围为2∪2.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3.D是线段BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1A1DC1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，所以分别以AB，AC，AA1n所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0，3)，C1(0，4,3)，因为D是BC的中点，所以D(1，2,0)，―→―→(1)因为A1C1＝(0,4,0)，A1D＝(1,2，－3)，设平面A1C1D的法向量n1＝(x1，y1，z1)，―→n1·A1C1＝0，4y1＝0，则即n·―A→D＝0，x1＋2y1－3z1＝0，11x1＝3，―→取y1＝0，所以平面A1C1D的法向量n1＝(3,0,1)，而DB1＝(1，－2,3)，z1＝1，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，―→―→|n1·DB1|所以sinθ＝|cos〈n1，DB1〉|＝―→|n1|·|DB1||3＋3|335＝＝，10×1435335所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.35―→―→(2)A1B1＝(2,0,0)，DB1＝(1，－2,3)，设平面B1A1D的法向量n2＝(x2，y2，z2)，―→n2·A1B1＝0，2x2＝0，则即n·―DB→＝0，x2－2y2＋3z2＝0，21x2＝0，取y2＝3，所以平面B1A1D的法向量n2＝(0,3,2)，z2＝2，n1·n22130所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，|n1|·|n2|10×1365130故结合图象知二面角B1A1DC1的余弦值.65*3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．n解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足：若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6.所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，nn＋n＋2＋23，n＝6t，n－1n－1＋n＋2＋23，n＝6t＋1，nn－2＋n＋2＋23，n＝6t＋2，*f(n)＝(t∈N)．n－1n＋n＋2＋23，n＝6t＋3，nn－1＋n＋2＋23，n＝6t＋4，n－1n－2＋n＋2＋23，n＝6t＋5下面用数学归纳法证明：66①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．23②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有k－1k－2f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋323k＋1k＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；23b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有kkf(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋123k＋1－1k＋1－1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；23c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有k－1k－1f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋223k＋1k＋1－2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；23d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有nkk－2f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋223k＋1－1k＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；23e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有k－1kf(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋223k＋1k＋1－1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；23f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有kk－1f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋123k＋1－1k＋1－2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．23综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．