【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量应用举例教案 11页

高三 一轮复习 第四章 平面向量与复数 4.4 平面向量应用举例 【教学目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【重点难点】 1.教学重点 会用向量方法解决平面几何问题与其他一些实际问题； 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】 自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题. 真题再现; 1 ．(2015·天津高 考)在等腰 梯形 ABCD 中，已 知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE→＝λBC→，DF→ ＝ 1 9λDC→ ， 则AE→·AF→的最小值为________． 【解析】 在等腰梯形 ABCD 中，由 AB∥DC，AB＝ 2，BC＝1，∠ABC＝60°可得 AD＝DC＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0,0)，B(2,0)， C 3 2 ， 3 2 ， D 1 2 ， 3 2 ， BC→ ＝ 3 2 ， 3 2 － (2,0) ＝ －1 2 ， 3 2 ，DC→ ＝ 3 2 ， 3 2 － 1 2 ， 3 2 ＝(1,0)． 。 学生通过对高 考真题的解决，发 现自己对知识的 掌握情况。 通 过 对 考 纲 的解读和分析。 让学生明确考试 要求，做到有的 放矢 ∵BE→＝λBC→＝ －1 2λ， 3 2 λ ，∴E 2－1 2λ， 3 2 λ . ∵DF→ ＝ 1 9λDC→ ＝ 1 9λ ，0 ，∴F 1 2 ＋ 1 9λ ， 3 2 . ∴ AE→ · AF→ ＝ 2－1 2λ， 3 2 λ · 1 2 ＋ 1 9λ ， 3 2 ＝ 2－1 2λ 1 2 ＋ 1 9λ ＋3 4λ＝17 18 ＋ 2 9λ ＋1 2λ≥17 18 ＋2 2 9λ·1 2λ＝ 29 18. 当且仅当 2 9λ ＝1 2λ，即λ＝2 3 时取等号，符合题意． ∴AE→·AF→的最小值为29 18.【答案】 29 18 2.(2015·四川，7)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB→| ＝6，|AD→ |＝4，若点 M，N 满足BM→ ＝3MC→ ，DN→ ＝2NC→ ， 则AM→ ·NM→ ＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.6 解析 AM→ ＝AB→＋3 4AD→ ，NM→ ＝CM→ －CN→ ＝－1 4AD→ ＋1 3AB→ ∴AM→ ·NM→ ＝1 4(4AB→＋3AD→ )· 1 12(4AB→－3AD→ )＝ 1 48(16AB→ 2 －9AD→ 2)＝ 1 48(16×62－9×42)＝9，选 C. 答案 C 3.(2016·四川，10)在平面内，定点 A，B，C，D 满足|DA→ | ＝|DB→ |＝|DC→ |，DA→ ·DB→ ＝DB→ ·DC→ ＝DC→ ·DA→ ＝－2，动 点 P，M 满足|AP→|＝1，PM→ ＝MC→ ，则|BM→ |2 的最大值 是( ) A.43 4 B.49 4 C.37＋6 3 4 D.37＋2 33 4 解析 由题意，|DA→ |＝|DB→ |＝|DC→ |，所以 D 到 A，B， C 三点的距离相等，D 是△ABC 的外心； DA→ ·DB→ ＝DB→ ·DC→ ＝DC→ ·DA→ ＝－2 ⇒ DA→ ·DB→ －DB→ ·DC→ 学生通过对高 考真题的解决，感 受高考题的考察 视角。 ＝DB→ ·(DA→ －DC→ )＝DB→ ·CA→＝0，所以 DB⊥AC， 同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而 D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且 D 是△ABC 的中心. DA→ ·DB→ ＝|DA→ ||DB→ |cos∠ADB＝|DA→ ||DB→ |× －1 2 ＝－ 2 ⇒ |DA→ |＝2，所以正三角形 ABC 的边长为 2 3； 我们以 A 为原点建立直角坐标系，B，C，D 三点坐 标分别为 B(3，－ 3)，C(3， 3)，D(2，0)， 由|AP→|＝1，设 P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0， 2π)，而PM→ ＝MC→ ，即 M 是 PC 的中点， 可以写出 M 的坐标为 M 3＋cos θ 2 ， 3＋sin θ 2 则|BM→ |2＝ cos θ－3 2 2 ＋ 3 3＋sin θ 2 2 ＝37＋12sin θ－π 6 4 ≤37＋12 4 ＝49 4 ， 当θ＝2 3π时，|BM→ |2 取得最大值49 4 .故选 B. 答案 B 知识梳理 知识点 向量的实际应用 1．向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算 ①cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 ； ②|AB|＝|AB→|＝ AB→ 2＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2. 环节二 2．向量在物理中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用 W＝f·s. 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析 几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的 共线与垂直求解相关问题． 1．必会结论； (1)在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则AB→＋AC→＝2AD→ . (2)若点 G 是△ABC 的重心，则GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0，反 之，若GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0，则点 G 是△ABC 的重心． 2．必清误区 (1)注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等 价． (2)注意向量共线和两直线平行的关系． 考点分项突破 考点一向量在平面几何中的应用 1．如图在等腰三角形 ABC 中，底边 BC＝2，AD→ ＝DC→ ， AE→＝1 2EB→，若BD→ ·AC→＝－1 2 ，则CE→·AB→＝( ) A．－4 3 B.4 3 C．－3 2 D.3 2 【解析】 AD→ ＝DC→ ⇒ D 是 AC 的中点 ⇒ BD→ ＝1 2(BA→＋ BC→)，BD→ ·AC→＝－1 2 ⇒ 1 2(BA→＋BC→)·(BC→－BA→)＝－1 2 教师引导学生及 时总结，以帮助学 生形成完整的认 知结构。 ，BC→ 2－BA→ 2＝－1 ⇒ BA→ 2＝5 ⇒ |BA→|＝ 5，cos B＝ 1 5 .CE→·AB→＝(BE→－BC→ )·AB→＝ 2 3BA→－BC→ ·(－BA→)＝ BC→·BA→－2 3BA→ 2＝2· 5· 1 5 －2 3×5＝2－10 3 ＝－4 3. 【答案】 A 2．在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若AC→·BE→＝1，则 AB 的长为________． 【解析】 设 AB 的长为 a(a>0)，因为AC→＝AB→＋AD→ ， BE→ ＝ BC→ ＋ CE→ ＝ AD→ －1 2 AB→ ， 于是 AC→ ·BE→ ＝ (AB→ ＋ AD→ )· AD→ －1 2AB→ ＝1 2AB→·AD→ －1 2AB→ 2＋AD→ 2＝－1 2a2＋1 4a ＋1，故－1 2a2＋1 4a＋1＝1，解得 a＝1 2 ，所以 AB＝1 2. 【答案】 1 2 归纳向量与平面几何综合问题的解法 1．坐标法；把几何图形放在适当的坐标系中，则有关 点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代 数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 2．基向量法；适当选取一组基底，沟通向量之间的联 系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行 求解． 考点二 平面向量在三角函数中的应用 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， 若 20aBC→＋15bCA→＋12cAB→＝0，则△ABC 最小角的正 弦值等于( ) A.4 5 B.3 4 C.3 5 D. 7 4 (2)设 a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)λ＞0,0 ＜α＜β＜π 2 是平面上的两个向量，若向量 a＋b 与 a－b 互相垂直．①求实数λ的值； 引导学生通过对 基础知识的逐点 扫描，来澄清概 念，加强理解。从 而为后面的练习 奠定基础. 在解题中注意引 导学生自主分析 和解决问题，教师 及时点拨从而提 高学生的解题能 力和兴趣。 由 常 见 问 题 的解决和总结， 使学生形成解题 模块，提高模式 识别能力和解题 效率。 教师引导学生及 时总结，以帮助 学生形成完整的 认知结构。 ②若 a·b＝4 5 ，且 tan β＝4 3 ，求 tan α的值． 【解析】 (1)∵20aBC→＋15bCA→＋12cAB→＝0，∴20a(AC→ －AB→)＋15bCA→＋12cAB→＝0，∴(20a－15b)AC→＋(12c－ 20a) AB→ ＝ 0 ， ∵ AC→ 与 AB→ 不 共 线 ， ∴ 20a－15b＝0， 12c－20a＝0 ⇒ b＝4 3a， c＝5 3a， ∴△ABC 最小角 为角 A，所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 16 9 a2＋25 9 a2－a2 2×4 3×5 3a2 ＝4 5 ， ∴sin A＝3 5 ，故选 C. 【答案】 C (2)①由题设可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0， 代入 a，b 坐标，得 cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β ＝0，∴(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，∴(λ2－2λ)sin2α＝0. ∵0＜α＜π 2 ，∴sin α≠0，∴λ2－2λ＝0，∴λ＝2(λ＞0)． ②由①知，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝4 5 ， ∵0＜α＜β＜π 2 ，∴－π 2 ＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－3 5 ， tan(α－β)＝－3 4 ，∴tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ tan α－β ＋tan β 1－tan α－β tan β ＝ －3 4 ＋4 3 1－ －3 4 ×4 3 ＝ 7 24 ，∴tan α＝ 7 24. 跟踪训练 1.设向量 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈ 0，π 2 . (1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值． 【解】 (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， 教师引导学生 及时总结，以帮助 学生形成完整的 认知结构。 引导学 生对所 学的知 识进行 小结，由 利于学 生对已 有的知 识结构 进行编 码处理， 加强理 解记忆， 提高解 题技能。 |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈ 0，π 2 ，从而 sin x＝1 2 ，所以 x＝π 6. (2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x＝ 3 2 sin 2x－1 2cos 2x ＋1 2 ＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ，当 x＝π 3 ∈ 0，π 2 时，sin 2x－π 6 取最大值 1，所以 f(x)的最大值为3 2. 归纳利用向量求解三角函数问题的一般思路 1．求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化 为三角函数关系式，利用同角三角函数关系式及三角 函数中常用公式求解． 2．求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再 求角． 3．解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化 与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转 化为三角函数问题． 考点二平面向量在解析几何中的应用 1.已知两定点 M(4,0)，N(1,0)，动点 P 满足|PM→ |＝2|PN→|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)若点 G(a,0)是轨迹 C 内部一点，过点 G 的直线 l 交 轨迹 C 于 A、B 两点，令 f(a)＝GA→ ·GB→ ，求 f(a)的取值 范围． 【解】 (1)设 P 的坐标为(x，y)，则PM→ ＝(4－x，－y)， PN→＝(1－x，－y)，∵动点 P 满足|PM→ |＝2|PN→|， ∴ 4－x 2＋y2＝2 1－x 2＋y2，整理得 x2＋y2 ＝4. (2)(a)当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x＝a， 不妨设 A 在 B 的上方，直线方程与 x2＋y2＝4 联立， 可得 A(a， 4－a2)，B(a，－ 4－a2)，∴f(a)＝GA→ ·GB→ ＝(0， 4－a2)·(0，－ 4－a2)＝a2－4； (b)当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为 y＝k(x－ a)，代入 x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2 －4)＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2ak2 1＋k2 ， x1x2＝k2a2－4 1＋k2 ，∴f(a)＝GA→ ·GB→ ＝(x1－a，y1)·(x2－a， y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4. 由(a)(b)得 f(a)＝a2－4，∵点 G(a,0)是轨迹 C 内部一点， ∴－2