初中数学复习教案1 17页

初中数学总复习教案第一章实数一、重要概念1．数的分类及概念正整数正实数整数如0:有理数(有限或无限循环小数)负整数实数0分数正分数实数负分数负数正无理数无理数(无限不循环小数)负无理数说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）2a(a为一切实数)常见的非负数有：│a│a(a≥性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。3．倒数：①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。4．相反数：①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.②求相反数的公式:a的相反数为-a.③性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数的和为0,商为-1。5．数轴：①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）7．绝对值：①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。a(a≥0)│a│=-a(a<0)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。n11．科学记数法：N=a×10（1≤a＜10，n是整数）。（1）当N是大于1的数时，n＝N的整数位数减去1。3如：3241.56=3.2415610×.(2)当N是小于1的数时，n＝N的第一个有效数字前0的个数.−5如:0.0000324156=3.2415610×12有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.第1页1\n第二章代数式一重要概念分类：单项式整式有理式多项式代数式分无理式1.代数式、有理式、无理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。2222有根号的代数式叫无理式，如：a、a+b。没有根号的代数式叫有理式。如：a、a+b。整式和分式统称为有理式。2.整式和分式1b分母中含有字母的代数式叫做分式。如：、。a3a分母中不含有字母的代数式叫做整式。整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。3.单项式与多项式212数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：3abc，abc。单独的一3个数或字母也是单项式。如：a、0、-3。几个单项式的和或差，叫做多项式。说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，2x2=x,x=│x│等。x4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式，是无理数。7.各种方根的概念（1）平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.2即:χ=a,χ叫的平方根记作aχ=±a（2）算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：a第2页2\n正数a的正的平方根（a[a≥0—与“平方根”的区别]）;2算术平方根与绝对值，联系：都是非负数，a=│a│区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。（3）立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：33χ=a,χ叫的立方根记作aχ=a8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。9.指数na·a…a=an⑴n个(a—幂，乘方运算)nnn1a＞0时，a＞0;②a＜0时，a＞0（n是偶数），a＜0（n是奇数）0−p1⑵零指数公式：a=1（a≠0）负整指数公式：a=(a≠0,p是正整数)pa二、运算定律、性质、法则1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质bbmb−bb⑴基本性质：=（m≠0）⑵符号法则：−==⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）aamaa−a3．整式运算法则（去括号、添括号法则）4．幂的运算性质：mnm+nmnm−nmnmn①同底数幂相乘：a·a=a;②同底数幂相除：a÷a=a;③幂的乘方：(a)=a;④nnnnanab−pap积的乘方：(ab)=ab;⑤分式乘方：()=（注意：凡是公式都可以倒用）技巧：()=()nbbab5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。222226．乘法公式：(a±b)=a±2ab+b（a+b）（a-b）=a−b2233(a±b)(a∓ab+b)=a±b（注意：凡是公式都可以倒用）7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。9．算术根的性质：22aaa＝a;(a)=a(a≥0);ab=a⋅b(a≥0,b≥0);=(a≥0,b＞0)（注意：凡是公bb式都可以倒用）10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：1bab1A.;B.=;C..aaama−nb第3页3\n第三章方程（组）一、基本概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2、分类：一次方程整式方程二次方程有理方程高次方程方程分式方程无理方程一、解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc(c≠0)二、解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。2．二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法三、一元二次方程21．定义及一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式?答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）2−b±b−4ac2(2)公式法：x=(b−4ac≥0)1,22a(3)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二次方程的标准形式。23．根的判别式：∆=b−4ac22当∆=b−4ac＞0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.反之亦然.22当∆=b−4ac=0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.反之亦然.22当∆=b−4ac＜0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)没有的实数根.反之亦然.bc4．根与系数顶的关系：x+x=−,x⋅x=1212aa2逆定理：若x+x=m,x⋅x=n，则以x,x为根的一元二次方程是：x−mx+n=0。1212122225．常用等式：x+x=(x+x)−2xx121212第4页4\n22(x−x)=(x+x)−4xx121212四、分式方程1．分式方程121⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：+=2xx+32去分母⑵基本思想：分式方程整式方程如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.3x−62x+2⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，+=7）x+1x−2⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验六、无理方程⑴定义乘方⑵基本思想：无理方程有理方程22⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x−9+17=x）⑷验根及方法七列方程（组）解应用题㈠概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。⑸解方程及检验。⑹答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。㈡常用的相等关系1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vtCAB⑴相遇问题(同时出发)：甲→相遇处←乙s+s=s;t=t甲乙AB甲乙⑵追及问题（同时出发）：CABs=s+s;t=t甲→乙→（相遇处）甲AC乙甲(AB)乙(CB)(甲)→若甲出发t小时后，乙才出发，AB而后在B处追上甲，则乙→（相遇处）第5页5\ns=s;t=t+t甲乙甲乙⑶水中航行：v=船速+水速;v=船速−水速顺逆2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂n−13．增长率问题：分析方法:逐年逐月的分析方法.a=a(1±r)n14．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。㈢注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。㈣注意从语言叙述中写出相等关系。如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。第四章、一元一次不等式（组）1．定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。2．一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。第6页6\n3．一元一次不等式组：4．不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c⑵a>b←→ac>bc(c>0)⑶a>b←→acb,b>c→a>c⑸a>b,c>d→a+c>b+d.5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）7．应用举例（略）第五章函数及其图象一、平面直角坐标系1．各象限内点的坐标的特点2．坐标轴上点的坐标的特点第7页7\n3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。2．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。3．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。4．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。三、几种特殊函数（定义→图象→性质）1．正比例函数⑴定义：y=kx(k≠0)或y/x=k。⑵图象：直线（过原点）⑶性质：①k>0，…②k<0，…2．一次函数⑴定义：y=kx+b(k≠0)⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。yyyyoxoxoxox(k>0,b>0)(k<0,b>0)(k>0,b<0)(k<0,b<0)⑶性质：①k>0,…②k<0,…⑷图象的四种情况：3．二次函数2⑴定义：y=ax+bx+c(a≠0)(一般式)2y=a(x−h)+k(a≠0)(顶点式)22特殊地，y=ax(a≠0),y=ax+k(a≠0)都是二次函数。⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。22y=ax+bx+c(a≠0)用配方法变为y=a(x−h)+k(a≠0)，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。4.反比例函数k−1⑴定义：三种形式：y==kx或xy=k(k≠0)。x⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。四、重要解题方法y1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数X=2的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛(-1,5)第8页8ox求解析式?\n物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。六、应用举例（略）第六章直线形一、直线、相交线、平行线1．线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。2．线段的中点及表示3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）第9页9\n4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）6．互为余角、互为补角及表示方法7．角的平分线及其表示8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）9．对顶角及性质10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。12．定义、命题、命题的组成13．公理、定理14．逆命题二、三角形分类：⑴按边分;⑵按角分1．定义（包括内、外角）2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，等边等角大边大角小边小角3．三角形的主要线段讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质1高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质5．全等三角形⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法6．三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。7．重要辅助线⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线8．证明方法⑴直接证法：综合法、分析法⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法⑸证线段和差关系：延结法、截余法⑹证面积关系：将面积表示出来三、四边形1．一般性质（角）⑴内角和：360°⑵顺次连结各边中点得平行四边形。第10页10\n推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。⑶外角和：360°2．特殊四边形⑴研究它们的一般方法:定义→性质→判定面对边角对积称性角线轴中对心称对称⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形┗→菱形──↑⑷对角线的纽带作用：相等且互相平分矩形相等垂直互相平分相等且互相垂直四边形平行四边形正方形垂直相等菱形互相垂直平分互相垂直平分且相等3．对称图形⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2②三角形、梯形的中位线定理③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。6．作图：任意等分线段。四、应用举例（略）第七章解直角三角形一、三角函数1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.2．特殊角的三角函数值：3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…第11页11\n4．三角函数值随角度变化的关系5．查三角函数表二、解直角三角形1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。2222．依据：①边的关系：a+b=c②角的关系：A+B=90°③边角关系：三角函数的定义。注意：尽量避免使用中间数据和除法。五、对实际问题的处理1．俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：北i仰角西hα俯角东li=h/l=tgα南4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。四、应用举例（略）第八章相似形一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：bd反比性质：=acac第d12c页ab12=⇔ad=bc⇒更比性质：=或=bdbacd（比例基本定理）a±bc±d合比性质：=bd\nacma+c+⋯+ma==⋯=(b+d+⋯+n≠0)⇒等比性质:=bdnb+d+⋯+nb涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。第二套：平行线分线段应用于△中推论相似基本成比例定理(骨干定理)定理(基本定理)判相定似（定三理角Rt△推论的形推论定理3逆定理定理2定理1推论注意：①定理中“对应”二字的含义;②平行→相似（比例线段）→平行。二、相似三角形性质1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。三、相关作图①作第四比例项;②作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴amcmmamcm'=,=(为中间比)⑵=,=,n=n'bndnnbndn''amcm''mm⑶=,=(m=m,n=n或=)''bndnnn3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。第九章圆一、圆的基本性质1．圆的定义（两种）第13页13\n2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。3．“三点定圆”定理4．垂径定理及其推论5、与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）⑶弦切角定义（弦切角定理）二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：d>R直线与圆相离d=R直线与圆相切dR+r外离d=R+r外切R-r