中考数学专题复习课件：圆与证明 32页

中考复习圆与证明\n一、圆的概念1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.5.圆的旋转不变性.\n6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.8.圆心相同,半径不同圆称为同心圆.9.半径相同,圆心不同的圆称为等圆.10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧.11.顶点在圆心的角称为圆心角.12.顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交的角称为弦切角.\n二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系有三种：点在圆外,点在圆上,点在圆内.2.点与圆的位置关系的数量[点到圆心的距离(d)与半径(r)]关系：点在圆外点在圆上点在圆内d＞rd＝rd＜r\n三、直线与圆的位置关系1.相交、相切、相离.2.直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.●O●O相交●O相切相离\n3.直线与圆的位置关系量化揭密.圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.直线和圆相交dr;dr;直线和圆相切直线和圆相离dr;●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐<=>\n四、圆与圆的位置关系1.外离、外切、相交、内切、内含.上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相离三类●O2●O1内切外切●O2●O1●O2●O1内含外离●O2●O1●O2●O1相切相交相离相交\n3.圆与圆的位置关系量化揭密内切内含外离外切●O2●O1●O2●O2相交●O1●O1●O2●O1●O2●O1RrRrRrRrRr两圆外切dR+r;=两圆内切dR-r;=dR-r;<两圆内含两圆相交R-rdR+r.<两圆外离\n五、垂径定理1.定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理三角形”若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.3.垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.2.垂径定理的逆定理在下列五个条件中:①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM,\n六、圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理1.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.2.推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏\n七、圆周角定理1.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.3.推论2:直径所对的圆周角是直角.4.推论3:90°的圆周角所对的弦是直径.●OABC●OBACDE●OABC\n八、切线的性质和判定定理1.性质定理圆切线垂直于过切点的半径(直径).2.判定定理经过半径(直径)的外端,并且垂直于这条半径(直径)的直线是圆的切线.CDB●OA┓B●OACD┓\n九、三角形与圆1.定理不在一条直线上的三个点确定一个圆.2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.\n十、弧长与扇形面积1.半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式2.半径为R的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积.\n十一、圆锥的侧面积(扇形)\n1.已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的取大距离是d,最小距离是a.求⊙O的半径r.ABP●OdaABP●Oad\n2.已知:P是⊙O内的一点,PO=3,⊙O的半径等于5.求过点P的最短弦的长度.●P●OD┏BA过点P的最长弦是直径,最短弦是垂直于过点P的直径的弦.\n3.如图，在⊙O中，∠ABC=55°，则∠D=,∠AOC=.若点E为⊙O上任一点，则∠AEC的度数是多少？125°110°\n5.练习１如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径—————6.如图：PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=___\n7.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=cm时，AB与⊙O相切.此题关键是求出圆心C到直线AB的距离d，也就是求出Rt△ABC斜边上的高，常用方法是面积相等法.\n8.在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，（1）若点O是三角形的内心（2）若点O是三角形的外心分别求出∠BOC的度数。ABCO练习\n9.圆锥展开图的妙用：（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．母线OE(OF)长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为cm．EFOA\n解：将圆锥沿OE展开，可得如图所示，已知\n10.某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小龙沿湖边选取A,B,C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240m，A到BC的距离为50m，，请你帮他们求出滴水湖的半径。图1OABC\n11.（08，南通）已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=cm．（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）求∠ACM的度数．COBANM\n解：（1）连结OM．∵点M是弧AB的中点，∴OM⊥AB．过点O作OD⊥MN于点D,由垂径定理，故圆心O到弦MN的距离为2cm．（2）cos∠OMD＝,∴∠OMD＝30°，∴∠ACM=90°－30°＝60°.\nFGJ12.如图，⊙O为△ABC的内切圆，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为21，BC的边长为6.则△ADE的周长为多少？H\n13.如图，T在⊙O上，延长⊙O的直径AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8,求证:PT是⊙O的切线.\n如图：连接OT∵PA=18,PT=12,PB=8,可得且∠P为公共角，则有△PBT∽△PTA，∴∠A=∠PTB,∵AB为直径，∴∠ATB=90°，∵AO=OT,∠A=∠OTA,又∠A=∠PTB.∴∠OTA+∠OTB=∠PTB+∠OTB=90°，即∠PTO=90°∴PT⊥OT,∴T为⊙O上一点，∵OT为半径，∴PT为⊙O的切线。\n14.（08，北京）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；\n解：（1）直线BD与⊙O相切证明：如图1，连结OD．∴直线BD与⊙O相切．\n如图2，连结DE．∵AE是⊙O的直径，如图2