概率统计学案 16页

第一章  随机事件与概率 一、教案要求   1．理解随机事件的概念，了解随机实验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．   2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．   3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．   4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．   5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．    本章重点：随机事件的概率计算． 二、知识要点  1．随机实验与样本空间     具有下列三个特性的实验称为随机实验：     (1> 实验可以在相同的条件下重复地进行；    ·     (2> 每次实验的可能结果不止一个，但事先知道每次实验所有可能的结果；     (3> 每次实验前不能确定哪一个结果会出现．     实验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作．b5E2RGbCAP  2．随机事件    在随机实验中，把一次实验中可能发生也可能不发生、而在大量重复实验中却呈现某  种规律性的事情称为随机事件(简称事件>．通常把必然事件(记作>与不可能事件(记作>p1EanqFDPw看作特殊的随机事件．   3．事件的关系及运算    (1> 包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作 (或>．    (2> 相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作．    (3> 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作；“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作<简记为）．DXDiTa9E3d    (4> 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作 (简记为>；“n个事件 同时发生”这一事件称为的积事件，记作<简记为或>．RTCrpUDGiT    (5> 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥>，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即 (1≤i，那么，称事件 互不相容．5PCzVD7HxA    (6> 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件>记作．jLBHrnAILg    (7> 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作 (或> ．(8> 交换律：对任意两个事件Ａ和B有，．(9> 结合律：对任意事件A，B，C有， ．16/16\n(10> 分配律：对任意事件A，B，C有， ．   (11> 德摩根 频率的定义    设随机事件A在n次重复实验中发生了次，则比值／n称为随机事件A发生的频率，记作，即 .   (2> 概率的统计定义    在进行大量重复实验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当实验次数n很大时，频率在一个稳定的值(0<<1>附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即．xHAQX74J0X    (3> 古典概率的定义     具有下列两个特征的随机实验的数学模型称为古典概型：     (i> 实验的样本空间是个有限集，不妨记作。      (ii> 在每次实验中，每个样本点 (）出现的概率相同，即． 　　　在古典概型中，规定事件A的概率为．   (4>　几何概率的定义    如果随机实验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域>，且样本空间中每个实验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为LDAYtRyKfE·   (5>　概率的公理化定义    设随机实验的样本空间为，随机事件A是的子集，是实值函数，若满足下列三条公理：    公理1(非负性>  对于任一随机事件Ａ，有≥0；    公理2(规范性>  对于必然事件，有；    公理3(可列可加性>  对于两两互不相容的事件，有，则称为随机事件Ａ的概率．  5．概率的性质  由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质  (1> ．  (2>(有限可加性> 设n个事件两两互不相容，则有．  (3> 对于任意一个事件A：．  (4> 若事件A，B满足，则有,16/16\n．  (5> 对于任意一个事件A，有．  (6>(加法公式> 对于任意两个事件A，B，有.对于任意n个事件，有  .    6．条件概率与乘法公式    设A与B是两个事件．在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记作．当，规定. 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质．    乘法公式：对于任意两个事件A与B，当,时，有.  7．随机事件的相互独立性    如果事件A与B满足，那么，称事件A与B相互独立．    关于事件A，月的独立性有下列两条性质：    (1> 如果，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是；如果，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是．Zzz6ZB2Ltk    这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”．   (2> 下列四个命题是等价的：    (i> 事件A与B相互独立；    (ii> 事件A与相互独立；    (iii> 事件与B相互独立；    (iv> 事件与相互独立． 对于任意n个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足， 则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式．   8．贝努里概型与二项概率    设在每次实验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n次重复独立实验中．，事件Ａ恰发生次的概率为，称这组概率为二项概率．   9．全概率公式与贝叶斯公式   全概率公式：如果事件两两互不相容，且，，，则16/16\n． 三、思考题　１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒<即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有支火柴”的概率是多少？dvzfvkwMI1 　２．设一个居民区有个人，设有一个邮局，开个窗口，设每个窗口都办理所有业务．太小，经常排长队；太大又不经济．现设在每一指定时刻，这个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数<包括正在被服务的那个人）不超过”这个事件的概率要不小于<例如，），问至少须设多少窗口？rqyn14ZNXI 　３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？EmxvxOtOco   第二章  离散型随机变量及其分布 一、教案要求   1．理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson>分布、均匀分布、几何分布及其应用．SixE2yXPq5   ２．理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率． 　３．理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布．  4．掌握离散型随机变量独立的条件．    5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布．     本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算． 二、知识要点  1．一维随机变量   若对于随机实验的样本空间中的每个实验结果，变量都有一个确定的实数值与相对应，即，则称是一个一维随机变量．6ewMyirQFL   概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．  2．离散型随机变量及其概率函数　　如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量的可能取值为，若，则称离散型随机变量的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示： 　３．概率函数的性质 (1> ，　16/16\n (2> ．　　由已知的概率函数可以算得概率， 其中，是实数轴上的一个集合． 　４．常用离散型随机变量的分布  (1>0—1分布，它的概率函数为，其中，或1，．  (2>二项分布，它的概率函数为，其中，，．　<３）超几何分布，设为正整数，且，又设随机变量的概率函数为．则称随机变量服从参数为的超几何分布．  (４>泊松分布，它的概率函数为，其中，，．  (５>均匀分布，它的概率函数为    ，其中，．    (６>几何分布，它的概率函数为    ，其中，，．　　５．二维随机变量　　若对于实验的样本空间中的每个实验结果，有序变量都有确定的一对实数值与e相对应，即， ，则称为二维随机变量或二维随机向量．kavU42VRUs 6．二维离散型随机变量及联合概率函数　　如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称为二维离散型随机变量．    二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：其中，．    7．二维离散型随机变量的边缘概率函数16/16\n    设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数<），称概率为随机变量的边缘概率函数，记为并有，称概率为随机变量Y的边缘概率函数，记为，并有                  =.     8．随机变量的相互独立性    ．      设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为     多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．　　９．二维离散型随机变量的条件概率函数    设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数 ，在给定下的条件概率函数为                在给定下的条件概率函数为               10．随机变量函数的分布  　设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．y6v3ALoS89    设离散型随机变量的概率函数为 则随机变量函数的概率函数可由下表求得 但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．    1１．二维离散型随机变量函数的分布      如果二维离散型随机变量的联合概率函数为则随机变量函数的概率函数为但要注意，取相同值对应的那些概率应合并相加．    特别有下面的结论：     (j>　设，且与相互独立，则；     (ii> 设，且与相互独立，则． 三、思考题16/16\n　１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少于１００００元的概率．M2ub6vSTnP　２．已知二维随机变量的联合概率函数为　　　　０　　１２　　　　　　　　　　　０　　　　　　　　　　　１问取何值时，与相互独立？  第三章  连续型随机变量及其分布 一、教案要求   1．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用．   2．理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．0YujCfmUCw 3．理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布． 4．理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件． 5．掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义． 6．会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布．eUts8ZQVRd ７．会求简单随机变量函数的概率分布．  本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算． 二、知识要点  1．分布函数    随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量取值不大于实数的概率称为随机变量的分布函数，记作, 即． 2．分布函数的性质(1>     (２> 是非减函数，即当时，有；  (3> 。    (4> 是右连续函数，即．由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率16/16\n也可以求得．   3．联合分布函数     二维随机变量的联合分布函数规定为随机变量取值不大于实数的概率，同时随机变量取值不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即sQsAEJkW5T． 4．联合分布函数的性质 (1> ；    (2> 是变量 (固定>或 (固定>的非减函数； (3>  ，；(4> 是变量 (固定>或 (固定>的右连续函数；  (5> ．   5．连续型随机变量及其概率密度  设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有成立，则称X为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度． 6．概率密度及连续型随机变量的性质　　<１）　　<２）；  <３）连续型随机变量的分布函数为是连续函数，且在的连续点处有；   <4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c，；    (5>　设是连续型随机变量的概率密度，则有　　　　　　＝．    7．常用的连续型随机变量的分布    (1>均匀分布，它的概率密度为其中，．    (2>指数分布，它的概率密度为其中，．    (3>正态分布，它的概率密度为16/16\n    ，其中，，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为，标准正态分布的分布函数记作，即， 当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到．　　　设，则有    ；．　　８．二维连续型随机变量及联合概率密度    对于二维随机变量(X，Y>的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度．    ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质     (1> ；     (2> ；     (3> 设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有；    ’     (4> 在的连续点处有。     (5> 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有．    1０，二维连续型随机变量的边缘概率密度    设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为；的边缘概率密度为．     1１．二维连续型随机变量的条件概率密度    设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则在给定的条件下的条件概率密度为16/16\n，其中；在给定的条件下的条件概率密度为，其中．    1２．常用的二维连续型随机变量    (1>　均匀分布    如果在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为   (2> 二维正态分布     如果的联合概率密度则称服从二维正态分布，并记为.    如果，则，，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．    1３．随机变量的相互独立性    ．    如果与的联合分布函数等于的边缘分布函数之积，即，  那么，称随机变量与相互独立．   设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为    如果．那么，与相互独立的充分必要条件是．   　多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论．GMsIasNXkA    1４．随机变量函数的分布　　<１）一维随机变量函数的概率密度   　设连续型随机变量的概率密度为，则随机变量的分布函数为其中，与是相等的随机事件，而是实数轴上的某个集合．随机变量的概率密度可由下式得到：．    连续型随机变量函数有下面两条性质：    (i>　设连续型随机变量的概率密度为，是单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数，则的概率密度为16/16\n．    (ii> 设，则当时，有，特别当时，有，． 　<２）二维随机变量函数的概率密度    设二维连续型随机变量的联合概率密度为,则随机变量函数的分布函数为,其中，是与等价的随机事件，而是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集>．     随机变量函数的概率密度为.    当与相互独立，且的概率密度为,的概率密度为时，随机变量函数的概率密度为,或．以上两个公式也称为卷积公式．　　当与相互独立，且的分布函数为,的分布函数为时，随机变量函数的分布函数为，随机变量函数的分布函数为．通过求导，可以求得的概率密度．    特别有下面的结论：    设，，且与相互独立，则． 三、思考题　１．设随机变量的概率密度为求　２．若为相互独立的分别服从上均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数．第四章  随机变量的数字特征 一、教案要求 1．理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，   2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差．   3．会根据随机变量的概率分布计算其函数的数学期望；会根据随机变量的联合概率分布计算其函数的数学期望正．TIrRGchYzg   4．理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。16/16\n    本章重点：随机变量的期望。方差、协方差、相关系数的计算． 二、知识要点    1．数学期望    设是离散型的随机变量，其概率函数为如果级数绝对收敛，则定义的数学期望为；    设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分绝对可积，则定义的数学期望为． 2．随机变量函数的数学期望　　设为离散型随机变量，其概率函数如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为    设为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为；  特别地.    设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为．     设为二维连续型随机变量，其联合概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为；特别地    ,.  3．数学期望的性质    (1>  (其中c为常数>；    (2>  (为常数>；    (3> ；    (4> 如果与相互独立，则.16/16\n   4．方差与标准差     随机变量的方差定义为．计算方差常用下列公式：’    当为离散型随机变量，其概率函数为如果级数收敛，则的方差为；    当为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分收敛，则的方差为.随机变量的标准差定义为方差 的算术平方根.  5．方差的性质   (1>  (c是常数>；   (2>  (为常数>；   (3> 如果与独立，则.  6．协方差  设为二维随机变量，随机变量的协方差定义为．计算协方差常用下列公式：．当时，． 协方差具有下列性质：   (1>  (c是常数>；   (2> ；   (3>  (是常数>；   (4>  7．相关系数随机变量的相关系数定义为相关系数反映了随机变量与之间线性关系的紧密程度，当越大，与之间的线性相关程度越密切，当时，称与不相关．7EqZcWLZNX    相关系数具有下列性质：    (1> ；    (2> 的充要条件是，其中为常数；    (3> 若随机变量与相互独立，则与不相关，即，但由不能推断与独立．    (4> 下列5个命题是等价的：    ．      (i> ；16/16\n      (ii> ；      (iii> ；      (iv> >；      (v> ．    利用协方差或相关系数可以计算    ．  8．原点矩与中心矩    随机变量的阶原点矩定义为；    随机变量的阶中心矩定义为]；    随机变量的阶混合原点矩定义为；    随机变量的阶混合中心矩定义为．    一阶原点矩是数学期望；    二阶中心矩是方差D(X>；    阶混合中心矩为协方差.  9．常用分布的数字特征(1> 当服从二项分布时，．  (2> 当服从泊松分布时，，  (3> 当服从区间上均匀分布时，  (4> 当服从参数为的指数分布时，  (5> 当服从正态分布时，．  (6> 当服从二维正态分布时，；；  10．分位数 　设为任意一个随机变量，对于，如果实数满足，则称是<或所服从的分布）的分位数，记作．当时，称为中位数．　　对连续型随机变量，记其密度函数为，如果的值域是某个区间，则 三、思考题　１．设，求．16/16\n 　２．设的密度函数为记，求的数学期望   3. 一学徒工用车床接连加工10个零件，设第个零件报废的概率为，求报废零件个数的数学期望.第五章  大数定律及中心极限定理 一、教案要求 1．掌握切比雪夫不等式．   2．了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义．   3．掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理(独立同分布中心极限定理>的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．lzq7IGf02E   本章重点：运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率 二、知识要点   1．切比雪夫不等式设随机变量的数学期望及方差存在，则对任何正数，有或    ．  2．切比雪夫大数定律    设随机变量，相互独立，数学期望…，都存在，且方差是一致有上界的，即存在常数c，使得 则对于任何正数，有zvpgeqJ1hk   3．辛钦大数定律(独立同分布大数定律>    设随机变量相互独立且同分布，并具有有限的数学期望和方差，则对任何正数，有    4．伯努里大数定律       设随机变量，则对任意正数，有    伯努里大数定律的直观意义是，在大量独立重复实验中可以用某个事件发生的频率来近似每次实验中事件发生的概率．NrpoJac3v1    5．列维，林德伯格中心极限定理(独立同分布中心极限定理>    设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望，方差，则对任何实数，有16/16\n    这个定理的直观意义是，当足够大时，可以近似地认为，可以利用正态分布近似求得概率 (较大时>．    6．棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理    设随机变量，则对任意一个实数，有．    这个定理的直观意义是，当足够大时，服从二项分布的随机变量可认为近似服从正态分布． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。16/16