大学物理答案-热学 18页

第七章热学基础-1-97.1如设单位摩尔气体的尺度约为10m量级，一个气体分子约为10m量级。试估算宏观气体系统是由多大数量级的微观粒子组成的。7.2较重的原子核可视为由质子、中子等组成的热学系统。试说明这里的“宏观系统”和“微观粒子”分别是谁？答：在此情况下，“热学”系统指是原子核。这里，系统“宏观”说明它具有热力学属性，而非一般意义上的宏观分类。7.3无规则热运动首先由生物学家布朗在观察悬浮在水中的细小花粉颗粒运动时发现。有人说，热运动就是指花粉颗粒的无规则运动，这种说法正确吗？进一步的，若将水加热，花粉颗粒运动更加剧烈，这又说明了什么道理。答：不正确，热运动指的是水分子的无规则运动。当温度上升，水分子热运动加剧，从而导致花粉运动加剧。7.4讨论热力学第零定律在温度概念引进中的必要性。答：略7.5若一个物体的某种状态量与其物质的量成正比，该状态量属于广延量；若状态量与物质的量没有关系，则属于强度量。试分析理想气体的三个状态量谁属于广延量，谁又属于强度量。答：体积（面积）质量、内能等物理量与物质的量有关，因此是广延量；压强温度等物理量与物质的量无关，因此是强度量。7.6有一氧气瓶，其容积为32升，压力为130大气压。当压力降到10大气压时，就应重新充气。某工厂若平均每天用1大气压下的氧气400升，试问，在温度不变的情况下，一瓶氧气能用多少天？解:设温度为T，出厂氧气质量为M1，最后质量为M2，每天用氧气质量M’，故有：Mpvμ11pv=RT∴M=11μRTMpvμ22pv=RT∴M=22μRTM'p'v'μp'v'=RT∴M'=μRTΔMM1−M2(p1−p2)v(130−10)×32t=====9.6天M'M'p'v'1×4007.7测定气体摩尔质量的一种方法是：容积为V的容器内装满被测的气体，测出其压力为P1，温度为T，并称出容器连同气体的质量M1；然后放出一部分气体，使压力降到P2，温度仍不变，再称出容器连同气体的质量M2，试由此求出该气体的摩尔质量。解：设容器本身的质量为M’，则二状态分别满足(M−M′)1PV=RT1μ\n(M−M′)2PV=RT2μ()M−MRT12联立求解，得μ=()P−PV127.8水银气压计混进了一个气泡，因此它的读数比实际的气压小些。当精确的气压计的水银柱高为768毫米时，它的水银柱高只有748毫米，此时管中水银面到管顶的距离为80毫米。试问，此气压计的水银柱高为734毫米时，实际气压应是多少？(把气泡中气体当作理想气体，并设温度不变。)解：设管的截面积为S，混进管内气体的质量为M，“0”下标对应精确气压计值。又因是等温过程M80mmQplS=plS=RT1122μ768mmHg748mmHgp=768−748=20mmHg1题7.8图l=80mm1Qp=768mmHg01l=748+80−734=94mm220×80p==17mmHg2945p=734+17=751mmHg=1.001×10Pa027.9两个空气容器A和B经装有阀门的细管相联，容器A浸入温度保持为t1=100℃的水槽中，而容器B浸入温度保持在t1=－20℃的冷却剂中。开始时，两容器的空气彼此被阀44门分开，容器A中的压力等于P1=5.33×10帕，容器B中的压力P2=2.00×10帕。如33果A的容积V1=250厘米，而B的容积V2=400厘米，求阀门打开后的稳定压力。MM12解：开始时，PV=RTPV=RT111222μμM′M′12打开活塞混合后PV=RTPV=RT1122μμ又M+M=M′+M′1212\nPVPV1122(+)TT12联立可解得：P==224(mmHg)VV12(+)TT122π227.10若太阳中心压强由P=GρR给出（其中ρ和R分别是太阳的平均密度和半径，G3为引力常数）。试估算太阳中心的温度（假设其中心主要由氢原子核组成）。第八章热力学第一和第二定律8.1P1=120大气压、体积V1=1.0升、温度t1=27℃的状态，经（1）绝热膨胀、（2）等温膨胀、（3）自由膨胀，体积增至V2=5.0升。求这三个过程中气体对外所作的功及末状态的压力值。解：γγ（1）绝热膨胀PV=PV1122V1γ6P=()P=1.28×10P21aV2γ=1.414A=[PV−PV]=1.44×10J1122γ−1（2）PV=PV1122V16∴P=()P=2.43×10P21aV2V24A=PVln=1.95×10J11V1\n（3）自由膨胀，T不变，气体对外不作功，所以有A=0P1V16P==2.45×10P2aV238.2将416.8焦耳的热量传给标准状态下的5.00×10千克的氢气(CV，m=20.331焦耳/摩尔），（1）若体积不变，这热量变为什么？氢的温度为多少？（2）若温度不变，这热量变为什么？氢的压力及体积变为多少？（3）若压力不变，这热量变为什么？氢的温度和体积变为多少？解：（1）V不变QQ=A+ΔU5−3∴Q=416.8J,P=1.013×10PaT=273.15KM=5×10Kg11M5A=0Q=ΔU=RΔTμ2Q∴ΔT==8.05KM5Rμ2∴T=273.15+8.05=281.2KMV2（2）T不变，ΔU=0Q=A=RTLn1μV1μQV2MRT1∴=e=1.077V1MQPV=RT111μMRT1−23∴V==5.6×10m1Pμ1−2−23∴V=5.6×10×1.077=6.03×10(m)2PV11P==9.41×10(Pa)2V2M（3）P不变，Q=CΔTPμ\nμQΔT==5.85(K)7MR2∴T=273.15+5.7=279.0(K)2VV21=TT21T2MRT1T2MRT223V=V===5.72×10m21TμPTμP1111A=P(V−V)=121.6J112M5ΔU=RΔT=299.0Jμ2计算结果ΔQ≠ΔU+A是因为Cp和Cv近似取值若取实验值C=20.331C=28.646vP可得：ΔT=5.845K，T=279.0K，ΔU=297.1J258.3有20.0升的氢气，温度为27℃，压强为P=1.25×10帕，设氢气经（1）等温过程；（2）先等压后绝热过程；（3）先绝热后等压；（4）先等压后等容变化到体积为40.0升，温度为27℃的状态，试计算内能增量、对外作的功和外界传给氢气的热量。5解：QV=20l，P=1.25×10P，T=300K，V=40l，T=300K11a122M∴ΔU=CΔTvμV23（1）等温过程ΔQ=W=PVln=1.73×10J11V1（2）先等压后绝热（如图），p31因为绝热过程中，ΔQ=0绝热等温2∴ΔQ=ΔQ=AV13213132M7PV711而ΔQ=R(T−T)=R(T−T)133131μ2RT21VV131→3，=，TT13\nγ−1γ−13→2，TV=TV3312γ−11.4−1⎛V⎞γ⎛40⎞1.42T3=⎜⎜⎟⎟⋅T1=⎜⎟⋅300=365.7(K)⎝V1⎠⎝20⎠531.25×10×20×107∴ΔQ=A=(365.7−300)=1916(J)1321323002（3）先绝热后等压QQ=0,ΔU=0p∴Q=Q=A14142142421421等温绝2同（2）V2=V4，热4TTV14γ−1⎛V⎞γγ−1γ−1⎜1⎟TV=TVT=⋅T=246(K)44114⎜⎟1V⎝2⎠3∴ΔQ=A=1.575×10(J)142142p15（4）先等压后等容QW=0ΔU252152=0V5−3∴ΔQ=A=A=p(V−V)=1.25×10×(40−20)×10=2500(J)152152151218.4如题8.4图所示，使一系统沿路径ACB从状态A变到状态B时，这系统吸收335焦耳的热量，对外作了126焦耳的功。（1）如果这系统经路径ADB作功42焦耳，系统将吸收多少热量？（2）要使系统沿曲线从状态B回到状态A，外界需对系统作功84焦耳，该系统是吸收还是放出热量？其数量是多少？（3）如果UD－UA=40焦耳，试求沿AD及DB各吸收热量多少？解:热力学第一定律ΔU=Q−A，PCB已知Q=335JADACBV已知系统对外界作功A=126J题8.4图ACB∴系统内能改变ΔU=U−U=(335−126)J=209JA→BBA（1）根据热力学第一定律ΔU=Q−A已知系统对外界作功A=42J，ADB系统内能改变ΔU=U−U=209JBA\n∴Q=ΔU+A=42+209=251JADBADB∴Q=251J>0吸热ADB（2）系统从B沿曲线到A对外界作功A=−82JB~A系统内能改变ΔU=U−U=−209JB→AAB∴ΔQ=ΔU+A=−82−209=−291J是放热B~AB~AB~A（3）系统内能改变ΔU=U−U=40JADDA又已知系统对外界作功A=A=42JADBAD∴Q=ΔU+A=40+42=82J是吸热ADADADQΔU=U−U=209JABBAQΔU=U−U=40JADDA∴ΔU=U−U=169JDBBDQA=0∴Q=ΔU=169J是吸热DBDBDB8.5题8.5图为一理想气体的可逆循环，其中MN为等温线，NK为绝热线。请在表中填写各分过程中各增量函数的符号（+表示增加，－表示减少，0表示不变）。解：（1）等压膨胀ΔV>0,ΔT>0,A>0pKLNΔU>0,Q=ΔU+A>0MdVVdS=νCvdT+νR>0题8.5图V（2）等容过程ΔV=0∴A=0ΔT<0ΔU<0Q=ΔU<0δQ∫<0T（3）.等温压缩ΔV<0∴A<0,ΔT=0∴ΔU=0δSΔQ=A<0ΔS=∫<0T（4）绝热过程dQ=0∴ΔQ=0ΔV<0∴A<0\nΔT>0∴ΔU>0dldAdS=+=0∴ΔS=0TTΔQΔWΔUΔTΔS等压过程（KL）＋＋＋＋＋等容过程（LM）－0－－－等温过程（MN）－－00－绝热过程（NK）0－＋＋08.6下图所表示的是理想的狄塞尔（Diesel）内燃机的工作循环，它由两条绝热线ab、cd和一条定压线bc、一条定容线da组成，求其热机效率。解：Q绝热过程ΔQab=ΔQcd=0PbcQ等压过程ΔQ=νC(T−T)吸热dbcPCbaQ等容过程ΔQ=νC(T−T)放热V3V2V1VbcVad题8.6图又ΔU=0∴ΔA=ΔQabcdabcdabcdΔAΔQ+ΔQT−Tabcdbcdadaη===1−γΔQΔQT−TbcbcCbγ−1γ−1Qa→b绝热TV=TVa1b3VV32Qb→c等压=TTbCγ−1γ−1Qc→d绝热TV=TVC2d1V3∴T=TbCV2V2γ−1∴T=T()dCV1V3γ−1V3V3γ−1∴T=T()=T()()abCVVV121γγT−TV−Vda23∴η=1−γ=1−γγ−1T−TV(V−V)Cb123\n8.71摩尔单原子理想气体进行如题8.7图所示的循环过程，其中A→B为等温过程，B→C为等压过程，C→A为等容过程。已知tA=200℃,VA=3.00升，VB=6.00升。求循环的热效率。解：因为TA=TB=473.15KPATVBBQ=TVCACBVVTAB∴T=T==236.57KCB题8.7图V2BVBA→B过程吸热：∴Q=RTln=2725.4J/KABAVAC→A过程吸热：∴Q=νC(T−T)=1.5R×(473.15−236.57)=2948.8J/KCAVACB→C过程放热Q=νC(T−T)=−2.5R×236.75=−4918.5J/KBCPCBQ吸−|Q放||QBC|η==1−=13.3%QQ+Q吸ABCA8.8有一动力暖气装置如下图所示，热机从温度为t1的锅炉内吸热，对外作功带动一热机，制冷机自温度为t3的水池中吸热传给暖气系统t2，此暖气系统同时作为热机的冷却器。7若t1=210℃，t2=60℃，t3=15℃，煤的燃烧值为H=2.09×10焦耳/千克，问锅炉每燃烧1.0千克的煤，暖气中的水得到的热量Q是多少？（设两部机器都作卡诺可逆循环）AT2ΔQ2'ΔQ解:由图知Q=1−3ΔQTTT2T3111ΔQ1ΔQ2T−TAA=12ΔQ，1T题8.8图1T2可得ΔQ=ΔQ−A=ΔQ211T1ΔQT33Qε==，AT−T23TT32所以ΔQ'=ΔQ+A=(+1)A=A23T−TT−T2323T2T1−T27ΔQ'=ΔQΔQ=6.24×10J/kg21T−TT231\nTT(T−T)T(T−T)2212213ΔQ=ΔQ+ΔQ'=[+]ΔQ=ΔQ2211TT(T−T)T(T−T)11231238.9试求1千克的水在1大气压下进行如下过程的熵变（已知在1大气压下水的熔解热是333kJ/kg，汽化热是2256kJ/kg，等压热容是4.2kJ/kg·K）：(1)100℃水汽化为100℃的水蒸汽；(2)0℃的水转变为100℃的水蒸汽；(3)水结成冰的过程中的熵变。解（1）1atm=1.013×105Pa；水等温汽化设为准静态过程：4M∂Q14.07×103ΔS=()==6.05×10J/K2可逆−3μT18×10373.15（2）0℃的水升温至100℃水的过程，可设计为在一个大气压下的等压准静态过程：M373∂Q1373CdT75.3373PΔS===ln1∫273−3∫273−3μT可逆18×10T18×102733−33ΔS=ΔS+ΔS=(1.305×10+6.05×10)=7.36×10J/K12（3）水结成冰的过程视为等温准静态过程：3M∂Q−16.01×103ΔS=()==−1.23×10J/K可逆−3μT18×102738.10一摩尔氧气原处于标准状态，经（1）准静态等温过程体积膨胀至4倍；（2）先经准静态等压过程体积膨胀至4倍，然后再经等容冷却至（1）中达到的末态，分别计算在这两个过程中熵的增量。解：B∂QPA解法1：QS−S=()(2)CBA∫A可逆TB∂QBPdV(1)S−S=()=()BBA∫A等温∫A等温TTVBRdVV=∫()=RlnB=Rln4题8.10图AV等温VAC∂QB∂QS−S=()+()BA∫A等压∫C等容TTCCdTBCdTPV=()+()∫AT等压∫CT等容=C(lnT−lnT)+C(lnT−lnT)PCAVBCQT=TQVT=VTQV:V=4ABACCACA\nTC代入上式得：S−S=−RlnT+RlnT=Rln=Rln4=11.5J/KBAACTA解法2：把熵作为状态参量的函数表达式推导出来，再将初末两态的参量值代入，从而算出熵变。TVS−S=νCln+νRln0VTV00题中A、B态同在一条等温线上，且体积之比为1:4的一摩尔氧原子，TVBB∴S−S=Cln+RlnBAVTVAAVB∴S−S=Rln=Rln4BAVA8.11将1.0摩尔的氢气和1.0摩尔的氮气装在相邻的两个容器中，其压力和温度均为P和T，如果把两个容器连通，使氢气和氮气相互混合，求总熵变。解：根据熵的可加性可分别求氢气、氮气的熵变，再求其和。氢、氮气分子混合前、后温度相同。氢气初态(P、T、V)，末态(P1、T、2V)。在初末态之间设计准静态等温过程求氢气熵变：TVQS−S=νCln+νRln0VTV00∴S−S=Rln2同理，110可求氮气熵变：∴S−S=Rln2220∴(S−S)+(S−S)=2Rln2=11.5焦耳/开1102208.12推导理想气体的宏观熵变的表达式dTdVdPdVdTdPdS=C+νR=C+C=C−νRVVPPTVPVTP解：理想气体准静态可逆过程：dVdW1M1dS=+=CV,dT+PdVTTTμTMP1M∴PV=RT⇒=RμTVμ8.13强光照射物体，可以使物体的温度上升，导致物体内能的改变。试问这一过程属于热\n量传递还是广义的作功。答：属于广义的作功。原因是强光（如红外线）本身并不是热，所以并非热量传递。8.14储气瓶中的二氧化碳急速喷出，瓶口处会出现固态的二氧化碳——干冰。为什么？答：压缩气体喷出对外界作功，气体冷却变为干冰。8.15日常生活中有“摩擦生热”的提法，从物理上讲正确的表述是什么？答：正确的说法是由于摩擦作功，使系统温度升高或内能增加。8.16有人说：只有温度改变时，才有吸热或放热现象。这种说法正确吗？试举例说明之。答：不正确。如等温膨胀（压缩）等过程中，又如相变过程。dQ8.17微元dW、dQ和dU与具体微元过程有关吗？微元呢？TdQ答：dW和dQ与具体过程有关，dU和与具体过程无关。T8.18参考4.2节关于开尔文表述与克劳修斯表述等价性的证明，试用反证法证明卡诺定理与克劳修斯表述的等价性。答：参见旧版教材289页8.19等温膨胀过程的熵变大于零，有人说这表明此过程是不可逆过程。这种说法正确吗？答：不正确。等温膨胀过程，并非一个循环过程，所以用熵变是否为零不能表明是否为可逆过程。8.20基于克劳修斯表述证明两条绝热线不可能相交。答：反证法，若两条绝热线相交，则违背克劳修斯表述。8.21定义状态量焓H=U+PV。对准静态且只有压强作功的过程，证明dH=TdS+VdP，并说明该量在等压过程中的物理意义。答：由dH=dU+d(PV)=dU+PdV+VdP又由热力学基本方程TdS=dU+PdV所以，dH=TdS+VdP显然，在等压条件下，有dH=dQ=TdS，即等压条件下，焓这一状态量的变化反映了热量传递的多少。8.22据载，一小孩在夏季午睡时由于长时间压着一个一次性打火机，导致火机破裂，其皮肤轻度冻伤。试思考其中的物理原因。答：打火机中液体发生气化相变，吸收热量导致小儿冻伤。8.23一般来说，物体吸热（放热）温度上升（下降），其热容量为正值。但是，对于自引力系统，热容量可能取负值。试以第一章例1.3为例说明之。答：以第一章例1.3的自引力系统为例，星体向外放热后，损失的能量要靠星体不断塌缩以释放引力势能来补偿，但星体收缩导致压强增加，使温度升高直至“点燃”。核燃料继续核反应。在上述热学平衡机制中，恒星放热导致温度上升，故而此过程中热容量为负值。dTdVdTdV∴dS=νC+νR=C+νRV,mVTVTV\n第九章热平衡态的统计规律9.1一氦氖气体激光管，工作时管内温度是27℃，压力是2.4毫米汞高，氦气与氖气的压强比是7:1，问管内氦气和氖气的分子数密度各是多少？p71解：Qp+p=p==712p12p2.4∴p===0.3(mmHg)288p=2.1(mmHg)1p122−3∴p=nKTn==6.76×10(m)111KT21−3p=nKT∴n=9.66×10(m)2229.2水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几（不计分子的振动自由度）？解：Q2HO=2H+O222所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气iQU=νRT26∴U=×2×RTH2O25∴U=×2×RTH225∴U=×1×RTO22(UH2+UO2)−UH2O15−12250∴==U120H2O12-199.3一能量为10电子伏特（1电子伏特=1.602×10焦耳）的宇宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气0.1摩尔。如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收，问氖气温度将升高多少度？312解：Q内能:E=ΔU=νRΔT=10(ev)Qν=0.122E−7∴ΔT==1.28×10k3νR59.42.0克的氢气装在容积为20升的容器内，当容器内压力为1.20×10帕时，氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？\nμpv解：QT=288.8kMR3−21∴ε=kT=5.98×10Jk2M535U=RTV=6.0×10J=pVμ229.5飞机在起飞前，舱中的压力计指示为1.0大气压，温度为27℃；起飞后，压力计指示为0.80大气压，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度（空气的平均摩尔质量μ＝-329×10千克/摩尔)。−3解：μ=29×10μg−zQP=PRT)0epμg∴z=ln()/(−)=1957(m)pRT09.6我国的拉萨市海拔约为3600米，设大气温度处处相同，（1）当海平面上的气压为1大气压时，求拉萨的气压（温度按27℃计）。（2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，问他在拉萨应呼吸多少次，才能吸入同样质量的空气？−3μg29×10×9.8×3600−z−解：（1）P=PeRT=Pe8.31×300=0.66P=0.66atm000M（2）pV=pV=RT1122μ∴p(17V)=pV0017Vp00∴V==26V26次/分0p9.7试说明下列各函数式的物理意义（f(u)是麦克斯韦速率分布函数）dN（1）Qf(v)=为平衡态下的气体分子出现在v附近单位速率间隔中的几率或者说N⋅dv其速率在u附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率。dN（2）f(v)dv=为平衡态下的气体分子出现在速率v附近dv速率间隔中分子数占总分N子数的百分比。（3）Nf(v)dv=dN为平衡态下的气体分子出现在速率v附近dv速率间隔中分子数。v2v2dN（4）∫f(v)dv=∫为平衡态下分子速率在v1到v2速率间隔中分子数占总分子数的v1v1N百分比。\nv2v2（5）∫Nf(v)dv=∫dN为平衡态下分子速率在v1到v2速率间隔中的分子数。v1v1v2vdNv2∫vvfvdv1（6）∫()=无明确的物理意义。v1Nv2v2（7）∫Nvf(v)dv=∫vdN为平衡态下分子速率在v1到v2区间的所有分子速率之和。v1v19.8设N个粒子系统的速率在v→v+dv内的分子数为：⎧dNv=kdv(V≥v≥0,k为常数)⎨⎩dNv=0（v>V）（1）试画出速率分布函数图；（2）用N和V定出常数k；（3）用V表示v和方均根速率vrms。解：（1）速率分布函数如图所示。∞Vkf(u)（2）Q∫f(v)⋅dv=∫dv=100NN∴k=VVu∞Vk（3）Qv=∫vf(v)⋅dv=∫vdv00N（1）速率分布函数图2VNV∴v==2NV2∞Vk222Qv=vf(v)⋅dv=vdvrms∫0∫0N3VNV∴v==rms3NV39.9导体中自由电子的运动，可看作类似于气体分子的运动（故称电子气），设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为uF（称为费米速率），电子在u→u+du之间的概率为⎧4πA2dN⎪udu(0≤u≤uF)=⎨NN⎪0(u>u)⎩F（1）画出分布函数图；（2）用N、uF定出常数A；（3）求电子气中的电子的平均平动动能ε。kf(u)解:（1）分布函数如图所示：∞uF2u>uF（2）Q∫∫f(u)du=4πAuduN=100ouuF（1）分布函数图\n4πA133N即u=1∴A=F3N34πuF24⎧4πAu3u⎪du=du3（3）Qf(u)du=⎨NuF⎪⎩02uF2uF3432Qu=uf(u)du=udu=u∫0∫03Fu5F123∴ε=mu=εkF259.10在麦克斯韦速率分布中求速率在vp～vp+0.01vp之间的分子数占总分子数的百分比。up2dN4−(u)up2解：Qf(u)==e()N⋅duπuupQΔu=0.01uΔu=dup因此，速率在vp～vp+0.01vp之间的分子数占总分子数的百分比：u2−()ΔN4upu24−1=f(u)du=e()0.01u=e0.01=0.83%pNπupupπ9.11设H2的温度为300℃，求速度大小在3000米/秒到3010米/秒之间的分子数△Ｎ１与速度大小在vp到vp+10米/秒之间的分子数△N2之比。解：因为Δv很小Δv≈dv23mvπ−ΔN≈dN=N4π()2e2KTv2dv2πKT2mvv2−v2−p2KT2−ΔNevv2v2∴1==p⋅()e2ΔNmvv2−2pe2KTvp22KT2RT2×8.31×57362v====4.76×10(m)p−3mμ2×10ΔN1=0.78ΔN239.12若一宇宙飞船的体积V=27米，舱内压力p0=1大气压，温度取与v=300米/秒相应2的值，在飞行中被一陨石击中而在壁上形成一面积为1厘米的小孔，以致舱内空气1逸出，问经多久舱内压力将降到p=p？设温度不变。0e\n解:t时刻舱内压强为p，舱外为真空。nvdt时，舱内净减分子数−dN=⋅s⋅dt4⎛N⎞又因为p=nkT⎜n=⎟⎝V⎠dNnv∴dp=dnkT=kT=−kTsdtV4Vdpvs1pdpvst得:=−dt⇒∫0=−∫dtp4Vp0p4V01sv4Vln=−t∴t==1(h)e4Vsv9.13处在热平衡态中的气体分子，由于频繁碰撞，分子沿x方向的分速度vx取值随机，但气体分子数沿vx的分布与伽尔顿板中小球按x的分布一样，具有高斯分布。又由能均121分定理知mvx=kT，试推得气体分子按速度分量vx的分布律是22m−mv2f(v)=ex。x2kT2πkT解：气体分子速度三个分量的集合｛vx｝，｛vy｝，｛vz｝是独立事件，麦克斯韦速度分布律是三个分量分布律的交集，即3/23/2r⎛m⎞−mv2/2kT⎛m⎞−m(v2+v2+v2)/2kTf()v=⎜⎟e=⎜⎟exxx⎝2πκT⎠⎝2πκT⎠=f(v)⋅f(v)⋅f(v)xyzm−mv2/2κT∴f()v=exx2πκT∞2π+∞2∞2−x−x−axn8.14已知基本高斯公式edx=或edx=π，若记I=exdx，验证∫0∫−∞n∫021π−1−1(n−1)I=a2、I=a及递推公式I=I。01nn−2222a答：验证从略3338.15若气体密度的数量级为1kg/m，液体密度数量级为10kg/m，估算气体分子间平均距离是液体分子间平均距离的多少倍。3答：由题意，平均一个分子的气体体积是液体体积的1000倍，由1000=10，所以气体分子间平均距离是液体分子之间距离的10倍以上。\n8.16在统计问题中，将互相独立的事件称为相乘事件，这是因为互相独立的事件同时发生的概率为各个事件发生概率的乘积。例如：同时掷两组硬币，则两组硬币均出现“数111字”一面的概率为×=。而相加事件指的是互相排斥的事件，即或出现此事件、224111或出现彼事件。例如：掷六面体骰子，出现1点或3点的概率应为+=。根据以663上定义，试分析麦氏速度分布律（3.7）式、麦氏速率分布律（3.8）式和麦氏速度分量分布律（例3.21式）之间的关系。答：麦氏速率分布函数是速度分布函数积分的结果，故后者的“加法”给出前者。麦氏速度分布函数是速度分量分布函数的“乘法”的结果。dP8.17由力学可知，声波在气体中传播的速度（声速）v=。其中P是气体压强，ρ是dρp传播介质的密度。假设声波传播可视为绝热过程，试证明声速v=γ。（其中γ为热ρ容比）。dpp答：若声波引起的状态变化视为绝热变化，则=−γ，由于质量一定，ρV为一常dVVdppp量，所以有=γ，代入声速公式，有v=γdρρρ8.18利用玻尔兹曼原理（3.28）式说明熵的可加性。答：由于Boltzman熵公式中Ω指的是宏观态出现的热力学概率，对于互相独立的事件（相乘事件），总热力学概率Ω=Ω∗Ω∗⋅⋅⋅，对应的S=S+S+⋅⋅⋅，即熵是可总12总12加的。