【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第7节正弦定理、余弦定理应用举例学案 15页

第七节　正弦定理、余弦定理应用举例 ‎1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图371①)．‎ ‎①　　　　　　　　　　　②‎ 图371‎ ‎2．方位角和方向角 ‎(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图371②)．‎ ‎(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(4)如图372，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　)‎ 图372‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)‎ A．10 n mile　　　　　　 B. n mile C．5 n mile D．5 n mile D　[如图，在△ABC中，‎ AB＝10，∠A＝60°，‎ ‎∠B＝75°，∠C＝45°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝5.]‎ ‎3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ B　[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]‎ ‎4．如图373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距‎500 m，则电视塔的高度是(　　)‎ A．‎100 m B．‎‎400 m C．‎200 m D．‎‎500 m 图373‎ D　[设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]‎ ‎5．如图374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎25 m C．‎25 m D．‎50 m 图374‎ D　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝‎50 m．]‎ 测量距离问题 ‎　如图375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ ‎ ‎ 图375‎ ‎60　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.‎ 在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.‎ 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，‎ ‎∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m，‎ 由正弦定理＝，得 ＝，即＝，‎ 解得BC＝≈60(m)．]‎ ‎[规律方法]　应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：‎ ‎(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；‎ ‎(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；‎ ‎(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．‎ ‎[变式训练1]　江岸边有一炮台高‎30 m ‎，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【导学号：51062125】‎ ‎10　[如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝＝ ‎＝10(m)．]‎ 测量高度问题 ‎　如图376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.‎ 图376‎ ‎100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ‎＝100(m)．]‎ ‎[规律方法]　1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．‎ ‎2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．‎ ‎[变式训练2]　如图377，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为‎35米，则这个电视塔的高度为________米. 【导学号：51062126】‎ 图377‎ ‎5　[如图，‎ 可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，‎ ‎∠OBC＝45°，AB＝35米．‎ 设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．‎ 在△ABO中，由余弦定理，‎ 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，‎ 即352＝＋x2－x2·cos 150°，‎ 整理得x＝5，‎ 所以此电视塔的高度是5米．]‎ 测量角度问题 ‎　在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？‎ ‎[解]　设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.‎ 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.4分 根据余弦定理，可得 BC＝ ‎＝，‎ 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直.8分 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°，又＝，‎ 即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时.14分 ‎[规律方法]　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎[变式训练3]　如图378，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 图378‎ ‎[解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.4分 由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.8分 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝.14分 ‎[思想与方法]‎ 解三角形应用题的两种情形 ‎(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.‎ ‎2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．‎ 课时分层训练(二十一)　‎ 正弦定理、余弦定理应用举例 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ 图379‎ A．a km 　　　　　　 B.a km C.a km D．‎2a km B　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，‎ ‎∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.]‎ ‎2．如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ ‎ 【导学号：51062127】‎ 图3710‎ A．北偏东10°‎ B．北偏西10°‎ C．南偏东80°‎ D．南偏西80°‎ D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]‎ ‎3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 A　[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．]‎ ‎4．如图3711，一条河的两岸平行，河的宽度d＝‎0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝‎1 km，水的流速为‎2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 (　　)‎ 图3711‎ A．8 km/h B．‎6 km/h C．‎2 km/h D．‎‎10 km/h B　[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/‎ h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.]‎ ‎5．如图3712，两座相距‎60 m的建筑物AB，CD的高度分别为‎20 m、‎50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)‎ 图3712‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ B　[依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，‎ 又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ‎＝＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]‎ 二、填空题 ‎6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走‎10米后，拐弯往另一方向行走‎14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米. 【导学号：51062128】‎ ‎16　[如图所示，设BD＝x m，‎ 则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]‎ ‎7．如图3713，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：51062129】‎ 图3713‎ ‎10　[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．]‎ ‎8．如图3714所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．‎ 图3714‎ 　[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．]‎ 三、解答题 ‎9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为‎80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD ‎＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)‎ 图3715‎ ‎[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.4分 在△ABC中，＝，‎ ‎∴BC＝＝＝40.8分 在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°‎ ‎＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.‎ ‎∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒. 14分 ‎10．如图3716，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ 图3716‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值. 【导学号：51062130】‎ ‎[解]　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.4分 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.8分 ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，10分 即sin α＝＝＝.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 (　　)‎ A．‎50 m B．‎‎100 m C．‎120 m D．‎‎150 m A　[设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是‎50 m．]‎ ‎2．如图3717，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ 图3717‎ ‎150　[根据图示，AC＝‎100 m.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ ‎∴MN＝100×＝150(m)．]‎ ‎3．如图3718已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝‎100米和BN＝‎200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了‎100‎米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．‎ 图3718‎ ‎[解]　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，4分 又PQ＝100，‎ ‎∴△PQM为等边三角形，‎ ‎∴QM＝100.8分 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.‎ 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，‎ ‎∴BQ＝100，cos θ＝.12分 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，‎ ‎∴BA＝100.‎ 即两发射塔顶A，B之间的距离是100米.14分