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第十三章光的衍射基本要求一、了解惠更斯─菲涅耳原理。二、理解半波带法；掌握单缝夫琅和费衍射明、暗纹位置的计算；会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。三、掌握光栅衍射公式；会确定光栅衍射谱线的位置及缺级级次；会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。四、了解瑞利判据；了解光的衍射对光学仪器分辨本领的影响。内容提要一、光的衍射的基本概念光的衍射光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象，叫光的衍射。惠更斯─菲涅耳原理原理的核心可概括为“子波相干叠加”。原理指出，同一波阵面上发出的子波在空间任一点相遇时，该点的振动是各子波相干叠加的结果。衍射的分类通常分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射两类。菲涅耳衍射：光源和观察屏（或二者之一）离衍射屏的距离有限时的衍射。夫琅禾费衍射：光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍射。实际上是菲涅耳衍射的极限情形。二、单缝的夫琅禾费衍射暗纹226\n明纹(中心)中央明纹中央明纹线宽度其余明纹线宽度三、光栅衍射光栅大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学元件。光栅常数若透光（或反光）部分的宽度用表示，不透光（或不反光）部分的宽度用表示，则光栅常数，它是光栅的重要参数。正入射时的光栅公式（光栅明纹）L单缝衍射暗纹位置L当，即光栅明纹与衍射暗纹对应于同一衍射角时，光栅明纹出现缺级，由，得干涉明纹缺级级次。斜入射时的光栅明纹L其中θ为入射角。四、光学仪器的分辨本领圆孔的夫琅禾费衍射226\n其中D为圆孔的直径，为中央亮斑（爱里斑）的半角亮度。透镜的分辨本领透镜有一定孔径，光通过它要发生衍射，光的衍射限制了透镜的分辨能力。瑞利判据对于两个等光强的非相干物点，如果其一个像斑的中心恰好落在另一像斑的边缘（第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚可以分辨。透镜的最小分辨角透镜的分辨率五、X射线的衍射布喇格公式k=1,2,3…其中为掠射角，d为晶面间距（晶格常数）。解题方法与例题分析一、单缝衍射例1在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长l1和l2，并垂直入射于单缝上。假如l1的第一级衍射极小与l2的第二级衍射极小相重合，试问：（1）这两种波长之间有何关系？（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？解（1）由单缝衍射的暗纹公式由题意知226\n代入可得（2）l1的k1级暗纹有l2的k2级暗纹有可见，只要，就有，即相应的两暗纹重合。例2若有一波长为l=600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽a=0.6mm的单缝上，缝后有一焦距f=40cm透镜。试求：（1）屏上中央明纹的宽度;（2）若在屏上P点观察到一明纹，距中央明纹的距离为x=1.4mm。问P点处是第几级明纹，对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带？解（1）两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度（2）根据单缝衍射的明纹公式①又由衍射角极小条件下的几何关系②联立①、②式得226\n所以P点处是第三级明纹。由可知，当k=3时，狭缝处波面可分成2k+1=7个半波带。例3单缝宽a=0.5mm，屏距缝D=100cm，如单色平行光垂直照射单缝，则在屏上形成衍射条纹；若在距离屏上中央明条纹中心距离为1.5mm处的P点为一亮纹，求：（1）入射光的波长；（2）P点条纹的级数和该条纹对应的衍射角；（3）狭缝处的波面可分为几个半波带；（4）中央明纹的宽度。解（1）由单缝衍射明条纹的条件∵∴当k=1时，当k=2时，因为k越大得到的波长越小，所以，当k2时，求出的波长均不在可见光范围。又因P点是亮纹，所以入射光的波长一定是500nm。（2）因为P点的明纹对应的k值等于1，所以是第一级明条纹。这一明条纹对应的衍射角由明条纹的条件226\n得k=1时，有所以（3）狭缝处的波面所分的波带数和明条纹对应的级数的关系为：半波带数=2k+1。因为k=1，所以狭缝处的波面可分为3个半波带。（4）中央明条纹的宽度为左右第一级暗条纹间距离三、光栅衍射例4以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角φ=41°的方向上看到l1=656.2nm和l2=410.1nm的谱线相重合，求光栅常数最小是多少？解由光栅公式在衍射角φ=41°处，即取，，，，即让l1的第5级与l2的第8级相重合。所以例5一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，l1=600nm，l2=400nm，发现距中央明纹5cm处l1光的第k级主极大和l2光的第k+1级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50cm，试问：226\n（1）上述k值为多少？（2）光栅常数d为多少？解（1）由题意l1的k级与l2的k+1级谱线相重合，所以，有（2）因x/f很小，所以由光栅公式例6（1）在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长l1=400nm，l2=760nm。已知单缝宽度a=1.0×10-2cm，透镜焦距f=50cm，求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。（2）若用光栅常数d=1.0×10-3cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离。解（1）由单缝衍射明纹公式可知又由于，所以，则两种光第一级衍射明纹中心之间的距离226\n（2）由光栅单缝主极大公式可知，且有所以例7用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱。已知红谱线波长lR在0.63～0.76mm范围内，蓝谱线波长lB在0.43～0.49mm范围内。当光垂直入射到光栅时，发现在24.46°角度处，红蓝两谱线同时出现。问：（1）在什么角度下红蓝两谱线同时出现？（2）在什么角度下只有红谱线出现？解光栅常数（1）由光栅公式有因为，对于红光，对于蓝光，红光最大级次226\n取由题意，红光与蓝光重合时得红光的第4级与蓝光的第6级还会重合。设重合处衍射角为φ'（2）红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现。例8波长范围在450~650nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上。屏幕放在透镜的焦平面处，屏上的第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1cm。求透镜的焦距f。解光栅常数设，，则据光栅方程，的第2谱线有据上式得第2级光谱的宽度226\n得透镜的焦距例9波长为的单色光，垂直照射在一光栅上，第2级明纹出现在的位置上。当用另一未知波长的单色光垂直照射该光栅时，其第1级明纹出现在的位置。求：（1）该光栅的光栅常数；（2）求未知单色光的波长；（3）已知单色光的第3条明线缺级，试计算该光栅狭缝的最小宽度a。解由光栅公式（1）第2级明条纹满足∴（2）由得（3）因为第3级明条纹缺级，可得出226\n所以狭缝的最小宽度例10波长为500nm的单色光，以30°入射角照射在光栅上，发现原来垂直入射时的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求此光栅每1cm上共有多少条缝？最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？解（1）斜入射时原中央明纹处第二级光谱k=2，且已知当时，得主明纹最高级次为当时，得主明纹最高级次为226\n所以三、X射线的衍射例11以波长0.11nm的X射线照射岩盐晶面，实验测得在X射线与晶面的夹角（掠射角）为11º30'时，获得第一级极大的反射光。问：（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？（2）如以另一束待侧的X射线照岩盐晶面，测得X射线与镜面的夹角为17º30'时获得第一级极大反射光，则待测X射线的波长是多少？解（1）由布喇格公式时，所以（2）由布喇格公式习题一、选择题1、在宽度a=0.60mm的狭缝后面80cm处，有一个与狭缝平行的屏幕，今以波长为6000的平行光自左向右垂直照射狭缝时,在距中央明条纹中心x=2.8mm处的P点，看到的是明条纹,则从P点看狭缝时,将其分割的半波带数为[]226\nA.3；B.4；C.5；D.6；E.72、观察屏幕上得到的单缝夫琅和费衍射图样。当入射光波长变大时，中央条纹的宽度将[]。A.变小；B.变大；C.不变；D.不确定。3、波长为λ的单色平行光，垂直照射到宽度为a的单缝上。若衍射角φ=30°时，对应的衍射图样为第一级极小，则缝宽a为[]。A.λ/2；B.λ；C.2λ；D.3λ。4、用波长400～800nm的白光照射光栅，在它的衍射光谱中第二级和第三级发生重叠。第三级光谱被重叠部分的光谱范围是[]。A.533.3～800nm；B.400～533.3nm；C.600～800nm；D.533.3～600nm。5、关于光学仪器的分辨率，下列说法中正确的是[]。A.与仪器的孔径成正比,而与光的波长成反比；B.与仪器的孔径成反比,而与光的波长成正比；C.与仪器的孔径和光的波长都成正比；D.与仪器的孔径和光的波长都成反比。6、一衍射光栅的狭缝宽度为a，缝间不透光部分宽度为b，用波长为600nm的光垂直照射时，在某一衍射角φ处出现第二级主极大。若换用400nm的光垂直照射，在上述衍射角φ处出现第一次缺级，则b为a的[]。A.1倍；B.2倍；C.3倍；D.4倍。二、填空题1、用λ=4000的紫光垂直照射到单缝宽度为0.02mm的单缝上，则中央条纹的半角宽度为。在sinφ=0.02时，缝处的波阵面被分成个半波带。226\nPABC图13—12、用单色平行光照射缝宽为a的单缝，衍射条纹的宽度随入射光波长的增加而，随缝宽a的增加而。3、单缝衍射装置如图13—1所示，AC为衍射光波面，P点处为第二级暗纹，BC的长度为波长的倍，这时单缝处的波面可分为个半波带。若P点处为第三级明纹，则BC的长度为波长的倍。三．问答题1、在解释衍射现象中，菲涅尔在哪一点上发展了惠更斯原理？2、光栅方程dsinφ=kλ中的dsinφ表示什么物理含义？3、试指出当衍射光栅的常数为下述三种情况时，哪些级数的亮条纹消失？（1）为狭缝的两倍，即（a+b）=2a；（2）为狭缝的三倍，即（a+b）=3a；（3）为狭缝的四倍，即（a+b）=4a。四、计算题1、有一单缝宽a=0.1mm，在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，用平行绿光（λ=546nm）垂直照射单缝。试求位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明纹宽度。把此装置浸入水中，中央明条纹宽度如何变化？（水的折射率为1.33）2、以氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长l1=0.668mm的谱线的衍射角为φ=20°。如果在同样φ角处出现波长l2=0.447mm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少?3、用波长为5400的单色光，垂直照射到一平面光栅上，测量第二级明纹的衍射角正弦sinφ=0.20，求：226\n（1）光屏上出现条纹的最大级数；（2）当刻痕部分的宽度是透光部分的两倍时，光屏上共能出现明条纹的条数。4、一光栅每毫米长度上刻有500条栅纹，如用波长l=4000的单色平行光入射，求：（1）垂直入射时，最多能看见多少条明纹？（2）入射角θ=30°时，最多能看见多少条明纹？5、一衍射光栅每厘米有200条透光缝，并且每条透光缝宽为a=2×10-3cm，在光栅后放置一焦距f=1m的凸透镜，现以l=600nm的单色平行光垂直照射光栅。求：（1）透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？226