初中数学不等式教案 20页

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．\n证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.\n命题4　如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线,可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠=度．\n解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评　此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC,CAP=(180°－∠BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．点评　对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．\n例４　(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB=度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线,结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．\n二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，所以AD为∠BAC的对称轴，又因为BE⊥AD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。求证：∠BAP＋∠BCP=180°。证明：经过点P作PE⊥AB于点E。因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，所以PE=PD。在Rt△PBE和Rt△PBC中所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），所以BE=BD。因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，所以AE=CD。因为PE⊥AB，PD⊥BC，所以∠PEB=∠PDB=90°.在△PAE和Rt△PCD中\n所以△PAE≌Rt△PCD，所以∠PCB=∠EAP。因为∠BAP＋∠EAP=180°，所以∠BAP＋∠BCP=180°。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2。\n三.角平分线------应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．一、由角平分线的性质联想两线段相等EMDFCBA图1　　例1如图1，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．　　证明连结DB，DC．　　∵D在∠A的平分线上，∴DE=DF．　　∵D在BC的垂直平分线上，∴BD=DC．　　又∠BED=∠CFD=90°，　　∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF．二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形　　例2如图2，BC＞AB，BD平分∠ABC，且AD=DC　　求证：∠A+∠C=180°．　　证明延长BA至F，使BF=BC．由BD平分∠ABC在△FBD与△CBD中，BF=BC∠ABD=∠CBDBD=BD∴△FBD≌△CBD，FDCBA图2∴∠C=∠F，DF=CD=AD，∠F=DAF，∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3已知：如图3，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DE．EFCBDA图3证明：∵BF是∠ABC的平分线∴∠DBF=∠CBF又∵DE∥BC∴∠DFB=∠CBF∴∠DBF=∠DFB∴BD=FD，同理CE=FE．∴BD+CE=DF+FE=DE．四、实际生活中的应用例4如图4，有三条公路、、两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？图4\n解析：分别作△ABC两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．．五.角平分线携“截长补短”显精彩角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.eg1.如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.图1-1分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图1-2在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.图1-2又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.\neg2.已知，如图2-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.图2-1分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，图3-22-2∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°图3-1eg3.已知：如图3-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图3-2延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图3-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.图3-3方法二（截长法）\n在AB上截取AF=AC，如图3-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。如图1所示，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC＋CD。证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。如图2所示，在AB上截取AE=AC，连结DE。图2在△AED和△ACD中所以△AED≌△ACD，所以ED=CD，∠3=∠C。因为∠3=∠B＋∠4，∠C=2∠B，所以∠B=∠4，所以BE=DE。所以AB=AE＋BE=AC＋DE=AC＋CD。证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起。本种方法是延长AC，再在延长线上截取CF=CD。如图3所示，延长AC到点F，使CF=CD，连结DF。图3因为CF=CD，所以∠3=∠F。因为∠ACB=∠3＋∠F，所以∠ACB=2∠F。又因为∠ACB=2∠B，所以∠B=∠F。在△ABD和△AFD中所以△ABD≌△AFD，所以AB=AF。因为AF=AC＋CF=AC＋CD，\n所以AB=AC＋CD。第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC，再在延长线上截取CM=AC。证明：延长DC，在DC的延长线上截取CM=AC，连结AM。因为因为CM=CA，所以∠3=∠M。因为∠ACB=∠3＋∠M，所以∠ACB=2∠M=2∠3。图4又因为∠ACB=2∠B，所以∠B=∠M=∠3，所以AB=AM。因为∠4=∠B＋∠1，∠DAM=∠2＋∠3，∠1=∠2所以∠4=∠DAM，所以AM=DM=DC＋CM=DC＋AC，所以AB=DC＋AC。图5图3练习：如图5所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。提示：可以将减法运算转化为加法运算，然后利用“截长”或者“补短”法解决问题。四.角平分线中考真题角平分线的性质与应用一、选择题1、（2009·温州中考）如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A.B.平分C.D.垂直平分【解析】选D.由OP平分，，，可得，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，所以可得平分，.\n2、(2009·牡丹江中考)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SASB．ASAC．AAS　　D．SSSODPCAB【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP,所以，因此依据为SSS；3、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）（Ａ）三条中线的交点（Ｂ）三条高的交点（Ｃ）三条边的垂直平分线的交点（Ｄ）三条角平分线的交点答案：D4、（2007·义乌中考）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）.（A）3　（B）4　　（C）5　（D）6【解析】选A.由角平分线的性质可得.二、填空题5、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。\n【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得答案：6.6、（2010·珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm.【解析】因为，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，有BD为∠ABC的角平分线，所以P到BC的距离等于PE的长等于4.答案：47、（2008·肇庆中考）如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）.答案：PC=PD（答案不唯一）三、解答题8、（2009·怀化中考）如图，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．\n求证：（1）；（2）点P在∠BAC的角平分线上．【证明】（1）如图，连结AP，∴∠AEP=∠AFP=，又AE=AF，AP=AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上9、(2008·青岛中考)如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1000米．（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置．【解析】（1）（1）1000米=100000厘米，100000÷50000=2（厘米）；\n(2)10、（2008·衢州中考）如图，AB∥CD(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。【解析】(1)作图略；(2)取点F和画AF正确(如图)；添加的条件可以是：F是CE的中点；AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)∴，，五.最后----角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF＝2BF。分析一：要证明CF＝2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BF＝AF。问题转化为证CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300\n，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。分析二：要证明CF＝2BF，联想∠B＝300，EF是AB的中垂线，可过点A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位线，因此BG＝2BF＝2AG，再设法证明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC于D，则BD＝CD，考虑到∠B＝300，不妨设EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：。分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE＝AC。证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于ECE∥AD∠E＝∠3AE＝ACCE∥AD∴（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）\n①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答案：②转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，求BD的长。答案：cm评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、如图，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝。2、如图，已知AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝。3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝。4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝。5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么∠P＝。二、选择题：1、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝600，则∠BFC等于（）A、800B、1000C、1200D、14002、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C的度数为（）A、820B、720C、620D、5203、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（）A、8cm、8cm、14cmB、12cm、12cm、6cmC、8cm、8cm、14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不对\n4、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0组B、2组C、3组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定三、解答题：1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D。求证：MA＝MD。2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。3、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长。\n4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。参考答案一、填空题：1、380；2、240；3、4；4、14；5、680二、选择题：CBCDB三、解答题：1、过A作AN⊥BC于N，证∠D＝∠DAM；2、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG3、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝4、证△ACD≌△CBF