地理空间统计学 80页

地质统计学及其在资源评价中的应用国土资源部“资源定量评价与信息工程重点实验室”中国地质大学（武汉）数学地质遥感地质研究所胡光道2004年05月08日云南昆明\n第一讲：地质统计学基础1、地质统计学产生的背景及现状2、区域化变量理论3、变差函数及结构分析4、普通克立格法5、泛克立格法\n一、地质统计学产生的背景及现状1、传统储量计算方法中的问题：\n传统储量计算方法：多边形法、三角形法，剖面法、块段法等，存在的问题可归纳如下：1．简单地把钻孔的品位延伸到某一块段，作为该块段的平均品位；\n2、没有考虑品位的空间变化特征(或矿化的空间结构特征)，因而影响了估计的精度；品位空间变化特性对计算块段平均品位的影响\n3、由于传统方法不考虑品位之间的空间相关性，因而就无法反映矿化强度的空间变化性(或离散性)。传统方法虽然也能近似给出一个矿体的平均品位，及不同级别的矿量，但却不能给出不同级别的矿石在矿体中的具体位置和分布；采矿设计要求对各个开采块段都进行平均品位和储量的估计，传统方法则做不到；4、传统方法给不出估计精度的概念，只能用不同方法的计算结果加以对比，当然更谈不上有一种衡量估计精度的标准和方法了。而一种估计结果(如储量计算结果)如果没有给出估计误差的大小(或估计精度的好坏)，则对采矿工作者来说是没有多大益处的。\n2、经典统计学的缺陷：三十年代初期，苏联地质勘探人员就开始应用数理统计方法研究矿床变化性，勘探网密度和储量误差三者之间的关系。后来他们发现，地质变量并不总是纯随机变量，因而认识到想用简单的统计方法来解决复杂的地质勘探问题是十分困难的。南非统计学家H.S.西舍尔(H.S.Sichel)1947年对兰德金矿的研究提出了适用于金品位的对数正态分布模型。数年后，D.G.克立格又提出了三参数对数正态分布模型。\n经典统计学在应用于地质变量时仍存在不少缺陷，这是带有普遍性和根本性的。主要有三：1．在统计样品品位的频率和做频率直方图时均不考虑各样品的空间分布；2．经典概率统计学的研究对象必须是纯随机变量（独立性），许多地质变量并不是纯随机变量（空间相关性）,而是既有随机性又有结构性(指在空间分布上有某种程度的相关性或连续性)的变量。3．经典概率统计学所研究的变量原则上都是可以无限次重复试验或大量观测的，但地质变量则不行。因为一旦在矿体某处取一样品后，严格说来，就不可能在同一地方再次取到样品了。\n同一批品位数据的空间变化性（它们的平均品位及方差都一样，这个例子直观地说明了经典统计不能反映矿化强度的空间变化性这一弱点。）\n3、地质统计学的诞生：为了解决在地质变量具有随机性和结构性的条件下仍能使用统计方法的问题，本世纪四十年代末出现了变差函数，或称变差图（variogram），它能够同时描述地质变量的随机性和结构性变化。从1951年起，南非的矿山地质工程师D．G．克立格和统计学家H.S．西舍尔等人根据他们对南非金矿多年来的工作经验，提出了根据样品空间位置不同和样品间相关程度的不同，对每个样品品位赋予一定的权，进行滑动加权平均，来估计中心块段平均品位的方法，这就是克立格法(也称为“克立金”kriging)。\n变差函数的产生和克立格法的提出为地质统计学的诞生准备了重要的条件。五十年代后期，法国著名的矿山主任工程师兼概率统计学家G·马特隆教授在认真研究了D.G.克立格和H.S.西舍尔等人工作的基础上，他在研究了10个国家40多个矿床的实践基础上，把D.G.克立格等人的研究成果进一步理论化、系统化，又采用了随机函数来同时描述地质变量的结构性和随机性，从而提出“区域化变量”的概念。1962年，G·马特隆为了指明综合随机性与结构性两种特性的领域，第一次提出了“地质统计学”(法文为Ggostatistique)这个名词，并发表了专著《应用地质统计学论》，阐明了一整套区域化变量的理论，为地质统计学奠定了理论基础。从此，地质统计学就作为一门新兴的边缘学科诞生了。\n4、地质统计学的现状：G·马特隆在1962年曾给地质统计学下过一个较广泛的定义：“地质统计学就是随机函数的形式体系在勘查与估计自然现象上的应用”。地质统计学的进一步发展表明，地质统计学不仅能有效地用于评估矿床上，而且还可同样有效地用于许多其他与自然资源有关的领域上。\n形成了一套较完整的理论体系：①线性平稳地质统计学：普通克立格法等；②线性非平稳地质统计学：泛克立格法和X阶本征随机函数法等；③条件模拟：包括对矿床的条件模拟和对采矿过程的条件模拟等；④平稳非线性地质统计学：包括条件数学期望，析取克立格法等：⑤非参数地质统计学：指示克立格法等；⑥多元地质统计学、分形地质统计学，时空地质统计学等等。\n二、区域化变量理论1．随机变量，随机函数、随机过程与随机场：(1)随机变量：随机变量就是具有一定概率分布的变量；(2)随机函数：具有n个参数的随机变量族；或每次随机试验(或观测)的结果都可得到一个确定性的函数；(3)随机过程：当随机函数中只有一个自变量(一般表示时间)时，称为随机过程；(4)随机场：当随机函数Z依赖于多个(二个及二个以上)自变量时，称为随机场。\n2．区域化变量：(1)定义：以空间点x的三个直角坐标xu,xv,xw为自变量的随机场Z(xu,xv,xw)=Z(x)称为一个区域化变量。如：矿石品位，矿体厚度，累积量(品位乘厚度)，地形标高、顶(底)板标高、地下水水头高度、各种物、化探测量值、矿石内有害组分含量、岩石破碎程度，围岩蚀变程度，海底深度、大气污染量，孔隙度，渗透率等等均可看成是区域化变量，只不过有些是三维的，有些是二维的。\n(2)物理学或地质学特性：①由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反映地质变量的结构性与随机性。②空间局限性：区域化变量往往只存在于一定的空间范围内，如品位只限于矿化空间之内(如矿体或矿层范围内)，这一空间称为区域化变量的几何域。③不同程度的连续性：不同的区域化变量具有不同程度的连续性。如厚度就具有较强的连续性，而品位往往只具有平均意义下的连续性了。在某些特殊情况下，连这种平均意义下的连续性也不存在，如金品位即使在两个非常靠近的样品中，也可以有很大差异，不连续。这种现象称为“块金效应”。④不同类型的各向异性：区域化变量在各个方向上如果性质相同，则称其为各向同性的，若在各个方向上性质不同，则称其为各向异的。地质变量往往是各向异性的。\n⑶平稳假设与本征假设：①平稳假设：假设区域化变量Z(x)的任意n维分布函数均不因空间点x发生位移h而改变。②二阶平稳假设：当区域化变量Z(x)满足下列二条件时，则称其为二阶平稳：在整个研究区内Z(x)的数学期望均存在，且等于常数，即E[Z(x)]=m(常数)在整个研究区内Z(x)的协方差函数存在且平稳(只依赖于基本步长h，而与x无关)，即Cov{Z(x),Z(x+h)}=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]E[Z(x+h)]\n③本征假设:当区域化变量Z(x)的增量[Z(x)-Z(x+h)]满足下列二条件时,称为满足本征假设在研究区内有E[Z(x)]=E[Z(x+h)]=m(常数)增量[Z(x)-Z(x+h)]的方差函数存在且平稳(即方差函数不依赖于x)Var[Z(x)-Z(x+h)]=E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2=E[Z(x)-Z(x+h)]2=2γ(x,h)=2γ(h)即假设Z(x)的变差函数存在且平稳。\n三、变差函数及结构分析1、变差函数：γ(x,h)=1/2E[Z(x)-Z(x+h)]2实验变差函数的计算公式:\n\n\n实验变差函数及理论模型a—变程C—基台C0—块金效应\n2、变差函数的功能：①通过“变程”反映变量的影响范围；②变差函数在原点处的性状可反映变量的空间连续性；③不同方向上的变差图可反映区域化变量的各向异性；④基台值的大小可反映变量在该方向上变化幅度的大小；⑤块金常数C。的大小可反映区域化变量的随机性。\na-抛物线型(或称连续型)b-线性型c-间断型(或“有块金效应型”)d-随机型(或’纯块金效应型”)e-过渡类型(C0+C=基台值)变差函数在原点处的性状\n3、变差函数的理论模型：球状模型：其中，C0为块金常数，(C0+C)为基台值，C称为拱高，a为变程。\n三种有基台值的变差函数模型比较图\n4、结构分析：(1)几何各向异性：各方向的变差函数均具有相同的基台值C(设块金常数Co＝0)，只是变程ai(i=1,2…)不相同几何各向异性变差图几何各向异性的方向变程图\n(2)带状各向异性：凡不能通过坐标的线性变换化为各向同性的各向异性，均称为带状各向异性\n5、实验变差函数计算：列线且等间隔的数据构形非等间距数据构形\n实验变差函数的影响因素：⑴取样间距和承载大小的影响；⑵计算实验变差函数的可靠性距离和点对数目；⑶特异值对变差函数的影响；⑷比例效应对实验变差函数的影响；⑸混合分布对变差函数的影响；⑹漂移对变差函数的影响。\n变差函数值随样品承载的增大而减小，这种作用称为圆滑(或修匀)作用。\n\n\n\n\n四、普通克立格法普通克立格法是一种对空间分布数据求最优、线性、无偏内插估计量的方法。线性估计量为nZv*=∑λiZii=1它是n个样品值的线性组合。克立格法是一种特定的滑动加权平均法。\n\n\n\n\n\n五、泛克立格法前面讨论的普通克立格法是在区域化变量Z(x)为二阶平稳，或至少是准二阶平稳的条件下进行的。但在实际中，不少区域化变量Z(x)是非平稳的，即E［Z(x)］＝m(x)。这里的m(x)叫做漂移(drift)，一般就理解为“趋势”。m(x)通常多取x的多项式形式。在假设非平稳区域化变量Z(x)的协方差函数(或变差函数)存在，并已知Z(x)的漂移的形式为多项式的条件下，讨论各种线性无偏最优估计的问题，就叫做泛克立格法，它属于线性非平稳地质统计学范畴。\n\n\n第二讲资源评价中的应用区域地球化学数学模型研究：1、区域地球化学元素空间变化性及数学模型；2、区域地球化学元素空间分布特征及浓集趋势研究；3、区域地球化学元素异常的空间分布特征研究\n地球化学模型是地球化学元素在特定范围内和特定阶段上分布与迁移特性的某种表述。根据研究对象的不同可分为：区域地球化学模型和地质体地球化学模型两大类。区域地球化学模型的研究可在各种不同比例尺的图幅内进行，它所研究的对象不局限于某一地质体；地质体地球化学模型的研究对象主要是各种矿床(体)、岩体等。\n地球化学元素在空间的分布可以看作随机场，在二维情况下，对于它的一个实现(即抽样)可看作普通的空间点函数。即其变化不仅与本身的值有关，而且与之所处的空间位置有关。区域化变量具有二重性：结构性与随机性。所谓结构性就是区域化变量空间变化的规律性成分，随机性则是除结构性成分之外的无规律变化的成分。\n结构性反映区域地球化学元素在空间上的自相关特征，这种自相关性可能代表特定地质过程(如：成岩、矿化等等)的某种连续性变化。因为地质过程的长期性和复杂性，区域地球化学元素所包含的信息往往是多种地质作用的叠加，抽样观测所得到的结构性，实际上是多种主要地质作用规律性变化的一种综合，而那些次要的，规律性不强的地质作用则以随机变化的形式表现出来。运用区域化变量理论研究区域地球化学元素就是要提取地球化学元素空间变化的规律性，尽量排除随机因素的干扰。\n一、区域地球化学元素空间变化性及数学模型区域地球化学元素包含的信息可分解为三部分：其中；Z(xi)--区域地球化学元素观测值,T(xi)--区域地球化学元素背景值，R(xi)--区域地球化学元素异常值，ε(xi)--区域地球化学元素随机成分。\n区域地球化学元素背景成分常表现为一种趋势变化，在地质统计学中称之为“漂移”。背景成分根据研究范围和方法的不同可以进一步分解为不同级次的背景。同理，异常成分也能进一步分解。在趋势分析方法中主要是利用趋势函数的次数对不同级次的背景成分及与之对应的异常成分进行分解。在地质统计学方法中则是利用漂移的维数，次数和拟平稳邻域的大小对背景和异常成分进行分解。\n不同背景与异常的分解用一次函数研究背景时，得到的是全段背景成分T1(x)，而用高次函数研究背景时，得到的则是既包含全段背景成分又包含局部段背景成分的背景函数T2(x)。\n1．区域地球化学元素空间变化的方向性：元素在空间不同方向上的变化主要与区域成岩，成矿及构造的控制有关。由不同岩性而产生的背景值差异，当其空间展布具有明显的方向性时，也会显示出在不同方向其变化性不同的特征。因此，研究元素在区域内不同方向的变化特征，一定程度上可以了解研究区内元素受各种地质因素控制的特点，从而找出其空间变化的主要方向，得出合理的地质解释。\n某区Cu元素实验变差图可以看出，实验变差函数变化连续性最好的方向，就是该区控矿构造的走向方向，所以，·把E—W和N—S方向作为该区Cu元素的主要变化方向，就是突出了控制Cu元素空间分布特征的主要地质因素。\n在成矿作用复杂的研究区，可能有多种类型的矿床出现，而不同类型矿床的空间分布又各具特征，可利用各种元素空间变化的方向性差异加以区分。那些对不同类型矿床具有区分意义的地球化学元素，一般情况下其实验变差函数也应是具有区分意义的。据此，可找出各种元素主要的变化方向作控矿地质因素的分析。当然，利用元素变化的主要方向作出的地质解释或许是十分粗略的，但这对于区域地球化学元素在数据处理中更好地突出结构变化，压抑随机因素的干扰却是十分重要的。\n2．区域地球化学元素的变化幅度、连续性和影响范围：利用实验变差函数研究区域地球化学元素的变化幅度，连续性和影响范围可以得到定量对比的依据。在常规的统计方法中，常利用变异系数作为元素变化性的标志，它反映元素数值的相对离散程度，元素的空间变化性不仅仅取决于数值本身的大小，还应与值点所处的空间相对位置有关，而变异系数无法对后者进行描述。实验变差函数的基台值是在考虑空间值点相对位置的基础上对元素相对离散程度的一种描述，因此可以弥补变异系数的不足之处。\n某区Cu元素实验变差图区域地球化学元素变化幅度最大的方向，一般是区域地质分带的方向。\n从求异的观点来看，区域地球化学元素空间变化幅度的差异越大，其受特定地质因素的控制就越强，通常这是与一定的区域成岩、成矿规律相联系的。区域地球化学元素变化幅度最大的方向一般是区域地质分带的方向。地质分带现象可以是多种多样的，最为明显的是由区域控岩，控矿构造所致，或是岩体内部的分带现象等等，总之，是能够由区域地球化学元素反映出来的一种分带规律。\n区域地球化学元素空间分布的特征是与区域上特定的地质特征相联系的，它可以通过元素的空间自相关性体现出来，元素的自相关性和特定地质过程的规律性变化相一致。实验变差函数就是通过距离函数的形式反映元素自相关特性的一种数学模型。实验变差函数的变程a定量地表示了元素在各个方向上自相关的平均影响范围。在变程范围以内元素的空间变化具有内在的规律性，这种规律性由平均变化距离与变化幅度之间的特定关系表现出来。\n某区Au元素实验变差图在变程a范围内实验变差值点的跳动很大，从大范围看具有一定的连续性变化特征，而在小范围上观察连续性又较差，具有整体相依而局部不相依的变化特征。\n元素的自相关程度，随距离的增大而减小，当距离大于变程时，自相关系数变为零或趋近于零，因此，在大于变程的平均距离上自相关性消失，元素在该距离上的空间变化性以随机变化为主。但是，在区域上常有地质趋势变化存在。所以，区域地球化学元素在变程以外的随机变化中通常能进一步分解出趋势成分，表现在实验变差图上是实验变差值点在尾端上翘。因为一般的地质作用都具有明显的方向性，从而导致了元素自相关在不同方向上变化性的差异。\n3．区域地球化学元素空间变化的级次：区域地球化学元素受区域上诸多地质作用的综合影响使其空间浓集特征表现出不同的规模和级次。实验变差函数的分级结构提供了研究元素空间浓集特征的数学模型。元素在空间的浓集受区域地质作用的控制以不同规模和形态展布，而不同规模的浓集区之间或浓集区内部可能又存在着不同级次的浓集。如受成矿断裂控制的元素在两组断裂交汇部位的浓集显然比不在交汇的部位要好，又如在浓集区内部有利的层位或部位成矿元素浓集要比其他层位或部位好。当元素在空间的上述浓集特征具有较强的规律性时，实验变差函数就能以分级结构的形式对它的平均变化特征进行描述。\n变差函数多级结构的套合第一级结构变程为al，基台值为C1，第二级结构变程为a2，基台值C2。这两种结构预示着区域内元素的浓集存在着两种不同规模或级次。\n变差函数多级结构的套合块金效应虽然反映的是一种随机变化成分，但实际上包含有小于观测尺度的一种规律性变化成分。在小于观测尺度的范围内地球化学元素也存在着规律性变化的成分，由于受取样的局限对这部分规律性变化无法进行研究，而只能以块金效应的形式体现出来。\n由此可见，对比块金值与基台值的相对大小能够了解到取样方法对元素规律性变化的提取程度。因为区域地球化学元素的取样是根据研究的比例尺而异，比例尺越小，取样间距越大，通过变差函数研究的元素空间规律性变化的结构尺寸也越大，块金值也越大，反之，比例尺越小，研究的结构尺寸越小，在非随机变化情况下，块金值也越小。这是和地质认识规律相一致的。\n变差函数多级结构的套合漂移也可以作为一种规律性变化成分进行提取。在变程范围内，主要是自相关变化，而在变程范围之外趋势变化才成为一种主要的规律性变化成分。\n实践证明：当区域内存在趋势变化时，研究区内的观测点均应受到趋势变化的影响，即各观测点值均应包含有趋势成分，在地质统计学研究中对各值点趋势成分的提取是在一定尺度范围上进行的，这个范围就是待估邻域的范围。因为把研究区划分成了一系列小的估计邻域，所以漂移(趋势)的形式一般为一次或二次，维数可以是一维或二维，很少会出现更高次的漂移。和一般的趋势分析相比降低了趋势的次数，避免了由数据构形而导致的高次趋势的畸变\n小结：不难看出：地质统计学方法是以尺度来划分区域地球化学元素空间变化的级次，大致可分为三级：①小于观测尺度的变化性作为随机变化来处理；②自相关影响范围内的结构变化，根据研究区的不同可以进一步分出次一级的结构；③自相关影响范围之外的趋势变化。综上所述，运用区域化变量理论能够研究区域地球化学元素的空间变化性，利用变差函数这一工具可以建立元素空间变化的数学模型。\n二、区域地球化学元素空间分布特征及浓集趋势研究1、区域化探采样的代表性问题：地球化学元素的分布服从概率法则，在研究区内按照均匀(网格)取样或随机均匀(样点随机，但不丛聚)取样，当取样数量足够多的时候，样品集应能反映出研究区的总体特征。区域化探采样具有上述特点，因此，样品的统计分布特征对研究区具有代表性。但是，在局部区域内每一个取样点由于受局部因素及取样随机性的影响，对未取样的周围地区的代表性各不相同，正如前面所指出的每个样点值中所包含的背景、异常及随机变化成分的比例各异。提高样品点代表性的关键在于尽量减小随机变化成分的影响。常用的滑动平均方法是通过滤波来减小随机因素干扰的一种方法，可是这种方法对于地质中方向性影响的处理能力较差，同时，滑动窗口大小的选择缺少定量的理论依据。\n为了突出区域地球化学元素空间分布所含的地质规律性变化特征，提高样品点的代表性是—个重要途径。除了注意取样方法的合理性之外，主要应从数据处理方法上着手。在地质统计学研究中，根据变差函数模型，合理地选择估计邻域及数据构形，就能达到尽量减小样品点值中随机成分，增强规律性变化成分，从而提高样品点代表性的目的。地质统计学方法不仅能对样品点进行估计，还能对样品点所处单元的平均值进行估计，即用单元面积内的均值取代样品点值，更有效地减少随机成分。变差函数模型反映出来的元素空间变化的方向性、变化幅度，连续性、影响范围及变化级次均能在地质统计学估计中考虑进去，所以能把地质作用的综合影响通过参数的形式体现在估计之中。\n实例之一：阳新岩体Cu原生晕空间分布特征研究阳新岩体大致呈北西向展布，是燕山早、晚两期多次侵入的复式岩体，岩性以石英正长闪长岩、闪长岩和石英正长闪长玢岩为主，岩体四周沉积地层发育，不同岩性的沉积岩对成矿的控制程度有明显差异，主要形成接触交代的各类矿床，以铜矿为主，铁、钼、金等皆有产出。在示意图区内进行了1：5万岩石地球化学测量。\n阳新侵入体地质示意图\n该区Cu元素的对数变差图具有带状异向性的结构特征，变化幅度大的方向近南北向，并且存在漂移。近东西方向变化连续性较好，无漂移存在。\nCu元素对数泛克立格估值等值线图\nCu元素对数泛克立格漂移和剩余等值线图此项成果为该区鸡冠嘴深部隐伏Au矿床的发现提供了重要依据鸡冠嘴Au矿\n实例之二：受区域成岩，成矿构造控制的元素空间分布研究某区为燕山期中酸性岩浆岩发育地区，区内构造发育，控制了岩浆岩的空间展布，同时，与区内接触交代型、热液型，沉积热液型等铜、铁矿床的关系十分密切，还发育有铅锌矿及多金属矿床。\n某区Zn元素空间分布估值等值线图在该图幅中心沿东西方向有五个浓集区出现，巳知由西向东的前三个浓集区其地表有岩体出露，其它两个浓集区所在位置则可能有隐伏岩体存在，可以推断存在一个东西走向的基底控岩构造，而岩体间隔出现的位置可能是与北东或北西向、或二者兼有的构造交汇部位。同时，还可看出北西向构造控制了Zn元素的空间展布，其与东西向及北东向构造交汇的部位控制了Zn元素浓集中心的出现。\n三、区域地球化学元素异常的空间分布特征研究研究元素异常的空间分布特征能够更为直观地反映与矿化有关的区域地质背景情况。某区Zn元素异常等值线及构造推断示意图\n某区Cu元素异常等值线及构造推断示意图\n某区Au元素异常等值线及构造推断示意图\n谢谢！