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95年高上高普考‧高分詳解【統計、經建行政】《統計學》試題評析今年普考統計學考題內容涵蓋了多項分配、分割定理、常態分配及其性質、區間估計、檢定、無母數檢定等，各單元考題分布還算平均。考題難易適中，但部份考題計算需時較長，部份查表值也需靠內外插法才能求出；除此之外，考生只要掌握基本題型，應能獲致高分。一般考生考60分以上不是問題，程度好的考生甚至可拿90分以上。一、若棒球名投手王建民去年投球紀錄為投出直球、下墜球與上飄球之比率為28:34:38。今欲觀測其未來投出10球中，直球、下墜球與上飄球之球數，則：(一)請定義必要之隨機變數並列出其衍生的樣本空間(inducedsamplespace)。（5分）(二)請推導(Derive)其機率函數(probabilityfunction)，並敘明該機率模式之名稱。（10分）(三)請問其恰投出2次直球、3次下墜球與5次上飄球之機率為何？（5分）(四)請問其投出直球之期望數(expectednumber)與變異數(variance)為何？（5分）(五)若已知投手王建民投出直球、下墜球與上飄球為好球之機率分別為0.88，0.82與0.8，則請問其投出好球之機率為何？（5分）答：(一)令X表王建民未來投出10球中直球之球數1令X表王建民未來投出10球中下墜球之球數2令X表王建民未來投出10球中上飄球之球數3樣本空間為Ω={}()x,x,x|x+x+x=10;x=0,1,L,10;i=1,2,3123123i10!x1x2x3(二)1.f(x,x,x)=(0.28)(0.34)(0.38)，123x!x!x!123其中x+x+x=10;x=0,1,L,10;i=1,2,3123i2834382.（X,X,X）~M(10;,,)為三項分配123310010010010!235(三)f(2,3,5)=(0.28)(0.34)(0.38)=0.06152!3!5!(四)QX~B(10,0.28)1∴E(X)=10(0.28)=2.81Var(X)=10(0.28)(1−0.28)=2.0161(五)令A表王建民投出直球之事件令B表王建民投出下墜球之事件令C表王建民投出上飄球之事件令G表王建民投出上飄球之事件則----1\n95年高上高普考‧高分詳解P(G)=P(A)óP(G|A)+P(B)óP(G|B)+P(C)óP(G|C)=0.28ó0.88+0.34ó0.82+0.38ó0.8=0.8292二、若考試成績X服從平均數(mean)與μ與標準差(standarddeviation)為σ之常態分配(normaldistribution)，則：(一)請列出隨機變數(randomvariable)X之機率密度函數(probabilitydensityfunction)。（2分）(二)若評審依下表之等級(Grades)評定考試成績，試求各等級成績之百分比(percentage)？（7分）ScoresXX≥µ+3σX∈[µ+2σ,µ+3σ]X∈[µ+σ,µ+2σ]X∈[µ,µ+σ]X∈[µ−σ,µ]X∈[µ−2σ,µ−σ]X<µ−2σ＋－GradesAAABCDF(三)令Z=(X-μ)/σ，試分別求Z之機率密度函數、期望數E(Z)與變異數V(Z)為何？（10分）(四)若考生總數為100,000人，試分別求各等級成績之考生人數為何？（7分）(五)若考試成績欲轉換為常態分配平均數70與標準差10之常態分數，則：1.請定義必要之隨機變數(randomvariable)並列出相對應之機率密度函數。（3分）2.試求各等級成績之界限(boundary)為何？（7分）3.試分別求中央50%與80%成績之界限(boundary)為何？（4分）答：2(一)若X服從常態分配N(µ,σ),則其p.d.f為：1x−µ21−()f(x)=e2σ,x、µ∈R,σ>0X2πσ(二)成績為F的人佔全部考生的P(X<µ−2σ)=P(Z<−2)=1-0.9772=0.0228成績為D的人佔全部考生的P(µ−2σ≤X≤µ−σ)=P(−2≤Z≤−1)=P(1≤Z≤2)=0.9772−0.8413=0.1359成績為C的人佔全部考生的P(µ−σ≤X≤µ)=P(−1≤Z≤0)=P(0≤Z≤1)=0.8413−0.5=0.3413成績為B的人佔全部考生的P(µ≤X≤µ+σ)=P(0≤Z≤1)=0.3413-成績為A的人佔全部考生的P(µ+σ≤X≤µ+2σ)=P(1≤Z≤2)=0.1359成績為A的人佔全部考生的P(µ+2σ≤X≤µ+3σ)=P(2≤Z≤3)=0.9987−0.9772=0.0215+成績為A的人佔全部考生的P(µ+3σ≤X)=P(3≤Z)=1−0.9987=0.0013(三)2zX−µ1−1.Z=，則稱Z為標準常態分配，簡記為Z~N(0,1)。且f(z)=e2Zσ2π----2\n95年高上高普考‧高分詳解121()2121()2∞⎛tz1−z⎞1∞−z−2tz1t∞−z−t2.M(t)=⎜e⋅e2⎟dz=e2dz=e2e2dzZ∫−∞⎜2π⎟2π∫−∞2π∫−∞⎝⎠12121tt=e2⋅2π=e22π12tM′(t)=te2Z12tM′′(t)=(t2+1)e2ZE(Z)=M′(0)=0Z12(0)E(Z2)=M′′(0)=(02+1)e2=1Z222Var(Z)=E(Z)−[E(Z)]=1−0=1(四)＋－GradesAAABCDF各等級成績所佔百分比0.02280.13590.34130.34130.13590.02150.0013各等級成績考生人數2280135903413034130135902150130(五)21.(1)X~N(µ,σ)X−µ⇒Z=~N(0,1)σX−µ2⇒10Z=10()~N(0,10)σX−µ2⇒10Z+70=10()+70~N(70,10)σX−µ令常態分數M=10Z+70=10()+70即為所求σ2(2)因為M~N(70,10)，所以由(一)可知M之pdf為1m−7021−()f(m)=e210其中m∈RM102π----3\n95年高上高普考‧高分詳解µ−2σ−µ2.當X=µ−2σ⇒M=10()+70=50σµ−σ−µ當X=µ−σ⇒M=10()+70=60σµ−µ當X=µ⇒M=10()+70=70σµ+σ−µ當X=µ+σ⇒M=10()+70=80σµ+2σ−µ當X=µ+2σ⇒M=10()+70=90σµ+3σ−µ當X=µ+3σ⇒M=10()+70=100σ故新的常態分數M各等級成績之界限如下：MM≥10090≤M≤10080≤M≤9070≤M≤8060≤M≤7050≤M≤60M≤50＋－GradesAAABCDF3.(1)令中央50%的界限各為a、b，亦即a−70M−70b−70P(a≤M≤b)=50%=P(≤≤)≅P(−0.675≤Z≤0.675)101010⎧a−70≅−0.675⎪⎪10⎧a≅63.25⇒⎨⇒⎨⎪b−70⎩b≅76.75≅0.675⎪⎩10(2)令中央80%的界限各為c、d，亦即c−70M−70d−70P(c≤M≤d)=80%=P(≤≤)≅P(−1.28≤Z≤1.28)101010⎧c−70≅−1.28⎪⎪10⎧c≅57.2⇒⎨⇒⎨⎪d−70⎩d≅82.8≅1.28⎪⎩10三、茲為研究臺北地區房屋售價（單位：新台幣萬元／坪）之實情，乃於該區隨機抽出樣本其分組次數分配表如下：ClassBoundaries10-2020-3030-4040-5050-6060-7070-8080-9090-100Frequency46121525161264(一)若顯著水準(significancelevel)為5%，試檢定臺北地區房屋售價之母體是否為常態(normal)？（10分）----4\n95年高上高普考‧高分詳解(二)若臺北地區房屋售價之母體為常態分配下，請列出臺北地區房屋售價變異數之95%信賴區間(confidenceinterval)估計值(estimate)。（5分）(三)若臺北地區房屋售價之母體為常態分配下，請列出臺北地區房屋售價平均數之95%信賴區間估計值。（5分）(四)若臺北地區房屋售價之母體為常態分配下，在顯著水準為5%的情形下，試檢定臺北地區房屋售價平均數是否為550,000？（10分）答：(一)ClassBoundaries10~2020~3030~4040~5050~6060~7070~8080~9090~100合計midpoint(m)152535455565758595iFrequency(f)46121525161264100im⋅f60150420675137510409005103805510ii2m⋅f900375014700303757562567600675004335036100339900ii2由上表可得母體平均數µ及母體變異數σ的估計值分別為：∑mi⋅fii5510µˆ=x===55.1∑fi100i221⎡22⎤12σˆ=S=⎢∑mi⋅fi−n(x)⎥=[]339900−100(55.1)=366.6566n−1⎣i⎦100−1設X表示台北地區房屋售價2ÅH0:X~N(µ,σ)ÇH1:H0不成立Éα=0.0522222ÑC={χ|χ>χ(4)=9.488}，其中P(χ>χ)=α0.05αk22(Oi−ei)Ö檢定統計量χ=∑=2.1014∉Ci=1eiX10~3030~4040~5050~6060~7070~8080~100O10121525161210iH成立下之p0.08570.12020.17980.2060.18080.12150.08720i0e8.5712.0217.9820.618.0812.158.72iO-e1.43-0.02-2.984.4-2.08-0.151.28ii（其中理論次數e<5者與鄰組合併）iÜ不拒絕H0，即在顯著水準0.05下，無足夠證據證明台北地區房屋售價不服從常態分配。----5\n95年高上高普考‧高分詳解22(n−1)S(n−1)S(99)(366.6566)(99)(366.6566)(二)(,)=(,)2222χ(n−1)χ(n−1)χ(99)χ(99)αα0.0250.9751−22(99)(366.6566)(99)(366.6566)=(,)22χ(99)χ(99)0.0250.975(99)(366.6566)(99)(366.6566)≈(,)128.602073.0910≈(282.2584,496.6275)S19.1483(三)X±Z=55.1±1.96⋅=(51.3469,58.8531)(萬元/坪)0.025n100(四)ÅH:µ=55(萬元/坪)0ÇH:µ≠551Éα=0.05ÑC={Z|Z>Z=1.96}其中P(Z>Z)=α0.025αX−5555.1−55ÖZ===0.0522∉CS/n19.1483/100Ü結論：不拒絕H，亦即在顯著水準α=0.05下，我們的資料不足以證明台北地區房屋售價平均數不是每0坪550000元。----6