2019高中物理第十一章第3节简谐运动的回复力和能量讲义（含解析）新人教版 14页

简谐运动的回复力和能量一、简谐运动的回复力┄┄┄┄┄┄┄┄①1．回复力(1)定义：做简谐运动的物体受到的总能使物体回到平衡位置的力。(2)方向：指向平衡位置。(3)表达式：F＝－kx。2．简谐运动的动力学定义如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。[注意]1．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。2．公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。①[判一判]1．回复力的方向总是与位移的方向相反(√)2．回复力的方向总是与速度的方向相同(×)3．回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小(×)二、简谐运动的能量┄┄┄┄┄┄┄┄②1．振动系统的状态与能量的关系振动系统的能量一般指系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型。2．决定能量大小的因素振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强。一个确定的简谐运动是等幅(填“等幅”或“减幅”)振动。[注意]简谐运动能量只由振幅决定，振幅不变，振动系统的能量不变。②[填一填]如图所示，一弹簧振子在光滑水平面的A、B两点间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为m。n简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________和________相互转化，总________守恒。解析：简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。答案：振幅　动能　势能　机械能1.回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可以是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可以是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。2．加速度对做简谐运动的弹簧振子而言，根据牛顿第二定律得a＝＝－x，表明振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。[典型例题]例1.如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)A．0　　　　　　　　B．kxC.kxD.kx[解析]　当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝(m＋M)a，得a＝，以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可n得F＝ma＝kx，D正确。[答案]　D[点评](1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力。(2)整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用。[即时巩固]1．[多选]关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，以下说法正确的是(　　)A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定D．因为k＝，所以k与F成正比解析：选BC　k是回复力跟位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定；x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，B、C正确。1.运动学方法找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(xt图象)是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动，通常很少应用这个方法。2．动力学方法[典型例题]例2.[多选]如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是(　　)nA．m做简谐运动，OC＝OBB．m做简谐运动，OC≠OBC．回复力F＝－kxD．回复力F＝－3kx[解析]　设m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图所示，设在A处m的位移为x，则在A处m所在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到F与x方向关系有F＝－3kx，D正确，C错误；可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。[答案]　AD[点评]1．物体做简谐运动的三个特征(1)振动图象是正弦曲线。(2)回复力满足条件F＝－kx。(3)机械能守恒。2．做简谐运动的物体受到的回复力是变力，而不是恒力。3．做简谐运动的物体受到的回复力与位移大小成正比，不是任意的变力。[即时巩固]2．一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。(1)小球在振动过程中的回复力实际上是_______________________________________；(2)该小球的振动是否为简谐运动？__________________________________________。解析：(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该小球的振动是简谐运动。答案：(1)弹力和重力的合力　(2)是简谐运动n振子以O点为平衡位置做简谐运动，如图所示。各物理量的变化规律为：[典型例题]例3.如图所示，一水平弹簧振子在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知振子由完全相同的P、Q两部分组成，彼此拴接在一起。当振子运动到B点的瞬间，将P拿走，则以后Q的运动和拿走P之前比较有(　　)A．Q的振幅增大，通过O点时的速率增大B．Q的振幅减小，通过O点时的速率减小C．Q的振幅不变，通过O点时的速率增大D．Q的振幅不变，通过O点时的速率减小[解析]　当振子运动到B点的瞬间，振子的速度为零，此时P、Q的速度均为零，振子的动能全部转化为系统中的弹簧的弹性势能，将P拿走并不影响系统的能量，故能量并不改变，因此Q的振幅不变；当振子通过O点时系统的弹性势能又全部转化为动能，拿走P之前，弹性势能转化为P、Q两个物体的动能，拿走P之后，弹性势能转化为Qn一个物体的动能，故拿走P之后Q的动能比拿走P之前Q的动能大，速率也要增大，C正确。[答案]　C[点评]1．振子的振幅为振子在振动过程的最远点到平衡位置的距离。2．振子做简谐运动时，振动系统的动能与势能相互转化，系统总能量不变。[即时巩固]3.[多选]一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<，如图所示，则(　　)A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变解析：选ABC　由题图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，A正确；且在t1～t2的中间时刻，振子处于平衡位置，B正确；在t1～t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，C正确；从t1到t2时间内，位移方向发生了变化，振子所受回复力的方向发生了变化，D错误。1.瞬时性由F＝－kx和牛顿第二定律得a＝＝－x，可知a、F、x具有瞬时对应性。2．对称性物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从同一最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点关于平衡位置的对称点所用的时间相等。3．周期性简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可作如下判断：(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。n(2)若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。[典型例题]例4.两块质量分别为m1、m2的木板，被一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，并对m1板施加压力F，如图所示，撤去F后，m1板将做简谐运动。为了使得撤去F后，m1跳起时恰好能带起m2板，求所加压力F的最小值。[解析]　撤去外力F后，m1将在回复力的作用下做简谐运动，依题意当m1运动到最上端时，m2对接触面恰好无压力，故此时回复力大小为F回＝(m1＋m2)g由对称性可知，当m1在最下端时，回复力大小也为F回，此力和F大小相等，方向相反，故所施外力大小为F＝(m1＋m2)g[答案]　(m1＋m2)g[点评]解答本题用到了1个对称和2个平衡。1个对称：在最上端和最下端“回复力”大小关于平衡位置对称；2个平衡：m1在最上端时，弹簧弹力与m2的重力平衡，m1在最下端时，外力F和“回复力”平衡。[即时巩固]4．一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s(如图所示)。过B点后再经过t＝0.5s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是(　　)A．0.5s　　　B．1.0s　　　C．2.0s　　　D．4.0s解析：选C　根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧。质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB＝×0.5s＝0.25s，质点从B点向右到达最右端位置(D点)的时间tBD＝×0.5s＝0.25s，所以质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25s＋0.25s＝0.5s，得T＝2s，C正确。n1．[多选]关于简谐运动，以下说法中正确的是(　　)A．回复力总指向平衡位置B．加速度、速度方向永远一致C．在平衡位置加速度、速度均达到最大值D．在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零解析：选AD　回复力是把物体拉回到平衡位置的力，A正确；加速度方向始终指向平衡位置，速度方向可能指向平衡位置，也可能背向平衡位置，B错误；平衡位置位移为零，据a＝－知加速度为零，势能最小，动能最大，速度最大，C错误，D正确。2．[多选]一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与回复力方向相同的时间段是(　　)A．0～0.3s　　　　　　　　　B．0.3～0.6sC．0.6～0.9sD．0.9～1.2s解析：选BD　质点做简谐运动时回复力方向与位移方向相反，总是指向平衡位置，位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，B、D正确。3.如图所示，质量为m的小球系在轻质弹簧上，平衡时静止在原点O，向下按小球(在弹性限度内)使其在O点附近振动，取竖直向上为x正方向，选项图中能正确反映小球所受合力F随位置x变化的图象是(　　)解析：选C　小球位于坐标原点时，所受合力F＝0，小球位于坐标x处所受合力F＝－kx，C正确。4．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，该振子的振动频率为(　　)nA．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz解析：选B　由简谐运动的对称性可知，tOb＝0.1s，tbc＝0.1s，故＝0.2s，解得T＝0.8s，f＝＝1.25Hz，B正确。5．如图所示，A、B两物体的质量都为m，拉A的细线与水平方向的夹角为30°时，物体A、B处于静止状态，设弹簧的劲度系数为k；某时刻悬线突然断开，A在水平面上做周期为T的简谐运动，B自由下落，当B落地时，A恰好将弹簧压缩到最短，不计一切摩擦阻力(重力加速度为g)，求：(1)A振动时的振幅；(2)B落地时的速度。解析：(1)线断前，线的拉力F＝mg，设此时弹簧伸长为x0，则Fcos30°＝kx0则A做简谐运动的振幅A＝x0＝(2)A将弹簧压缩到最短经历的时间t＝T　(n＝0,1,2，…)在t时间末，B落地，速度v＝gt＝gT　(n＝0,1,2，…)答案：(1)　(2)gT　(n＝0,1,2，…)[基础练]一、选择题1．[多选]关于回复力，下列说法正确的是(　　)A．回复力是指物体受到的指向平衡位置的力B．回复力是指物体受到的合外力nC．回复力是以力的作用效果来命名的，它可以是弹力，也可以是重力或摩擦力等几个力的合力D．回复力实际上就是向心力解析：选AC　回复力是物体振动时受到的指向平衡位置的力，它使物体回到平衡位置。它是根据效果命名的，可以是某一个力，可以是某一个力的分力，也可以是几个力的合力，回复力不一定等于合外力，向心力是指物体做匀速圆周运动所受到的效果力，虽然都是按效果命名的，但力的作用效果不同。2．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m在位置A时的受力分析(位置O为弹簧振子的平衡位置)，正确的是(　　)A．重力、支持力、弹簧的弹力B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C．重力、支持力、回复力、摩擦力D．重力、支持力、摩擦力解析：选A　由弹簧振子的受力可知，振子受弹力、重力和支持力。3．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是(　　)A．在t＝0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续增加D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同解析：选A　t＝0.2s时，振子的位移为正的最大，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确；t＝0.1s时速度为正，t＝0.3s时速度为负，两者方向相反，B错误；从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错误。4.如图所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉下一半(即物体质量减少一半)，此后振动系统的振幅的变化为(　　)nA．振幅不变　　　　　　B．振幅变大C．振幅变小D．条件不够，不能确定解析：选B　当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后，新的系统将继续做简谐运动，机械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点，但是，由于振子质量的减少，新的平衡位置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大，B正确。5．(2016·青岛高二检测)如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中(　　)A．小球最大动能应等于mgAB．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变C．弹簧最大弹性势能等于2mgAD．小球在最低点时的弹力大于2mg解析：选C　小球平衡位置kx0＝mg，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋Ep，A错误；机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错误；从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，D错误，C正确。二、非选择题6．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50s时，振子速度第二次变为－v。(1)求弹簧振子振动周期T；(2)若B、C之间的距离为25cm，求振子在4.00s内通过的路程。解析：(1)画出弹簧振子简谐运动的示意图如图所示。由对称性可得T＝0.50×2s＝1.00sn(2)若B、C之间距离为25cm，则振幅A＝×25cm＝12.5cm振子4.00s(4个周期)内通过的路程s＝4×4×12.5cm＝200cm答案：(1)1.00s　(2)200cm[提能练]一、选择题1．[多选]当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　　)A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒解析：选CD　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错误；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错误；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，C、D正确。2．(2015·临川高二检测)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大C．小球从A到O到B的过程中，回复力一直做正功D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加解析：选A　小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由A→O回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。3．如图所示，一底端有挡板的斜面体固定在水平面上，其斜面光滑，倾角为θ。一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动。已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则An的振动位移随时间变化的图象是选项图中的(　　)解析：选B　刚移开B时应为简谐振动的最低点，此时弹簧的形变量x1＝，简谐振动处于平衡位置时，弹簧的形变量x2＝，所以简谐振动的振幅为x1－x2＝，B正确。4．[多选]图甲是一个弹簧振子的示意图，O是它的平衡位置，在B、C之间做简谐运动，规定向右为正方向，图乙是它的速度v随时间t变化的图象，下面的说法中正确的是(　　)A．t＝2s时刻，它的位置在O点左侧4cm处B．t＝3s时刻，它的速度方向向左C．t＝4s时刻，它的加速度为方向向右的最大值D．它的一个周期时间为8s解析：选BCD　根据图象可知是从弹簧振子经过B向左计时，T＝8s，D正确；因此从B到O要0.25T即2s，其位置应该在O点，A错误；T＝3s时为质点从O到C过程中，所以它的速度方向向左，B正确；t＝4s时刻，质点在C处，位移向左最大，回复力与位移方向相反，即它的加速度为方向向右的最大值，C正确。5．[多选]如图所示，一弹簧振子在B、C间做简谐运动，平衡位置为O，振幅为A，已知振子的质量为M。若振子运动到C处时，将一质量为m的物体放到M的上面，m和M一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是(　　)A．振幅不变　　　　　　　　　　B．振幅减小nC．最大动能不变D．最大动能减小解析：选AC　振子运动到C处时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，C正确，D错误。二、非选择题6.如图所示，质量m＝0.5kg的物体放在质量M＝4.5kg的平台上，随平台上、下做简谐运动。设在简谐运动过程中，二者始终保持相对静止，已知弹簧的劲度系数为k＝400N/m，振幅为A＝0.1m。试求：二者一起运动到最低点时，物体对平台的压力大小(取g＝10m/s2)。解析：当物体与平台整体处于平衡状态时，弹簧的压缩量x1＝＝0.125m整体运动到最低点时，弹簧的压缩量x＝x1＋A＝0.225m对整体有kx－(M＋m)g＝(M＋m)a解得a＝8m/s2对m有FN－mg＝maFN＝mg＋ma＝9N由牛顿第三定律得物体对平台的压力大小为F′N＝9N答案：9N