大学物理实验(20120905) 108页

大学物理实验绪论误差理论大连理工大学单明\n通知必须先在教务处系统选课，然后才能在物理实验系统选课！！从教务处网页可以进入物理实验选课系统。\n1.各班学习委员以班级为单位，务必于第2周周四（9月13日）下午1:30~4:30到综合楼307室买报告纸，每份4元（20张报告纸），两学期共做17(9+8)个实验。2.同时领报告箱的钥匙，钥匙押金100元，第2学期实验结束后，在选课系统信息栏通知还钥匙退押金的时间。所有实验的通知都发布在选课系统的信息栏上。\n3.选课系统会在第3周周二（9月18号）上午8:00开通，开通前同学一定要修改密码，认真阅读信息发布栏中的《大学物理实验选课说明》和《大学物理实验教学管理规定》。4.密码错误和咨询选课事宜，到综合教学楼307办理，办理时间第3-16周，每周一～五下午。5.学生上课，必须主动出示有效身份证件（学生证或学生卡）。\n6.课前教师要检查学生实验预习情况，未预习者不得参加实验。任课教师要在实验报告和实验数据记录单上签字。同学们可以到实验室预习实验。7.上课时不要把水瓶、书包等与实验无关的东西放在实验台上。8.实验报告和教师签字的实验数据记录单要在实验完成一周内，投入任课教师的报告箱内。没交教师签字的实验数据记录单扣10分，原则上超过一周未交实验报告，每拖一周扣10分，扣到0为止。\n9.期末成绩考核：实验平时成绩70%，笔试30%（笔试考试内容：为数据处理和你所做的实验项目），两者之和为最终成绩。笔试初步定在16周周六或周日，16周周四下午实验室开放（所有实验项目有老师答疑），期末会在选课系统信息栏上通知具体考试时间。\n内容提示：第1章测量与误差第2章有效数字及其运算第3章不确定度的计算第4章实验数据处理方法\n实验目的\n实验目的\n实验目的\n基本程序(1)预习实验原理1、实验预习(2)了解实验注意事项(3)明确实验目的在此基础上写出预习报告1、实验名称，实验目的2、简述实验原理及主要公式；内容3、实验简图(电路图或光路图)4、列出记录数据表格无需照抄实验原理！\n基本程序2、课堂实习\n基本程序3、撰写实验报告1.实验名称；2.实验目的；3.简述实验原理（原理图、电路图或光路图，以及主要计算公式等）；4.主要实验仪器设备；简述实验步骤。5.实验数据表格、数据处理计算主要过程、作图及实验结果和结论；6.实验现象分析、误差评估、小结和讨论。\n第1章测量与误差\n第1章1、1物理量的测量1、测量的定义与分类等精度测量l、m不等精度测量V=abc\n第1章2、真值、测量值真值:某物理量客观存在的值A真值是个理想的概念，一般不可能准确知道。测量值：使用一定的仪器，在一定的条件下进行测量得到的值为测量值。测量列直接测量值：x,x,...x...x12inx,x,...x...x间接测量值12iny,y...y...yF=f(x,y)12in\n第1章1、2测量的误差1、测量的误差测量误差：若某物理量的测量值为x，真值为A则测量误差定义为：反映了测量值偏离ε=x-A真值的大小和方向.e称为绝对误差仅仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要与测量值进行比较，为此，引入相对误差的概念绝对误差相对误差=´100%测量最佳值\n例1：测得两个物体的长度为：l23.500.03cm,l2.350.03cm12其相对不确定度分别为：0.030.03E100%0.13%,E100%1.3%1223.502.35两者不确定度相等，但相对不确定度后者大1个数量级。有时相对误差更能够反映测量精度。\n第1章1)系统误差在同一条件下多次测量同一物理量时，其结果来源的符号和大小按一定规律变化的误差已定系统误差:一经发现，在测量结果中必须修正。例如：电表、螺旋测微计的零位误差；测电压、电流时由于忽略表内阻引起的误差。未定系统误差:要估计出分布范围例如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等。\n第1章2）随机误差在对同一量的多次重复主观方面测量中绝对值和符号以不可来源实验条件方面预知方式变化的测量误差。环境方面例如：实验条件和环境因素的起伏，估读数偏差，测量对象的不稳定等。特点：系统误差具有确定性，服从因果规律。随机误差就个体而言是不确定的，但其总体服从一定的统计规律，因此可以用统计方法估算其对测量结果的影响。\n第1章3）粗大误差使用仪器的方法不正确明显地歪曲了测来源实验条件突变量结果的误差粗心大意读错数据在实验测量中要极力避免粗大误差，在数据处理中要尽量剔除坏值。\n第1章07考题\n第2章有效数字及其运算本章内容提示：2.4、数值的舍入修约规则\n第2章2.1、有效数字的定义及其基本性质从仪器刻度读出的最小准确的数字分度值的整数部分，称为可靠数字定义：在最小分度以下估读的可疑数字末位数字，它具有不确定性。称为可疑数字。定确不器仪度一那的在所位具它，字数有有效数字=准确的数字+可疑数字性定确不\n第2章有效数字具有以下基本特性:（1）有效数字的位数与仪器精度有关，也与被测量的大小有关。（2）有效数字的位数与小数点的位置无关,单位换算时有效数字的位数不应发生变化2222980cm/s=9.80m/s=0.00980km/s≠9.8m/s始终保持三位7.82cm(3)数值的科学表示法7.82´10mm-27.82´10m\n第2章原始数据有效数字的确定1、对指针式仪表和有刻度盘或标尺的仪器，通常在直接测量时，要求估读一位.56789(cm)5.20cm6.35cm7.82cm2、数字式显示仪表，则谈不上估读，只要纪录全部数据即可。26.0C3、有一些仪表，虽然也有指针和刻度盘，但指针跳动是以最小分格为单位的（秒表）;各类带有游标（或角游标）的仪器装置,不需要估读。\n第2章\n千分尺（刻度式仪表）读数方法5.500＋0.237主尺副尺估读\n第2章1、加、减法：以末位可疑数字最高数为准4.178+21.325.478=25.52、乘、除法：与有效数字最少的因子相同4.178×10.14178417842.1978=42.23、开方、乘方：与底数的有效数字相同\n第2章2.4、数值的舍入修约规则舍入修约规则：y=6.2501y=6.3当要舍弃的数字最左一位是5，11而且5右边没有非0数字时考虑y2=6.3500y2=6.4凑偶——保留的末位是奇数则进y=6.2500y=6.2331，否则舍弃。通俗地说：四舍六入，五凑偶。\n第2章3.54499®3.543.5350®3.543.5425®3.543.5450®3.543.5466®3.553.54501®3.55\n第2章例3（06考题）：下列各数据保留四位有效数字3.141593.1424.510504.5106.3785016.3792.717292.7177.6913.215503.2167.691499\n第3章不确定度的计算本章内容提示：3.1不确定度的定义及分类3.2直接测量结果与不确定度的估算3.3间接测量结果与不确定度的估算\n第3章3.1不确定度的定义及分类1.不确定度的定义测量结果x=x±UU\n第3章1）Ａ类统计不确定度UA2）Ｂ类非统计不确定度UB是指用非统计方法求出或评定的不确定度对Ｂ类不确定度的估计作简化处理，只讨论因仪器不准对应的不确定度。仪器不准确的程度主要用仪器误差限来表示即：DI\n第3章U22U=U+UABUrUU=rx\n第3章3、误差与不确定度的关系误差是一个理想的概念，由于真值一般是未知的，误差一般也是未知的，因此，用于定性地描述理论和概念的场合。不确定度则是由于测量误差的存在而对被测量值不能确定程度的表示，反映了可能存在的误差分布范围，表征被测量量的真值所处的量值范围的评定，所以不确定度能更准确地用于测量结果的表示。总之，凡是涉及到测量结果的定量数值评价时，均应使用不确定度来代替误差。\n第3章3.2直接测量结果与不确定度的估算1、测量列的算术平均值对物理量进行多次等精度测量得：x,x,,x12n设真值为A为测量列Δx=x-A各次i测量的绝对误差Δxi=xi-A也可写成：x1=A+Δx1,x2=A+Δx2,.....xn=A+Δxn则多次测量的算术平均值为：nnn111x=x=(A+Δx)=A+Δxiiinnni=1i=1i=1\n第3章根据误差的抵偿性，当测量次数n→∞时，有：n1limΔxi=0n→∞ni=1故：n1A=x=åxini=1若n为有限次数，则有nn11limΔxi≈0A≈x=∑xin→∞ni=1ni=1可见，算术平均值就是真值的最好近似，是多次测量的最佳值。因此，可以用算术平均值来近似代替真值作为测量结果。\n第3章2、测量列的标准差测量列的随机误差服从统计规律，可以用标准差来描述;n其统计意义是指当测量次数2(xi-x)足够多时，测量列中任一测量i=1σ=s(xi)=值与算术平均值的偏差离落在n-1[-σ，+σ]之间的概率为0.683.该公式就是著名的贝赛尔公式。\n第3章当n趋于无穷时（n→∞）,物理量将成为连续性随机变量，其概率密度分布为正态分布，分布函数为：2δxx1-di2f(δ)=e2σ2πσf(d)dd其函数分布曲线为正态分布：f()特点：0\n第3章标准差小：表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；标准差大：表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低。+s这个概率叫置信概率，P=òf(d)dd=0.683也称为置信度。对应的-s区间叫置信区间。扩大置信区间，可增加置信概率\n第3章3、直接测量结果的A类不确定度的评估有限次测量时，算术平均值不等于真值，它的标准偏差为：2å(x-xi)sxs==xn(n-1)ns：的意义可以理解为：待测物理量处于区间[x-sx,x+sx]x内的概率为0.683。n较小时,偏离正态分布较多，称为t分布：\n第3章普通物理实验只能进行有限次测量。对于有限次的测量结果，要保持同样的置信概率，显然要扩大置信区间，把s(x)乘以一个大于1的因子。本课程定义A类扩展不确定度为:U=ts(x)Apt与测量次数有关还与置信度有关。P2.406计算公式为：t≈1.959+还可以查表p12p=0.95ν-1.064物理实验中，置信度一般取作0.95.\n第3章4、直接测量结果的B类不确定度评估从物理实验教学的实际出发，本课程要求掌握由仪器误差引起的B类不确定度的计算方法。一般取仪表、器具的示值误差限或基本误差限为：ΔI本课程约定，在大多数情况下，把Δ简化为I测量量的总不确定度的B类分量，即U=ΔBI\n第3章5、普通物理实验常用测量仪器的误差限1）米尺：分度值为1mmDI=0.5mm0.02mmD=0.02mmI2）游标卡尺：分度值通常有；0.05mmDI=0.05mm0.1mmDI=0.1mm3）螺旋测微计（一级千分尺）：D=0.005mmI4）机械停表：D=0.1msI05）水银—玻璃温度计：DI=0.5C\n第3章6）旋钮式电阻箱m为旋钮的个数ΔmR为测量值的大小I=(a+b)%RRa和b为电阻箱的级别和所对应的常数7）电磁测量指示仪表xm为仪表的量程Δ=xN%ImN为仪表的准确度级别8）单臂成品电桥C为准确度等级；CRNk值一般取10；Δ=(+x)I100kx为标度盘示值即测量值；RN为基准值．\n第3章6．直接测量的扩展不确定度扩展不确定度为（合成不确定度）2222U=U+U≈(ts(x))+ΔAjBpI7.直接测量结果的表示x=x±U注意：x可以是单次测量值，也可以是多次测量的算术平均值\n第3章8.测量结果的有效数字位数1）直接测量量2）合成不确定度按有效数字一般只取一至两位有的运算法则效数字．教学中要求：x多保留一位U修约前首位数字较小时（如1、2等）一般有效数字进取两位，首位不小于2行修约。通常取1位．3）最终结果最终结果要根据扩展不确定度进x=x±U行有效数字修约．即测量值x与扩展不确定度U的末位数字要对齐．测量结果的相对不确定度一般取二位有效数字\n第3章xU=ts(x)ApU=DBj2222U=U+U≈(ts(x))+ΔAjBpIxxUxUxE100%xx\n第3章例题4（06考题）用0.2级，量程为20k的万用表测量某个电阻的电阻值，测量结果为:（单位：kΩ）3.92，3.89，3.88，3.86，3.88，3.87，3.86，3.85，3.87，3.89．给出最终结果表示。解：（2）计算平均值101R=x=3.877kΩi10i=1（3）A类不确定度：平均值的标准偏差：102(x-3.877)iσ0.020i=1s(x)====0.0063kΩ1010×(10-1)10\n第3章查表，10次测量，置信度为0.955，置信因子：t=2.26PA类不确定度：U=ts(x)=2.26×0.0063=0.015kΩAp（4）B类标准不确定度：k0.2U=Δ=×量程=×20=0.04kΩBI100100（5）合成不确定度（扩展）为：2222U=U+U=0.014+0.04≈0.042kΩ=0.04kΩAB\n第3章修约，结果的平均值为R=3.88kΩ（6）最终结果为：R=(3.88±0.04)kΩ（P=0.955）\n第3章3.3间接测量结果与不确定度的估算函数关系N=f(x,y,z,)间接量直接量，彼此独立由直接量计算：x;y;z平均值：N=f(x，y,z,)\n第3章计算直接量：Ux;Uy;UZ间接量UN方法：N=f(x,y,z,)抖fff求偏导：dN=dx+dy+dz抖xyz抖fffDN=Dx+Dy+Dz抖xyzUN=DNUx=DxUy=DyUz=Dz,\n第3章考虑不确定度合成的统计性质，用方和根合成：2抖f2f2f2DN=(Dx)+(Dy)+(Dz)抖xyz抖ff+2DxDy抖xy得到不确定度传递公式：222骣珑抖f鼢骣çf÷骣fU=珑U鼢+çU÷+U+N珑桫抖x鼢çç桫y÷÷桫zxyz上式适合于函数关系为加、减关系\n第3章先取对数：lnN=lnf(x,y,z,)dN抖lnflnflnf再微分：=dx+dy+dzN抖xyz以微小量代替微元：DN抖lnflnflnf=Dx+Dy+Dz+N抖xyz得相对不确定度传递公式：222U骣抖lnf骣lnf骣lnfN珑鼢ç÷E==珑U鼢+çU÷+U+珑桫抖x鼢çç桫y÷÷桫zNxyz\n第3章3、间接测的量的结果表示N=N±UNUNE=×100%NN不确定度的最终有效数字取位原则与直接测量时的原则一样，保留一位或二位有效数字，\n（1）先求出各直接测量量的算术平均值，A类和B类测量不确定度以及各直接测量量的扩展标准不确定度；（2）计算间接测量量N的算术平均值值（按有效数字的运算规则计算，可多保留一位有效数字）；（3）根据具体函数关系，推导不确定的传递公式的具体形式；（4）求出间接测量量的总不确定度，根据总不确定度修约得出最终结果。\n第3章例4：次数123456高度80.3880.3780.3680.3880.3680.37h/mm直径19.46519.46619.46519.46419.46719.466D/mm\n第3章解（1）求高度的平均值及不确定度61h=h=80.37mmi6i=1h的A类不确定度：62(hi80.37)i10.0089mm6-12.560.0089Ut0.00093mmAPn6游标卡尺的示值误差为0.02mm,即h的B类不确定度为：U=Δ=0.02mmBI\n第3章因此，h的合成不确定度为：2222U=U+U=0.0093+0.02=0.02205=0.02mmhAB得到h的最终结果：h=(80.37±0.02)mm(2)求直径的最佳值及不确定度1D=åDi=19.4655mm6D的A类标准不确定度为：62(di19.4655)i10.00105mm6-1\n第3章σ2.56×0.00105U=t×==0.001102mmAp66一级千分尺的仪器误差限为0.005mm，则D的B类标准不确定度为：U=Δ=0.005mmBI因此，D的扩展标准确定度为：2222U=U+U=0.001102+0.005=0.00512≈0.005mmdAB终测量结果：D=(19.466±0.005)mm(P=0.955)\n第3章(3)求密度及其不确定度4m4´213.04r==22pd×hp创19.46680.3733=0.0089068g/mm=8.9068g/cm多取一位有效数字取对数：lnr=ln4+lnm-lnp-2lnD-lnhDrDmDDDh求偏导：=+2+rmDh222Ur轾1轾1轾1方和根：E==犏U+犏2U+犏UrmDhr犏臌m犏臌D犏臌h0.0520.006120.0222=()+(2)+()=0.072%213.0419.46680.37\n第3章gUρ=ρ×Eρ=8.9068×0.0063%=0.0056≈0.006cm3再对r进行有效数字修约，得gρ=8.9073cm最终结果为：gρ=(8.907±0.006)3cm（P=0.955）\n第3章例2：已知金属环的内径D12.8800.004cm外径D3.6000.004cm高h2.5750.004cm2求:环的体积V，并正确表示测量结果。22解：环体积公式为:Vh(D2D1)4（1）环体积的最佳值为22223V(DD)h(3.6002.880)2.5759.436cm2144（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分22lnVln()lnhln(DD)214dVdh2DdD2DdD2211022VhDD21\n则相对不确定度为UU2DU2DUVh22D221D12E()()()V2222VhDDDD212110.004223.6000.004222.8800.00422()()()22222.5753.6002.8803.6002.8800.00810.81%（3）绝对不确定度为3UVE9.4360.00810.08(cm)VV（4）环体积的测量结果为V=9.44±0.083cm9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44\n第4章第4章实验数据处理方法本章内容提示：\n第4章列表的具体要求：（1）表格设计合理，便于看出相关量之间的对应关系，便于分析数据之间的函数关系和数据处理。（2）标题栏中写明代表各物理量的符号和单位。注意：单位不要重复记在各数值后面！（3）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。（4）实验室所给出的数据或查得的单项数据及表名应列在表格的上部。\n第4章例1伏安法测量电阻伏特计：1.0级,量程15V,内阻15KΩ毫安计：1.0级,量程20mA,内阻1.20Ω测量次数n123456789电压U（V）1.002.003.004.005.006.007.008.009.00电流I（mA）2.004.016.057.859.7011.8313.7516.0217.86电阻R=U/I（Ω）500499496510515507509499504代表仪器的精度，必须写！\n第4章例2热敏电阻温度特性研究数据记录直接测量量12…….8t（℃）14.623.2……61.910.003470.00337……0.00298TR（TΩ）271.3223.4……66.9lnR5.60325.4090……4.2030T中间量\n第4章4.2作图法优点：简便、形象、直观缺点：受坐标纸及人为的影响比较大不能计算不确定度\n第4章UUR=II伏安特性曲线热敏电阻的温度特性曲线\n第4章Ix电流表校准曲线\n第4章\n第4章（3）图解法求直线的斜率和截距1）直线科率的求法图线类型为直线方程yabx，可在图线上任取两相距较远的点，其x坐标最好为整数，以减少误差（注意:不得用原始实验数据点，必须从图线上重新读取）。该直线的斜率：2)直线截距的求法如果横坐标x的原点为零，直线延长和坐标轴交点y的纵坐标即为截距x=0,y=a\n第4章例3伏安法测电阻实验数据解：1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据数据表U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm×130mm。\n第4章2.标明坐标轴：I(mA)用粗实线画坐标轴，20.00用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,18.00再按顺序标出坐标轴整分16.00格上的量值。14.003.标实验点：12.00实验点可用“”10.00、“”、“”等符号标出（同一坐标系下8.00不同曲线用不同的符号）6.00。4.004.连成图线：2.00用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。0U(V)1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.00一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图线正穿过实验点时可以在7点处断开。\n第4章5.标出图线特征：I(mA)电阻伏安特性曲线在图上空白位置标20.00B(7.00,18.58)明实验条件或从图上得18.00出的某些参数。如利用16.00所绘直线可给出被测电14.00阻R大小：从所绘直线12.00上读取两点A、B的坐10.00标就可求出R值。8.00由图上A、B两点可得被测电阻R为：6.标出图名：U-U7.00-1.00BA6.00R===0.379(kΩ)I-I18.58-2.76BA在图线下方或空白4.00A(1.00,2.76)位置写出图线的名称及2.00作者：xx某些必要的说明。0U(V)1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.00至此一张图才算完成!\n第4章不当图例展示：图1不当：曲线太粗，不均匀，不光滑。n1.7000应该用直尺、曲线板等工具1.6900把实验点连成1.6800光滑、均匀的1.6700细实线。1.66001.6500400.0500.0600.0700.0λ(nm)玻璃材料色散曲线图\n第4章改正为：n1.70001.69001.68001.67001.66001.6500400.0500.0600.0700.0λ(nm)玻璃材料色散曲线图\n第4章图2I(mA)20.00不当：横轴坐标分18.00度选取不当。16.00横轴以3cm代表114.00V，使作图和读图都12.00很困难。实际在选择坐标分度值时，10.00应既满足有效数字8.00的要求又便于作图6.00和读图，一般以14.00mm代表的量值是102.00的整数次幂或是其20U(V)倍或5倍。1.002.003.00电学元件伏安特性曲线\n第4章改正为：I(mA)20.0018.0016.0014.0012.0010.008.006.004.002.00oU(V)1.002.003.004.00电学元件伏安特性曲线\n第4章P(×105Pa)1.6000图31.2000图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读0.8000数可以不从零开始。0.4000t(℃)o20.0040.0060.0080.00100.00120.00140.00定容气体压强～温度曲线\n第4章RTBR=Cexp()TT1lnRlnR=lnC+BTTy=a+bx\n第4章逐差法适用条件y=a+bx\n第4章411Δx=Δx=[Δx+Δx+Δx+Δx]i123444i\n例4弹簧倔强系数测量实验测量数据如下表测量次数123456780.0000.5001.0001.5002.0002.5003.0003.500m=M-m/Kii0g90.0101.5112.5124.5135.3146.0158.0170.0r／mmi/88.4100.0111.0122.8134.0147.6158.4170.0r/mmi89.2100.8111.8123.7134.71468.158.2170.0r/mmi\n已知每次加减砝码质量m=(0.500±0.005)Kgi标尺刻度不确定度为Δr=±0.3mm要求用逐差法求弹簧倔强系数解：（1）将８个数据分成两组j＝1，2，3，4r=r-r=45.5,46.0,46.4,46.5jj+4jm=2.000,2.000,2.000,2.000j\n2）求r的平均值及不确定度r=46.05mms(r)=0.40mmσ(r)0.40u(r)=t=3.18×=0.64mmAPn4u(r)=Δ=0.3mmBI2222u(r)=u+u=0.64+0.3=0.7mmABr=(46.0±0.7)mm\n(3)求m的平均值及不确定度m=2.000kgu(m)=u(m)=Δ=0.005kgBIm=(2.000±0.005)kg(4)求弹簧倔强系数r46.0kga===23.0m2.000mm\n22u(a)骣u(r)骣u(m)E(a)==珑珑鼢鼢+a珑桫r鼢桫m22骣0.7骣0.005=珑珑鼢鼢+=0.015珑桫46.0鼢桫2.000kgu(a)=0.015×23.0=0.35=0.4mm最终结果为：kga=(23.0±0.4)mm\n第4章Y（x,y)77（x4,y4)（x6,y6)（x,y)55（x,y)33（x,y)11（x,y)22\n包括两类问题函数关系已经确定，系数是未知的函数关系未知，求经验方程式。我们讨论的是第一类问题中的最简单的函数关系，y=a+bx即一元线性方程的回归(亦称直线拟合)问题。\n精度高自变量x1x2…xi…xny1y2…yi…yn彼此独立y=a+bxyiyv=y-y=y-(a+bx)iiii\n函数关系y=a+bx要找到好的a、b使得偏差的平方和n2å(yi-a-bxi)最小！i=1对a和b的求一阶偏导数，令其分别等于零，n即：v2ini1-2(yiabxi)0ai1\nnvini1-2(yiabxi)xi0bi1y-a-bx0整理：2yx-ax-bx0na+bx=yιι2ax+bx=xyιιιι每项都除以n\n令：一阶偏导方程整理得：bx+a=y2bx+ax=xy\n上两方程的解为：a=y-bxxy-xyb=22(x)-x代人直线方程，可得到最佳经验公式。yabx\n结果ya、b和的不确定度用如下公式计算：2å(yi-a-bxi)s=yn-22x1s=s+ay2nå(xi-x)sys=b2å(xi-x)\nxy-x-yr=2222(x-x)(y-y)r=±1,x与y完全相关(存在线性关系）r=0,x与y不相关（不存在线性关系）\n\n2x=2.5，y=1.945,xy=7.124,x=9.167a=y-bx=0.00517xy-xyb==0.775822x-x\n例6某同学测量弹簧倔强系数数据如下F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中，F为弹簧所受的作用力，Y为弹簧伸长后的位置示值,已知：y=y-(1)F0K试用最小二乘法处理数据，求弹簧的倔强系数K及弹簧的初始位置y0\n解：将测量公式与线性方程y=a+bx比较得1x=Fa=y0b=k(1)求线性回归系数（由计算器输出）a=3.9143b=1.5116\n(2)求标准偏差2x1s=s+=0.0043cm/gay2nå(xi-x)sys==0.038cmb2å(xi-x)(3)变量替换y=a=3.9143cm011k===0.661550674=0.66155gcmb1.5116\n（4）不确定度u(y)=σ=0.04cm0au(k)σ0.0043b===0.28%kb1.5116u(k)=0.28%×066155=0.00185234=0.002gcm（5）测量结果：k=(0.662±0.002)gcm(P=0.955)y=(3.91±0.04)cm(P=0.955)0(6)回归线性方程y=3.91+1.512F\n收获在于努力！收获在于努力！收获在于努力！