数学理卷·2019届广西陆川县中学高二下学期开学考试（2018-03） 9页

广西陆川县中学2018年春季期高二开学基础知识竞赛试卷 理科数学 ‎（命题人：覃永格 审题人：吴东）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在数列1，2，，，，…中，是这个数列的第（ ）‎ A. 16项 B. 24项 C. 26项 D. 28项 ‎2．在中，若则的形状一定是（）‎ A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 ‎3．“ ”是“方程 表示椭圆”的(　　)‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽( )米 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若两点 ， ，当||取最小值时， 的值等于(　　)‎ ‎ A．19 B．－ C． D． ‎7．已知命题p:∃ ，,命题q: ,则(　　)‎ ‎ A．命题p∨q是假命题 　　　 　B．命题p∧q是真命题 ‎ C．命题p∧()是真命题 　 　D．命题p∨()是假命题 ‎8．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1‎ 的一个交点，则cos∠F1PF2的值是(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　) ‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面 ‎ 的距离为(　　) ‎ ‎ A． B． C． D． ‎11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ‎ ,则＝（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为 .‎ ‎14. 设，若，则的最小值为 .‎ ‎15. 在正四面体中，分别是和的中点，则异面直线和所成角为__________．‎ ‎16. 数列是正数列，且，则 ‎= .‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分10分）‎ 已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程.‎ ‎18．（本大题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 ‎(1)求a，b的值与函数f（x）的单调区间 ‎(2)若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）f（2）＝2＋c 解得c<－1或c>2‎ ‎19（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，平面．‎ 连结，在正方形中，分别为的中点， ，．‎ 在正方形中，，平面．‎ ‎（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，‎ 连结，由（Ⅰ）得平面．‎ ‎，为二面角的平面角．‎ 在中，由等面积法可求得，‎ 又， ．‎ 所以二面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）中，，．‎ 在正三棱柱中，到平面的距离为．‎ 设点到平面的距离为．‎ 由得，．‎ 点到平面的距离为．‎ 解法二：（Ⅰ）取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 在正三棱柱中，平面平面，平面．‎ 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立 空间直角坐标系，则，，，，，‎ x z A B C D O F y ‎，，．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 令得为平面的一个法向量．‎ 由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．‎ ‎，．所以二面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．‎ ‎ 点到平面的距离 ‎20(（本小题满分12分）解（I）取CE中点P，连结FP、BP，‎ ‎∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=‎ 又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，‎ ‎∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。‎ 又∵AF平面BCE，BP平面BCE，‎ ‎∴AF//平面BCE。 ‎ ‎ （II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE//AB，‎ ‎∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，‎ ‎∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE。 ‎ 又BP//AF，∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。‎ ‎ （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0）， ‎ ‎ ‎ 显然，为平面ACD的法向量。‎ 设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 ‎，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。‎ ‎21（本小题满分12分）解：(1)依题意知,    ‎ ‎∵,∴．∴所求椭圆的方程为． ‎ ‎（2）∵ 点关于直线的对称点为，‎ ‎∴  ……………………………………………8分 解得：，．……………………………………………10分 ‎∴．∵ 点在椭圆:上,∴, 则．‎ ‎∴的取值范围为．……………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）解：（I）‎ ‎ 因为上为单调增函数，‎ 所以上恒成立.‎ 所以a的取值范围是 ‎ 即证只需证 ‎ 由（I）知上是单调增函数，又，‎ 所以 ‎