大学物理力学 65页

第2章牛顿力学的基本定律§2-1.牛顿运动定律§2-2.几种常见的力§2-3.牛顿定律应用举例§2-4.力学相对性原理§2-5.惯性系与非惯性系惯性力1\n第2章牛顿力学的基本原理§2-1.牛顿运动定律1687年《自然哲学的数学原理》一.牛顿以前的力学1.开普勒的行星运动三定律第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕(轨道定律)太阳运动,太阳位于椭圆的一个焦点上.第二定律：每一个行星的矢径(行星中心到太阳的连线)(面积定律)在相等的时间内扫过相等的面积.第三定律：行星绕太阳运动的周期T的二次方与该行星(周期定律)的的椭圆轨道的半长轴r的三次方成正比.即T2∝r32\n第2章牛顿力学的基本原理2.伽利略的实验观察(如图),只要斜面足够光滑，•即使θ很小,小球也能滚下来;•小球滚过距离(由静止开始),总与(Δt)2成正比.θ•小球总试图回到原有高度⇒伽利略最先设想了在理想条件下的理想实验,得出推论：α光滑水平面，物体一旦有了速度，将永远运动下去。3\n第2章牛顿力学的基本原理二.牛顿运动定律1.牛顿第一定律(惯性定律)Firstlaw，Inertialaw每个物体都将保持其静止或匀速直线运动的状态,除非有力加于其上迫使它改变这种状态.2.牛顿第二定律Secondlaw某时刻质点的动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上所有力的合力.3.牛顿第三定律ThirdLaw对每个作用总有一个相反的等效反作用；即两物体彼此的相互作用总是方向相反的.——牛顿《自然哲学的数学原理》16874\n第2章牛顿力学的基本原理三.牛顿运动定律的公式表示1.牛顿第一定律（惯性定律）rr∑F=0,v=常矢量2.牛顿第二定律rrrdpd(mv)rrF==若m为常量⇒F=madtdt3.牛顿第三定律(作用力与反作用力)rrF=−F′5\n第2章牛顿力学的基本原理四.有关运动定律的几个重要概念1.惯性：物体保持自己原有运动状态不变的性质.2.惯性参考系：牛顿第一定律在其中成立的参考系.3.力的性质：力是改变物体运动状态的原因,而并非维持物体运动状态的原因。4.力：是物体与物体之间的相互作用.5.质量(惯性质量)：物体惯性大小的量度.6.作用力与反作用力：等大、反向、作用于不同物体，始终同一直线.7.力的单位与量纲力的单位：牛顿，N力的量纲：[F]=MLT-26\n第2章牛顿力学的基本原理§2-2.几种常见的力一.引力、重力1.万有引力(universalgravitation)任何物体都相互吸引⇒两质点之间存在万有引力是引力相互作用的结果。rmmm2r12rFF21=−G2r1212Fmr21r1r12m，m—质点的引力质量(gravitationalmass)12G=6.672×10-11N⋅m2⋅Kg-2—万有引力常量(gr.constant)7\n第2章牛顿力学的基本原理2.引力质量物体感受外物引力大小的度量实验表明:只要AC=BC,F与F的比值不变,与ACBCA、B间距离和C的质量无关。AFACrAC⇒定义质点A,B的引力质量m,m之比为:CABrBCmAFACBF=BCmFBBC迄今为止的实验精度内,任一物体的m与m之比引惯都等于一普适常数，适当选择单位⇒m引=m惯=m(广义相对论基本假设之一）8\n第2章牛顿力学的基本原理3.球对称质量分布球体的引力万有引力定律原则上用于两质点之间。在质量分布有球对称性的球体和一个质点之间也成立：把球心到质点之间的所有质量集中于球心以匀质球体为例:Mm=F=−GMrr2mMmrRM′mMmr=rF=−G=−GrM'mM'mr2R3M9\n第2章牛顿力学的基本原理4.重力(gravity)地球作用于地面附近物体的万有引力MEW=Gm=mg2REM－地球质量；R－地球半径；g≈9.8m/s2EE地球椭球状＋自转⇒g随纬度不同略有差异思考:如何估算地球的重量／平均比重？假设地球是理想球体，自转引起的误差有多大?10\n第2章牛顿力学的基本原理二.弹性力(elasticforce)物体变形⇒企图恢复原状k自由状态⇒相互作用力.分子/原子内电子间电磁力的xOX宏观结果.f•虎克定律:f=−kxFF•绳中的张力:FTTF•正压力与支撑力:11\n第2章牛顿力学的基本原理三.摩擦力(frictionalforce)分布于有相对运动(趋势)的接触面，源于电磁力大小:静摩擦力(static～～)fs≤μ0Nμ0－静摩擦系数(coefficientofstaticfriction)动摩擦力(kinetic~~)fk=μN(滑动/滚动)μ－动摩擦系数(coefficientofkineticfriction)方向:与相对运动(趋势)方向相反FM12F12\n第2章牛顿力学的基本原理四.力的分类四种基本力：万有引力、电磁力、强相互作用（强力）、弱相互作用（弱力）万有引力、电磁力—长程力强、弱—短程力(10-15m)相互强电磁弱引力作用2-10-38相对1011010强度-15-17范围短程:~10长程短程:<10长程(m)作用胶子光子中间玻色子待发现粒子经典力学中涉及的力：万有引力、电磁力13\n第2章牛顿力学的基本原理§2-3.牛顿定律应用举例一.动力学方程及在各坐标系中的表达式rrrd2rrdV动力学方程m=F或m=F2dtdt⎧m(&r&−rθ&2)=F直角坐标系平面极坐标系⎪r⎨⎪⎩m(r&θ&+2r&θ&)=F⎧&&θmx=Fx⎪⎧dv⎨m&y&=Fy自然坐标系⎪m=Fτ⎪⎪dtm&z&=F⎨2⎩zv⎪m=Fn⎪⎩ρ14\n第2章牛顿力学的基本原理二.牛顿定律的应用选对象(隔离物体),看运动,查受力,定坐标,列方程1.认定对象,并对运动情况作出判断(或假设).2.分析物体受力,画受力图.3.选适当坐标系,列方程.动力学方程分量形式、运动学方程和辅助方程4.求解方程(先文字,后代数值!)5.对结果讨论15\n第2章牛顿力学的基本原理例1:已知:如图,桶绕z轴匀速转动，zω水对桶静止,略表面张力N求：水面形状（z-r关系）rθzθm选对象：表面某体积微元的水mz0r2rmg看运动：m作匀速圆周运动a=−ωrrrrrO查受力：受力mg及N,N⊥水面（稳定时m受到的切向合力为零）列方程：zNcos−mg=0(1)rdr⎧向：θa⎨2⎩r向：−Nsinθ=−mωr(2)22ωrdzω(2)/(1):=tanθ=dz=rdrgdrg16\n第2章牛顿力学的基本原理z2ωzrω取r=0时z=z，有dz=rdrN0∫∫z00gθrzθ2mω2z⇒z(r)=r+z（旋转抛物面）00mg2grO若不转时水深h,桶半径R,则z可求（V不变）：022RωR2∫z(r)⋅2πrdr=πRh⇒z0=h−04g2222ωr(1/s)⋅m验结果／量纲：[]=2=m=[z]2gm/s过渡到特殊值：ω=0或r=0时,z=z0变化趋势：r不变时，ω↑⇒(z−z)↑,合理？017\n第2章牛顿力学的基本原理例2.一柔软绳长l,线密度ρ,一端着地开始自由下落,求:下落任意时刻，给地面的压力为多少?解：如图建坐标,选绳为对象,且设t时绳给地面压力为N,此时绳长为y,速度为v。dpN−ρgl==p&ydtdpd(yv)p=ρyv→=ρdtdtyld(yv)0N=ρgl+ρdt18\n第2章牛顿力学的基本原理d(yv)dvdydydv=y+v又v=−g=dtdtdtdtdt212vv=−gty=l−gtl−y=22gd(yv)2所以=−yg+vdt=−yg+2(l−y)gN=3ρg(l−y)19\n第2章牛顿力学的基本原理例3破冰船.当冰块从船的侧面挤θ压过来时应能沿船壳向水下滑去.求船舷与竖直平面夹角θ的大小.解：设摩擦系数为μ，考虑船壳附近的冰块m，受力如右图fF1sin−>0θ⎧FθfF⎪m⎨Fcosθ−N=0N⎪mg⎩f=μN由此解得θ>arctanμ•学会如何把实际问题化为科学问题！20\n第2章牛顿力学的基本原理例4:求抛射体在空气中的运动轨迹,rrrr设t=0时v=v0,阻力f=−kvy解:如图，取坐标系，有：fvdυx0−kυx=m(1)dtθmgdυy−mg−kυ=m(2)ydtOx(1)＋初tkυxdυx−kt/m∫∫0(−)dt=⇒υx=υ0cosθeυ0cos始条件：mθυxmgmg−kt/m同理有：υ=−+(υsinθ+)ey0极限速度?kk2⎛mg⎞mg⎛kx⎞轨迹:y=⎜tanθ+⎟x+ln⎜1−⎟⎜⎟2⎜⎟kυcosθkmυcosθ21⎝0⎠⎝0⎠\n第2章牛顿力学的基本原理例5:链条在固定的光滑柱面上由图TdN示位置开始“静止下滑”.dmdθR求此时链条上各点的加速度。θT+dT解:链条不可伸长,各点a=0,θ0dmgna≡a大小相同.质量mτ由静止下滑,各点v0=0,a0=0rrF=dT=gsinθdm∑τ∫∫mθ0dθ=ma=mgsinθ=mg(1−cosθ)/θ∫000θ01−cosθ0⇒a=gθ220\n第2章牛顿力学的基本原理例6:如图,水平圆盘由静止开始,ωω缓慢增加.m,m对盘不滑动,问12rm1最大角速度ωm=?2r2Om1解:设ω>ω时,两物体沿径向向mm一边滑动,则ω=ω时,m、N21m1N1m最大静摩擦力方向如右图:m2T2m⎧21⎪T−μm2g=m2ωmr2f2mTf1m∴⎨2⎪⎩T+μmg=mωr11m1mg2mg1μ(m+m)g12⇒ω=mmr−mr1122显然,mr>mr时,解有限、实数.这时,m所需的向心11221力mrω2较大,由谁提供？2311\n第2章牛顿力学的基本原理•mr=mr时,ω1122ωm→∞,绳子不断就不会滑动.rm1•2r2Om1ω较小时?N2N1T=0,如图m2m21f=mωr≤μmgf2mf1mω≤μg/rm2gmg1若r>r,则随ω↑,f先到达f1211m若mr>mr,则ω↑,T↑,f↓,反向,↑达到f112222m注意：建立物理图象、讨论各种情况24\n第2章牛顿力学的基本原理§2-4.力学相对性原理一.伽里略变换S和S'——两个惯性系；t=t'=0时原点重合；S'系相对于S系以速度u沿x轴正向——作匀速直线运动。yy’分别从S和S'系观察同一质p点P的运动。SS’ru在S系中记为：(x,y,z,t)oo'xx'在S'系中记为：(x',y',z',t')zz’25\n第2章牛顿力学的基本原理1.伽利略坐标变换yy’按经典力学的时空观有：p⎧x=x′+ut′⎧x′=x−utur⎪⎪⎪y=y′⎪y′=y⎨⎨oo'xx'⎪z=z′⎪z′=z⎪t=t′⎪t′=tzz’⎩⎩2.伽里略速度变换⎧v=v′+u⎧v′x=vx−uS′→S系⎪xxS→S′系⎪⎨vy=v′y⎨v′y=vy⎪⎪v=v′⎩v′z=vz⎩zzrrrrrr矢量式：v=v'+uv'=v−u26\n第2章牛顿力学的基本原理二.牛顿的绝对时空观(经典力学的绝对时空观)牛顿《自然哲学之数学原理及其宇宙体系》：“绝对空间就其本质而言，是与任何外界事物无关的，它从不运动，而且永远不变。”“绝对的真实的数学时间就其本质而言，是永远均匀平静地流逝着，与任何外界事物无关。”27\n第2章牛顿力学的基本原理1.空间是绝对的：空间间隔与参照系的运动无关。即Δl=Δl′2.时间是绝对的：事件经历的时间间隔与惯性参照系的运动无关。即Δt=Δt′同时性是绝对的：在某惯性系同时发生的事件，在其它惯性系中也必然是同时发生的。28\n第2章牛顿力学的基本原理三.力学相对性原理1.加速度对伽里略变换不变22dxdx′Qax=2=2=a′xdtdt′a=a'yya=a'zzvv∴a=a′加速度具有伽利略变换的不变性。29\n第2章牛顿力学的基本原理2.牛顿运动定律对伽里略变换不变在牛顿的经典力学中，物体质量与其运动状态无关,是绝对的()即m=m′；因此物体间的相互作用(力)也与惯性参照系的选择无关。rr故如果在S中有：f=marr则在S’中也必然有：f′=ma′牛顿运动定律在不同的惯性系中具有完全相同的形式。即：牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性。30\n第2章牛顿力学的基本原理3.力学相对性原理•一切力学规律在任何惯性系中都具有完全相同的形式.•一切力学规律的数学表示式都具有伽利略变换的不变性.•任何惯性系对一切力学规律都是等价的(没有哪个惯性系更为优越)。•用任何力学实验方法都无法确定所在惯性系相对于另一惯性系是作匀速直线运动还是静止。•用任何力学方法都不可能找到绝对静止的参照系。31\n第2章牛顿力学的基本原理§2-5.惯性系与非惯性系惯性力一.惯性系与非惯性系牛顿定律适合的参照系称为惯性系牛顿定律不适合的参照系称为非惯性系例如：在S参考系(地面)，m在S'参考系(车厢),m运动符合牛顿定律运动不符合牛顿定律rrrrF=ma0F′=F≠ma0′32\n为何还要在非惯性系中研究问题呢？▲有些问题需要在非惯性系中研究，如：地面参考系−22地球自转加速度a≈3.4×10ms（赤道）地心参考系−32地球绕太阳公转加速度a≈6×10ms太阳参考系−102太阳绕银河系转加速度a≈1.8×10ms▲有些问题在非惯性系中研究较为方便。33\n第2章牛顿力学的基本原理二.惯性力1.平动非惯性系中的惯性力设:非惯性系S'相对惯性系rS平动，加速度为:a0rrS:F=marrrrrrS′:F′=Fm′=ma′=a−a≠a0rr故F′≠ma′牛顿第二定律在S’系中不成立rrrrrr由F=ma=m(a′+a0)=ma′+ma0rrr得F−ma0=ma′34\n第2章牛顿力学的基本原理rr定义：F=−ma为惯性力(inertialforce)00rrr则有F+F=ma′0上式表明，在非惯性系S′中，只要将通常的合外力F再加上惯性力F，则牛顿第二定律形式上成立.0惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯性的体现。它不是物体间的相互作用，没有施力物体，因而也就没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。35\n在非惯性系中讨论问题更方便的情况举例：讨论M自由下滑后，m对地面的运动情况。M>>m直接讨论m对地面的运动较困难。匀速率圆周运动可分两步讨论：M.g.（1）在M参考系-mg中观察，m作速率mTvvm为v的圆周运动。2rdvrvrmgQa=et+en光滑dtR失重情况dv地面∴=0dt36\n（1）在M参考系中观察，Mm作速率为v的圆周运动。.gm（2）M对地作自由落体运动。vm对地面的运动，光滑地面是以上两种运动的叠加。37\n猎人与猴子只要一开始猎人瞄准猴子，不考虑空气等阻力，猴子同时自由下落，猎人总能击中猴子。前提是猴子必须配合38\n第2章牛顿力学的基本原理2.匀速转动非惯性系中的惯性力设S'系相对惯性系S匀速转动(1)物体m在S'中静止rr2rS:fs=man=mω(−r)rS':a′=0rrr令f+F=ma′=0s0r2r则F=mωr0r2rF=mωr——惯性离心力0(inertialcentrifugalforce)39\n◆几个有关的问题：▲失重：在绕地球旋转的飞船中(非惯性系中观察)，引力被惯性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定律的地方（真正做到不受力）。40\n41\n▲重力和纬度的关系：思考●重力是物体所受的ω地球的引力吗?rmF0F引·P●重力加速度g和地球POR纬度ϕϕ的关系式为：a02g≈g(1−cosϕ)0g0（自己推导）GMe−2=2≈0.034ms−2式中：g0=≈9.83ms，a0Rω2RG─万有引力常量，Me─地球质量，R─地球半径，ω─地球自转角速度。42\n第2章牛顿力学的基本原理(2)物体m在S′中运动设m在S′中匀速运动，速度为v′v′vΔtΔθ(r+Δr)ωv′Sv′r+ΔrrωωvS′′rωΔθωrΔv′v′rωv′方向变化转动速度变化ΔθΔθv′(r+Δr)ω43\n第2章牛顿力学的基本原理Δv′Δθa==v′=v′ω切向ΔtΔtωΔr切向转动速度大小变化a==v′ωΔt2转动速度方向变化ar=ω内法向rr2ra=2v′ωt+rωn2在S2vω科氏加速度rω向心加速度在S′系有两个惯性力，科氏力−2mvω2和离心力−mrω44\n第2章牛顿力学的基本原理桌面匀角速转动，一质点在桌v面上的同心圆环凹槽内，作无rω摩擦匀速运动在惯性系在转动2参考系(v+rω)f=m2r2v2f−2mvω−mrω=mv2r=m+2mvω+mrωrrrr一般地f=2mv×ωc45\n第2章牛顿力学的基本原理一般地如果m在S′中运动速度为v′,加速度为a′rrS:fs=marrrdωr2rrra=a′+×r−ωr−2v′×ωdtrrrdω如：ω=C=0dtrr2rrra=a′−ωr−2v′×ωrr2rrr则：f=ma′−mωr−2mv′×ωs46\n第2章牛顿力学的基本原理r2rrrrS′:fs+mωr+2mv′×ω=ma′r2rrrr令：F=mωrF=2mv′×ω0c—惯性离心力—科里奥利力(Coriolisforce)rrrr则：f+F+F=ma′牛顿定律形式上成立s0c如果物体m在S′中有速度v′，则在S′中看，m除受惯性离心力外，还要附加一个与速度v′有关的惯性力，称科里奥利力。47\n第2章牛顿力学的基本原理rF:如图，小球m相对圆盘静止mS惯S中:小球匀速圆周运动⇒弹簧拉长⇒m受到向心力FO惯⇒S'中:小球静止，S′ω⇒弹簧拉力和一个(虚设)惯性rrr力平衡（惯性离心力）F惯=−manFrCm以速度v相对圆盘运动，SS'中：m受合力为零⇔匀速直线运动.vS中：m沿曲线l运动，mF惯rO等价于受到了一个与垂直且vS′ω指向右侧的惯性力.48\n第2章牛顿力学的基本原理推广到三维球面ω(rˆ,θˆ,ϕˆ)vrvϕθvθrfc=−2mvrωϕˆ落体偏东+2mvˆωθϕ江水冲刷右岸−2mvωϕˆθ49\n与科里奥利力（科氏力）有关的问题北半球的科氏力50\n三.地球上的科里奥利力现象▲河岸冲刷，双轨磨损(北半球右，南半球左)。▲赤道附近的信风(北半球东北，南半球东南)▲强热带风暴漩涡的形成。▲落体偏东。…51\n落体的偏东问题rωgNrkrjPr偏东，偏南，变慢λiS轨道的磨损和河岸的冲刷在北半球上科里奥利力的水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右方。在北半球河流右岸的冲刷甚于左岸；双轨单行铁路的情形，右轨所收到的压力大于左轨。52\n贸易风（信风）ωNrk如果气流自北向南推进，即气流的速度为，x&rPj则所受到奥利力为－2mxsin,沿东西方向。ωλ&rλi*北半球地面附近自北向南的气流，有朝西的偏向，成为东北贸易风。&&&&&S*南半球地面附近自南向北的气流，也有朝西的偏向，成为东南贸易风。&&&&&大气上层的反贸易风，在北半球为西南贸易风；在南半球为西北贸易风。53\n▲傅科摆傅科，1851，巴黎伟人祠，摆长67m，摆锤28kg，摆平面转动）r顶视1ω•2F摆cFcϕ2′傅3地球科1′摆24小时摆平面转动周期T=Sinϕ°巴黎，ϕ≈49，T=31小时52分°北京，ϕ≈40，T=37小时15分这是在地球上验证地球转动的著名的实验。54\n科里奥利速度和加速度1.速度rrrdrrrrvr==;xi+yj+zkdtrrdrrrrrrrrv==+++×++()x&&iyjz&kω()xiyjzkdt*rdrrr=+ω×rdtrrr=+×vr′ωrv′−−−−相对速度；rrω×−−r牵连速度，(轴向分量)由于物体转动而使物体相对于固定坐标系的速度。55\n科里奥利速度和加速度2.加速度rrdva=dt*rdvrr=+ω×vdt*drrrrrrr=+()vrvr′′ωωω×+×()+×dt**rrr*dvd′ωrrrrdrrrr=+×+×+×+××rvωωω′()ωrdtdtdtrrrrrrrr&rr=+×+×+×+××arvv′′ωωωω′()ωrrrrr&rrrr=+×+××+×ar′′ωω()ωωrv2ra━━绝对加速度ra′━━相对加速度rrrrω×(ω×r)=a━━牵连加速度rrr牵2ω×v′=aC━━科里奥利加速度56\n潮汐（tide）与惯性力问题：(1)为什么月球对潮汐的影响比太阳大？(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？57\n在X-C-Y惯性系中地心加速度：GMM地月f==Mac2地cdGM月a=c2dd为地月心距离在地心参考系中各f点单位质量惯性力：惯×GMC′C月Mf惯=−ac=−58月2dM地\nr地表各处地万有引力f：rrrr月球引潮力f潮f潮=f惯+f59\n月球引潮力地计算：CGMGM月月f=f−f=cos(θ+ϕ)−cosθ潮VVCV22ldGMGM月月f=f−f=sin(θ+ϕ)−sinθ潮HHCH22ldf潮V使海水“涨起,跌落”，f潮H造成海水地潮流60\nGMGM月月f=f−f=cos(θ+ϕ)−cosθ潮VVCV22ldGMGM月月f=f−f=sin(θ+ϕ)−sinθ潮HHCH22ld对A点：θ+ϕ=0l=d−RR为地球半径GM月GM月(2d−R)Rf=f−f=−=GMA潮VAVACV22月22(d−R)d(d−R)d61\nGM月GM月(2d−R)Rf=f−f=−=GMA潮VAVACV22月22(d−R)d(d−R)d86地月距离远大于地球半径d=3.82×10mR=6.4×10m(2d−R)R2dR2GM月Rf=GM≅GM=A潮V月22月223(d−R)dddd2GMR月同理，B点引潮力为：fB潮V=−3d62\n太阳引潮力：2GMR月2GMRf=日A月3f=dA日3月地d日地33fA日M日d月地M日d月地=＝33fA月d日地M月M月d日地1＝27000000×≈0.46338863\n潮汐为引力不均匀（有引力梯度）引起的。平动非惯性系绕地大飞船·D·惯性力D球与飞船A··C·BA··Bv·C共同a0指向E质心引力·E地心·转动引力分布不均匀引力不能完全（有引力梯度）被惯性力抵消地球地球64\n落潮月亮涨潮地球涨潮落潮月球对地面上海水的引潮力大潮引潮力常触发地震日月地地震常发生于阴历初小潮一、十五附近（大潮地期），如：76.阴7.2,唐山日月93.阴8.15,印度大潮与小潮95.阴12.17,神户65