大学物理力学4 5页

复习上一次课的内容§3.6质点的角动量和角动量定理一、角动量1、力的冲量rrdprrrrtfrdp=Fr用位置矢量叉乘两边r×=r×FI=∫tF(t)dt冲量是力的时间积累量dtrrdtrirrdrrrdprdpd(r×p)2、动量定理及守恒定律：由于:=×p+r×=r×dtdtdtdttfrrrrrrrrrr∫Fdt=Pf−Pi∑F=0,P=常矢量于是:d(r×p)rrFrL=r×p为角动量ti=×令rrrrrrdtM=r×F为力矩3、质心运动定理：F=MacdLr则:=M称为角动量定理Lprdtr∑miriθ质心r=rcL单位：kg⋅m2/s或J⋅smrrrr1.力矩:M=r×Fθr2.角动量:Lrrrprαp=×Br力矩的方向：用右手螺旋法则确定NrFA×Lrrrθ×M方向用右手螺旋法则确定r即：右手四指从r方向绕向rFrr角动量的大小：则拇指指的就是M的方向rrrrrroL=r×po力矩的大小：M=r×Frrrrr=rpsinαLvm=rFsinθMrαFrr=ON⋅Frθ=OA⋅po——力臂乘以力——动量臂乘以动量NrrrrrrM=r×F角动量的几何含义：rL=r×p说明rrrΔrL=r×pL=mvrsinα=mlimrsinαM1、力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点Δt→0Δtα1rrN而言的ΔrrsinαPΔr2ΔS=2mlim=2mlimrr2、同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。Δt→0ΔtΔt→0Δtr(t)r(t+Δt)在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的rΔSdSrvσ=lim=称为面积速度3、质点作匀速率圆周运动时，质点rΔt→0Δtdt对圆心的角动量的大小、方向均不OO变L=mvr角动量的大小与面积速度成正比rrrrrrr4、L=r×mυ=mr×υ≠mυ×r1\nrrrrr例6：长为的轻杆，其两端分别固定有质量为lm和3m的物§3.7角动量守恒定律M=r×FdL体，取与杆垂直的固定轴,重物m与过O点轴的距离为3，rrM=4lr⎧⎪F=0,----->L=常矢量dt绕轴转动的线速度为。求它们对vO点的总角动量。M=0⎨rrr⎪⎩F过O点(r//F)解：两球的角速度相等⎛3l⎞ùvU例：行星受力方向与矢径在一ω=v⎜⎟rr条直线（中心力），故角动量⎝4⎠m3OrvΔr故3m质点线速度为：l3mLα守恒llvv4rv×mvv=mvrsinαv′=ω=⋅=rmL=1r443l3rΔrrΔrrsinα=mrsinα=2m2总角动量为：4ΔtΔt3ll3llvΔSL=mv+3mv′=mv+3m=lmv=2m=常数44443Δt开普勒第二定律：行星对恒星的径矢的掠面速度不变方向：沿转轴方向向上例7：摆球对O和O’点1)对固定点O，质点m所受合外力矩:§3.8质点系的角动量定理rvrr的角动量是否守恒？M=R×(mg+T)以逆时针为正rO’rrrrdL·Pi·∑Mo=mgR−TRsinαiL+L+MrFiii=×+()∑fij=rr·lθ=mgR−TRcosθ=0dtiri−·rjji≠.T×i、j相互作用的力矩之和为Fiffji·则对O点角动量守恒,ijmRo(大小、方向均不变)rrrrrrr··jrr×f+r×f=(r−r)×f=0riαrriijjjiijijmgL=R×mvL=Rmv=mvlsinθrj·oorr2)对固定点O’质点m所受合外力矩:⇒×∑∑rf=0oiijLiji≠++M=mglsinθ≠0L∑o'rrrdr质点系所受的合外力矩.对O’点角动量Lr=lr×mvrM=∑ri×Fi=(∑Li)等于该质点系的角动量×o'dt对时间的变化率ii大小Lo’=mvl方向随时间变化,不守恒无外力矩，质点系总角动量守恒*合外力矩、角动量均对同一点而言例8：如图所示，两个同样重的小孩,各抓着跨过滑轮绳子的两端。例9：教科书P108/3.23一个孩子用力往上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？又：两个小孩重量不解：小物块相对圆心所受力矩→零等时情况如何？（设两小孩起初都不动）解：以滑轮轴为参考点，把小孩,滑轮和绳看作一系统小物块相对圆心角动量守恒rrvvvvRrmg×MA:úMB:U合外力矩为零L=r×mv=C系统角动量守恒LA:ULB:ú以U为正rrυυ2L=mR()υ1−υ2=常量⇒υ1=υ2同时到达∴r0mv0=rmv1若m1与m2不等⇒M外=()m2−m1gR≠0rdL()0ABM外=()m2−m1gR=L=Rm1υ1−m2υ2v=v0dtrdLm1>m2⇒<0⇒υ1<υ2m2先到达dt体轻的小dLm先到达m10⇒υ1>υ21孩上升快dt2\n复习上一次课的内容第4章功和能1.质点的角动量定理和角动量守恒定律：§4.1功rrrr§4.7守恒定律的意义rrrdLL=r×p§4.2动能定理MrF=×=rr§4.8碰撞dtML==0,恒矢量§4.3势能§4.4引力势能§4.9两体问题2.质点系的角动量定理：rrrdr§4.5由势能求保守力§4.10流体的稳定流动M=∑ri×Fi=(∑Li)§4.6机械能守恒定律§4.11伯努利方程idtiLp质点系所受的合外力矩θr等于该质点系的角动量对时间的变化率rr§4.1功4、说明：dA=Fdr⋅FF1)功是标量，符合代数运算规则1、恒力直线运动的功rrαBrrA=FΔrcosα=F⋅ΔrAAB=∫AF⋅dr合力的功等于各2、变力曲线运动的功rrBrrrr分力沿同一路径Δr=(F+F+...+F)⋅dr元位移：ds≡dro∫A12N做功之代数和元功：dA=FdrcosαvBrrBrrBrrrrrrvr(t+dt)B=∫AF1⋅dr+∫AF2⋅dr+...+∫AFN⋅dr示功图A到B做功:=F⋅dr=F⋅dsr(t)F(x)rrBrrdrrα=A1AB+A2AB+...+ANABAAB=∑ΔAi=∑Fi⋅Δri=∫Fi⋅driAF2)功是过程量，是力的空间积累iiAF3、功在直角系下的表达式3)功的几何意义xrrrrrrrr2F=Fi+Fj+Fkdr=dxi+dyj+dzkdAF=(x)dxA=∫F(x)dx0xxxxyzx112dx功在数值上等于示功图曲线下的面积dA=F⋅dx+F⋅dy+F⋅dzxyz4)因位移是相对量，功的数值与参照系的选择相关5、功率：——力在单位时间内所做功r§4.2动能定理r平均功率:N=ΔAdP=FrdPdrrFrdrrΔtrr⋅=⋅ΔAdAF⋅drrrdtrrdtrrrrrr2瞬时功率:N=lim===F⋅υdPdr=dP⋅Pd⎛⎜P⎞⎟Δt→0Δtdtdt注意到：⋅dr=⋅=⋅dPdPv=⎜⎟dtdtm⎝2m⎠例1：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦2⎛P⎞rr系数μ，在外力作用下小物体(质量m)以速率v做匀速圆于是：d⎜⎜⎟⎟=F⋅dr周运动，求转一周摩擦力做的功。⎝2m⎠动能定理：合2=2Em==P1v2为动能dEk=dA外力对质点所解：小物体对环带压力Nmvrk做的功等于质222m摩擦力：f=μN=μmvrr为元功点动能的增量rdA=F⋅drr走一段小位移v21122ds所做的功：dA=−μmds对于有限的过程：AAB=−=EEmkBkAvmB−vA2r22转一周作功A==dA−μπmvds=−2μmv2——力的空间积累其效果为动能增量，动能增量∫∫r是状态量，与过程无关。3\n§4.3-4.5势能引力势能由势能求保守力Brr1212一、一对力的功rrrrF⋅dr=mv−mv∫ABArΔAfrfr=⋅Δ+⋅Δ22BB2r1122rrrr1Δrrr2=f⋅Δ(r−r)=f⋅Δr力的空间累积效应rf2r21r221Δrfr211rA==⋅dAfdr相对位移∫∫22121r一对力所做的功，等于其中Brrrr1r∫F⋅dt=mvB−mvAAA2一个质点所受的力沿该质点相Ar12对于另一质点所移动的路径所O做的功力的时间累积效应1、一对内力作功之和与参照系选择无关，只结论决定于两质点的相对路径2、一对力的功的计算：视一质点静止，取其为坐标原点，计算另一质点在此坐标系运动过程中受力做功例2：摩擦力做功:地面看摩擦力对物体作功二、保守力势能zΔW=−fΔsza1在物体参考系(也是惯性系)，物体v1、重力作功、重力势能rbvrbrdr没有移动,摩擦力对物体作功A=∫F⋅dr=∫(−mgkˆ)⋅draaθΔW=?ΔW=0brz2rf=mgdrcosθ=−mgdzzb∫a∫z2−ky1摩擦力是一对力，成对摩擦力作的功，摩擦力对地面：=−mg(z2−z1)xrΔ=−ΔWfS作功与路径无关F=−mgkˆ一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关引入函数：Ep=mgz称为重力势能=运动中放出热能于是重力作功可写为：rrrr[]W=f⋅dr=f⋅drA=−Ep(z2)−Ep(z1)即重力势能增量的负値∫112∫221rMmr3、弹性力做功、弹性势能弹簧02、万有引力作功万有引力势能F=−Gr自然长度r2Fbvrb1r0rb弹性力F=−kxXA=F⋅dr=−GMmr⋅drr0∫a∫ar2r:沿位置矢量dA=Fdx=−kxdx0xr0rbrdrcosθ的单位矢量xb122=−GMm∫a2rA=−kxdx=−k(xb−xa)rbr∫xa2rbdrdrθ12=−GMmrr(t+Δt)引入函数:Ep=kx称为弹性势能∫rar2m2⎡⎛GMm⎞⎛GMm⎞⎤rr(t)于是有：A=−[E(x)−E(x)]即弹性势能增量的负値pbpa=−⎢⎜⎜−r⎟⎟−⎜⎜−r⎟⎟⎥M⎣⎝b⎠⎝a⎠⎦aÂ以上几种力作功的共同特点是：作功与路径无关GMm称为万有ra引入函数：Ep=−如果有一力F，它对物体所作的功决定于作功的起点和r引力势能终点而与作功的路径无关，称此力为保守力或有势力于是有：A=−[Ep(rb)−Ep(ra)]结论：保守力做功等于势能增量的负值即万有引力势能增量的负値4\n势能函数的定义在保守力场中引入一个只与位置有1、势能为系统所有（一对保守力的功引入）说明B关的函数，A点的函数值减去B点2、对于非保守力不能引入势能的概念的函数值，等于从A-->B保守力所做的功，该函数就是势能函数。3、势能是系统内各物体位置坐标的单值函数E(A)−E(B)=W=−[E(B)−E(A)]4、引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功的计算APPA→BPP5、a点的势能在数值上等于将物体从该点移到势能零选参考点(势能零点)，设E(B)=0vvPvv点处保守内力所做的功势能零点rrB势能零点EP(A)=WA→B=∫AF⋅dl=∫AF⋅dl势能零点的选择Ea=∫aF⋅dr作功与路径有关的力称为非保守力，或耗散力b1)重力势能Ep=mgh以物体在地面为势能零点物体从a沿闭合路径回到出发点,122)弹性势能Ekp=x取自然长度x=0处为势能的零点保守力所作功为02Gmm3)引力势能E=−12取两质点无穷远分离rrp可用环路积分表示：∫F⋅dr=0ar为引力势能的零点L5