高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题课件 76页

高考专题突破六　高考中的圆锥曲线问题\n考点自测课时训练题型分类　深度剖析内容索引\n考点自测\n1.(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为答案解析\n则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.\n2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为答案解析\n\n\n3.(2016·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为答案解析\n设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，\n\n即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，\n4.(2016·北京)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝____.2设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案解析\n题型分类　深度剖析\n题型一　求圆锥曲线的标准方程答案解析\n求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.思维升华\n跟踪训练1(2015·天津)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为答案解析\n则a2＋b2＝4，①\n题型二　圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015·湖南)若双曲线＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为答案解析即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，\n答案解析\n\n圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.思维升华\n跟踪训练2已知椭圆＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＝1(a>b>0)的离心率为_______.答案解析\n题型三　最值、范围问题解答(1)求双曲线的方程；\n(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.解答\n由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．\n得1－3k2∈(－1,0)∪(0,1)，故直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞).\n圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.思维升华\n跟踪训练3直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为_____.答案解析\n设与l平行的直线l′：y＝x＋m与椭圆相切于P点.则△ABP面积最大.∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－2)＝0，\n\n题型四　定值、定点问题例4(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.解答\n(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解答\n当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).\n\n求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.思维升华\n跟踪训练4(2016·北京)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；解答\n(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.证明\n由(1)知，A(2，0)，B(0，1).\n当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.\n题型五　探索性问题圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3，0).例5(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；解答\n(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；解答\n设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，\n当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3，0).又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，\n(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解答\n由题意知直线L表示过定点(4，0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0.此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0，\n\n\n(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.思维升华\n解答\n(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.解答\n∵以PQ为直径的圆经过坐标原点，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，得3＋4k2－m2>0.\n\n\n课时训练\n12345(1)求椭圆E的方程；解答\n(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.证明12345\n得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，12345\n(1)求椭圆C的方程；解答12345\n12345\n(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＝2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围.解答12345\n(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时d＝1.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠±1)，联立椭圆方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，由Δ>0⇒4k2－m2＋1>0，①12345\n椭圆右顶点D(2，0)到直线l的距离综上可知d∈[0，2).12345\n3.(2017·浙江新高考预测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线C过A()，B()两点，O为坐标原点.(1)求曲线C的方程；解答所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.12345\n(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切.证明12345\n原点O到直线MN的距离12345\n12345\n4.已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点.(1)求该椭圆的离心率；解答12345\n(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解答12345\n依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x＝ty＋1.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，假设x轴上存在定点P(p，0)使得MP⊥NP，12345\n将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.所以x轴上存在定点P(1，0)或P(7，0)，使得MP⊥NP.12345\n解答12345\n因为A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，12345\n12345\n解答(2)若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值.12345\n因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，12345