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第十七章原子的量子理论基本要求一、掌握氢原子的光谱规律，理解各谱线系的特点。二、了解卢瑟福的有核原子模型。三、理解玻尔氢原子理论的三条基本假设的内容，及其由它得出的一些重要结论，如能量量子化、轨道量子化等。四、理解实物粒子的波粒二象性；掌握物质波（德布罗意波）波长的计算。五、理解自由粒子的波函数及其统计解释。六、了解测不准关系的物理意义。七、掌握用定态薛定锷方程求解一维无限深势阱的简单问题。内容提要一、氢原子光谱线系的经验公式巴尔末系谱线波长其中波数单位长度内所含波的数目。其中。上式即为氢原子光谱巴尔末系的里德伯公式。二、里兹并合原理\n谱线的波数由两个谱项的差值决定；如果前项的整数参变量保持定值，则可以给出同一谱系中各谱线的波数；如果改变前项参变量的数值，可给出不同的谱系。对氢原子光谱：，对碱金属光谱：，修正系数对不同元素有不同的值。三、卢瑟福原子有核模型1.原子的中心是原子核，几乎占有原子的全部质量，集中了原子中全部的正电荷。2.电子绕原子核旋转。3.原子核的体积比原子的体积小得多。原子半径的数量级为10-10m，核半径的数量级为10-15m。四、玻尔的氢原子理论1.玻尔的量子化假设假设1电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（简称定态），并具有一定的能量。假设2电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于h/2π的整数倍的那些轨道才是稳定的，即n为主量子数，上式叫量子化条件。假设3当原子从定态Ei跃迁到定态Ef要发射或吸收频率为的光子，\n当Ei>Ef原子发射光子，Ei1的态为激发态（）氢原子的电离当时，原子被电离（自由态），电子不受原子核束缚。①.五、实物粒子的波动性实物粒子具有波动性，实物粒子的能量e和动量p与它的波的频率和波长l的关系（和光子相同）为\n德布洛意波与实物粒子相联系的波称为德布洛意波或物质波。德布洛意公式考虑相对论效应时不考虑相对论效应时六、测不准关系海森伯于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出测不准关系：粒子的坐标和动量不能同时“测准”。其中Dx为坐标取值的不确定范围，Dpx为动量取值的不确定范围。当粒子被局限在x方向的一个有限范围Dx内时，它所相应的动量分量px必然有一个不确定的范围Dpx，两者的乘积满足不确定关系。能量和时间也是一对不能同时取确定值的物理量其中DE为能量取值的不确定范围，Dt为时间取值的不确定范围。七、波函数和概率波量子力学中描述自由粒子的平面波波函数概率波的波函数是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”。波函数的模方\n代表时刻t，在空间点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。而时刻t在空间点附近dV体积内发现粒子的概率为波函数满足的条件：1.标准条件：单值、有限和连续；2.归一化条件：粒子在空间各点出现的几率总和为l。八、薛定谔方程薛定谔方程描述质量为m的非相对论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。势场中一维运动粒子的薛定谔方程为三维情况：用哈密顿量表示薛定谔方程式中哈密顿量为定态薛定谔方程定态波函数\n九、一维无限深势阱中的粒子能量本征值能量取分立值（能级），即能量是量子化的。n=1时，最低能量，即波动性的表现。当时，，即能量连续。本征函数是以和为节点的一系列驻波。解题方法与例题分析一、玻尔氢原子理论的应用例1一个电子离开一个质子相当远，如果该电子以2eV的动能向着质子运动，并被质子所束缚，形成一个基态氢原子，求发出光的波长是多少？解电子原来是自由的，具有动能2eV，被质子束缚后形成基态氢原子，电子能量变为-13.6eV，其能量的减少为：。因此，所发出的光子波长二、德布罗意波长\n例2若氢原子的运动速率等于它在300K时的方均根速率，试求其波长。另有一个质量m=1.00g，速率v=1.00cm·s-1的小球，其波长又为多少？（氢原子质量mH=1.67×10-27kg）解氢原子的速率氢原子的波长对于小球例3一带有单位电荷的粒子经206V的电势加速后，德布罗意波长为，求这个粒子的质量。解由，得：例4写出实物粒子德布罗波长与粒子动能Ek、静止质量m0的关系，并证明：时，时，证明由，有\n又由得∵∴由上式可见，时，∴时，例5在氢原子中的电子，由量子数n=4的激发态跃迁到n=1的基态（）所发出的光子打在金属铯的靶上，铯靶发出了光电子。求：（1）光电子的能量；（2）光电子对应的德布罗意波长。（已知铯的截止频率，光电子的质量）\n解（1）∴由爱因斯坦公式：得，（2）由，得所以三、薛定谔方程的解及其应用例6已知质量为m的一维粒子的波函数为：能级为（1）写出基态和第4激发态的能量；（2）写出粒子的几率密度分布函数；（3）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。解（1）基态能量\n第4激发态的能量（2）粒子的几率密度分布函数为（3）基态，令即得最可几位置第二激发态，令得最可几位置四、测不准关系例7试证：若一个作一维运动的粒子的位置不确定量等于它的德布罗意波长l，则同时测定它的速度时，其不确定量最小值等于该粒子的速度。证明因为\n则由得所以习题一、选择题1、当电子的德布罗意波长与光子的波长相同时，则它们的[]。A.动量相等；B.能量相等；C.动量和能量都不相等；D.动量和能量都相等。2、若α粒子（电量为2e）在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是[]。A.；B.；C.；D.。二、填空题1、原子从较高能级En跃迁到某一较低能级Ek时，发出的单色光的波长为。2、原子的部分能级跃迁如图17—1所示。试问：哪两个能级间跃迁时所发射的光波长最短：；哪两个能级间跃迁时所发射的光波频率最小：。\nn=4n=3n=2n=1图17—13、氢原子光谱赖曼系是氢原子内核外电子自较高能态向K=的能态跃迁时产生的，根据赖曼系的最短波长912可知，赖曼系的最长波长为。4、能量为100eV的电子的德布罗意波长为。（已知me=9.11×10-31kg，e=1.6×10-19C，h=6.63×10-34J·s）5、若光子的波长和电子的德布罗意波长均为λ，则光子的动量和电子的动量之比是，光子的动能和电子的动能之比是。（电子的静止质量用me表示）6、若光子的波长为λ，则光子的能量为，动量为，质量为。ψ(x)0a/4a/23a/4ax图17—27、已知电子位置不确定量为0.05nm，则该电子的动量不确定量为。8、一维势阱中运动的粒子，在0~a范围内的一波函数曲线如图17—2所示，则发现粒子几率最大的位置是。9、量子力学中波函数ψ(x,y,z,t)应满足的标准条件是。三、计算题1、动能为2eV的电子，从无穷远处向着静止的质子运动，最后被质子所束缚，形成基态的氢原子。求电子绕质子运动的动能为多少？2、已知氢光谱的某一线系中有一波长为6567的谱线，求：\n（1）该谱线所对应的能级的能量；（2）该谱线相应的始、末状态的电子的轨道半径。3、求下列电子的德布罗意波长：（1）500×108eV加速器中射出的电子；（2）速度为0.5c的电子；（3）总能量恰好等于其两倍静止能量的电子。4、有一粒子沿x方向运动，其波函数。（1）将此波函数归一化；（2）求出粒子按坐标的几率分布函数；（3）在何处找到粒子的几率最大？5、一维无限深势阱（宽度为）中粒子的波函数为求粒子几率最大的位置。