《高级计量经济学》-厦门大学经济学院) 195页

厦门大学经济学院高级计量经济学I\n高计的重要性高级计量经济学是现代经济学的三门核心课程之一。三高：高级计量经济学、高级宏观经济学、高级微观经济学\n\n其他参考书：达摩达尔.N.故扎拉蒂（DamodarN.Gujarati)《计量经济学基础》中国人民大学出版社（第四版）计量经济学导论：现代观点，伍德里奇，2003，中国人民大学出版社.李子奈、潘文卿编著《计量经济学》高等教育出版社2008-11李子奈、叶阿忠《高级计量经济学》清华大学出版社格林（WilliamH.Greene）《计量经济学分析》中国人民大学出版社（第六版）2009-09高铁梅《计量经济分析方法与建模：EViews应用及实例》清华大学出版社（第二版）2009-05\n教学大纲安排课程特点：应用型硕士生博士生注重计量理论和思想培养学生统计软件分析解决实际问题指导学生写实证论文\n第一章绪论计量经济学概述统计基本理论矩阵代数基本知识\n第一节计量经济学概述计量经济学释义计量经济学的功能计算机在计量经济分析中的应用\n1.1.1计量经济学释义一、计量经济学发展历史考察我们从发展的角度看计量经济学，它既是一部计量经济理论发展史，又是一部应用计量经济发展史。因为计量经济学的发展时刻离不开应用，它是在应用中诞生，在应用中成熟、独立，又在应用中不断地扩充自身的方法、内容和领域，从而改变了原有单一学科发展的思路，形成了现代计量经济学的分析思路和方法，充分的体现出了计量经济学旺盛的生命力。——应用是生命力、应用是王道！\n计量经济学发展历程计量经济学的发展可分为四个时期：（1）二十世纪20年代中至二十世纪40年代末，为经典计量经济学的产生与形成阶段；（2）二十世纪50年代初至二十世纪70年代中，为经典计量经济学的发展阶段；（3）二十世纪70年代末至二十世纪90年代中，为现代计量经济学形成阶段；（4）二十世纪90年代末至现在，为现代计量经济学的发展阶段。\n第一阶段经典计量经济学的产生与形成1、二十世纪20年代中至二十世纪40年代末，为经典计量经济学的产生与形成阶段。在二十世纪之前，面对错综复杂的经济现象，经济工作者主要是使用头脑直接对材料进行归纳、综合和推理。十九世纪欧洲主要国家先后进入资本主义社会。工业化大生产的出现，经济活动规模的不断扩大,需要人们对经济问题做出更精确、深入的分析、解释与判断。这就为计量经济学的诞生形成了社会基础。\n到二十世纪初，数学、统计学理论日趋完善为计量经济学的出现奠定了理论基础。十七世纪Newton-Leibniz提出微积分，十九世纪初（1809年）德国数学家Gauss提出最小二乘法，1821年提出正态分布理论。十九世纪末英国统计学家Galton提出“回归”概念。二十世纪20年代FisherR.（英1890-1962）和NeymanJ.D.（波兰裔美国人）分别提出抽样分布和假设检验理论。至此，数理统计的理论框架基本形成。这时，人们自然想到要用这些知识解释、分析、研究经济问题，从而诞生了计量经济学。\n“计量经济学”一词首先由挪威经济学家Frisch仿照生物计量学（biometrics）一词于1926年提出。1930年由Frisch，Tinbergen和Fisher等人发起在美国成立了国际计量经济学会。1933年1月开始出版“计量经济学”（Econometrica）杂志。目前它仍是计量经济学界最权威的杂志。二十世纪30年代，计量经济学研究对象主要是个别生产者、消费者、家庭、厂商等。基本上属于微观分析范畴。第二次世界大战后，计算机的发展与应用给计量经济学的研究起了巨大推动作用。从二十世纪40年代起，计量经济学研究从微观向局部地区扩大，以至整个社会的宏观经济体系，处理总体形态的数据，如国民消费、国民收入、投资、失业问题等。但模型基本上属于单一方程形式。\n第二阶段经典计量经济学的发展阶段2、二十世纪50年代初至二十世纪70年代中，为经典计量经济学的发展阶段。1950年以Koopman发表论文“动态经济模型的统计推断”和Koopman-Hood发表论文“线性联立经济关系的估计”为标志计量经济学理论进入联立方程模型时代。计量经济学研究经历了从简单到复杂，从单一方程到联立方程的变化过程。进入二十世纪50年代人们开始用联立方程模型描述一个国家整体的宏观经济活动。比较著名的是Klein于1950年构建的的美国经济波动模型（1921~1941）和1955年构建的美国宏观经济模型（1928~1950）。联立方程模型的应用是经济计量学发展的一个重要程碑。\n进入二十世纪70年代西方国家致力于更大规模的宏观模型研究。从着眼于国内发展到着眼于国际的大型经济计量模型。研究国际经济波动的影响，国际经济发展战略可能引起的各种后果，以及制定评价长期的经济政策。二十世纪70年代是联立方程模型发展最辉煌的时代。最著名的联立方程模型是“连接计划”（LinkProject）。截止1987年，已包括78个国家2万个方程。这一时期最有代表性的学者是L.Klein教授。他于1980年获诺贝尔经济学奖。\n第三阶段现代计量经济学形成阶段3、二十世纪70年代末至二十世纪90年代中期，为现代计量经济学形成阶段。因为二十世纪70年代以前的建模技术都是以“经济时间序列平稳”这一前提设计的，而战后多数国家的宏观经济变量均呈非平稳特征，所以在利用联立方程模型对非平稳经济变量进行预测时常常失败。从二十世纪70年代开始，宏观经济变量的非平稳性问题以及虚假回归问题越来越引起人们的注意。因为这些问题的存在会直接影响经济计量模型参数估计的准确性。\nGranger-Newbold于1974年首先提出虚假回归问题，引起了计量经济学界的注意。Box-Jenkins1976年出版《时间序列分析，预测与控制》一书。时间序列模型有别于回归模型，是一种全新的建模方法，它是依靠变量本身的外推机制建立模型。由于时间序列模型妥善地解决了变量的非平稳性问题，从而为在经济领域应用时间序列模型提供了理论依据，也为现代计量经济学方法的研究奠定了理论基础。现代计量经济学方法是以概率结构和参数都未知或者不稳定的问题为研究对象。\n此时，计量经济理论和应用研究面临一些亟待解决的问题，即如何检验经济变量的非平稳性；如何把时间序列模型引入经济计量分析领域；如何进一步修改传统的经济计量模型。Dickey-Fuller1979年首先提出检验时间序列非平稳性（单位根）的DF检验法，之后又提出ADF检验法。Phillips-Perron1988年提出Z检验法。这是一种非参数检验方法。。。。非平稳性检验时间序列的基本问题，但又没有完全解决的问题\nSargan1964年提出误差修正模型概念。当初是用于研究商品库存量问题。Hendry-Anderson(1977)和Davidson(1978)的论文进一步完善了这种模型，并尝试用这种模型解决非平稳变量的建模问题。1980年Sims提出向量自回归模型（VAR）。这是一种用一组内生变量作动态结构估计的联立模型。这种模型的特点是不以经济理论为基础，然而预测能力很强。以上成果为协整理论的提出奠定基础。\n现代计量经济学发展的标志性成果之一，是1987年Engle-Granger发表论文“协整与误差修正，描述、估计与检验”。该论文正式提出协整概念，从而把计量经济学理论的研究又推向一个新阶段。Granger定理证明若干个一阶非平稳变量间若存在协整关系，那么这些变量一定存在误差修正模型表达式。反之亦成立。1988-1992年Johansen（丹麦）连续发表了四篇关于向量自回归模型中检验协整向量，并建立向量误差修正模型（VEC）的文章，进一步丰富了协整理论。\n协整理论之所以引起经济计量学界的广泛兴趣与极大关注是因为协整理论为当代经济学的发展提供了一种理论结合实际的强有力工具，也标志着现代计量经济分析方法的真正形成。另外，对经典计量经济学方法论反思的同时，推动了非参数分析方法的产生和发展，拓宽了现代计量经济学理论研究和应用领域。在这方面的研究，促使人们开始考虑脱离预先设定参数模型的计量经济分析，着眼于非参数分析方法和半参数分析方法的研究。实际上，非参数分析和非参数统计有很大的关系，其实质是对概率分布比较弱的设定，非参数分析的关键主要是一些非参数的估计方法。\n第四阶段现代计量经济学发展阶段4、二十世纪90年代末至现在，为现代计量经济学的发展阶段。最近十多年是经济计量学快速发展的十多年。不仅在非平稳经济时间序列的研究取得了长足进展，而且在对特殊研究对象和特殊应用问题等方面，现代计量经济学研究也取得了显著的成绩。在计量经济分析中利用的数据类型有了本质性的变化，从截面数据、时间序列数据发展到了面板数据。只用时间序列数据或截面数据进行计量经济分析，其数据都是一维的信息载体，信息的容量比较有限。而利用面板数据可以增加模型的自由度，降低解释变量之间的多重共线性程度,从而可能获得更精确的参数估计值。\n此外，面板数据可以进行更复杂的行为假设，并且能控制缺失或不可观测变量的影响，也为计量经济分析方法的深入研究开拓了广阔的空间。例如，在区域科学模型的计量分析中，处理空间引起的特殊性的一系列方法，就涉及到近年来计量经济学研究的热点之一的空间计量经济分析方法。这里我们可以充分的体会到，理论的进展、数据的可用和计算机本身的发展给现代计量经济的发展注入了新的活力。随着现代信息技术和互联网的发展，使得截面数据的统计调查有了更大的可能和降低了成本，并促之了微观计量、离散选择和受限变量等问题的研究。此外，行为经济学的发展也使得微观计量分析受到了更大的重视。\n2000年诺贝尔经济学奖得主Heckman和McFadden，就是在微观计量经济分析方面研究的开创和奠基者。从应用的角度看，根据不同的领域现代计量经济分析方法，体现出了不同的特点，针对不同领域的专门计量经济学，如宏观计量经济分析和金融计量经济分析等，都有了很大的发展，这与计算机技术的迅猛发展和计量软件的广泛应用有着密切的关系。同时，也充分体现出了科学的融合，将会进一步促进现代计量经济学的发展。\n二、计量经济学的性质我们通过对计量经济学的发展历史的考察，对计量经济学的性质有了更明朗化的认识。随着时代的变迁，社会的发展，对计量经济学的概念又有了更深层次的理解。计量经济学学会的创始人Fisher（1933）在《计量经济学》期刊的创刊号中指出：“计量经济学学会的目标是促进各界实现对经济问题定性与定量研究和实证与定量研究的统一，促使计量经济学能像自然科学那样，使用严谨的思考方式从事研究。但是，经济学的定量研究方法多种多样，每种方法单独使用都有缺陷，需要与计量经济学相结合。\n1954年Samuelson和Koopmans著名等经济学家在计量经济学家评审委员会的报告中认为：“计量经济学可定义为，根据理论和观测的事实，运用合理的推理方法使之联系起来同时推导，对实际经济现象进行数量分析”。《美国现代经济词典》认为：“计量经济学是用数学语言来表达经济理论，以便通过统计方法来论述这些理论的一门经济学分支”。\n尽管这些经济学家对计量经济学概念表述各不相同，但可以看出，计量经济学不是对经济学的一般量度，它与经济理论、统计学和数学都有密切的关系。实际上，计量经济学的概念可以概况为：“计量经济学是以经济理论和经济数据为基础，运用数学方法，利用统计思想，对社会经济现象进行数量关系和规律性分析，以及对经济理论进行验证的一门经济学科”。这里我们应该注意到，计量经济学所研究的主体是经济现象及其发展变化的规律，从本质上讲，它是一门经济学科。在计量经济分析过程中时刻体现着利用统计的思维来寻找社会经济现象的发展规律，这样计量经济学当然会应用大量的数学方法，但数学在这里只是工具，而不是研究的主体。\n计量经济学的研究目的是要把实际经验的内容纳入经济理论，确定表现各种经济关系的经济参数，从而验证经济理论，预测经济发展趋势，为制订经济政策提供科学的依据。计量经济学不仅要寻求经济计量分析的方法，而且要对实际经济问题加以研究，以达到解决研究目的的理论和方法。从理论方面（理论计量），计量经济学研究的是如何建立合适的方法去测定由计量经济模型所确定的经济关系；从应用方面（应用计量），计量经济学是运用理论计量经济学提供的工具，研究经济学中某些特定领域的经济规律问题。课程目的：学会利用计量方法研究实际经济问题，发现经济规律。\n1.1.2计量经济学的功能目前，计量经济学不仅自身得到了迅速的发展，而且也在现代经济分析中起着重要的作用，发挥着计量经济学应有的功能。宏观经济学、微观经济学和计量经济学一起构成了现代经济学教学的三大基本课程，从现代经济学研究的一般思路中，可以充分的体现出计量经济学在现代经济学中的地位。\n第一，收集数据和总结经验特征事实。经验特征事实一般从观察到的经济数据中提炼出来。比如，微观经济学中著名的恩格尔曲线就是一个经验特征事实，它刻画家庭生活用品支出占总收入的比例随着家庭总收入的上升而递减；宏观经济学中一个著名的经验特征事实是菲利普斯曲线，它描述一个经济的失业率和通货膨胀率之间的负相关关系。经验特征事实是经济学研究的出发点，比如，时间序列计量经济学中的单位根和协整理论，就是基于Nelson和Plossor（1982）在实证研究中发现大多数宏观经济时间序列都是单位根过程这一经验特征事实而发展起来的。\n第二，建立经济理论或模型。找到经验特征事实以后，建立经济理论或模型，以解释这些经验特征事实。这一阶段的关键是建立合适的经济数学模型。第三，实证检验。这一步的工作需要把经济理论或模型转化为可用数据检验的计量经济模型。经济理论或模型通常只指出经济变量之间的因果关系和数量关系，没有给出确切的函数形式。从经济数学模型到计量经济模型的转化过程中，需要对函数形式作出假设，然后利用观测到的数据，估计未知参数值，并进一步验证计量经济模型的设定是否正确。\n第四，模型应用。计量经济模型通过实证检验后，可用来检验经济理论或经济假说的正确性，预测未来经济的变动趋势以及提供政策建议。可以看出，对经济理论进行数学建模和对经济现象进行实证分析已成为现代经济学的两个基本分析方法。事实上，现代经济学可以看作是，具有比较严密的理论基础和分析方法体现，由适合不同研究对象、研究目的的大量经济理论和经济计量模型构成的庞大的学科体系。\n1.1.3计算机在计量经济分析中的应用从计量经济学产生和发展的历史我们可以看到，在计量经济分析的过程中，对计量经济学的昌盛发展起决定性作用的工具就是高速的计算工具——计算机。没有计算机的发展就没有现代计量经济学。首先，应在计量经济学教学中大力加强通用计量应用软件的教学。在国外比较流行的统计应用软件如SAS、SPSS、Eviews、Gauss、Mathematica、S-Plus、R、stata、Minitab、Excel等，这些软件在计量经济分析方面各有特色，可以根据实际有重点的选择应用软件，例如，SPSS具有非常强的统计分析功能，适合于为计量分析做事前处理，比如多元变量降维，即数据收集、整合、假设检验等等工作，做回归分析SPSS的能力不是十分全面和方便；\nExcel是常用的数据收集软件，它普及率高，一般人都用过，使用方便，数据收集只需要添写表格即可，有些数据下载就是用Excel文档保存的。至于数据分析与回归，Excel只能做比较简单的，稍微复杂一点就要自己编写程序；EViews是专门的计量经济学软件，专用于回归分析，如广义最小二乘法、间接最小二乘法、两阶段和三阶段最小二乘法、面板数据回归分析、时间序列模型调整等等操作；\nGauss数学和统计系统是一个易于使用的基于强有力的Gauss矩阵语言的数据分析系统，其操作简单、快速且具弹性，包括广泛的转换、统计、数学及矩阵函数，它是计量经济学编程计算的非常有效和强大的工具。因此，加强计量经济学应用软件的教学十分重要。\nSPLUS是统计学家喜爱的软件。不仅由于其功能齐全，而且由于其强大的编程功能，使得研究人员可以编制自己的程序来实现自己的理论和方法。它也在进行“傻瓜化”以争取顾客。但仍然以编程方便为顾客所青睐。R软件：这是一个免费的，由志愿者管理的软件。其编程语言与S-plus所基于的S语言一样，很方便。还有不断加入的各个方向统计学家编写的统计软件包。同时从网上可以不断更新和增加有关的软件包和程序。这是发展最快的软件，受到世界上统计师生的欢迎。是用户量增加最快的统计软件。对于一般非统计工作者来说，主要问题是它没有“傻瓜化”。\nStataStata是一套提供其使用者数据分析、数据管理以及绘制专业图表的完整及整合性统计软件。它提供许许多多功能，包含线性混合模型、均衡重复反复及多项式普罗比模式。Stata是一个统计分析软件，但它也具有很强的程序语言功能，这给用户提供了一个广阔的开发应用的天地，用户可以充分发挥自己的聪明才智，熟练应用各种技巧，真正做到随心所欲。事实上，Stata的ado文件(高级统计部分)都是用Stata自己的语言编写的\n应注重于应用，根据经济管理类专业的课程特点，处理好计量经济分析应用软件课程教学与计量经济学方法课程教学间的关系，尽可能把它们有机地结合起来。这样不仅能突出有关计量经济分析方法课程的应用特色，更好地理解其原理、基本思想及适用条件，而且能使学生通过课程的反复学习，熟练掌握计量经济分析软件的使用。在计量经济学的教学中，加强计算机的应用教学就显得尤为重要。\n针对实际问题，根据经济理论，建立计量经济模型后，计算机计量经济学分析的基本过程为：1、根据确立的指标体系，组织数据。数据的组织实际上就是数据库的建立。数据组织有两步。第一步是编码，即用数字代表分类数据（有时也可以是区间数据或比率数据）。第二步是给变量赋值，即设置变量并根据研究结果给予其数字代码。\n2、根据计量经济分析的需要，录入数据。数据的录入就是将编码数据输入计算机、即输入已经建立的数据库结构，形成数据库。数据录入关键的是保证录入的正确性。录入错误主要有认读错误和按键错误。在数据录入后还应进行检验，检验可采取计算机核对和人工核对两种方法。3、根据计量经济学理论，分析数据。首先根据研究目的和需要确定计量经济分析方法，然后确定与选定的计量经济分析方法相应的运行程序，既可以用计算机存储的分析程序，也可以用其他的数据分析软件包中的程序。4、根据实际分析的需要，输出分析结果。经过计量经济分析，计算结果可用计算机打印出来，输出的形式有列表、图形等。\n参考文献洪永淼.计量经济学的地位、作用和局限.经济研究,2007(5):277-301成九雁、秦建华.计量经济学在中国的发展轨迹.经济研究，2005（4）：116-122洪永淼、汪寿阳.论中国计量经济学教学与研究.workingpaper.\n第二节统计基本理论随机变量及其分布统计推断理论随机过程及其平稳性\n1.2.1随机变量及其分布一、随机变量随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系，例如在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中我们关心的是某时刻正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某段时间中的话务量，它与呼叫的次昂数及每次呼叫占用交换设备的时间长短有关。此外如测量时的误差，气体分子运动的速度，信号接收机所收到的信号（用电压表示或数字表示）的大小，也都与数值有关。为了更好地描述这一问题，最直接明了的方法就是用数量来与结果对应。\n例如，买彩票时，用0表示“未中奖”，用1表示“中一等奖”，2表示“中二等奖”，3表示“中三等奖”。将每个结果对应于一个数，也就等价于在样本空间上定义了一个“函数”，对于试验的每一个结果，都可以用一个实数来表示。这个量就称为随机变量（randomvariable）。我们对随机变量所关心的，不但要知道它取什么数值，而且要知道它取这些数值的概率。这样，了解随机现象的规律就变成了解随机变量的所有可能取值及随机变量取值的概率。而这两个特征就可以通过随机变量分布来表现出来。\n二、离散型随机变量分布从随机变量的可能出现的结果来看，随机变量至少有两种不同的类型。一种是随机变量所可能取的值为有限个或至多可列个，能够一一列举出来，这种类型的随机变量称为离散型随机变量。在日常生活中经常碰到离散型随机变量，例如废品数、电话呼叫数、人口调查等等。其随机变量分布就称为离散型随机变量分布。离散因变量模型\n如果随机变量X的取值可以一一列出，记为，而相对于所取的概率为,即，｛｝称为随机变量X的概率分布,它应满足下面关系：（1.1）（1.2）\n则当和已知时，这两组值就完全描述了随机变量的规律，此时把如下的表示方法称为该随机变量的分布列：（1.3）对于集合｛｝中任何一个子集，事件“在中取值”即“”的概率为（1.4）\n三、连续型随机变量的概率密度与离散型随机变量有所不同，一些随机变量X的取值不可列。例如测量误差、分子运动速度、候车时的等待时间、降水量、风速、洪峰值等等皆是。考虑市场上对于某种商品的需求量就不可能具体地一一列出，只能列出大概的范围，如[2000,5000]。这时用来描述随机变量还是样本点的函数：严格写应是，其中。但是这个随机变量可能取某个区间或的一切取值。\n定义1.1对于随机变量，如果存在一个非负可积函数，，使对于任意两个实数a，b(a1，X1，X2，…，Xn相互独立)，且具有相同的数学期望和方差那么对于任意的，有(1.51)\n可以看出贝努里大数定律其实是切比雪夫大数定律的特例，从切比雪夫大数定律来看，我们可以说，大量的独立随机因素对总体的影响当进行平均后在总体平均数那里稳定下来，它反映了随机因素综合作用的结果，这就是大数定律的意义。\n（三）中心极限定理设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，且服从同一分布，该分布存在有限的期望和方差，（i=1，2，…)。令，则(1.52)也就是说，当n趋于无穷大时，Yn的分布趋向于标准正态分布N（0，1）。\n关于中心极限定理的两个推论：(1)均值的分布近似于正态分布。(2)n项和的分布近似于正态分布。从上述定理可以得出结论：对于独立同分布的随机变量X1，X2，…，Xn，无论其服从何种分布，只要它的期望与方差存在，当n充分大时，平均数就近似服从正态分布。\n1.2.2统计推断理论统计学的重要内容之一就是统计推断，它包括参数估计和假设检验等等。在计量经济学理论中，回归分析就是根据样本推断总体的情况，就是一种统计推断。一、统计量与抽样分布抽样的目的是为了利用样本估计或推断总体的各种性质。那么估计量就应该是样本的函数而且这个函数本身不能含有总体的未知参数。\n定义1.22设是来自总体X的样本，是一个不含总体分布的未知参数的函数，那么随机变量就称为（样本）统计量，其概率分布就称为抽样分布。\n在计量经济分析中，常用的统计量有：(1)k阶样本原点矩特别地，当时，k阶样本原点矩就是样本均值（平均数）(1.53)\n(2)样本方差与标准差(1.54)(3)k阶样本中心矩(1.55)\n我们知道抽样分布就是统计量的概率分布，有一个我们已经知道的结果是假如总体，那么样本均值。在假设总体服从正态分布的条件下，我们还有更多的重要统计量的抽样分布的结果。\n设总体，是来自X的简单随机样本，那么(1)和相互独立；(2)或；(3)（自由度为的分布）；(4)（自由度为的t分布）。\n这里我们应该主要到，这些结果在统计推断中有重要应用，唯一遗憾的是这些结论要求总体服从正态分布。然而，幸运的是，当这个条件不满足时，只要样本量充分大，同时符合中心极限定理的要求，那么根据中心极限定理我们仍有或近似成立。\n二、参数的点估计(pointestimation)点估计就是设总体随机变量的分布函数形式为已知，但它的一个和多个参数未知，若从总体中抽取一组样本。用该组数据来估计总体的参数，称参数的点估计。点估计的方法很多，在计量经济分析中常用的方法有矩估计、最大似然法、最小二乘法等，我们这里主要介绍这些方法的基本原理。\n（一）矩估计法(ME)对总体参数进行估计，最容易想到的方法就是矩估计法，它是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得有关参数的估计量。在统计学中，矩是指以期望为基础而定义的数字特征。例如数学期望、方差、协方差等。矩可以分为原点矩和中心矩两种。设X为随机变量，对任意正整数k，称为随机变量X的k阶原点矩，记为(1.56)\n当时可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。我们把（1.57）称为以为中心的k阶中心矩。显然，当时，可见二阶中心矩为随机变量X的方差。\n一般情形，如果随机变量X包含k个未知参数，其分布函数记为。假设X的k阶原点矩存在，即针对总体一组样本而言，就可以作出k个样本矩，即\n将这些样本矩代入各个总体矩方程，把其中的参数换成估计量，得到方程组解出其中的，就得到的估计量矩估计法简便、直观，比较常用。但是也有其局限性：首先，它要求总体的阶原点矩存在，若不存在则无法估计；其次，矩估计法不能充分地利用估计时已掌握的有关总体分布形式的信息。\n（二）最大似然估计(MLE)最大似然估计基本原理是：随机变量分布参数水平虽然未知，但在数据生成过程中起着重要的作用，不同的参数水平生成特定数据集的可能性不同，因此可以根据生成样本的可能性大小估计参数水平。最大似然估计的核心是确定似然函数。设描述总体的随机变量X的概率密度函数为，其中都是总体的未知参数。从总体中抽取一组样本为，这里注意到，对一维随机变量进行ｎ次测量得到的ｎ个测量值可以看成是对ｎ维独立的随机向量进行一次测量得到的ｎ个测量值。那么ｎ维随机向量的联合概率密度为\n这个联合概率密度反映了生成这组数据的可能性大小，是未知参数的函数称为似然函数，记为（1.58）对于给定的，使似然函数（1.58）式达到最大的的估计值，就称为的“最大似然估计”。\n这里需要强调的是，似然函数的形式通常比较复杂，直接求解最大值问题比较困难。为此常利用自然对数函数的有关性质，即单调性和对数变换不改变最大值的性质。先用自然对数对似然函数作变换，得到对数似然函数，在对对数似然函数求最大值。\n（三）最小二乘估计(OLS)最小二乘法是估计随机变量参数最基本的方法，也是计量经济分析中应用最早最广泛的参数估计方法。最小二乘法的基本原理是根据随机变量理论值与观测值的离差平方和最小来估计参数。设是K各变量的函数，含有m个参数，即（1.59）如果是的估计量，那么（1.60）就是的近似，称为理论方程。\n设和观测值为，将其代入（1.60）式就得到了的一组理论值，即这样，理论值和实际观测值之间的偏差的总体情况，在很大程度上反映的就是参数估计的好坏。如果有一组参数估计水平，能够使得理论值和实际观测值之间的偏差平方和，\n即（1.61）得到最小，就是参数的较好的估计，称为最小二乘估计。最小二乘法在计量经济分析中会经常的使用，关于找参数最小二乘估计量的过程将在第二章详细介绍。\n三、估计量的优良标准前面介绍了总体参数的的估计方法。对于同一参数，用不同的方法来估计，可能得到不同的估计量。但究竟采用哪种方法为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。判别点估计优良性的关键是：线性性、无偏性、有效性和一致性。\n（一）线性性(linear)参数估计量的一个重要性质就是线性性，所谓线性性就是参数估计量是随机变量观测值的线性组合。具有线性性的参数估计量也称为线性估计。例如，最大似然估计和矩估计中，正态分布的数学期望的估计，就是随机变量观测值的线性组合，其估计量为线性估计。线性性之所以重要，就是因为参数估计量可以表示为随机变量观测值的线性组合，意味着估计量与随机变量有相同类型的概率分布。这是考察估计量性质，并利用它们的分布特征进行统计推断的重要依据。\n（二）无偏性(unbias)若要求估计量的数学期望等于待估计参数的真值。即（1.62）则称为的满足无偏性准则的估计量。例如，样本均值是总体均值的一个无偏估计量。但样本方差不是总体方差的无偏估计量。\n事实上，因为表示n次观测结果的n个独立随机变量，且这n个独立随机变量是来自同一总体，因而有相同的分布律，从而有相同的期望值和均方差。那么所以，样本均值是总体均值的一个无偏估计量。\n又因为所以不是的无偏估计量。\n通常我们用来计算样本方差，这是因为即是的无偏估计量。\n这个性质是通过估计量推断参数真实值的重要基础。同时具有线性性和无偏性参数估计量称为线性无偏估计量。线性无偏估计是参数估计中比较重要的一部分，在统计推断方面起着重要的作用。\n（三）有效性无偏性只考虑估计值的平均结果是否等于待估参数的真值，而不考虑每个估计值与待估参数真值之间偏差的大小和分布程度。我们在解决实际问题时，不仅希望估计是无偏的，更希望这些估计值的偏差尽可能地小。通常我们用偏差的平方的期望值来衡量估计量偏差的大小，称之为均方误差，并记为（1.63）\n若为的无偏估计量，其均方误差等于其方差设、为的两个无偏估计量，若的方差小于的方差，即（1.64）则称是较有效的估计量。这里我们需要注意的是，仅仅满足有效性不一定是好的估计量，只有同时满足线性性、无偏性和有效性的估计量才是最有价值的，这时的参数估计量称为最小方差线性无偏估计，或称为“最优线性无偏估计”（bestlinearunbiasedestimate，BLUE）。\n（四）一致性(consistency)设未知参数的估计量，当时，要求按概率收敛于。即（为任意小正数）（1.65）则称为的满足一致性标准要求的估计量。一致性标准说明：当样本单位数（或样本容量）n越来越大时，估计量接近于被估计量的概率为1。样本平均数作为总体数学期望的一个估计量就满足一致性准则要求。这里应该注意到，一致性准则要求是从极限性质来说的，这个性质只对于样本容量较大时才起作用。\n四、区间估计（intervalestimation)上面介绍的点估计，有优点但也有缺陷。点估计最大的优点就在于它能够提供总体参数的具体估计值，可以作为行动决策的数量依据，并且这种方法也很简单。但任何事情都有两面性，这种简单的参数估计方法存在三个方面的局限性，一是这种估计方法似乎与样本容量的大小没有关系；二是点估计得到的估计值不是对就是错，但由于总体参数的未知性，我们永远不知它到底是对还是错的，即我们不可能得到它的误差情况；三是由于第二方面的局限性，我们无从得到这种估计的可靠程度。这三个方面的情况却是我们对参数估计时非常想了解的。因此，必须有一种新的方法，它能够克服点估计的缺陷，这种方法就是区间估计。\n所谓区间估计，就是估计总体参数的区间范围，并要求给出区间估计成立的概率值。设和是两个统计量（<），分别作为总体参数区间估计的下限和上限，则要求：（1.66）式中1-是区间估计的置信水平或置信度，其取值大小由实际问题确定，通常人们取99%、95%和90%，是置信水平（度）为的的置信区间。区间估计的特点是，给出总体参数的一个估计区间，总体参数恰好在这个区间内的概率不要求达到1，可放低要求，减去一个小概率，即达到就行了。\n置信区间表达了区间估计的准确性（或精确性）,置信水平（度）表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率。例如或99%，是说所估计的置信区间平均每100次中有99次会包含总体参数。当然，这里我们应该注意，在进行区间估计时，必须同时考虑置信度和置信区间两个方面，即置信度定的愈大（即估计的可靠性愈大），则置信区间相应也愈大（即估计准确性愈小），所以，可靠性和准确性要结合具体问题，具体要求来全面考虑。\n五、假设检验（hypothesistest）在计量经济分析中，假设检验理论起着举足轻重的作用，t检验、F检验、DW检验、Chow检验、平稳性检验、自相关检验、LM检验、wald检验、似然比检验等归纳起来主要是验证变量关系的显著性、模型的合理性以及经济理论的适用性等等。\n（一）假设检验的基本思想假设检验的基本思想为：第一，对所考察总体的分布形式或总体的某些未知参数做出某些假设，称之为原假设(Nullhypothesis)。第二，根据检验对象构造合适的检验统计量(statistics)，并通过数理统计分析确定在原假设成立的条件下该检验统计量的抽样分布。第三，在给定的显著性水平下，根据抽样分布得出原假设成立时的临界值(criticalvalue)，由临界值构造拒绝域和接受域。第四，由所抽取的样本资料计算样本统计量的取值，并将其与临界值进行比较，从而对所提出的原假设做出接受还是拒绝的统计判断。假设检验就是利用样本中所蕴含的信息对事先假设的总体情况做出推断。假设检验不是毫无根据的，而是在一定的统计概率下支持这种判断。\n假设检验所遵循的推断依据是统计中的“小概率原理”：小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的。通常概率要多大才能算得上是小概率呢？假设检验中把这个小概率称为显著性水平，其取值的大小与我们能否做出正确判断有着相当大的关系。然而，的取值并没有固定的标准，只能根据实际需要来确定。一般地，取0.05（5％），对于一些比较严格的情况，它可以取0.01或者更小。越小，所做出的拒绝原假设的判断的说服力就越强，当然，不管有多么地小，也不能代表小概率事件没有发生的可能，这也正是假设检验与数学上“反证法”的不同之处。所以，对于拒绝或者接受，都只是统计意义上的，并不是完全意义上的。\n事先建立假设，是假设检验中关键的一项工作。它包括原假设和备选假设两部分。原假设(Nullhypothesis)是建立在假定原来总体没有发生变化的基础之上的，也就是总体参数没有显著变化。备选假设(alternativehypothesis)是原假设的对立，是在否认原假设之后所要接受的内容，通常这是我们真正感兴趣的一个判断。假设检验按照所检验内容的不同，可以分为参数检验和非参数检验。对已知总体分布的某个未知参数进行检验，称为参数检验；对总体的分布形式进行检验，则称为非参数检验。在计量经济分析中，两方面内容的检验都会遇到。\n根据上面假设检验的基本思想，给出假设检验的步骤：第一，首先根据实际应用问题确定合适的原假设和备选假设；第二，确定检验统计量，通过数理统计分析确定该统计量的抽样分布；第三，给定检验的显著性水平。在原假设成立的条件下，结合备选假设的定义，由检验统计量的抽样分布情况求出相应的临界值，该临界值为原假设的接受域与拒绝域的分界值；第四，由样本资料计算检验统计量的值，并将其与临界值进行比较，对接受或拒绝原假设做出判断。\n从检验程序我们可以看出，统计量的取值范围可以分为接受域和拒绝域两个区域。拒绝域就是统计量取值的小概率区域。按照拒绝域是安排在检验统计量的抽样分布的某一侧还是两侧，可以将检验分为单侧检验和双侧检验。单侧检验中，又可以根据拒绝域是在右侧还是在左侧而分为右侧检验和左侧检验。\n（二）P值检验与两类错误P值检验的原理：建立原假设后，在假定原假设成立的情况下，参照备选假设，可以计算出检验统计量超过或者小于（还要依照分布的不同、单侧检验、双侧检验的差异而定）由样本所计算出的检验统计量的数值的概率，这便是P值；而后将此P值与事先给出的显著性水平进行比较，如果P值小于，也就是说，原假设对应的为小概率事件，根据上述的“小概率原理”，我们就可以否定原假设，而接受对应的备选假设。如果P值大于，我们就不能否定原假设。\n在假设检验中，对假设的检验判断是依据样本实际资料所计算的统计量的值与临界值的比较来做出的。由于样本的随机性、样本信息的分散性等原因，这种合理的假设检验，总是无法让我们百分百的肯定所做出结论的正确性。也就是说，我们有可能会做出错误的判断，这种风险是客观存在的。实际上，依据真实总体情况，我们应该接受原假设，但根据样本信息，却做出拒绝的错误结论，称这种错误为“弃真”错误；此外，我们也可能犯这样的错误：实际的总体情况是应该拒绝原假设，而我们却接受了它，称此为“纳伪”错误。\n通常记为犯“纳伪”错误的可能性大小。由于两类错误是一对矛盾，在其他条件不变的情况下，减少犯“弃真”错误的可能性（），势必增大犯“纳伪”错误的可能性（），也就是说，的大小和显著性水平的大小成相反方向变化。\n（三）检验功效由于为犯“纳伪”错误的可能性大小，或者说表示出现接受不真实的原假设的结论的概率，那么1-就是指出现拒绝不真实的原假设的概率。若1-的数值越接近于1，表明不真实的原假设几乎都能够被拒绝。诚然，如果1-的数值接近于0，表明犯“纳伪”错误的可能性很大。因此，1-可以用来表明所做假设检验工作好坏的一个指标,我们称之为检验功效。它的数值表明我们做出正确决策的概率为1-。\n一个好的检验法则总是希望犯两类错误的可能性与都很小，但是这在一般场合下是很难实现的。要使得小，必然导致大，若要使小，必导致增大。在实际检验中，一般首先控制犯“弃真”错误的概率，也就是事先给出的显著性水平的数值尽量地小，在其它条件不变的情况下，增加犯“纳伪”错误的可能性，即增大，从而使得检验功效（）减弱。在此情况下，如何增强检验功效？解决的唯一办法只有增大样本容量，这样既能保证满足取得较小的，又能取得较小的值，一举两得。然而实际上样本容量的取得是有限制的，只能根据实际来确定。\n1.2.3随机过程及其平稳性计量经济分析普遍使用的时间序列数据可以看成是随机过程生成的，是特定随机过程的“实现”。因此计量经济分析与随机过程理论，有非常密切的关系。\n一、随机过程及其概率分布（一）随机过程的定义随机过程就是一系列具有顺序性和内在联系的随机变量的集合。例如，一个银行一天中各个小时吸收的存款数都是随机变量，如果把各个时间整点的存款累计数作为整体联系起来看，就形成了一个有序的随机变量集合，就是一个随机过程。同样的，一个国家的GDP或者人口数量、一个地区引进外资的数量等，在不同时点的水平也都构成随机过程。\n定义1.23随机过程即随机变量族，其中是给定的实数集，对应每个的是随机变量。随机过程的特点很大程度上取决于T，注意在其他随机过程中T不一定是时间集合。\n一般地，当T是可数集时，称为“离散型随机过程”；当是连续集合时，称为“连续型随机过程”；当T是整数集合时，称为“随机序列”。当进一步明确参数t代表时间，T代表时间集合时，则随机序列也称为“时间序列”。时间序列是以离散时间为T集合的离散型随机过程，时间序列数据则是这种随机过程的“一条轨迹”，或称“一个实现”。函数数据时间序列\n（二）随机过程的分布特征性随机过程的性质也由概率分布反映。随机过程是有结构性的许多随机变量的集合，其概率分布与单个随机变量的概率分布肯定不同。由于随机过程包含的随机变量常常非常多，因此用所有随机变量的联合分布表示也有困难。一般由其有限维分布函数族反映随机过程的分布特征和性质。\n定义1.24设是一个随机过程。对任意正整数n，以及任意的，随机变量的联合分布函数为（1.67）则称（1.67）式称为随机过程的一个有限维分布函数族。\n有限维分布函数族能够完整地刻画随机过程，但与随机变量的分布函数一样，常常并不容易处理。为此，同样可以借鉴单个随机变量的方法，用均值、方差等数字特征刻画随机过程的主要特征。由于随机过程是随参数变化的随机变量集合，因此随机过程的均值、方差等也与参数有关的函数。\n(1)均值函数。对每个，随机变量的数学期望（均值）为（1.77）称为随机过程的均值函数。（1.77）式中是的分布函数。\n(2)协方差和方差函数。对任意的，则（1.78）称为随机过程的协方差函数。（1.78）式中是均值函数。由于求协方差的随机变量是同一个指标对应不同参数的水平，因此这种协方差函数也常称为自协方差函数。特别地，当时，称（1.79）为随机过程的“方差函数”。\n（一）随机过程平稳性的概念随机过程在时间序列计量经济分析中最重要的一种性质是平稳性，一般直接称为时间序列或时间序列数据的平稳性。随机过程有严平稳和弱平稳两种平稳性，它们有内在联系，但不一定存在包含关系，只有在特定情况下才是一致的。二、随机过程的平稳性（stationary)\n定义1.25如果一个随机过程在任意时点概率分布的特性不受时间原点改变的影响，则称该随机过程是严平稳的。严平稳的条件是：任意m个时刻观测值的联合概率分布，与时刻观测值的联合概率分布相同，即1、严平稳\n严平稳性隐含任意时刻随机变量的概率分布相同，任意两个或多个时刻随机变量的联合分布、相关性最多只与时间间隔有关，而与时间本身无关。进一步意味着当各个时点随机变量存在有限均值和方差时都是相同的常数，即和都是与t无关常数，而当两个随机变量存在有限协方差时，协方差只与两个随机变量的时间间隔有关，而与时间本身无关，即与t无关（可能为0）。对各个可能存在的高阶矩也有相同的要求。\n严平稳性的要求是相当高的，不仅比较难满足，而且现实应用中也很难验证。现实应用中采用的常常是另一种相对较弱的，只要求前二阶矩稳定和不随时间变化的弱平稳性定义。定义1.26如果一个随机过程，满足下列三个要求：(1)（u为常数，t与无关）；(2)（为常数，与t关）；(3)（与t无关，可能为0）。则称为弱平稳的或协方差平稳的。2、弱平稳\n严平稳性一般情况下强于弱平稳性。但严平稳也并不一定隐含弱平稳，因为严平稳过程各随机变量的一阶、二阶矩并不一定存在。因为只有平稳随机过程才有稳定的趋势（期望）、波动性（方差）和横向联系（协方差），因此以稳定的均值、方差和相互关系为基础的统计推断，都以随机过程、时间序列过程的平稳性为基础。统计推断是计量经济分析的核心，因此时间序列的平稳性正是时间序列数据计量经济分析模型的基础和隐含假设。由于计量经济分析对随机过程平稳性的要求主要是前二阶矩不变意义上的，而且弱平稳概念使用比较方便，因此计量经济学分析中更重要的是弱平稳性，今后谈到平稳性时通常指的就是弱平稳性。\n为了增加对随机过程平稳性的感性认识，这里介绍几个常见的平稳和非平稳随机过程的例子。1、白噪声过程最常见和重要的平稳随机过程之一是白噪声过程和白噪声序列（whitenoisetimeseries）。定义1.27若一个随机过程满足：（1）；（2）；（3）。那么，这个随机过程称为一个白噪声过程或白噪声序列。（二）几个常见的平稳和非平稳随机过程\n把白噪声过程满足的要求与随机过程平稳性的定义进行对照，不难看出白噪声过程完全满足弱平稳随机过程的定义，因此是平稳的。白噪声序列在计量经济分析中有很多应用。经典回归模型的误差项就常假设为白噪声。白噪声序列也是构成各种平稳、非平稳时间序列模型的基础，因此也是时间序列分析的重要基础。\n另一种重要的基本平稳随机序列是独立同分布（independentidentitydistributionseries）。定义1.28如果一个随机过程满足各个时点的是相互独立，而且服从完全相同分布的随机变量，则称该随机过程为一个独立同分布过程或独立同分布序列。因为独立同分布过程各个时点随机变量的联合分布一定满足2、独立同分布过程\n因此独立同分布过程满足严平稳性的定义，属于严平稳过程。如果的一阶、二阶矩都存在，那么同分布性保证所有时点的一阶、二阶矩相同，即和都是与t无关的常数，独立性保证对任意都成立，因此必然也是弱平稳的。独立同分布随机过程在统计和计量经济分析中也有着非常重要的作用。白噪声序列与独立同分布序列的关系：如果白噪声序列是正态序列，也一定是独立同分布序列。\n非平稳随机过程的典型例子是随机游走过程(randomwalkprocess)和单位根过程(unitrootsprocess)。随机游走和单位根序列的经济问题是金融市场数据中常见的类型。定义1.29若一个随机过程满足式中，是白噪声序列，那么称该随机过程为一个随机游走过程。3、随机游走和单位根过程\n因为在给定的前提下，的条件期望不是与t无关的常数，而且因为所以的方差也不是与t无关的常数，因此随机游走过程不符合平稳性的定义，是非平稳的随机过程。\n定义1.30如果随机过程中随机变量满足关系式或其中，仍然是服从白噪声过程的修正项，是常数。则称该随机过程为一个单位根过程，因为模型除修正项以外的的一阶线性差分方程的特征方程根为1。\n上述单位根过程只是单位根过程的基本形式，单位根过程还可以扩展到包含时间趋势项等的多种情况。随机游走过程是单位根过程时的特例。单位根过程是随机游走过程与一个常数之和，因为随机游走过程是非平稳的，因此单位根过程必然也是非平稳的。随机游走过程和单位根过程在计量经济分析中有重要作用，时间序列平稳性检验与单位根过程有密切的关系。\n（三）平稳性的检验因为数据的平稳性有重要意义，因此必须判断数据的平稳性。时间序列数据只是随机过程的一次实现，而非反复多次实现，无法按照平稳随机过程的定义检验它们的平稳性。一般用数据图形、自相关图和单位根检验等间接方法判断。前两种方法根据的是平稳随机过程的一般特征和定义，后一种方法是考虑到大多数非平稳经济时间序列属于单位根过程，因此可以通过单位根过程检验时间序列平稳性。DF、ADF、Phillips-Perron检验、KPSS检验等\n第三节矩阵代数基本知识向量矩阵的定义及运算矩阵的性质特征向量及二次型矩阵的微商及克罗内克积\n矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。\n1.3.1向量矩阵的定义及运算一、向量矩阵的定义定义1.31将个实数排成如下形式的矩形数表，记为A则A称为阶矩阵，一般记为，称为矩阵A的元素。\n当时，称A为n阶方阵；若，A只有一列，称其为n维列向量，记为若，A只有一行，称其为P维行向量，记为\n当A为n阶方阵，称为A的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵A的非对角元素全为，称A为对角阵，记为进一步，若，称A为n阶单位阵，记为或。\n定义1.32如果将阶矩阵A的行与列彼此交换，得到的新矩阵是的矩阵，记为称其为矩阵A的转置矩阵。\n定义1.33若A是方阵，且，则称A为对称阵；若方阵，当对一切元素，则称为下三角阵；若为下三角阵，则称A为上三角阵。\n1．对与的和定义为：2．若为一常数，它与矩阵阶矩阵A的积定义为：3．若，，则A与B的积定义为：二、矩阵的运算\n根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律2．乘法满足结合律,3．乘法和加法满足分配律,,\n4．对转置运算规律，，另外，若满足，则称A为正交阵。\n1.3.2矩阵的性质对于任意一个阶矩阵A，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：写成\n其中，，，，且，。分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：\n一个n阶方阵中的元素组成的行列式，称为方阵A的行列式记为或。它有以下我们熟知的性质：1．若A的某行（或列）为零，则；2．；3．将A的某行（或列）乘以数c所得的矩阵的行列式等于；4．若A是一个n阶方阵,c为一常数,则5．若A的两行（或列）相同，则；6．若将A的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于；二、方阵行列式的性质\n7．若将A的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变,仍等于；8．若A和B均为n阶方阵，则；9．若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则10．11．若A和B都是方阵，则12．若A和B分别是和的矩阵，则\n设A为n阶方阵，若，则称A是非退化阵或称非奇异阵，若，则称A是退化阵或称奇异阵。若A是n阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B，使得，B称为A的逆矩阵，记为。逆矩阵的基本性质如下：1．2．三、逆矩阵\n3．若A和B均为n阶非退化阵，则4．设A为n阶非退化阵，b和a为n维列向量，则方程：的解为5．6．若A是正交阵，则7．若A是对角阵，且，，则。\n8．若A和B非退化阵，则9．设方阵A的行列式分块为：若，是方阵且是非退化，则\n设A为阶矩阵，若存在它的一个r阶子方阵的行列式不为零，而A的一切阶子方阵的行列式均为零，则称A的秩为r，记作。它有如下基本性质：1．，当且仅当；2．若A为阶矩阵则；3．；4．；5．；6．若A和C为非退化阵，则。四、矩阵的秩\n1.3.3特征向量及二次型一、特征根和特征向量设A为p阶方阵，则方程是的p次多项式，由多项式理论知道必有p个根（可以有重根），记为，…，，称为A的特征根或称特征值。若存在一个p维向量，使得，则称为对应于的A的特征向量。特征根有如下性质：1．若A为实数阵，则A的特征根全为实数，故可按大小次序排列成，若，则相应的特征向量与必正交。\n2．A和有相同的特征根。3．若A与B分别是与阶阵，则AB与BA有相同的非零特征根。实际上，因为（1.80）（1.81）所以\n即（1.82）那么，两个关于的方程和有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同），从而AB和BA有相同的非零特征根。4．若A为三角阵（上三角或下三角），则A的特征根为其对角元素。5．若，…，是A的特征根，A可逆，则的特征根为，，…，。6．若A为p阶的对称阵，则存在正交矩阵T及对角矩阵，使得（1.83）\n实际上，将（1.83）式两边右乘T，得将T按列向量分块，并记为，于是有即那么，（1.84）在此，（1.84）式表明是A的p个特征根，而为相应的特征向量。\n这样矩阵A可以作如下分解：称之为A的谱分解。\n若A是p阶方阵，它的对角元素之和称为A的迹，记为。方阵的迹具有下述基本性质：1．若A是p阶方阵，它的特征为，…，，则；2．；3．4．5．二、矩阵的迹\n称表达式为二次型，其中是实常数；，，…，是p个实变量。若为对称阵，，则若方阵A对一切，都有，则称A与其相应的二次型是正定的，记为；若对一切，都有，则称A与二次型是非负定的，记为。三、二次型与正定阵\n正定阵和非负定阵有如下性质：1．一个对称阵是正（非负）定的当且仅当它的特征根为正（非负）；2．若，则；3．若，则，其中c为正数；4．若，因它是对称阵，则必存在一个正交阵T，使其中，…，为A的特征根，T的列向量为相应的特征向量。5．若（>0），则存在（>0），使得。称为A的平方根。\n实际上，因为A是对称阵，所以存在正交矩阵T和对角矩阵使得。有（>0）可知（>0），。令，，则有由于的特征根（>0），，所以（>0）。\n1.3.4矩阵的微商及克罗内克积一、矩阵的微商设为实向量，为X的实函数。则关于X的微商定义为：若\n则定义由上述定义不难推出以下公式：1．若，，则2．若，则\n3．若，对称阵，则4．若，式中X为阶阵，A为阶阵，则若A为对称阵，则\n定义1.34设，，则称如下的分块矩阵为A的克罗内克（Kronecker）积，或称A与B的直积，或张量积，简记为，即是一个块的分块矩阵，最后是一个阶的矩阵。二、克罗内克（Kronecker）积\n不难验证，矩阵的Kronecker积满足以下的运算律：1、＝＝2、分配律3、结合律\n下面介绍Kronecker积的几个重要性质。1、设，，，，则2、设，，则3、设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则也是可逆矩阵，且4、设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则\n本章思考与练习1.1从发展的角度，怎样理解计量经济学既是一部计量经济理论发展史又是一部应用计量经济发展史？1.2怎样理解计量经济学性质和功能？1.3某市居民家庭人均年收入是服从=4000元，=1200元的正态分布，求该市居民家庭人均年收入：(1)在5000~7000元之间的概率；(2)超过8000元的概率；(3)低于3000元的概率。\n1.4据统计70岁的老人在5年内正常死亡的概率为0.98，因事故死亡的概率为0.02。保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需交纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a元。应如何测算出a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少?1.5假设是来自总体X的简单随机样本；已知证明当n充分大时,随机变量近似服从正态分布。1.6中心极限定理在计量经济分析中有什么作用和价值？\n1.7设是来自正态总体X的简单随机样本，而证明统计量Z服从自由度为2的分布。1.8设X服从均值和方差正态分布，寻求一个服从自由度为1的分布函数。1.9简述参数估计量线性性、无偏性、有效性和一致性的含义和主要价值。\n1.10设是来自均值和方差正态分布的简单随机样本，试求均值和方差极大似然估计量。1.11举出现实经济中离散型随机过程和连续型随机过程的实例。1.12讨论两个白噪声序列的线性组合的平稳性。1.13设p阶方阵，试证(1)；\n(2)A是退化矩阵，当且仅当或；(3)A的p个特征值中，有个特征值为，另一个特征值为。1.14将二次型表示成，其中，A为对称矩阵。(1)试求出A。(2)A是否为指定矩阵或非负定矩阵。(3)试求A的秩。\n