电工技术基础——电力生产人员技能培训 212页

电力生产人员技能培训 电路基础部分（二） 正弦稳态电路的功率 一、瞬时功率 N + u - i 一端口内部不含独立电 源，仅含电阻、电感和 电容等无源元件。 它吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积 p =u i 在正弦稳态情况下 ，设 2 U cos( ω t + ψ u ) 2 I cos( ω t + ψ i ) u = i = 瞬时功率 p = 2 I cos( ω t + ψ i ) 2 U cos( ω t + ψ u ) × u u + ψ i ) − ψ i ) + UI cos( 2 ω t + ψ = UI cos( ψ 令 ϕ = ψ u − ψ i 为电压和电流之间的相位差 p = UI cos ϕ + UI cos( 2 ω t + ψ u + ψ i ) 瞬时功率有两个分量： 第一个为 恒定 分量，第二个为 正弦 分量。 p = UI cos ϕ {1 + cos[ 2 ( ω t + ψ u )]} + UI sin ϕ sin( 2 ω t + ψ u ) 第一项是 不可逆 部分； 第二项是 可逆 部分，说明能量在外施电源与一 端口之间来回交换。 ∫ 0 pdt 二、平均功率 又称 有功功率 ，是指瞬时 功率在一个周期内的平均值。 P = 1 T T = 1 T T ∫ 0 UI [cos ϕ + cos( 2 ω t + ψ u + ψ i )] dt λ = cos ϕ = U I cos ϕ 单位：瓦（ W ） 电阻 R 电感 L ϕ = 0 ϕ = 90 ° λ =1 λ =0 P R = UI = I 2 R = GU 2 P L = 0 电容 C ϕ = − 90 ° λ =0 P C = 0 定义： 功率因数 三、无功功率 def Q = UI sin ϕ 反映了内部与外部往返交换能量的情况。 单位：乏（ Var) 电阻 R 电感 L ϕ = 0 ϕ = 90 ° U 2 ω L Q R = 0 Q L = UI = ω LI 2 = 电容 C 1 ω C I 2 = − ω CU 2 ϕ = − 90 ° Q C = − UI = − S = P + Q 四、视在功率 def S = UI 电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。 单位：伏安（ VA ） 有功功率 P 、无功功率 Q 和视在功率 S 存在下列关系： P = S cos ϕ Q = sin ϕ 2 ) Q P 2 ϕ = arctan( 例：测量电感线圈 R 、 L 的实验电路，已知电压 表的 读数为 50V ，电流表的读数为 1A ，功率表读数为 30W ，电源的频率 f =50Hz 。试求 R 、 L 之值。 + V A * * W 电 感 线 圈 • U S - + • U - • I 解：可先求得线圈的阻抗 Z = Z / ϕ = R + j ω L U I Z = =50 Ω UI cos ϕ = 30 ϕ = 53.13 ° Z = R + ( ω L ) 解得： Z = 50 / 53.13 ° Ω =30 + j40 Ω R = 30 Ω 40 ω L = 另一种解法 2 R = 30 Ω 2 2 而 故可求得： ω L = 50 2 − 30 2 = 40 Ω = 127 mH ω = 2 π f = 314 rad/s 设一个一端口的电压相量为，电流相量为， U I • = I U S • 的共轭复数 是 式中 I I §9.6 复功率 一、复功率 • • * def • • * = UI / ψ u − ψ i = UI cos ϕ + jUI sin ϕ = P + j Q 复功率定义为 二、有功分量和无功分量 一个不含独立电源的一端口可以用等效阻抗 Z 表示。 • U U a • U r • I R e • ϕ jX e • U • U a • U r • I 相量图 • • • U a 与电流 I 同相称为 U 的有功分量 U a = U cos ϕ 而有功功率 P = UI cos ϕ = U a I ϕ • U • U a • U r • I • • • U r 与 I 正交 , 称为 U 的无功分量 U r = U sin ϕ 而无功率 Q = UI sin ϕ = U r I 复功率可写为 • • * * 其中 Z = R e + jX e ϕ • U • U a • U r • I • U G e jB e 一个不含独立电源的一端口可以用等效导纳 Y 表示。 • I • • • I a 与电压 U 同相称为 I 的有功分量 I a = I cos ϕ • • • I r 与 U 正交 , 称为 I 的无功分量 U r = U sin ϕ • • S = U I = U ( UY ) = U Y Y = G e − jB e Q = UI r 复功率可写为 • • * * * 2 其中 这样 P = UI a Y = G e + jB e * 可以证明 正弦电流电路中总的有功功率 是电路各部分有功功率之和， 总的无功功率是电路各部分无功功率之和， 即有功功率和无功功率分别守恒。 电路中的复功率也守恒， 但视在功率不守恒。 三、功率因数的提高 P = UI cos ϕ cos ϕ 是电路的 功率因数。 电压与电流间的相位差或电路的功率因数 决 定于电路（负载） 的参数。 只有在电阻负载的情况下，电压和电流才同 相，其功率因数为 1 。 对于其他负载来说，其功率因数均介于 0 与 1 之间。 功率因数不等于 1 时，电路中发生 能量互换 ， 出现无功功率。这样引起下面两个问题： 1 、发电设备的容量不能充分利用 2 、增加线路和发电机绕组的功率 损 耗 提高功率因数的意义 R j ω L • U • I • I 1 • I 2 1 j ω C • U • I 1 I 2 • I ϕ 1 • ( I 2 ) • ( I ) ϕ ϕ O • • I 2 = j ω C U 提高功率因数的常用方法： 与电感性负载并联静电电容器。 • • U • I 2 • I ϕ 1 ϕ • I 1 O • • I 2 = j ω C U I 2 = ω CU I 2 C = ω U 并联电容 C 的计算 I 2 = I 1 sin ϕ 1 − I sin ϕ 提高功率因数，是指提高 电源或电网 的功率因 数， 而 不是 指 提高某个 电感性负载 的功率因数。 并联电容后并 不改变 原负载的工作状况， 所以电 路的有功功率并没有改变， 只是 改变 了电 路的 无功 功率，从而使功率因数 得到提高。 提高功率因数的含义 I 2 例：正弦电压为 50Hz ， 380V ，感性负载吸收的功率 为 20kW ，功率因数 0.6 。若使电路的功率因数提高到 0.9 ，求在负载的两端并接的电容值 。 I 2 = I 1 sin ϕ 1 − I sin ϕ I 1 = 87.72A cos ϕ 1 = 0 .6 ϕ 1 = 53 .13 ° P = UI cos ϕ cos ϕ = 0 .9 I = 58.48 A ϕ = 25 .84 ° = 44.69 A C = = 375 μ F ω U 解： P = UI 1 cos ϕ 1 • U • I 1 • I 2 • I ϕ 1 ϕ O 串联电路的谐振 谐振现象的研究有重要的实际意义。 一方面谐振现象得到广泛的应用， 另一方面在某些情况下电路中发生谐振会破坏 正常工作。 一、 RLC 串联电路 • U • I R j ω L 1 j ω C ) 1 ω C Z ( j ω ) = R + j ( ω L − ω 0 1 ω C − ω X ( ω ) O O + j +1 ω ϕ |Z| ω L X ( ω ) ) 1 ω C Z ( j ω ) = R + j ( ω L − 电抗随频率变化 的特性曲线 阻抗随频率变化时在 复平面上表示的图形 二、串联谐振的定义 由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用， 所以，当 ω = ω 0 时，出现 X( ω 0 ） =0 ， 这时端口上的 电压与电流同相 ， 工程上将电路的这种工作状况称为 谐振 ， 由于是在 RLC 串联电路中发生的 ，故称为串联谐振。 三、串联谐振的条件 Im [ Z( j ω ) ] = 0 = 0 1 ω 0 C ω 0 L − ) 1 ω C Z ( j ω ) = R + j ( ω L − 1 2 π LC f 0 = 频率 谐振频率又称为电路的 固有频率 ， 是由电路的结构和 参数决定的。 串联谐振频率只有一个， 是由串联电路中的 L 、 C 参数 决定 的， 而与串联电阻 R 无关。 四、谐振频率 Im [ Z( j ω ) ] = 0 = 0 1 ω 0 L − ω 0 C 1 角频率 ω 0 = LC 五、谐振的特征 1 、阻抗 ) 1 ω C Z ( j ω ) = R + j ( ω L − = R 谐振时阻抗为 最小 值。 U | Z | 2 、电流 I = U R = 在输入电压有效值 U 不变的情况下，电流为 最大 。 3 、电阻电压 U R = RI = U 实验时可根据此特点判别串联谐振电路发 生谐振与否。 ω O 六、谐振曲线 除了阻抗 Z 和频率的特性外，还应分析电流和电 压随频率变化的特性，这些特性称为 频率特性 ，或称 频率响应 ，它们随频率变化的曲线称为谐振曲线。 I ( ω ) ω 0 七、品质因数 谐振时有 • • U L + U C = 0 所以串联谐振又称为 电压谐振 。 串联谐振电 路的品质因数 U L ( ω 0 ) U Q = U C ( ω 0 ) U = ω 0 L R = 1 ω 0 CR = 1 L R C = 如果 Q>1 ，则有 U L = U C > U 当 Q>>1 ，表明在 谐振时或接近谐振时 ，会在电感和 电容两端出现大大高于外施电压 U 的高电压，称为 过 电压现象 ，往往会造成元件的损坏。 但谐振时 L 和 C 两端的等效阻抗为零（相当于 短路 ）。 Q C ( ω 0 ) = − Q L ( ω 0 ) = ω 0 LI 八、功率 谐振时，电路的无功功率为零，这是由于阻抗角为 零， 所以电 cos 的功率因数 λ = 路 ϕ = 1 1 P ( ω 0 ) = UI λ = UI = U m I m 2 2 I 2 1 ω 0 C 整个电路的复功率 S = P + j ( Q L + Q C ) = P Q L ( ω 0 ) + Q C ( ω 0 ) = 0 谐振时电路不从外部吸收无功功率 但 Q L ( ω 0 ), Q C ( ω 0 ) 分别 不等于零 。 Li + Q = R C 2 1 2 1 2 Cu C 2 W ( ω 0 ) = 谐振时，有 2 U R cos( ω 0 t ) i = u C = 2 QU sin( ω 0 t ) 并有 2 1 L 2 但电路内部的电感与电容之间周期性地进行磁场能 量和电场能量的 交换 ， 这一能量的总和为 = CQ U CQ U m L R 2 U 2 cos 2 ( ω 0 t ) + CQ 2 U 2 sin 2 ( ω 0 t ) W ( ω 0 ) = 2 2 2 2 1 2 = = 常量 所以能量的总和 另外还可以得出 Q = ω 0 W ( ω 0 ) / P ( ω 0 ) 串联电阻的大小虽然不影响串联谐振电路的固有频 率， 但有 控 制和调节 谐振时电流和电压 幅度 的作用。 1 ω C Z ( j ω ) = R + j ( ω L − 九、通用谐振曲线 为了突出电路的频率特性，常分析输出量与输入 量之比的频率特性。 U R ( ω ) / U 、 U L ( ω ) / U 、 U C ( ω ) / U 而这些电压比值可以用分贝表示 dB = 20 log A 令 η = ω / ω 0 将电路的阻抗 Z 变换为下述形式 ⎡ 1 ⎤ ) = R ⎢ 1 + jQ ( η − ) ⎥ ⎣ η ⎦ U 2 1 1 + Q ( η − ) η U R ( η ) = = 1 2 1 1 + Q ( η − ) η U R ( η ) U 上述关系式可以用于不同的 RLC 串联谐振电路， 它们都 在同一个坐标（ η ）下，根据 Q 取值不同，曲线 将仅与 Q 值有关，并明显地看出 Q 值对谐振曲线形状的 影响。 下图给出 3 个不同 Q 值的谐振曲线， 该谐振曲线称为 通用谐振曲线 。 Q 1 < Q 2 < Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 O U R / U η = ω / ω 0 1 十、电路的选择性 串联谐振电路对偏离谐振点的输出有抑制能 力，只有在谐振点附近的频域内，才有较大的输出幅 度，电路的这种性能称为 选择性 。 Q 1 < Q 2 < Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 O U R / U η = ω / ω 0 1 Q 值大，曲线在谐振点附近的形状尖锐， 当稍偏离谐振频率，输出就急剧下降， 说明对非谐振频率的输入具有较强的抑制能力， 选择性能 好 。 反之， Q 值小，在谐振频率附近曲线顶部形状平缓， 选择性就 差 。 电路选择性的优 劣取决于对非谐振频率 的输入信号的 抑制能力 。 Q 1 < Q 2 < Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 O U R / U η = ω / ω 0 1 通频带 工程中为了定量地衡量选择性，常用发生 1 2 = U R ( ω ) U = 0.707 时的两个频率 ω 1 和 ω 2 之间的差说明。 这个频率差称为 通频带 。 O Q 1 < Q 2 < Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 η = ω / ω 0 η 1 1 η 2 U R / U 0.707 L 3 : 将选择 的信号送 串 联谐振应用举例 收音机接收电路 L 1 L 2 L 3 C L 1 : 接收天线 L 2 与 C ：组成谐振电路 接收电路 L 1 L 2 L 3 C 组成谐振电路 ，选出所需的电台。 L 2 - C e 1 、 e 2 、 e 3 为来自 3 个不同电台（不同频率） 的电动势信号； C L 2 R L 2 e 1 e 2 e 3 ( 2 π × 820 × 10 ) 1 3 2 = 150 pF ⋅ 250 × 10 − 6 C = 问题 ：如果要收听 已知： L 2 = 250 µ H 、 R L 2 = 20 Ω C 1 e 2 2 π L 2 C 1 C = 2 结论： 当 C 调到 150 pF 时，可收听到 e 1 的节目。 • U 并联谐振电路 一、 GLC 并联电路 • I • I S • I G G • I L 1 j ω L • I C j ω C 二、并联谐振的定义 • • 端口上的电压 U 与输入电流 I 同相时的工作状况称为谐振 . 由于发生在并联电路中，所以称为 并联谐振 。 三、并联谐振的条件 Im[ Y ( j ω 0 )] = 0 ) 1 ω 0 L 四、谐振频率 Y ( j ω 0 ) = G + j ( ω 0 C − 可解得谐振时 1 角频率 ω 0 = LC 1 频率 f 0 = 2 π LC 该频率称为电路的固有频率。 五、并联谐振的特征 1 、输入导纳最小 1 ω 0 L ) = G Y ( j ω 0 ) = G + j ( ω 0 C − 或者说输入阻抗最大 Z ( j ω 0 ) = R 2 、端电压达最大值 U ( ω 0 ) = Z ( j ω 0 ) I S = RI S 可以根据这一现象 判别 并联电路谐振与否。 六、品质因数 • • I L ( ω 0 ) I S Q = I C ( ω 0 ) I S = ω 0 C G = 1 ω 0 LG = C L 1 G = 如果 Q>>1 ，则 谐振时在电感和电容中会出现过电 流， 但从 L 、 C 两端看进去的等效电纳等于零， 即阻抗为无限大， 相 当于 开路 。 七、功率和能量 谐振时无功功率 U 2 1 ω 0 L Q L = Q C = − ω 0 CU 2 所以 Q L + Q C = 0 表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场 能量彼此相互交换，两种能量的总和为 W ( ω 0 ) = W L ( ω 0 ) + W C ( ω 0 ) = LQ 2 I S 2 = 常数 − j 2 ω 0 C − 2 八、电感线圈和电容并联的谐振电路 R j ω L • I S + • U _ • I 1 • I 2 1 j ω C 谐振时，有 Im[ Y ( j ω 0 )] = 0 1 Y ( j ω 0 ) = j ω 0 C + R + j ω 0 L 2 ω 0 L R + ( ω 0 L ) 2 R = j ω 0 C + 2 R + ( ω 0 L ) 2 = 0 ω 0 L R + ( ω 0 L ) 故有 由上式可解得 CR 2 L 1 LC 1 − ω 0 = CR 2 L 1 LC 1 − ω 0 = 显然，只有当 1 − CR 2 L L C > 0, 即 R < 时 , ω 0 才是实数 , 时 , 电路不会发生谐振 . L C 所以 R > • I S + • _ U • I 1 R j ω L • I 2 1 j ω C O • U • I 2 • I S ϕ 1 • I 1 I 2 = I 1 sin ϕ 1 = I S tan ϕ 1 当电感线圈的阻抗角 φ 1 很大， 谐振时有 过电流 出现在 电感支路和电容中。 九、复谐振 1 、求端口阻抗 Z ，找 ω 串 求端口导纳 Y ，找 ω 并 (X = 0 时 ) (B = 0 时 ) 2 、求 Z Z = R + jX A B X = ω 串 ω 并 （ 1 ）串联谐振时， X = 0 ， A = 0 （ 2 ）并联谐振时， X = ∞ ， B = 0 1 j ω C j ω L 1 + j ω L 2 左边支路的阻抗为 右边支路的阻抗为 C L 1 L 2 A B Z AB = 1 j ω C 1 j ω C ( j ω L 1 + j ω L 1 + ) × j ω L 2 + j ω L 2 1 ω L 2 ( ω L 1 − ) ω C 1 ω L 1 + ω L 2 − ω C 1 = j 发生串联谐振时，分子 = 0 发生并联谐振时，分母 = 0 1 L 1 C 1 ( L 1 + L 2 ) C ω 串 = ω 并 = 例： 谐振滤波器 消除噪声 1 2 π LC 令滤波器工作在噪声频率下， 即可消除噪声。 f 0 = f N = ̇ S E （ ω s ) --- 信号源 E （ ω N ） --- 噪声源 ̇ N 已知： 利用谐振进行选频、滤波。 C 接 收 网 络 r E ̇ S E ̇ N L 谐振 滤波器 1 提取信号 令滤波器工作在 f S 频率下， 信号即可顺利地到达接收网 络。 f 0 = f S = 2 π LC ̇ S ̇ N 已知： E （ ω s ) --- 信号源 E （ ω N ） --- 噪声源 r E ̇ S E ̇ N 接 收 网 络 L 谐振 滤波器 C L 2 分析（一）：抑制噪声 I ̇ I ̇ L 2 I ̇ C 信号被滤掉了 E ̇ N = f N 1 L 2 C 令： f 0 = 消除噪声 提取信号 接 收 网 络 E ̇ S E ̇ N C L 1 谐振 滤波器 L 2 I ̇ L 1 分析（二）： 提取信号 I ̇ C 接 收 网 络 E ̇ S E ̇ N C L 1 谐振 滤波器 则信号全部降落在接收网络上。 ̇ ̇ I ̇ C U C U L 1 I ̇ L 2 f S 下 U ̇ C + U ̇ L 1 = 0 I ̇ L 1 U ̇ L 1 若在 f S > f N U ̇ C I ̇ L 2 三相电路 一、对称三相电源 对称三相电源是由 3 个 等幅值 、 同频率 、 初相 依次相差 120° 的正弦电压源连接成星形或三角形 组成的电源。 - u A + A u B + B u C - + C N N - + - - + u A - + u B u C A B C 星形接法 三角形接法 - u A + A u B + B u C - + C N N - + - - + u A - + u B u C A B C 星形接法 三角形接法 星形接法中，电压源的参考方向是以 中点处为 负； 三角形接法中，电压源的连接是顺次相接形成 一个回路， 如果接错，将可能形成很大的环形电流。 O ω t u A u B u C 3 个电源依次称为 A 相、 B 相和 C 相，它们的电压为： u A = 2 U cos( ω t ) u B = 2 U cos( ω t − 120 ° ) u C = 2 U cos( ω t + 120 ° ) u A + u B + u C = 0 u • = α 2 U A 它们对应的相量形式为 • α = 1 / 120 ° 是工程上为了方便而引入的 单位相量算子 。 120° 120° 120° • U A • U C • U B U A = U / 0 ° • U B = U / − 120 ° • • U C = U / 120 ° = α U A • • • U A + U B + U C = 0 二、三相电压的相序 上述三相电压的相序（次序） A 、 B 、 C 称为 正序 或顺序。 与此相反，如 B 相超前 A 相 120° ， C 相超前 B 相 120° ， 这种相序称为 反序 或 逆序 。 电力系统一般采用正序。 三、三相电路的基本概念 1 、端线： 从 3 个电压源正极性端子 A 、 B 、 C 向外引出的 导线。 2 、中线： 从中（性）点 N 引出的导线。 3 、线电压： 端线之间的电压。 4 、相电压 电源每一相的电压，或负载阻抗的电压。 5 、线电流 端线中的电流。 6 、相电流 各相电源中的电流或负载阻抗的电流。 u A 相电 压 u AB 线电压 i A 线电流 又是相电流 u A 相电压 又是线电压 i A 线电流 i AB 相电流 - u A + A u B u C + B + C N N - - + - - + u C A B C i A i A u A - i AB + u B 四、电源和负载的连接 1 、负载的连接方式 负载也可以连接成星形或三角形。 当三相阻抗相等时，就称为 对称三相负载 。 2 、三相电路 从对称三相电源的 3 个端子引出具有相 同阻抗 的 3 条 端线（或输电线），把一些对称三相负载连接 在端线上就形成了 对称三相电路 。 实际三相电路中，三相电源是对称的， 3 条端 线阻抗是相等的，但 负载 则 不 一定是对称 的。 3 、三相电路的连接方式 三相电源为星形电源，负载为星形负载，称 为 Y-Y 连 接方式； 三相电源为星形电源，负载为三角形负载， 称为 Y- △ 连 接方式； 此外还有 - Y 连接方式和 △ - △ 连接方式。 - - - u A u B u C + A + B + C N Z l Z l Z l A’ B’ C’ Z Z Z N’ Y-Y 连接方式 Z N Z l 是端线的阻抗。 有中线时，称为 三相四线 制， 也称为 Y 0 接法 _ _ _ N + A + B + C U A • U B • U C • I A • I B • I C Z l Z l Z l C’ Z Z A’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' Y- 连接方式 • 线电压 ( 电流 ) 与相电压 ( 电流 ) 的关 系 三相电源的线电压和相电压、线电流和相电流 之间的关系都与连接方式有关。对于三相负载也是 如此。 一、线电压与相电压的关系 1 、星形连接 u A u B u C + A + B + C N - N - - 相电压为 U A U B U C U AB = U A - U B U BC = U B - U C U CA = U C - U A • • • • • • ( 或 U AN U BN U CN ) • • • • • • • • • u A u B u C + A + B + C N • • • 对于对称星形电源，依次设其线电压为 U AB U BC U CA - N - - U BN • • U CN • N U AN A B C • U AB • U CA • U BC 电压相量图 线电压与对称相电压之间的关系可以用图示电 压正三角形说明， 相电压对称时，线电压也一定依序对称， 线电压是相电压的 3 倍， 依次 超前 相应相电压的相位为 30° 。 实际计算时，只要算出一相就可以依序写出其 余两相。 u A u B u C + A + B + C N • • 2 • • • • • 2 • • • • • 2 - N - - • U AB = U A • • • • U BC = U B U CA = U C • 3 、 对 称 星形负载和三角形 负载 以上有关线电压和相电压的关系同样适用。 + - - + u A - + u B u C 2 、三角形电源 A B C _ _ + + N B C • I A • I B • I C _ U A + A 二、线电流和相电流的关系 1 、星形连接 线电流显然 等于 相电流。 2 、三角形连接 • • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ C’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' _ _ _ N + A + B + C • I A • I B • I C U A • • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' C’ • • • I A = I A ' B ' - I C ' A ' • • • I B = I B ' C ' - I A ' B ' • • • I C = I C ' A ' - I B ' C ' • I A • I A ' B ' • • I C I B ' C ' • I C ' A ' 电流相量图 • I B 线电流与对称的三角形负载相电流之间的关系 可以用图示电流正三角形说明， 相电流对称时，线电流也一定对称， 线电流是相电流的 3 倍， 依次 滞后 相应相电流的相位为 30° 。 实际计算时，只要算出一相就可以依序写出其 余两相。 _ _ _ N + A + B + C • I A • I B • I C U A • • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' C’ • • • • • 2 • • • • • 2 • • • • • 2 电源和负载的连接方式 三相电源 380V/220V 对应连接方式为 Y/ 三相电路中的 额定电压 是指电路的 线 电压 。 1 、现有白炽灯三相负载 U N =220V Y-Y Y- △ -Y △ - △ 负载连接成 Y 接，电路应 连接成 负载连接成△接，电路应连接成 Y-Y △ - △ 2 、如白炽灯 U N =127V 电路应连接为 3 、如白炽灯 U N =380V 电路应连接为 -Y Y- △ 对称三相电路的计算 三相电路实际上是 正弦电流电路 的一种特殊 类型。 因此，前面对正弦电流电路的分析方法对三 相电路完全适用。 根据三相电路的一些特点，可以简化对称三 相电路分析计算。 一、对称三相四线制电路 - - u A u C + A + C N N - u B + B A’ B’ C’ Z l Z l Z l Z N Z Z Z N’ - - U A • • U B • U C + A + B + C N - A’ B’ C’ Z l Z l Z l Z N Z Z Z N’ • I A • I B • I C • I N N 以 N 为参考结点 ( 1 Z N • • • ( U A + U B + U C ) 1 Z l + Z • ) U N ' N = 3 Z + Z l + 由于 所以 • • • U A + U B + U C = 0 • U N ' N = 0 × = α I A - U A • • U B + A + B • - U C + C N N - A’ B’ C’ Z l Z l Z l Z N Z Z Z N’ • I A • I B • I C • I N U A Z + Z l = • • • • I A = U A − U N ' N Z + Z l • • U B Z + Z l • I B = 2 • U C Z + Z l • I C = • = α I A 中线的电流为 • • • • I N = − ( I A + I B + I C ) = 0 所以在对称 Y-Y 三相电路中 ，中线如同 开路 。 • • • • I N = I A + I B + I C = 0 - U A 三相电路归结为一相的计算方法 由于 U N’N =0 ，各相电流独立，彼此无关； 又由于三相电源、三相负载对称，所以相电 流构成对称组。 因此，只要分析计算三相中的任一相，而其 他两相的电压、电流就能 按对称顺序 写出。 • N A’ Z l Z N’ • + A I A Z N 二、其他连接方式的对称三相电路 可以根据星形和三角形的等效互换。 化成对称的 Y-Y 三相电路， 然后用归结为一相的计算方法。 注意： 在一相计算电路中，连接 N 、 N’ 的是 短路线 ， 与中线阻抗 Z N 无关。 _ _ _ N + A + B + C • I A • I B • I C U A • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ C’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' 例： 对称三相电路， Z =(19.2+j14.4) Ω ， Z l =(3+j4) Ω ， 对称线电压 U AB =380V 。求负载端的线电压和线电 流。 • + _ _ _ N + A + B C • I A • I B • I C U A • • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ C’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' 解 : 该电路可以变换为对称的 Y-Y 电路 负载端三角形变 换为星形 Z' = Z 3 = = 6.4 + j 4.8 Ω 19.2 + j 14. 4 3 _ U A + A Z l B Z l Z’ Z l Z’ A’ Z’ B’ C’ • I A • I B • I C • • _ U B + • _ U C + C U A Z l + Z • 令 U A = 220/ 0 ° V 根据一相计算电路有 • • I A = = 17.1 /- 43.2°A • I B = 17.1/ − 163.2 ° A • I C = 17 . 1 / 76 . 8 ° A _ U A + A • • /-6.3° Z l Z’ B Z l Z’ Z l Z’ A’ B’ C’ • I A • I B • I C • • _ U B + • _ U C + C • • U A ' B ' = 3 U A ' N ' / 30 ° = 236.9 / 23.7 ° V • 根据对称性可写出： U B ' C ' = 236.9 / − 96.3 ° V • U C ' A ' = 236.9 / 143.7 ° V + U A ' B ' Z • _ _ _ N + A + B C • I A • I B • I C U A 根据负载端的线电压可以求得负载中的相电流， • • U B • U C Z l Z l Z l Z Z A’ C’ • I A ' B ' B’ • I B ' C ' Z • I C ' A ' = 9.9 /-13.2°A 也可以根据对称三角形连接，线电流和 相电流的关系来计算。 • I A ' B ' = • I B ' C ' = 9.9 / − 133.2 ° A • I C ' A ' = 9.9 / 106.8 ° A 不对称三相电路的概念 在三相电路中，只要有 一部分不对称 就称为不 对称三相电路。 例如，对称三相电路的某一条端线断开， 或某一相负载发生短路或开路， 它就失去了对称性，成为不对称的三相电路。 对于不对称三相电路的分析，不能引用上一节 介绍的方法。 • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B C Z C N N’ • U N ' N = Y A + Y B + Y C • 由于负载不对称，一般情况下 U N ' N ≠ 0 即 N’ 点和 N 点电位不同。 • • I C • • _ U C + • 一、三相三线制 • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B • I C N N’ U B • U A • C • U N ' N • _ U C + • • U CN ' U C • U BN ' Z C • U AN ' • U B • U C • U N ' N • U CN ' • U BN ' • U AN ' • U A 从相量关系可以看出， N’ 点和 N 点不重合，这一现象 称为 中点位移 。 在电源对称的情况下， 可以根据中点位移的情况判 断负载端不对称的程度。 当中点位移较大时，会造成负载端的电压严重 的不对称，从而可能使负载的工作不正常。 另一方面，如果负载变动时，由于各相的工作 相互关联，因此彼此都互有影响。 • 如果 Z N ≈ 0 ，则可强使 U N ' N = 0 • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B • _ U C + C • I C N N’ Z C • I N 二、三相四线制 尽管电路是不对称，但在这个条件下，可使 各相保持独立性，各相的工作互不影响，因而各 相可以分别 独立 计算。 这就克服了无中线时引起的缺点。因此，在 负载不对称的情况下 中线的存在是非常重要 的 。 • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B • _ U C + C Z C • I C N N’ • I N • U N ' N = 0 × 由于相电流的不对称，中线电流一般不为零 • • • • I N = I A + I B + I C • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B • _ U C + C • I C N N’ Z C • I N • • • • I N = − ( I A + I B + I C ) • _ U A + A Z A • I A • _ U B + B Z B • I B • _ U C + C • I C N N’ Z C • I N 由于相电流的不对称，中线电流一般不为零， • • • • I N = I A + I B + I C ≠ 0 4 、非正弦周期电流电路 考试点 • 1 、了 解非正弦周期量的傅立叶级数分解 方法 • 2 、 掌握 非正弦周期量的有效值、平均值 和平均功率的定义和计算方法 • 3 、 掌握 非正弦周期电路的分析方法 非正弦周期信号 一、信号的分类 1 、正弦信号 按正弦规律变化的信号 2 、非正弦信号 不是按正弦规律变化的信号 ω t i O π 2π 图中电流是正弦信号还是非正弦信号？ 非正弦信号 +E C u C 模拟电子中常用的放大电路 u C U C0 u C’ U C0 u C’’ + u C 波 形可以分解 t i O t i O 方波电流 锯齿波 二、常见的非正弦信号 1 、实验室常用的信号发生器 可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波； t u O T/2 T t u O T/2 T 2 、整流分半波整流和全波整流 激励是是正弦电压， 电路元件是非线性元件二极管 整流电压是非正弦量。 半波整流 全波整流 由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都 不是正弦信号； 4 、非电量测量技术中 由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变 化的规律，也是非正弦的； 5 、自动控制和电子计算机中 使用的脉冲信号都不是正弦信号。 3 、无线电工程和其他电子工程中 1 、非正弦周期信号 f(t)=f(t+kT) k=0 , ±1 , ±2,… 2 、非正弦非周期信号 不是按正弦规律变化的非周期信号 三、非正弦信号的分类 四、谐波分析法 1. 应用 傅里叶 级数展开方法，将非正弦周期激励 电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正 弦量之和； 2. 根据 叠加定理 ，分别计算在各个正弦量 单独 作 用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电 压分量； 3. 把所得分量按 时域 形式 叠加。 周期函数分解为傅里叶级数 一、周期函数 f(t)=f(t+kT) T 为周期函数 f(t) 的周期， k =0 ， 1 ， 2 ， …… 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 它就能展开成一个收敛的 傅里叶级数 。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。 + ⋯ + [ a k cos( k ω 1 t ) + b k sin( k ω 1 t )] + ⋯ + [ a 2 cos( 2 ω 1 t ) + b 2 sin( 2 ω 1 t )] f ( t ) = a 0 + [ a 1 cos( ω 1 t ) + b 1 sin( ω 1 t )] ∞ k = 1 = a 0 + ∑ [ a k cos( k ω 1 t ) + b k sin( k ω 1 t )] 二、傅里叶级数的两种形式 1 、第一种形式 1 ∫ 0 f ( t ) dt = T ∫ f ( t ) dt ∫ 0 f ( t ) cos( k ω 1 t ) dt 2 2 ∫ 0 f ( t ) cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) ∫ − π f ( t ) cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) T 2 T − 2 T 1 T a 0 = a k = = = = 2 2 T T T T ∫ − T f ( t ) cos( k ω 1 t ) dt 1 2 π π 1 π π 系数的计算公式 ∫ dt t k t f 01 ) sin( ) ( ω 2 2 ∫ ω ω 01 1 ) ( ) sin( ) ( t d t k t f ∫ − π ω ω ) ( ) sin( ) ( 1 1 t d t k t f b k = = = = 2 2 T T T T ∫ − T f ( t ) sin( k ω 1 t ) dt 1 2 π π 1 π π + ⋯ + A km cos( k ω 1 t + ψ k ) + ⋯ + A 2 m cos( 2 ω 1 t + ψ 2 ) f ( t ) = A 0 + A 1 m cos( ω 1 t + ψ 1 ) ∞ k = 1 = A 0 + ∑ A km cos( k ω 1 t + ψ k ) 2 、第二种形式 A0 称为周期函数的 恒定 分量 （或直流分量）； A 1m cos( ω 1 t+ ψ 1 ) 称为 1 次谐波 （或基波分量）， 其周期或频率与原周期函数相同； 其他各项统称为 高次谐波 ， 即 2 次、 3 次、 4 次、 …… A km = a + b ∑ A km k = 1 cos( k ω 1 t + ψ k ) 3 、两种形式系数之间的关系 ∞ k ∑ [ a k = 1 ∞ cos( k ω 1 t ) + b k sin( k ω 1 t )] 第一种形式 f ( t ) = a 0 + 第二种形式 f ( t ) = A 0 + A 0 =a 0 a k = A km cos ψ k 2 2 k k b k = - A km sin ψ k ) − b k a k ψ k = arctan( 4 、傅里叶分解式的数学、电气意义 傅氏分解 A 0 U 1 U 2 … + u(t) - + u(t) - 分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是 叠加定理 三、 f(t) 的频 谱 傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但 不很直观 。 为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占 “ 比重 ” ， 用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为 f(t) 的 频谱 。 2 、相位频谱 把各次谐波的初相用相应线段依次排列。 1 、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 A km k ω 1 3 ω 1 2 ω 1 4 ω 1 O ω 1 例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱 f(t) t ω 1 t E m O T 2 π T 2 π -E m 解： f(t) 在第一个周期内 的表达式为 f(t) = E m -E m T 0 ≤ t ≤ 2 T ≤ t ≤ T 2 T ∫ 0 a 0 = 1 T f ( t ) dt = 0 O 根据公式计算系数 f(t) t ω 1 t E m -E m T 2 π 2 π T ∫ 0 cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) 2 π ∫ 0 1 π f ( t ) cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) a k = O f(t) t ω 1 t E m -E m T 2 π 2 π T = 1 π π 2 π [ ∫ 0 E m cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) − ∫ π E m cos( k ω 1 t ) d ( ω 1 t )] = 2 E m π π =0 2 E m π 2 E m ⎡ 1 ∫ 0 sin( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) = π ⎢⎣− k cos( k ω 1 t ) ⎥⎦ 0 2 π ∫ 0 1 π f ( t ) sin( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) b k = = 1 π π 2 π [ ∫ 0 E m sin( k ω 1 t ) d ( ω 1 t ) − ∫ π E m sin( k ω 1 t ) d ( ω 1 t )] = π π ⎤ 2 E m k π [1 − cos( k π )] = 当 k 为 偶数时： cos ( k π )=1 b k =0 当 k 为 奇数时： cos ( k π )=0 4 E m k π b k = ⎢ sin( ω 1 t ) + 3 sin( 3 ω 1 t ) + 5 sin( 5 ω 1 t ) + ⋯ ⎥ 由此求得 ⎣ ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ 4 Em π f ( t ) = f(t) E m O -E m ω 1 t O ω 1 t 取到 11 次谐波时合成的曲线 f(t) E m -E m 比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成 曲线就越接近于原来的波形。 ⎢ sin( ω 1 t ) + 3 sin( 3 ω 1 t ) + 5 sin( 5 ω 1 t ) + ⋯ ⎥ ⎢⎣ 1 − 3 + 5 − 7 + ⋯ ⎥⎦ π = 4 ⎢ 1 − + ⋯ ⎥ f(t) t ω 1 t E m O -E m T 2 π T 2 π ⎣ ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ f ( t ) = 4 Em π f(t) = E m -E m T 0 ≤ t ≤ 2 T ≤ t ≤ T 2 令 E m =1 ， ω 1 t= π /2 1 = 4 ⎡ 1 1 1 ⎤ π ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ − + 1 7 1 5 1 3 ⎢ sin( ω 1 t ) + 3 sin( 3 ω 1 t ) + 5 sin( 5 ω 1 t ) + ⋯ ⎥ 矩形信号 f(t) 的频谱 ⎣ ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ f ( t ) = 4 Em π A km k ω 1 5 ω 1 7 ω 1 3 ω 1 O ω 1 O 3 、频谱与非正弦信号特征的关系 波形越接近正弦波， 谐波成分越少； 波形突变点越小， 频谱变化越大。 f (t)=10cos(314t+30°) A km k ω 1 ω 1 f(t) O t f(t) O t 四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间 的关系 1 、偶函数 f (t)= f (- t ) 纵轴对称的性质 可以证明： b k =0 展开式中只含有余弦顶分量和直流分量 1 、偶函数 纵轴对称的性质 f (t)= f (- t ) ∞ k = 1 f ( t ) = a 0 + ∑ a k cos( k ω 1 t ) f(t) O t f(t) O t 2 、奇函数 f (t)=- f (- t ) 原点对称的性质 可以证明： a k =0 展开式中只含有正弦顶分量 原点对称的性质 f (t)=- f (- t ) 2 、奇函数 ∞ k = 1 f ( t ) = ∑ b k sin( k ω 1 t ) O T T 2 3 、奇谐波函数 f (t)= - f ( t+T/2 ) 镜对称的性质 f(t) t 镜对称的性质 f (t)= f ( t+T/2 ) 3 、奇谐波函数 可以证明： a 2k =b 2k =0 展开式中只含有奇次谐波分量 + ⋯ f(t)= [ a 1 cos( ω 1 t ) + b 1 sin( ω 1 t )] + [ a 3 cos(3 ω 1 t ) + b 3 sin( 3 ω 1 t )] O t 判断下面波形的展开式特点 f(t) f(t) 是奇函数 展开式中只含有正弦分量 f(t) 又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波 b 1 sin( ω 1 t ) + b 3 sin(3 ω 1 t ) + ⋯ f(t)= 系数 A km 与计时起点无关（但 ψ k 是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的 振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一 定的， 并不会因计时起点的变动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初 相作相应地改变。 由于系数 a k 和 b k 与初相 ψ k 有关，所以它们也 随计时起点的改变而改变。 4 、系数和计时起点的关系 由于系数 a k 和 b k 与计时起点的选择 有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。 但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。 因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。 4 、系数和计时起点的关系 O t 例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下 画出整个周期的波形 1 、只含有余弦分量 2 、只含有正弦分量 3 、只含有奇次谐波分量 f(t) O f(t) t 1 、只含有余弦分量 f(t) 应是偶函数 关于纵轴对称 O f(t) t 2 、只含有正弦分量 f(t) 应是奇函数 关于原点对称 O f(t) t 3 、只含有奇次谐波分量 f(t) 应是奇谐波函数 镜象对称 有效值、平均值和平均功率 一、非正弦周期量的有效值 1 、有效值的定义 T I = ∫ 0 i 2 dt 1 T ∞ ⎢ I 0 + ∑ I km cos( k ω 1 t + ψ k ) ⎥ dt T I = ∫ 0 2 ⎡ ⎤ ⎣ k = 1 ⎦ 1 T 2 、有效值与各次谐波有效值之间的关系 假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数 ∞ i = I 0 + ∑ I km cos( k ω 1 t + ψ k ) k = 1 则得电流 的有效值为 ⋯ + + + + = I I I I I 有效值与各次谐波有效值之间的关系 2 2 2 2 0 1 2 3 非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。 此结论可推广用于其他非正弦周期量。 二、非正弦周期量的平均值 1 、平均值的定义 T I av = ∫ 0 | i | dt 1 T 非正弦周期电流平均值等于此电流绝对 值的平均值。 ∫ 0 | I m cos ω t | dt 2 、正弦量的平均值 I av = 1 T T =2 I m / π =0.637 I m =0.898 I 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各 个值变为对应的正值。 ω t O i I av I m 3 、不同的测量结果 对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表 进行测量时，会有不同的结果。 用 磁电 系 仪表（直流仪表）测量，所得结果将 是电流的 恒定分量 ； 用 电磁 系 或 电动 系仪表测量时，所得结果将是 电流的 有效值 ； 用 全波整流 磁 电系仪表测量时，所得结果将是 电流的 平均值 。 由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时， 要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表 的读数所示的含意。 ∫ 10 dt 4 t O T /4 T 解：有效值为 例：计算有效值和平均值 i (A) 10 2 T 0 1 T I = =5A 平均值为 I 0 = 10* T /4 T =2.5A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 三、非正弦周期电流电路的功率 1 、瞬时功率 任意一端口的瞬时功率（吸收）为 ∞ ⎣ k = 1 ⎦ p = ui = ⎢ U 0 + ∑ U km cos( k ω 1 t + ψ ku ) ⎥ ∞ ⎣ k = 1 ⎦ × ⎢ I 0 + ∑ I km cos( k ω 1 t + ψ k ) ⎥ 式中 u 、 i 取关联方 向。 2 、平均功率 P = U 0 I 0 + U 1 I 1 cos ϕ 1 + U 2 I 2 cos ϕ 2 + ⋯ + U k I k cos ϕ k + ⋯ 平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐 波平均功率的代数和。 U = 10 + ( 20 2 20 2 40 2 把上一步所计算出的结果化为 瞬时 表达式后进 行相加， 把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没 有意义的， 最终求得的响应是用 时间函数 表示的。 3 、应用叠加定理 例： C R _ R =3 Ω ， 1/ ω 1 C =9.45 Ω ，输入电源为 u S =[10+141.40cos( ω 1 t )+47.13cos(3 ω 1 t ) +28.28cos(5 ω 1 t ) +20.20cos(7 ω 1 t ) +15.71cos(9 ω 1 t )+······]V 。 求电流 i 和电阻吸收的平均功率 P 。 + u S i • I m ( k ) = 解： 各次谐波是正弦量，采用的方法是 相量法 电流相量的一般表达式 • U Sm ( k ) 1 R − j k ω 1 c R =3 Ω ， 1/ ω 1 C =9.45 Ω ，输入电源为 u S =[10+141.40cos( ω 1 t )+47.13cos(3 ω 1 t ) +28.28cos(5 ω 1 t ) +20.20cos(7 ω 1 t ) +15.71cos(9 ω 1 t )+······]V 。 k =0 ，直流分量 U 0 =10V ， I 0 =0 P 0 =0 ···] R =3 Ω ， 1/ ω 1 C =9.45 Ω ，输入电源为 u S =[10+141.40cos( ω 1 t )+47.13cos(3 ω 1 t ) +28.28cos(5 ω 1 t ) +20.20cos(7 ω 1 t ) +15.71cos(9 ω 1 t )+···] k =1 ， • I m (1) = • U Sm (1) = 141.4 ∠ 0 ° 141.4 /0° 3-j9.45 =14.26 /72.39° P (1) = 1 2 I m (1) R =305.02W 2 ···] R =3 Ω ， 1/ ω 1 C =9.45 Ω ，输入电源为 u S =[10+141.40cos( ω 1 t )+47.13cos(3 ω 1 t ) +28.28cos(5 ω 1 t ) +20.20cos(7 ω 1 t ) +15.71cos(9 ω 1 t )+···] k =3 ， • I m (3) = • U Sm ( 3) = 47.13 ∠ 0 ° 47.13 /0° P (3) = 3-j3.15 =10.83 /46.4° j9.45 j3.15 3-j9.45 1 2 I m (3) R =175.93W 2 同理求得 : • I m (5) = 7.98 /32.21° • I m (7 ) = 6.14 /24.23° • I m (9) = 4.94 /19.29° P (5) =95.52W P (7) =56.55W P (9) =36.60W • • • • • • I m = I m (1) + I m (3) + I m (5) + I m ( 7 ) + I m ( 9) + ⋯ 最后结果应该按时域形式叠加 +10.83cos(3 ω 1 t + 46.4°) ···] u S = [14.26cos( ω 1 t+ 72.39°) +7.98cos(5 ω 1 t + 32.21°) +6.14cos(7 ω 1 t + 24.23°) +···] V • I m (7 ) = 6.14 /24.23° • I m (9) = 4.94 /19.29° +10.83cos(3 ω 1 t + 46.4°) • I m (1) = 14.26 /72.39° • I m (3) = 10.83 /46.4° • I m (5) = 7.98 /32.21° u S = [14.26cos( ω 1 t+ 72.39°) +··· +7.98cos(5 ω 1 t + 32.21°) +6.14cos(7 ω 1 t + 24.23°) +6.14cos(7 ω 1 t + 24.23°) ···]V 5 、简单动态电路的 时域分析 考试点 • 1 、 掌 握 换路定路并能确定电压、电流的 初始值 • 2 、熟练掌握一阶电路分析的基本方法 • 3 、了解二阶电路分析的基本方法 C ： u c (0 − ) ≠ 0 L ： i L (0 − ) ≠ 0 储能元件储 存的能量 消耗能量的元件 终值 为 0 R R 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应 零输入：输入＝ 0 （外电源输入＝ 0 ） 二、 RC 电路 的零输入响应 1 、推导过程： 最终 能量来源 + u c = 0 du c dt RC t ≥ 0 + 初始： K 合上前 ( t ≤ 0 − ) : u c = U 0 换路： K 合上 ( t =0) ： 解一阶齐次微分方程： 令通解 du dt u R − u C = 0 i = - C u R = Ri S( t=0 ) u C u R U 0 i u c = Ae pt 则 : ( RCp + 1) Ae pt = 0 R ( RCp + 1) Ae = 0 − RC t − RC t − RC t 1 = U 0 t = 0 + u c (0 + ) = u c (0 − ) = U 0 ⇒ Ae 1 ∴ u = Ae 由初始条件定 A ： ⇒ A = U 0 − RCt = U 0 e 1 u c ( t ) = u c (0 + ) e pt 1 RC 特征方程： RCp + 1 = 0 ⇒ 特征根 p = − S( t=0 ) u C u R U 0 i R 解为 2 、结论： − τ t − RCt = U 0 e u c ( t ) = U 0 e τ = RC 均按同样的指数规律衰减，最终趋于 0 。 du c dt − RCt i = − C 1 RC ) U 0 e = − C ( − t RC e e − τ t − = = U 0 R U 0 R C − τ t − RCt u R = u = U 0 e = U 0 e τ 的大小反映此一阶电路过渡过程的进展 速度 τ 大：过渡过程长，进展慢 τ 小：过渡过程短，进展快 3 、时间常数 − � τ = e U 0 e − � ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ • 即：零输入响应在任一时刻 t 0 的值，经过一个 时间常数 τ 后，衰减为原值的 36.8% 。 • 工程上：换路后经过 3 τ ～ 5 τ 后，放电基本结 束。 ⎛ u c (3 τ ) = e − 3 U 0 = 0 .05 U 0 ⎞ ⎜ u c (5 τ ) = e − 5 U 0 = 0 .007 U 0 ⎟ t τ t + τ − 1 ∵ u c ( t � + τ ) = U 0 e 1 e u c ( t � ) = 0 . 368 u c ( t � ) = 4 、曲线： u c 、 u R 、 i 的曲线上任意一点的 次切距 长度 BC = τ τ 不同，衰 减快慢也不同。 τ O t u C U 0 u C (t 0 ) u C (t 0 + τ ) A B C O τ 1 τ 2 τ 3 t u C U 0 0.368 U 0 τ 增加 2 ) Rdt U 0 − RCt 2 − RCt e dt = − CU 0 e = CU 0 e − RCt ∞ W R = 2 ∫ 0 ∞ i ( t ) Rdt = ∫ 0 ( U 0 R 5 、能量关系 C 放电， C 不断放能，电阻 R 不断耗能 直至 C 上电场能量衰减为 0 。 2 1 2 1 2 2 2 R = ∞ 0 ∞ ∫ 0 I 0 = R 三、 RL 电路 的零输入响应 1 、推导过程： U � � i L (0 − ) = 换路， K 打开 ( t = 0) i L (0 + ) = i L (0 − ) = I 0 求解一阶齐次微分方程： + iR = 0 di dt t ≥ 0 + : L 初始， K 打开前 ( t ≤ 0) R 0 R U 0 L u L 1 S (t=0) 2 i i L (0 + ) = I 0 = Ae ⇒ A = I 0 t = 0 + − RL t R L p = − − RL t 由初始条件定 A ： − RL t i ( t ) = I 0 e 令 i = Ae pt 则 ( Lp+R ) e pt =0 特征方程： Lp+R= 0 得特征根 解为： i ( t ) = i (0 + ) e = I 0 e = I 0 e 2 、结论： − τ t − RL t − RL t 大小均按 指数 规律衰减，最终趋于 0 。 − τ t − RL t = RI 0 e u R = iR = RI 0 e − τ t − RL t = − RI 0 e u L = L didt = − RI 0 e 慢 3 、时间常数 C ：电压不能突变， R 大， i 小，电荷释 放慢 L ：电流不能突变， R 大， u 大，释放热能快 L R 衰减 衰减 τ = R 大 τ 小 快 R 小 τ 大 与 RC 串联电 路相反 t 4 、曲线： i,i,uu R, u L RI 0 I 0 O u R i u L -RI 0 5 、能量关系： L 不断把储存的磁场能量放出， R 不断 吸收 并转化为热能，直至 L 上的磁场能 量为 0 为止。 τ =RC = × 5 × 10 − 6 = 6 × 10 − 6 S 5 u C = 3 e u C = u C (0 + ) e S(t=0) 解： u c (0 + ) = u c (0 − ) =3V τ =RC 6 R = 2//3 = Ω 5 6 t τ − V t 10 6 6 − 1 Ω 3 Ω 2 Ω 5uF 6V 例：求电容两端电压。 i 电流 i 由 5A → 0 电感两端电压 u →∞ 使空气电离，产生火花。 电感性负载断电的情况 §6.3 一阶电路的零 状态响应 一 、零状态响应 外电源 输入 直流 交流 充电 与电源变化 规律相同 初始状 态为零 能量来源 L ： i L (0 + ) = 0 C ： u C (0 + ) = 0 最终终值 零状态： 1 RC U S u C R u R 二 、推导： 电路 S(t=0) i C 换路后： ( t ≥ 0 + ) : u c + u R = U S du C dt RC + u c = U S 求解一阶非齐次微分方程 非齐次方程的特 解 齐次方程的通 解 u c ′ u c ′′ du C dt RC + u C = U S du RC + u c ′ = U S ' C dt + u c ′′ = 0 du C '' dt RC − τ t u c ′′ = Ae du C dt RC + u C = U S 特解： 满足 重新达到稳态时的值 特解： 满足 − τ t u c = u c ′ + Ae 初始值 时间常数 三要素 c ′ c − c ′ c 又 ∵ 初始 u （ 0 ＋ ） = u （ 0 ＋ ） + A ⇒ A = u （ 0 ＋ ） u （ 0 ＋ ） − τ t c ′ + − ] c ′ c c ∴ u （ t ） = u （ t ） [ u （ 0 ＋ ） u （ 0 ＋ ） e 适用于一阶电路各处的 u,i 特 解 解得： = U s (1 − e ) U s − τ t ∴ u c ′ (0 + ) = U s u c ′ ( t ) = U s − τ t − τ t ∴ u c ( t ) = U s + (0 − U s ) e e R du C dt = i ( t ) = C 2 、结论 ： 零状态响应： （ 1 ）直流电源 U S 特解：（又一次稳定后的值） ) Rdt = = − − τ t U s ( e = 2 CU s = W C 1 R ∫ W R = i Rdt = ∫ CU e dt e ∞ ∫ 0 ∞ 0 U s 2 R − 2 τ t S − RCt 2 2 ∞ 0 ∞ 0 2 2 2 2 O -U S t u C i u C ,i U S U S R u C ' '' C u ∴ 不论 R 、 C 如何，电源充电能量的一半被 R 吸 收，一半转换为电容的电场能量，充电效率为 50 ％。 （ 2〕 交流电源 u s ( t ) = 2 U s cos( ω t + ψ s ) 例： U S u C R u R S(t=0) i C U S =220V ， R =100 Ω ， C =0.5 uF ， C 未充过电。 t =0 时合上开关 S 。 求： （ 1 ） u C 、 i ； （ 2 ）最大充电电流； （ 3 ）合上 S 后 150 us 后 u C 、 i 的值。 ) − t 100 × 10 − 6 × 5 = 220 (1 − e )( V ) − 2 × 10 4 t = 220 (1 − e (A ) e U S R − 2 × 10 4 t − = 2.2 e i ( t ) = t τ 解：（ 1 ） − τ t − 6 − 2 × 10 4 × 150 × 10 − 6 = 220(1 − e t = 150 × 10 u c − 2 × 10 4 × 150 × 10 − 6 i t = 150 × 10 − 6 = 2.2 e ) =209(V) = 2.2e -3 =0.11(A) （ 2 ）最大充电电流； I max = i ( 0 + ) = 2 . 2 ( A ) （ 3 ）合上 S 后 150 us 后 u C 、 i 的值。 三、 RL 电路 直流电源 U S I S i R i L L R S(t =0 ) L di L R dt + i L = I S 电路方程 i L = I S (1 − e ) I S i L L i R R S(t =0 ) L di L + i L = I S R dt 初始条件为 i L (0+)=0 t τ − 方程的解 du C Us u R U 0 u C S(t=0) §6.4 一阶电路的全响应 一、全响应 当一个非零初始状态的一阶电路受到激励 时，电路的响应称为 全响应 。 二、 RC 电路 设电容原有电压为 U 0 S 1 、电路方程 RC + u C = U dt 初始条件 u C (0 + ) = u C (0 − ) = U 0 u C ' = U S 2 、方程的解 du C dt RC + u C = U S 方程的通解 u C = u C ' + u C ' ' 特解 对应 齐次方程 的通解 t τ − u C ' ' = Ae t τ − t τ − u C = U S + Ae 根据 u C (0+) =u C (0-) =U 0 得积分常数 A= U 0 - U S u C = U S + ( U 0 − U S ) e + U S (1 − e ) t τ − u C = U S + ( U 0 − U S ) e t τ t τ − − 全响应 = 稳态分量 + 瞬态分量 上式改写成 u C = U 0 e 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 三、 RL 电路 形式上和 RC 电路一致。 − t ≥ 0 t τ 初始值 稳态值 f(0+) f ( ∞ ) 时间常数 τ t f(t) f(0+) f( ∞ ) o t f(t) f( ∞ ) f(0+) o 四、 三要素法 （仅适用直流激励） 三要素 三要素公式： f ( t ) = f ( ∞ ) ＋ [ f (0 + ) − f ( ∞ ) ] e 1 ．初始值 f(0+) 的计算 (1) u c (0+) 与 i L (0+) 按换路定则求出 (2) 其它电路变量 的初始值 应画出 t=0+ 的等效电路，然后按电阻电 路计算 C 视作开路 L 视作短路 u c (0+)= u c (0-) i L (0+)= i L (0-) 在 t → ∞ 的等效电路中，因为直流作用 电感视作 短路 2 ．稳态值 f( ∞ ) 的计算 当 t →∞ ，作出 t →∞ 的等效电路 ， 然后按电阻电路计算 电容视作 开路 所以 3 ．时间常数 τ 的计算 RC 电路 RL 电路 R o 为 换路后 的电路，从动态元件两端 看进去的 戴维宁 等效电阻。 τ =R 0 C τ =L / R 0 t τ − f ( t ) = f ( ∞ ) ＋ [ f (0 + ) − f ( ∞ ) ] e 当正确求出 f(0+) ， f( ∞ ) 及 τ 三要素后， 即可按上式写出变量的完全响应。 注意标注 单位 4 ．三要素法求完全响应 s(t=0) 例： i u C 电容 C =0.1F ，求 S 闭合后电容两端的电压 u C 和电流 i 。 解：利用三要素法先求出 u C 1 、求初值 u C (0 + ) = u C (0 − ) = 5 V s(t=0) u C 2 、求终值 V 50 7 = × 10 5 2 + 5 u C ( ∞ ) = 10V 2 Ω 5 Ω u C s(t=0) u C 3 、求时间常数 R o = 2//5=10/7 Ω S 1 7 10 7 × 0.1 = τ = R 0 C = R 0 2 Ω 5 Ω 50 − 7 t t τ − 4 、 u C = u C ( ∞ ) + [ u C (0 + ) − u C ( ∞ )] e ) e V 7 50 7 + (5 − = s(t=0) i u C i = - C du C = − 1.5 e − 7 t V dt 电流 i 也可以 通过 三要素法直接求得 s(t=0) i u C 换路后的电路 10V 2 Ω 5 Ω u C i 2 Ω 10V i u C i 的初值 u C (0 + ) = 5V i 1 5 Ω i 2 i 2 (0 + ) = 1A i 1 (0 + ) = 2.5A i (0 + ) = − 1.5A i 的终值 i ( ∞ ) = 0 t τ − i = i ( ∞ ) + [ i (0 + ) − i ( ∞ )] e = − 1.5 e − 7 t A S(t=0) i i L 求电路中的电流 i 和 i L 。 解： 1 、求初值 i L (0 + ) = i L (0 − ) = − 2 A 2 、求终值 i L ( ∞ ) = 3 A 例： i L = i L ( ∞ ) + [( i L (0 + ) − i L ( ∞ )] e S(t=0) i L i L 4 R 0 2 3 、求时间常数 τ = = = 2 S 4 、 t τ − A − 0.5 t = 3 − 5 e A − 0.5 t i = 2 + i L = 5 − 5 e ⎨ = ) t （ ε 1 ．单位阶跃信号的定义 ⎩ 0 , t 〈 0 ⎧ 1 , t ≥ 0 2 ．波形 一． 阶跃信号及其单边性 §6.5 一阶电路的阶跃响应 相当于 0 时刻接 入电路的单位电流源或单位电压源 若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关： K （ V ）→ Kε （ t ）（ V ）， K ：阶跃信号 强度 。 例如 ： 10 （ V ）→ 10ε （ t ）（ V ） 3. 实际意义 ε （ t － t 0 ) = ⎨ 4. 延迟单位阶跃信号 , , ⎧ 1 ⎩ 0 t ≥ t 0 t 〈 t 0 f ( t ) ε ( t − t 0 ) = f(t) t ≥ t 0 + t ≤ t 0 − 0 5 ．阶跃信号的单边性 （截取信号的特性） 若用 ε （ t ）去乘任何信号，都使其在 t<0 时为零，而 在 t≥0 时为原信号。 利用此信号可描述许多信号。 f(t) t t o o f ( t ) ε ( t − t 0 ) t 0 例： f ( t ) = ε ( t ) − ε ( t − 2) f ( t ) = 3 ε ( t ) − 4 ε ( t − 1) + ε ( t − 3) t t 1 o o -1 例： t t t 3 o o - 4 1 o 1. 阶跃响应的定义 电路在 零状态 条件下 ，对 单位阶跃 信号产生的响应。 2. 分析方法： t≥0 同直流激励一样。 有两种分析方法 分段函数表示 阶跃函数表示 二． 阶跃响应的分析 u C t o u 10V 1S RC = 1S 0 < t ≤ 1 t ≥ 1 − t − 1 τ u C ( ∞ ) = 0 u C = u C ( ∞ ) + [ u C (1 + ) − u C ( ∞ )] e = 6.32 e − ( t − 1) V 例： 用分段函数表示 u C = 10(1 − e − t ) V u C (1 + ) = u C (1 − ) = 10(1 − e − 1 ) = 6.32 V 用阶跃函数表示 u C = 10 (1 − e − t ) ε ( t ) − 10[1 − e − ( t − 1) ] ε ( t − 1) V u C t o u 10V 1 S t o o 10 ε ( t ) t − 10 ε ( t − 1) §6.6 一阶电路的冲激响应 电 路对于单位冲激函数的 零状态 响应称为 单位冲激响应 。 一、单位冲激函数 δ ( t ) = 0 t ≥ 0 + t ≤ 0 − ∞ ∫ −∞ δ ( t ) dt = 1 t o p(t) △ 1/ △ t o δ (t) 1 （ 2 ） 单位冲激函数的 “ 筛分性质 ” f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t ) dt = f ( 0 ) ∫ − ∞ δ ( t ) dt = f ( 0) 冲激函数有如下两个主要性质 （ 1 ）单位冲激函数对时间的积分等于单位阶 跃函数 ∫ − ∞ t δ ( ξ ) d ξ = ε ( t ) 电容电压 u C 电容电压从零 跃变 到 1V 。 当冲激函数作 用于零状态的一阶 RC 或 RL 电路， 电路中将产生相当于初始状态引起的 零输入 响应。 当把一个单位冲激电流 δ i (t) 加到初始电压为零，且 C =1F 的电容， 1 C 1 C 0 + ∫ 0 − δ i ( t ) dt = 1 V = = du C du C ∫ C dt u C 0 + u dt + ∫ dt = ∫ δ i ( t ) dt R i C δ i ( t ) u C R dt = δ i ( t ), t ≥ 0 − 0 + C 0 − 0 − C + 0 + 0 − 1 C u C (0 + ) = 由于 u C 不可能为冲激函数，所以上式方程左边 第二项的积分为零。 C [ u C (0 + ) − u C (0 − )] = 1 δ i ( t ) 当 t ≥ 0 + 时 , 冲激电流源相 当于 开路 ， i C u C u C t τ t τ e − − = 1 C u C = u C ( 0 + ) e 式中 τ = RC ，为给定 RC 电路的时间常数。 用相同的分析方法，可求得下图所示 RL 电路在单位 冲激电压 δ u (t) 激励下的零状态响应。 t τ e − i L = 1 L δ u ( t ) i L i L 1 t (1 − e τ ) ε ( t ) i = 1 e τ ε ( t ) − R L u S ( t ) ds ( t ) dt i L h ( t ) = 以 RL 电路为例 s ( t ) = ∫ h ( t ) dt 零状态响应 阶跃响应 s(t) 冲激响应 h(t) t − i L = u S ( t ) = ε ( t ) u S ( t ) = δ ( t ) L 线性电路中阶跃响应与冲激响应之间也具有 一个很重要关系。 如果以 s(t) 表示某电路的阶跃响应，而 h(t) 为同 一电路的冲激响应， 则两者之间存在下列数学关系：