【数学】2020届一轮复习人教B版数系的扩充与复数的概念(理）学案 8页

‎ 数系的扩充和复数的概念 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。‎ ‎2．理解复数相等的充要条件。‎ ‎3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一：复数的基本概念 ‎1.虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即。‎ 要点诠释：‎ ‎①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；‎ ‎②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。‎ ‎2. 复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）；‎ 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。‎ 要点诠释：‎ 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.‎ ‎3.复数的分类 对于复数（）‎ 若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。‎ 分类如下：‎ ‎（）‎ 用集合表示如下图：‎ ‎4.复数集与其它数集之间的关系 ‎（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）‎ 要点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：‎ 如果，那么 特别地：.‎ 要点诠释：‎ ① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.‎ ② ‎ 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有 a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．‎ ③ ‎ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.‎ ④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．‎ 要点三：复数的几何意义 ‎1. 复平面、实轴、虚轴：‎ 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.‎ 要点诠释：‎ 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.‎ ‎2.复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。‎ 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义。‎ ‎3.复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。‎ 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。‎ 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义。‎ ‎4.复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.‎ 即.‎ 要点诠释：‎ ‎①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.‎ ‎②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、复数的基本概念 ‎ 例1．请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？‎ ‎【解析】 的实部是2，虚部是3. 的实部是－3，虚部是.‎ 的实部是0，虚部是－. 的实部是，虚部是.‎ 纯虚数为。‎ ‎【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ ‎ ‎【答案】 实部是3.14，虚部是－2.‎ 注意：易错的结果为：实部是－2，虚部是3.14 。‎ ‎【变式2】以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是________．‎ ‎【答案】的虚部为2，的实部为-2，所以新复数为2－2i 。‎ 例2． 已知复数，试求实数a分别取什么值时，z为：‎ ‎ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．‎ ‎【思路点拨】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.‎ ‎【解析】（1）当z为实数时，则，‎ ‎ ∴，故a=6，‎ ‎∴当a=6时，z为实数．‎ ‎ （2）当z为虚数时，‎ 则有，∴，‎ ‎∴a≠±1且a≠6，‎ ‎ ∴当a∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数．‎ ‎（3）当z为纯虚数时，则有，∴，‎ ‎∴不存在实数a使z为纯虚数． ‎ ‎ 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】由复数为纯虚数，得，解得，故选A．‎ ‎【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】‎ ‎【变式2】 当实数取何值时，‎ 复数，表示 ‎（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ‎【答案】（1），则，即或.‎ ‎（2）表示虚数，则，即且.‎ ‎（3）表示纯虚数，则，所以.‎ ‎【变式3】设复数，m∈R，当m为何值时，（1）z是实数；‎ ‎（2）z是纯虚数．‎ ‎【答案】（1）要使z是实数，‎ 则需m=―1或m=―2，所以当m=－1或m=－2时，z是实数．‎ ‎ （2）要使z是纯虚数，‎ ‎ 则需，所以m=3时，z是纯虚数．‎ 类型二、复数相等 例3.　已知，其中，求与.‎ ‎【思路点拨】因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.‎ ‎【解析】根据复数相等的定义，得方程组，所以，‎ ‎【总结升华】两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.‎ 即两个方程组，通过解方程组求出x与y．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知x2―y2+xyi =7+12i，求x+yi的值（x，y∈R）．‎ ‎ 【解析】 由题意知，解得 或 ．‎ 所以x+yi的值为4+3i或－4－3i．‎ ‎【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】‎ ‎【变式2】，复数与复数相等，求x,y ‎ 【答案】，所以，解得.‎ 类型三、复数的几何意义 例4. 当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i ‎ ‎(1) 为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。‎ ‎【思路点拨】根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.‎ ‎【解析】（1）若z为纯虚数，则解得m=3‎ ‎（2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2‎ ‎（3）若z的对应点在第二象限，则解得-1