初中数学《工程问题》讲义及练习 28页

工程问题教学目标1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲\n模块一、工程问题基本题型【例1】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要天能够完成．【例2】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做天能完成．【巩固】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成．【例3】（难度等级※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【解析】乙单独加工，每小时加工甲调出后，剩下工作乙需做时所以乙每小时加工零件(个)，则小时加工(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)．【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。　如果甲独做，所需时间是天如果乙独做，所需时间是天；甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.【巩固】（难度等级※※）某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【解析】先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的\n，甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做天因此，乙还要做28+28=56（天），乙还需要做56天.【例1】（难度等级※※）一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：甲乙，乙丙，乙因此不难得到丙的工作效率为，因此三个人的工作效率之和为，也就是说，三个人合作需要12天可以完成。本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．【巩固】（难度等级※※）一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【解析】法一：和上题类似，我们可以有：甲乙，乙丙，丙不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，即甲丙合作12天能完成。法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢？不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：，也就是说：，所以甲丙合作天能完成。【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？【解析】设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要天　答：甲一人独做需要90天完成.【巩固】（难度等级※※）一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．\n【巩固】（难度等级※※）一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?【解析】方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为－＝那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷=48天。方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．【例2】（难度等级※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为：，所以整池水由乙管单独灌水，需要（小时）．【例3】（难度等级※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放　　小时．【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．【例4】（难度等级※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.\n这在题目中却是隐含着的.【例1】（难度等级※※※※）有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)【解析】设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需(2)设A池需根，那么B池需14根，有所以有化简解得所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间小时=225分钟；B：7根水管，需时间小时257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间小时277分钟；B：8根水管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．【例2】（难度等级※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？【解析】法一：先求出甲、乙相遇的时间：小时；甲清扫全长的，乙清扫了全部的；所以东、西两城相距千米．法二：因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米．【例3】（难度等级※※※）一项工程，甲单独完成需要天，乙单独完成需要天．若甲先做若干天后乙接着做，共用天完成，问甲做了几天？\n【解析】根据题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了天．【巩固】（难度等级※※※）一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？【解析】方法一：甲的工作效率为，甲队8天的工作量为，所以乙队15天的工作量为，乙的工作效率为，所以乙队单独完成这项工作需要天方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天）。【例2】（难度等级※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？【解析】法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的，还有是甲做的，所以甲干了（天），休息了（天）．法二：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则甲休息了（天）．【巩固】（难度等级※※※）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天．乙请假多少天？【解析】法一：甲一共干了天，完成了全部工程的，还有是乙做的，所以乙干了(天)，休息了(天)，请假天数为：(天)．法二：假设乙没有请假，则两人合作天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则乙请假(天)．【巩固】（难度等级※※※）有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【解析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为6天完成的工程量为\n，而实际6天完成了的工程量为1，即甲队少做了，甲队完成超过单位“1”，甲没有干的天数：，(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天．【例1】（难度等级※※※）(2007年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了天．【解析】设甲、乙工作了天，丙工作了天，则有：，化简得．由于和720都是15的倍数，所以也是15的倍数，而，所以，，所以丙休息了天．【例2】（难度等级※※※）一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？【解析】解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。天说明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天.解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了天。【例3】(2007年人大附中考题)一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要天．【解析】设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程，得：，解得：．如果调走2人，需要(天)．模块二、工程问题——变速问题【例4】（难度等级※※※）甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？【解析】开始时甲队拿到元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天才能完成任务．有\n，化简为，解得．工程总量为，所以原计划天完成．【例1】（难度等级※※※※）(人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【解析】乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，单独由甲做需要：(小时)．【例2】（难度等级※※※※）（2009年四中小升初入学测试题、2009年第七届“希望杯”六年级第2试）甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？【解析】法一：直接求首先求出甲的工作效率，甲个小时完成了米的工作量，因此每分钟完成（米），开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成为（米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成（米），问题就变成了，乙分钟扫完了米的雪，前若干分钟每分钟完成米，换工具之后的时间每分钟完成了米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫米，那么分钟应该能扫（米），比实际少了（米），这是因为换工具后每分钟多扫了（米），因此换工具后的工作时间为（分钟）.法二：其实这个问题当中的米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为，甲比他快，甲每分钟可以清理，分钟之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作总量相同，也是份，但是乙之前的工作效率为，换工具后的工作效率为，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了分钟。【例3】（难度等级※※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？\n【解析】当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成40个；当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；所以在后来的小时内，乙比甲多完成了个，那么乙比甲每小时多完成个．所以提高工效后乙每小时完成个．【例2】（难度等级※※※※）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【解析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高．由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。【例3】（难度等级※※※※）一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由甲单独完成．现设两人合作天，则甲单独做8-天，于是得到方程(×80％+×90％)×+×(8-)=l，解出=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．【例4】（难度等级※※※※）一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?【解析】甲、乙合作时工作效率为(+)×(1+20%)=．则的工程量需÷=(天)，则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10-=(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为÷=．遇到地下水前后工作效率的差为:-=，则总工作量为47.25÷=1100方土.【例5】（难度等级※※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是天．\n【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高；在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴天与雨天的天数比为．如果有8个晴天，则甲共完成工程的，而实际的工程量为1，所以在施工期间，共有个晴天，个雨天．模块三、工程问题方法与技巧（一）整体分析法【例2】（难度等级※※※）甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？【解析】法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)．甲队先做天，比合作少了(天)；乙队后做天，比合作多了(天)，所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是．甲队单独工作需要：(天)；乙队单独工作需要：(天)。法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而题目中给定的“甲队先挖天，再由乙队单独挖天”，相当于甲乙两队先合作天，然后再由乙队单独挖天，于是两队合作天，可以完成工程的，也就是说乙队天挖了，于是乙队的工作效率为，那么甲队的工作效率就是，即甲队单独做需要天，乙队单独做需要天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．【例3】（难度等级※※※）（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试，第8题）甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的，则总和为，甲占了份，甲占了总数的；乙是甲丙和的，同理可知乙占了总数的，那么可知丙生产的玩具占总数的，所以总数是（个）.\n【例1】（难度等级※※※）(2008年实验中学考题)几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？【解析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草(甲地草的)，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生．【巩固】（难度等级※※※）一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？【解析】根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有人．那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地．所以甲工地相当于人做了一整天；乙工地相当于人做了一整天．由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份．人做一整天完成3份，那么人做一整天完成份，所以乙工地还剩下份．这份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，可得，那么这批工人有(人)．【例2】（难度等级※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲小时，帮乙小时．【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完成工作的总时间为小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是，所以丙帮甲搬了的货物，丙帮甲做的时间为小时，那么丙帮乙做的时间为小时．【巩固】（难度等级※※※）搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时．有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：小时，丙帮助甲搬运了\n小时，丙帮助乙搬运了小时．【例1】（难度等级※※※※）甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“”，那么这个问题就和例联系到了一起了。三队合作完成两项工程所用的天数为：天。天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为，剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了天也就是说两队合作了天。解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率工作时间工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．【例2】（难度等级※※※※）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？【解析】因为、两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的，丙每小时可以完成大仓库工作量的．那么甲16小时完成了仓库的，丙在仓库搬了小时．【例3】（难度等级※※※※）一项工程，乙单独做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为和，那么，所以，乙单独做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲单独做需要天．【例4】（难度等级※※※※）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18\n小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【解析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？（小时）．②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？．③余下的由甲独做需要多少小时？（小时）．④共用了多少小时？（小时）．在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．【巩固】（难度等级※※※※）一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？【解析】甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成．所以需要小时分钟来完成整个工程．【巩固】（难度等级※※※※）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【解析】根据题意，有：，可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．所以，乙单独工作需要小时．【巩固】（难度等级※※※※）蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)【解析】法一：小时排水比小时进水多，，说明排水开了\n小时后（实际加上进水3小时，已经过去小时了），水池还剩一池子水的，再过小时，水池里的水为一池子水的，把这些水排完需要小时，不到1小时，所以共需要小时小时分．法二：小时排水比小时进水多，，说明小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，排一池子需要小时，排一池子水的需要小时，所以实际需要小时小时分．【巩固】（难度等级※※※※）一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲．甲、乙工作效率之和为：，甲的工作效率为：，所以甲单独做的时间为(小时)．【例2】（难度等级※※※※）甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?【解析】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1+=．而甲、乙、丙合作时的工作效率为++=，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷=18(天)．在这18天，乙完成18×=\n的工程量，则B工程中剩下的-=的工程量是由丙帮助完成，即÷=15(天)．即丙队与乙队合作了15天．【例1】（难度等级※※※※※）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢出水池？【解析】甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，的工作量由甲管注水需要：(小时)，所以经过小时后水开始溢出水池．【例2】（难度等级※※※※※）一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，，此时剩下的工作量为．还需甲做(小时)，所以共需(小时)．【例3】（难度等级※※※※※）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【解析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有，可得；而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有，可得．那么，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是由甲完成的．那么有，可得，．这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用天．\n【例1】（难度等级※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期天，第二种可能是完整周期天．如果是第一种可能，有，得．然而此时甲、乙、丙的效率和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立．再看第二种可能：完整周期不完整周期完成总工程量第一种情况个周期甲1天，乙1天“1”第二种情况个周期乙1天，丙1天，甲天“1”第三种情况个周期丙1天，甲1天，乙天“1”可得，所以，．因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为．于是，一个周期内他们完成的工程量为．则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天．（二）等量代换法【例2】（难度等级※※※）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要天\n【例1】（难度等级※※※）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的；于是可知乙每天抄写书稿的--＝.所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成．【例2】（难度等级※※※）一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成．两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的，因此甲4天完成的量，乙需要天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要做天。法二：甲的工作效率为，所以乙的工作效率为．两队合作2天后乙队独做还要天才能完成．【例3】（难度等级※※※）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？【解析】根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多天，所以乙独做需要的天数是：(天)，甲独做需要(天)，甲、乙合做需要(天)．【例4】（难度等级※※※）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：\n从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要(天)完成，即乙的工作效率是．又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，为，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为(天)．【巩固】（难度等级※※※）一件工作甲先做小时，乙接着做小时可以完成；甲先做小时，乙接着做小时也可以完成．如果甲做小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【解析】根据题意可知，甲做小时的工作量等于乙做小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要小时，甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要小时．【巩固】（难度等级※※※）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为，所以甲单独工作的效率．甲、乙两人的工作效率之比为．甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要小时，所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要小时．【例2】（难度等级※※※※※）(2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前天完成．还知道乙的工作效率是丙的倍，问：计划规定的工期是多少天？\n【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，所以乙、丙合做了全部工程的；如果丙不来帮忙，这的工程由乙独做，那么乙完成这的工程时间将比乙、丙合做多用天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的倍，所以乙、丙合做这的工程所用的时间为天．那么乙的工效为．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的，根据题意，这的工程如果由甲独做，只需要天，那么甲的工效为．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天完成，所以原计划工期是天．（三）比例法【例2】（难度等级※※※）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？【解析】乙小时完成总工作量的；乙每小时完成总工作量的；乙需要完成的总工作量为；乙要完成这个任务还需要的时间：（小时）【例3】（难度等级※※※）一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为又乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的的工程与甲、乙、丙合作完成的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为丙的工作效率为：那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：天.方法二：显然甲的工作效率为设乙的工作效率为，那么丙的工作效率为\n．所以有乙工作的天数为丙工作的天数为且有即解得所以乙的工作效率为丙的工作效率为高那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：天.【例1】（难度等级※※※※）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【解析】丙村出的元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。甲、乙两村共派出了人，而这80人，按照原计划应是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了人，乙村帮丙村派出了人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：元，乙村应分得：元．【例2】（难度等级※※※※）(2007年二中考题)某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为，所以它们运送次所需的时间之比为，相同时间内它们运送的次数比为：．在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为．由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为．那么三种卡车在前天内的工作量之比为：．在后天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为．所以在这天内，甲的工作量与总工作量之比为：．【例3】（难度等级※※※※）（2008年清华附中考题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？\n【解析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为；乙、丙两人的工作效率之和为；甲、乙、丙三人的工作效率之和为．分别可求得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，则甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：，丙完成的工程量为：，三人所完成的工作量之比为．所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元．【例2】（难度等级※※※※）一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水吨．所以该水箱最多可容纳水吨．【例3】（难度等级※※※※）一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的倍，则该水箱注满时可容纳吨水．【解析】方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为，那么，乙注40吨水丙可注水量为，所以，解得，（吨）为水箱容量。方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水．由于乙管每分钟注水量是甲管的倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的倍．可以假设打开乙、丙两管的情况下丙管注了吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了吨水，所以有，得到，所以水箱注满时可容纳吨水．在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时间的倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的\n倍，也就是与第一种情况所用时间相同．此时，注入的水量也是水箱容积的倍，即比第一种情况多了倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注入吨水，比甲管多注了吨，所以这15吨就是水箱容积的，那么水箱容积为吨．【例1】（难度等级※※※※※）有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔和．孔和孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使孔排出的水直接流入乙箱．70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要________分钟．【解析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析．如图所示，当注水没有超过30厘米高度时，水没有达到、两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；当水达到30厘米高度而又没有达到50厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到50厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时孔排出的水也流入乙箱，由于、两孔排水速度相同，所以孔排出、流入乙箱的水与孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水．由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都是10厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段(即注满20厘米高度水的阶段)所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段(注满10厘米高度水的阶段)所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍．假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为份，所以注满甲箱的总时间为份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要分钟．【例2】（难度等级※※※※※）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用小时分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？\n【解析】设进水管每小时进水单位，那么水箱灌满后水的总量为，进水管每分钟进水量为．由于打开一个出水孔，则需要用分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这分钟内的出水量等于进水管分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：，同理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为：，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了分钟水，所以一个孔每分钟出水量为：，那么开一个孔的实际出水时间为：(分钟)．这说明在前面的分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水．，即在进水管进了的水后出水孔才开始出水，此时还需进的水．所以，开三个出水孔所需的时间为：(分钟)．【巩固】（难度等级※※※※※）一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开个出水管，经过分钟才能将水箱灌满．【解析】进水管每分钟灌进水槽容积的．而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水分别是水槽容积的和．两次出的水之比是，说明水得放到孔所在的高度才能开始出水．设进水分钟后开始出水，则有，解得．那么一个出水孔的出水速度为．要想能够把水槽灌满，由于，所以最多可以打开5个出水孔．打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为(分钟)．【例2】（难度等级※※※※※）(2007年人大附中考题)有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔和，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开孔，关闭孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭孔，打开\n孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过分钟才能将水箱注满．【解析】本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的．(法1)方程法．设进水速度为，出水速度为，立方体水箱的容积为1．则解此类方程，可采用换元法．设，，原式可以变形为：，解得：．所以，．所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：(分钟)．(法2)设单开进水管注满水箱的所需进水时间为分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的所需的进水时间为分钟．则，解得：，．以水箱的看作“1”，则进水速度为，出水速度为，所以灌满水箱最上层的需要分钟．那么总共需要(分钟)．(法3)图示法．如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管，比较两图，可以看出两图中上、下两格的时间完全相同．则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了分钟．所以，假设左图三格全黑——即单开进水管注满水箱，时间为分钟，即进水管的进水速度为；再假设右图三格全白——即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间为分钟，则其进水速度为，则一个出水管的出水速度为．所以，同时打开两排水管的进水时间为：(分钟)．\n【巩固】（难度等级※※※※）一个没有盖的水箱，在其侧面高和高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面给水箱注水．如果打开关闭，那么分钟可将水箱注满；如果关闭打开，那么分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？【解析】根据题意可知，要注水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用分钟，那么不开出水孔时注满水箱需分钟，如果一直开一个出水孔需要分钟．说明每分钟注水量为，一个孔每分钟排水量为．如果两个孔都打开，需要分钟．（四）列表法【例2】（难度等级※※※）放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【解析】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：1号2号3号4号工作效率○○○××○○○○×○○○○×○从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：，那么同时打开这4个阀门，需要（分钟）．【例3】（难度等级※※※）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【解析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率○○○××○×○×○\n×○×○○○×○○×从表中可以看出，一队、三队在表中各出现次，二队、四队、五队各出现次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了次．所以五个小队的工作效率之和为：，五个小队一起合干需要天．【巩固】（难度等级※※※）、、、、五个人干一项工作，若、、、四人一起干需要6天完成；若、、、四人一起干需要8天完工；若、两人一起干需要12天完工．那么，若一人单独干需要几天完工？【解析】从题中可以看出，、、、四人每天完成总量的，、、、四人每天完成总量的，、两人每天完成总量的，可见，一人每天完成总量的，所以一人单独干需要天．【例2】（难度等级※※※※）(2009年十三分入学测试题)某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元甲10乙15丙30⑴如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？【解析】⑴如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司．由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为、、，所以应该选择甲、乙这两家公司合作．甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为天；⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为万元、万元、万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作．甲、丙两公司合作需要天才能完成工程，完工时要付的工资为：元．【巩固】（难度等级※※※※）一项工程，若请甲工程队单独做需个月完成，每月要耗资万元；若请乙工程队单独做此项工程需个月完成，每月耗资万元．⑴请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？\n⑵现要求最迟个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．【解析】⑴甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的、，那么甲、乙合作所需时间为：个月；甲、乙合作个月所耗资金为：(万元)．⑵甲工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程队做个月，甲工程队做个月，即：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月．【例2】（难度等级※※※※）一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由甲、乙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由乙、丙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由甲、丙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？【解析】⑴甲、乙、丙、丁的工效和是：；甲的工效是：；乙的工效是：；丙的工效是：；丁的工效是：．可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队．然后比较选择丙队或丁队应支付的工程款．⑵甲、乙、丙每天需要的工程款元；甲、乙、丁每天需要的工程款元；乙、丙、丁每天需要的工程款元；甲、丙、丁每天需要的工程款元．甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为元．甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是元，元，元，元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付元；如果由丁队来完成，需要支付元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙。【巩固】（难度等级※※※※）一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？【解析】甲、乙一天完成工程的；乙、丙一天完成工程的；甲、丙一天完成工程的．所以，甲的工效为；乙的工效为；丙的工效为．甲、乙一天需工程款(元)；乙、丙一天需工程款\n(元)；甲、丙一天需工程款(元)．所以，甲一天的工程款为(元)；乙一天的工程款为(元)．丙一天的工程款为(元)．单独完成整个工程，甲队需工程款(元)；乙队需工程款(元)；丙队需工程款(元)．所以应该选择乙队．课后练习