[经济学]计量经济学 34页

金融经济学之五：均值-方差偏好下的投资组合选择一、问题的提出1.前章对最优投资组合的分析是建立在一般期望效用理论基础之上的。在这种分析中，我们对经济主体的效用函数和资产的收益分布只做了一般性的规定。其结论的应用范围难以确定，也限制了期望效用理论在资产定价中的应用。2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态，标志着数量化方法进入金融领域。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。正因为如此，马科维茨获得了1990年诺贝尔经济学奖。马科维茨投资组合理论经典语录马科维茨投资组合选择理论的基本思想为：投资组合是一个风险与收益的trade-off问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizethe\nrisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”3.马科维茨均值-方差组合理论的基本内容：n根据资产组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合。欲使投资组合风险最小，除了应多样化投资于不同的资产之外，还应挑选相关系数较低的资产。4.均值-方差组合选择的实现方法：（1）收益——证券组合的期望报酬（2）风险——证券组合的方差（3）风险和收益的权衡——求解二次规划首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它的期望回报率（均值）（2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合。\n再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。5.马科维茨均值-方差组合理论的假设条件：（1）单期投资单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。（2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。（3）经济主体的效用函数是二次的（4）经济主体以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而经济主体在决策中只关心资产的期望收益率和方差。（5）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。6.思考题：为何在马科维茨的均值-方差分析中需要对效用函数和资产收益率的分布作出限制？\n二、均值-方差分析的局限性M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报的均值和方差不能完全包含个体资产选择时的所有个人期望效用函数信息。对于任意的效用函数和资产的收益分布，期望效用并不能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。案例：期望效用理论和均值方差理论矛盾案例假设有两个博彩L1和L2，其中：L1=[10，100；0.75]，L2=[22.727，1000；0.99]E（L1）=32.5E（L2）=32.5Var（L1）=1518.75Var（L2）=9455.11显然，L2的风险比L1大。n考虑一个效用函数为，显然，该个体为风险厌恶者，其在两个博彩中的期望效用分别为：E[u(L1)]=4.872E[u(L2)]=5.036即该风险厌恶者在预期收益相等的两个博彩中，方差较大的博彩获得的期望效用较高。\n问题：什么时候期望效用理论和均值-方差组合理论一致呢？一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个随机变量W，关于这个未来财富变量的效用函数可以通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值周围展开。即两边取期望值后得到：显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而言，其评价风险资产的效用不能仅仅只考虑其期望收益率和方差，因为三阶以上的中心矩E（R3）也影响其期望收益。但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。定理一：在经济主体的未来收益或财富为任意分布的情况下，如果经济主体的效用函数为二次效用函数,\n那么，期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。定理二：在经济主体的偏好为任意偏好的情况下，如果资产收益的分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。在收益分布为正态分布的情况下，上述展开式中，三阶以上的中心矩中，奇数项为零，偶数阶的中心矩可写成均值和方差的函数。（三）二次效用函数与收益正态分布假设的局限性1.二次效用函数的局限性二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。2.收益正态分布的局限性（1\n）资产收益的正态分布假设与现实中资产收益往往偏向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率可取负值，但这与有限责任的经济原则相悖（如股票的价格不能为负）。（2）对于密度函数的分布而言，均值-方差分析没有考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描述分布的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右的大致趋势。显然，正态分布下的均值-方差分析不能做到这一点。（3）用均值-方差无法刻画函数分布中的峭度。概率论中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表达。实际的经验统计表明，金融资产回报往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。这显然不符合正态分布。尽管均值-方差分析存在缺陷，且只有在严格的假设条件下才能够与期望效用函数的分析兼容，但由于其分析上的灵活性，相对便利的实证检验以及简洁的预测功能，使其成为广泛运用的金融和财务分析手段。二、资产组合收益与风险的度量及分散化效应（一）资产的期望收益（均值）（1）单一资产的期望收益(2)资产组合的期望收益（均值）,\n（二）资产的方差1.单一资产的方差资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：2.资产组合的方差（1）两资产组合收益率的方差方差分别为与的两个资产以w1与w2的权重构成一个资产组合的方差为：如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合，则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。（3）多资产组合的方差（三）资产的协方差协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如资产A和B的收益率之间的互动性。\n资产组合的协方差：，（四）相关系数\n与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。资产A和资产B相关系数为测量两种股票收益共同变动的趋势:-1.0£r£+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险,但不是全部。（五）多个资产的方差-协方差矩阵注解：方差-协方差矩阵是一个对称的正定二次型。为什么？（六）资产组合的风险分散效应\n资产组合的方差不仅取决于单个资产的方差，而且还取决于各种资产间的协方差。随着组合中资产数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。假定资产1在组合中的比重是w，则资产2的比重就是1-w。它们的预期收益率和收益率的方差分别记为E(r1)和E(r2)，s21和s22，组合的预期收益率和收益率的方差则记为E(r)和s2。那么，投资分散化原理因为-1≤r≤+1，所以有[ws1-(1-w)s2]2≤s2≤[ws1+(1-w)s2]2这表明，组合的标准差不会大于标准差的组合。事实上，只要r<1，就有s∣<∣ws1+(1-w)s2∣,即资产组合的标准差就会小于单个资产标准差的加权平均数，这意味着只要资产的变动不完全一致，单个有高风险的资产就能组成有中低风险的资产组合，这就是投资分散化的原理。注解：当E(r1)=E(r2)时会发现，分散化投资不降低平均的期望收益，但是可以对冲掉部分风险。这被认为是现代金融学中唯一的“白吃的午餐”。我们再来看一个极端的例子：投资分散化的魔力构造一个投资每种资产等权重的组合来看分散化的力量：\n随着组合中资产数目的增加，组合收益的方差将越来越依赖于协方差。若这个组合中的所有资产不相关，即当随证券数目增加，这个组合的方差将为零（保险原则）。\n均值方差组合问题：记第i个资产的期望收益率为，期望收益率向量为，n个资产的协方差矩阵为投资向量为，因此在给定收益情况下最小化风险（方差）的问题就可以转化为：\n含有约束条件的Lagrangian函数为相应的一阶条件：将第一式代入后两式，可得（1）令，则方程组（1）可以简化为：\n根据Gramer法则，可以求出令，则注解：这是一个非常好的性质。因为在均质方差决策理论中n种资产的收益率期望值和协方差矩阵是公共信息，那么投资者只要告诉我们他的期望收益率是多少，那么我们就能告诉他最优的投资策略是什么，这个结论是相当强悍的！\n均值方差前沿组合的方差为：可见，MVF在平面上是一条双曲线，在平面上是一条抛物线。注意:前沿组合和有效前沿组合的区别。由此可以得到最小方差组合的收益率和方差分别为:定理1：整个投资组合有效前沿的边界可以由和这两个边界组合生成。注解：事实上，由于成立，可见，任何有效前沿组合都是由和的线性组合而成。但注意不是所有他们的线性组合都是有效前沿组合。定理2：\n均值方差前沿（Mean-VarianceFrontierPortfolio）可以用任意两个不同的均值方差前沿组合而成。（大家自己证明）推论3：MVF组合的任意组合也是MVF组合。（大家自己证明）注解：这个推论告诉我们MVF集合是一个凸集。定义：两项基金分离性如果存在两个共同基金，使得对任何资产组合，可以找到实数（与对应），对所有的凹函数,满足：我们称资产收益率向量具有两项基金分离性。注解：1两基金分离性质是我们期望金融市场能有这么好的性质，面对纷繁复杂的投资机会与投资选择，我们其实希望选择能简单点，再简单一点。简单到只有两个基金可以选择。投资者只要选择这两个基金组合就能实现期望效用最大。2人其实是很矛盾的。一方面，要求金融市场能满足你所有的金融资产的需求，（这样的金融市场才是有效的！），另一方面，选择机会太多又是一种负担。定理4：在均值-方差偏好下两基金分离性质成立。两个分离基金是前沿边界上的资产组合。由于两项基金分离性意味着：\n根据二阶随机占优的性质，有：用反证法可以推出，两项分离基金一定是前沿边界的资产组合。假设两项分离基金不是前沿边界上的资产组合，对于任意的任何资产组合，在有效前沿上可以找到一个组合，使得，但是。根据两项基金分离性质，可以找到实数（与，对应），满足：＝因此一定在MVF之上。因为可以取0，1，因此一定在MVF上。注解：均值-方差偏好的这个优良性质告诉我们，投资只需要投资两种有效前沿上的基金就可以了。再令，，则，可得到：\n定理5：均值方差前沿组合位于RN中连接和的一条直线上。注解：这个定理告诉我们，所谓的前沿组合，就是n维空间上的一条直线而已，进一步说明，前沿组合是凸集。定理6：对于任意组合P，证明：考虑任意给定组合P与最小方差组合的方差为显然，当时，方差最小。因此有注解：此性质说明，任何投资组合都至少承担最小方差组合的风险。定理7:对任意MVF组合p和q,\n当时，。注解：除了最小方差组合以外，任何一个前沿组合都可以找到0协方差的组合。问题：为什么除了最小方差组合？定义正交组合（zerocovarianceportfolio）：如果两个资产组合的协方差等于0，则称这两个组合是正交组合。定理8（正交组合存在定理）：除最小方差组合以外，对均值方差边界(MVF)上任一点，都可找到最小方差曲线上唯一点，两点所对应的资产组合正交。均值方差空间中，连接均方效率边界上点与最小方差点的直线与期望收益轴的交点所对应的收益，就是正交组合的期望收益；\n组合边界方差均值mvp注解：这个定理可以自己直接证明，证明思路是，先给出两点边界组合点与最小方差组合点的坐标，给出两点一线的线性方程，令方差等于0，即可得到均值大小，再和比较，会发现截距与此相同，证明完毕。均值标准差空间中，过均方效率边界上点所作的均方效率曲线的切线与期望收益轴的交点所对应的收益，就是正交组合的期望收益。\n组合边界标准差均值mvp注意！寻找一个有效前沿组合的正交组合在不同的平面空间中是不同的。定理9：令p为一个MVF组合，对任意组合q，我们有其中，是组合q对应于组合p的贝塔值。证明：由于组合p的最优性，我们有\n如果q=p，则，，如果q=zcp，则，因此，。证毕。注解1：定理9是0－βCAPM模型的前身，是资本资产定价模型的一般公式。任意一个资产组合的收益率，可以分解为两个部分：任意一个有效前沿上组合的正交组合收益率、和它承担这个有效前沿组合风险（）所带来的超额收益率。注解2：尽管定理9是一般意义上的CAPM，但是它仍然只是一个理论模型，没有实际意义。因为到目前为止，我们并不清楚有效前沿组合到底是一个什么样的组合，所以定理9只是有效前沿组合的一个理论性质。定义：市场组合社会总财富水平\n，I代表社会所包含的个体总数。在市场均衡情况下，社会总财富等于投资于资产的总价值，记为投资于资产j的总价值占社会总财富的比率。我们称为市场组合。注解：市场组合一定是一个有效前沿组合，为什么？因为在均值方差组合理论中，我们假设每个投资都是按照均值方差理论进行投资决策的，因此，达到均衡时刻，每个投资者都持有有效前沿组合，而有效前沿组合的组合依然是有效前沿组合，因此将整个经济体中所有人的投资组合加总，最后得到市场组合，这个市场组合一定是在有效前沿上。推论9.1（0-贝塔资本资产定价模型）：令M为一个市场组合，对任意组合q，我们有其中，是组合q对应于组合p的贝塔值。注解2：0贝塔资本资产定价模型是一种均衡理论，它比定理9更落到实处。因为市场组合是可知。以上分析没有无风险资产，只有N种风险证券。下面考虑存在一种无风险资产和N种风险证券的情况。考虑一个组合，在风险证券上的权重向量为，令表示他在所有风险证券上的总权重，则\n为它在无风险证券上的权重。重新定义，为一个完全由风险证券构成的组合，则。因此任意一个由无风险证券和N个风险证券构成的组合Z也可以等价表示成为一个无风险证券和一个只由风险证券构成的组合组合而成。期望收益率标准差CML存在无风险证券时候的前沿组合（MVF）投资在无风险资产上的比重是。（*）\n第一种情况：，则。全部资产投资于无风险资产。注解：根据（*），我们不难发现，与期望效用理论是相符合的：如果所有风险资产的预期收益率都为无风险收益率，那么投资者会将所有钱投资在无风险资产上。第二种情况：，则全部资产投资于风险资产。此时的组合称为切点组合（tangentportfolio）。其收益率满足：对于任意的MVF组合，满足\n，投资于风险证券的总权重不等于1.将上式代入（*）中，可以发现即得到：注解：1）这说明任意MVF组合是无风险证券和切点组合的线性组合。2）蓝色式子表明了存在一种无风险资产和n种风险资产时候的两基金分离定理。请大家思考为什么？3）现在应该可以推导出资本市场线：\n定理10：在所有投资者都按照均值方差偏好决策时，市场达到均衡时，切点组合就是市场组合。说明：由于对所有投资者而言，净借贷为0，因此所有投资者所持有的投资组合的组合就是市场组合，而且市场组合就是切点组合。市场组合的意义：前沿组合是理论意义上的,现实中很难找到，不具备可操作性，确定知道市场组合是前沿组合为实证研究提供了条件，也为资本资产定价模型找到了经济含义。定理11所有具有均值-方差偏好的参与者的组合选择都来自于资本市场线。注意：在均值－标准差平面上，CML是一条直线。但是在均值－方差平面上，CML就不再是一条直线了。假设投资者投资在风险资产上的比重为，那么投资在无风险资产的比重为1－，他承担的风险以标准差来表示为，以方差表示为，他获得的期望收益为。\n定义sharperatio对于任意由一个无风险资产和风险证券组合q构成的组合。以收益率的标准差作为风险的测度，收益率均值和无风险利率之差作为它的风险溢价。其单位风险所带来的风险溢价被称为他的sharpe比率。Sharperatio=注解1：在CML上，所有的投资组合具有相同的sharpe比率。事实上，假设投资者投资在风险资产上的比重为，那么投资在无风险资产的比重为1－，他承担的风险以标准差来表示为，他获得的超额期望收益为。Sharpe比率为。注解2：事实上，在资本市场线上组合具有最大的sharpe比率。如果投资组合来自CML，说明投资者承担的所有风险都得到了超额期望收益的补偿。定理12：存在无风险证券时，如果p是一个MVF组合，那么对任意的q，我们有\n证明：把p定义为市场组合，有资本资产定价模型:\n定理13CAPM：对于任意的证券j，其中，是证券j的市场贝塔值。1M注意：证券市场线是在与坐标平面上！资本市场线是在标准差-期望收益率坐标平面上。意义完全不同！一个资产的风险溢价与其承担的市场风险成正比，市场风险由它对市场组合的值来衡量。比率系数是，即市场组合的风险溢价。证券市场线的斜率为。资本市场线的斜率为Sharpe比率。\n剩余风险、非系统风险系统风险n在资本市场线上，投资者承担的每一份风险都可以得到超额收益的补偿。但在资本市场线外，只有组合的系统性风险才能得到超额收益的补偿。n风险资产的风险可以分解为系统性风险、非系统性风险。非系统性风险可以通过分散投资方式进行化解，系统性风险不能通过分散投资化解。注解：“如果一个组合的贝塔值很高，那么进一步风险分散化是可能的”。这句话是对的吗？n资本市场只对不能化解的风险给予补偿，因此高收益意味高风险，但高风险并不一定意味高收益。n在资本市场线上，资产组合的所有非系统性风险都得到了化解，因此其承担的每份风险都是系统性风险，都可以达到超额收益的补偿。资本资产定价模型的局限性1、并没有充分考虑到收益的概率分布，仅仅考虑前两阶矩。2、静态模型。3、同质预期。\n1、借贷利率相同。（思考题：如果借贷利率不相同，前沿组合曲线会发生什么样的变化？）2、假设供需相等时候获得的均衡价格，但不刻画供需函数，仅从均衡收益率向量来刻画。所谓均衡是单个资产的收益分布与所有资产的组合资产收益特征之间的均衡，当前观测到的就是均衡价格。3、CAPM的实证检验没有得到支持。市场组合应该包含所有资产，实证中常常使用替代变量。会产生什么样的影响？Ross（1977）提出三因素模型。尽管CAPM在实证中没有得到支持，仍然有很多应用，特别是在给风险现金流定价中。运用CAPM模型给风险现金流估价。传统方法：将风险现金流贴现。假设某项目j的未来现金流用一个随机变量来表示：1.以高于无风险利率的利率进行贴现。\n由此可知，项目按照经过风险调整后的贴现率，来对它的预期现金流进行贴现而得到现价。注解：利用这种方法给风险现金流定价需要知道，通常是按照同类资产的估计得到。1.继续按照无风险利率贴现。但是修正预期现金流本身。注解：利用这种方法给风险现金流定价需要知道未来现金流与市场组合收益率之间的协方差。通常由行业分析师或经验可以较准确的判断。