统计学课件20104 97页

第3章概率基础\n基本概念确定性现象随机现象大量观察与随机性现象统计规律性第一节概率基础\n试验在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数试验具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果\n事件的概念事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于7不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6\n事件与样本空间基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}在投掷硬币的试验中，{正面，反面}\n事件的关系和运算（事件的包含）ABBA若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或AB或BA\n\n\n事件的关系和运算（互斥事件）ABA与B互不相容事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点\n事件的关系和运算（事件的逆）AA一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A\n事件的关系和运算（事件的差）A-BAB事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B\n事件的关系和运算（事件的性质）设A、B、C为三个事件，则有交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)\n事件的概率\n事件的概率事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量表示事件A出现可能性大小的数值事件A的概率表示为P(A)概率的定义有：古典定义和统计定义\n事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125\n概率的古典定义如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为\n概率的古典定义（实例）【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计炼钢厂炼铁厂轧钢厂4000320090018001600600620048001500合计8500400012500\n概率的古典定义（计算结果）解：(1)用A表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则(2)用B表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则\n概率的统计定义在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为\n概率的统计定义（实例）【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有\n概率的性质与运算法则\n概率的性质非负性对任意事件A，有0P1规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=0可加性若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)\n概率的加法法则法则一两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)\n概率的加法法则（实例）【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B的和，其发生的概率为\n概率的加法法则法则二对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)\n概率的加法法则（实例）【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一种报纸}。则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.2+0.16-0.08=0.28\n条件概率与独立事件\n条件概率在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(B)P(AB)P(A|B)=\n条件概率的图示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A事件B一旦事件B发生\n概率的乘法公式用来计算两事件交的概率以条件概率的定义为基础设A、B为两个事件，若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)\n概率的乘法公式（实例）【例】设有1000产品中，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)\n事件的独立性一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(B)·P(A)推广到n个独立事件，有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)\n事件的独立性（实例）【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率解：设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，A3为丙机床需要看管的事件，依题意有(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.80.85=0.612(2)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108\n全概公式设事件A1，A2，…，An两两互斥，A1+A2+…+An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，则对任意事件B，有我们把事件A1，A2，…，An看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An之一发生的条件下发生，求事件B的概率就是上面的全概公式\n全概公式（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据全概公式有\n贝叶斯公式（逆概公式）与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因设n个事件A1，A2，…，An两两互斥，A1+A2+…+An=(满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，则\n贝叶斯公式（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：\n第二节随机变量及其分布一、随机变量的概念二、分布函数三、离散型随机变量的概率分布四、连续型随机变量的概率分布\n随机变量的概念\n随机变量的概念定义设试验E的样本空间为S={e},如果对于每一个e均有唯一的实数X与它对应，则X（e)为试验E样本空间上的随机变量一般用X、Y、Z来表示例如:投掷两枚硬币出现正面的数量根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量\n分布函数设X是一随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=P{X≤x}(*)为X的分布函数。显然，对任意实数x120，np5时，近似效果良好\n连续型随机变量的概率分布\n连续型随机变量的概率分布指数分布连续型随机变量的概率分布正态分布均匀分布其他分布\n连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用密度函数或分布函数的形式来描述\n概率密度函数设X为一连续型随机变量，x为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件f(x)不是概率\n概率密度函数密度函数f(x)表示X的所有取值x及其相应的频数f(x)值(值,频数)频数f(x)abx\n概率密度函数在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数x10正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交正态曲线下的总面积等于1随机变量的概率由曲线下的面积给出\n和对正态曲线的影响xf(x)CAB\n正态分布的概率概率是曲线下的面积!abxf(x)\n标准正态分布的重要性一般的正态分布取决于均值和标准差计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表\n标准正态分布函数任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的分布函数\n标准正态分布xms一般正态分布=1Z标准正态分布\n标准正态分布表的使用将一个一般的转换为标准正态分布计算概率时，查标准正态概率分布表对于负的x，可由(-x)x得到对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1对于一般正态分布，即X~N(,)，有\n标准化的例子P(5X6.2)x=5=10一般正态分布6.2=1Z标准正态分布00.12.0478\n标准化的例子P(2.9X7.1)一般正态分布.1664.0832.0832标准正态分布\n正态分布（实例）【例】设X~N(0，1)，求以下概率：(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-12)=1-P(2X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1