(理学)大学物理热学 81页

热学Heat2005年秋季学期气体动理论第2章陈信义编1\n§2.1理想气体的压强目录△：自学【演示】伽尔顿板速率分布【演示】气体压强模拟§2.2温度的微观意义§2.3能量均分定理§2.4麦克斯韦速率分布律△§2.5麦克斯韦速率分布律的实验验证§2.6玻耳兹曼分布能量均分定理的证明(补充)△§2.7实际气体等温线2\n§2.8范德瓦耳斯方程§2.9气体分子的平均自由程△§2.10输运过程【演示】空气粘滞（卧式转盘）3\n§2.1理想气体的压强一、理想气体的微观假设（1）质点(分子线度<<分子间平均距离)（2）遵从牛顿力学规律（3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相互作用力。（4）分子间、分子与器壁间的碰撞—弹性碰撞1、关于每个分子力学性质的假设【演示】气体压强模拟4\n2、关于分子集体运动的统计假设（3）平衡态分子速度取向各方向等概率（2）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布（1）通过碰撞分子速度不断变化5\n二、理想气体压强公式的推导平衡态忽略重力分子看成质点m－分子质量N—分子总数V—体积—分子数密度—速度为分子数密度6\n一个分子对A冲量：2mvixt内所有分子对A冲量：t内所有分子对A冲量：压强：7\n—平动动能的统计平均值求统计平均值：压强（宏观量）与分子平动动能（微观量）的统计平均值成正比。8\n如何取小体元？宏观小：例如涨落0标准状态下空气微观大：宏观小微观大9\n（统计力学）（热力学）下面会看到，分子热运动的平均转动和平均振动动能，也都和温度有关。热力学温度是分子平均平动动能的量度。§2.2温度的微观意义温度反映了物体内部分子无规则运动的激烈程度。10\n（2）温度是一个统计概念，描述大量分子的集体状态。（3）温度所反映的运动，是在质心系中表现的分子的无规则运动（热运动）。（1）温度描述热力学系统的平衡态方均根速率：由11\n§2.3能量均分定理一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度的平方项之和：质心平动动能：绕过质心轴的转动动能：原子间的振动动能：原子间的振动势能：－约化质量，－相对速度。－等效劲度系数，－键长的变化。振动包括二个平方项12\n在温度T的平衡态下，一个分子的能量的统计平均值是多少？对于平动动能，已经知道在温度T的平衡态下，分子能量表达式中任何一个平方项的统计平均值都等于。一般地，后面将证明：13\n一、气体分子的自由度（degreeoffreedom）力学对自由度的定义：确定物体空间位置的独立坐标的数目。这里，只考虑那些对能量有贡献的自由度。分子能量表达式中平方项的数目与自由度有关。1、单原子分子（如He，Ne）质点，只有平动自由度分子平均能量：能量表达式中包括3个平方项。14\n2、双原子分子（如O2，H2，CO）平动自由度为3平动质心平动+转动+振动刚性分子：平动+转动15\n对称轴本体坐标系转动自由度为2自由度对能量无贡献转动16\n双原子分子的平均能量振动自由度为1动能势能微振动～简谐振动振动自由度，但。？2个平方项17\n3、多原子分子平动+转动+振动（1）平动自由度为3（2）转动自由度OHH...对称轴非直线型分子（如H2O）转动自由度为318\n直线型分子（如CO2）转动自由度为2（3）振动自由度非直线型分子（如H2O）由n（>2）个原子组成的分子，一般最多有3n个自由度，其中3个平动，3个转动，其余为振动自由度，例如n=319\n直线型分子例如CO2O=C=O对称伸缩O=C=O反对称伸缩O=C=O面内变形O=C=O面外变形分子的平均能量：20\n二、能量均分定理分子频繁碰撞，统计地看，能量在各个自由度上均分。在温度T的平衡态下，物质（气体、液体和固体）分子的每一个自由度的平均动能都相等，而且都等于。物理解释：分子运动总平均能量：转动？振动？§2.6证明。21\n振动能级间隔大转动能级间隔小平动能量连续常温（T~300K，能量~10－2eV）：振动能级难跃迁，对能量变化不起作用。“冻结”振动自由度，分子可视为刚性。1eV热能相当温度～104K22\n刚性分子：常温，不计振动自由度晶格点阵上的离子：只有振动自由度23\n一个小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布却是稳定的。统计规律：对大量偶然事件整体起作用的稳定的规律。§2.4麦克斯韦速率分布律【演示】伽尔顿板一、统计规律24\n对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分子，速度的分布将具有稳定的规律—麦克斯韦速度分布律。只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律后推导。自学：速度分布律，速度分布律速率分布律。25\n二、速率分布函数：分子总数：速率内的分子数速度空间速率分布函数：26\n速率分布函数的含义：在速率v附近，单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。对于一个分子，其速率处于v附近单位速率区间的概率—速率分布的“概率密度”。【思考】的物理含义?27\n归一化条件：一个分子速率处于区间的总概率等于1。因为28\n三、麦克斯韦速率分布律（1859）温度为T的平衡态下，气体分子速率分布的概率密度为【演示】速率分布模拟29\n高斯积分：30\n验证归一化：由积分公式，得31\n最概然速率：由32\nf(v)0vT1T2>T1vp1vp2同种气体不同温度的分布：【思考】画出相同温度不同m气体的速率分布。33\n一般情况下四、用分布函数计算与速率有关的物理量在速率0~区间内的平均值其中，分布函数已归一化。34\n如果不归一化，则有证明：其中，满足。归一化35\n例.计算物理量W（v）在速率区间v1v2内按速率的平均值。对吗？解：正确结果为：36\n证明：，因此而37\n平均速率：方均根速率：38\n39\n四、麦克斯韦速度分布律(自学教材P5357)1、分子沿x方向速度处于vx附近的概率密度：速度区间内的分子数：分子总数同样有：假定互相独立。40\n2、分子速度处于附近的概率密度－速度分布函数速度空间41\n3、平衡态分子速度取向各方向等概率，F应只是速度大小的函数要求，即由可知，设42\n由归一化条件得麦克斯韦速度分布律：（积分公式）43\n4、速度分布律速率分布律44\n5、确定常数045\n例.单位时间、碰到器壁单位面积分子数单位时间，碰到单位面积，速度在区间dvx的分子数46\n用平均速率表示：单位时间泄漏出单位面积小孔分子数与分子质量平方根成反比（富集235U，见教材P57）47\n分子平动动能：△§2.5麦克斯韦速率分布的实验验证（自学，教材P57—60）麦克斯韦速度分布律（分子速度处于附近的概率密度）48\n玻耳兹曼（1844-1906）§2.6玻耳兹曼分布能量均分定理的证明（补充）L.Boltzmann奥地利物理学家49\n一、重力场中分子数按高度的（等温）分布恒温气压公式（高度计原理）：n00nhTpp050\n两边积分，得证明：平衡态不同高度处温度相同n0nh+dhh0p+dpDSpmgT51\n的分子数（速度任意）：推广：温度T平衡态下，分子处于（x,y,z）附近“位形空间(configurationspace)”区域其中为该小区域内一个分子的势能。52\n二、玻耳兹曼分布律描述分子（质量已知）状态的微观量为位形空间区间对应的体积元（相空间体积元）为速度空间区间求分布在相空间体积元d内的分子数。53\n相空间例：双原子分子相空间体积元为C（x,y,z）下面仍以为例讨论。C54\n中的分子数因位形和速度互相独立，则在温度为T的平衡态下，相空间体积元占总分子数的百分比：【思考】上式如何得到？55\n玻耳兹曼分布律：在温度为T的平衡态，系统（气体、液体、固体）的粒子在某一状态区间(相空间体积元）中的粒子数，与该状态区间的一个粒子的能量有关，而且与因子e-/kT成正比。因子e-/kT称为玻耳兹曼因子。利用上式，可计算物理量的统计平均值。56\n玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，它不仅适用于气体，也适用于由相互作用比较微弱的分子所组成的其它体系（近独立子体系）。教材P60倒数第5行：“….适用于任何系统….”，提法不妥。57\n例.按量子理论，原子能级是分立的，H原子n=1,2,3,E2、N2E1、N1基态室温T=300K原子处于基态的最多，处于激发态的极少。58\n例.玻耳兹曼分布麦克斯韦速率分布(速率)(速度)59\n计算60\n计算：因此，得61\n即得麦克斯韦速度分布律：62\n速度分布律速率分布律：63\n三、能量均分定理的证明（补充）在温度为T的平衡态下，用玻耳兹曼分布对分子能量表达式中任何一个平方项作统计平均，平均值都等于。平方项的平均值即64\n1、平动动能65\n2、转动动能66\n3、振动势能67\n△§2.7实际气体等温线Vm(10-3L/mol)p(atm)临界点临界等温线饱和蒸汽压临界温度基本概念：临界态68\n§2.8范德瓦耳斯(VanderWaals)方程对实际气体，应考虑分子间相互作用力。对理想气体状态方程作体积修正、引力修正。1873年，范德瓦耳斯（荷兰人，获1910诺贝尔物理奖），在博士论文“论气态和液态的连续性”中，考虑了分子体积和分子间引力的影响，导出了一个真实气体的物态方程—范德瓦耳斯方程。69\ns—分子有效作用距离（102d）sr0r合力斥力引力dfO10-9md—分子有效直径（10-10m）一、引力刚球模型简化dsrfOr0—平衡距离（d）引力刚球模型70\n引力刚球模型：1、分子是直径为d的刚性球。2、在d－s范围内，分子间有引力。v—分子能自由到达空间的体积（容器容积）p—不考虑分子间作用力时气体对器壁的压强二、范德瓦耳斯方程设气体为1mol。对理想气体71\n1、体积修正设分子能自由到达空间的体积为（v–b）b—分子体积（斥力）修正量。则2、引力修正s2s设—内压强，引力。72\ns设a—分子间引力修正量p—实测压强，v—1mol气体分子自由活动空间的体积（容器容积）。a—引力修正，b—体积修正。a、b可由实验定出。范德瓦耳斯方程（1mol气体）:73\n例.计算1mol范氏气体内能v,pintdv，引力做功，势能减小。计算势能，设v为势能零点。引力刚球模型势能动能？分子间引力减小内能。74\nv三、范氏气体等温线AB段：汽态BE段：过饱和蒸汽EF段：实际不存在DC段：液态CF段：过热液体（云室）（气泡室）不稳定态BC段：饱和蒸汽与液体的共存态75\n范德瓦耳斯方程能较好地给出在较大压强范围内实际气体状态的变化关系，而且推广后可以近似地应用到液体状态。它不仅对实际气体偏离理想气体的性质作出了定性的解释，而且用分子动理论成功地说明了气态和液态之间的连续过渡。范德瓦耳斯获得1910年诺贝尔物理学奖，以表彰他对气体和液体的状态方程所作的工作。76\n§2.9气体分子的平均自由程碰撞，非平衡态平衡态，起重要作用。统计平均值连续两次碰撞间自由路程—无规则性—有规律，表示碰撞的基本特征。77\n气体分子在连续两次碰撞间所可能经过的各段自由路程的平均值平均自由程：—平均速率—平均碰撞频率：一个分子单位时间内所受碰撞的平均次数78\n推导的关系：平衡态理想气体，分子看作直径为d的刚球，“跟踪”一个分子A，设A以平均相对速率相对其它分子运动，其它分子静止。dnA碰撞截面中心在截面为柱体内的分子都能被A碰撞！79\n平均相对速率和平均速率的关系为80\nd3.5×10-10m空气分子标准状态下真空度为10－4mmHg（1.3310-2pa）的灯泡内（0°C），空气的，大于灯泡的线度。气体分子已经很少碰撞。但这时！§2.9输运过程（自学）【演示】空气粘滞（立式转盘）81