大学物理二——1 5页

《大学物理AII》作业No.1机械振动班级________学号________姓名_________成绩_______一、选择题：1.一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为1k1kk[](A)(B)2π3m2πmm13k16k(C)(D)2πm2πm解：劲度系数为k的轻弹簧截成三等份相当于三个相同弹簧串联而成，即有1111=++故k′=3kkk′k′k′又其中两根并联，故振动系统的等效弹性系数为k′′=2k′=2×3k=6k1k′′16k则由弹簧振动系统的频率公式有该振动系统的频率ν==故选D2πm2πm−1v(m⋅s)v2.一质点作简谐振动,其运动速度与时间的关系曲线如图m所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相位为：o2π5π−1vt(s)[](A)−(B)2m365πππ(C)−(D)−(E)666解：设振动方程为：x=Acos(ωt+ϕ)π则速度方程为：v=−Aωsin(ωt+ϕ)=+vcos(ωt+ϕ+)m2π4π4ππ5由v-t图可知速度的初相ϕ+为，则位移的初相ϕ=−=π故选B233263.一质点作简谐振动，周期为T。质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为[](A)T/4(B)T/6A(C)T/8(D)T/122解：由旋转矢量图可知：oxπ由平衡位置到二分之一最大位移矢量旋转的角度为π6�6所以所需要的时间为Aπ2π1t=÷=T(s)故选D6T12\n4.如图所示，一轻杆的一端固定一质量为m、半径为R的均匀圆环，杆沿直径方向；杆的另一端固定在O点，使圆环绕通过O点的水平光O22滑轴摆动。已知杆长为l，圆环绕O点的转动惯量J=m[R+(R+l)]。l今使该装置在圆环所在的竖直平面内作简谐振动，则其周期为R22l+R2R+l[](A)2π(B)2πgg(R+l)22lR+(R+l)(C)2π(D)2πgg(R+l)J22解：由复摆运动的周期T=2π可知此复摆转动惯量J=m[R+(R+l)]，质心mgh到水平光滑轴的距离h=(R+l)，故此复摆周期为2222m[R+(R+l)]R+(R+l)T=2π=2π故选Dmg(R+l)g(R+l)5.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振x动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：A/2x213o[](A)π(B)π22t(C)π(D)0−Ax1解：由图知两个谐振动x1和x2反相，且A1=2A2，�ϕA则由题意所作的旋转矢量图（如右）可知：�o�x合振动初相与x1初相一致，即ϕ=π。故选CAA12二、填空题：1.一简谐振动的表达式为x=Acos(4t+ϕ)，已知t=0时的初位移为0.03m,初速度为0.16m⋅s-1，则振幅A=，初相位ϕ=。解：由已知初始条件，得振幅：2v0220.16)20.05(m)A=x+(−)=0.03+(−=0ω4初相：−1v0−10.16�ϕ=tg(−)=tg(−)=−53.13ωx4×0.030��因为x0>0，v0>0，应为第四象角，所以ϕ=−53.13或306.872.一质点在x轴上作简谐振动，振辐A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取为坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴正方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为。t=0解：由旋转矢量图可知：ω4πt=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴正方向运动，3−4−2oxt=?\n4π当质点第二次通过x=-2cm处时矢量旋转的角度为3所以所需要的时间为4π4π2π4ωt=⇒t=÷=s332313.一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(ωt+π)。在t=T/2（T为周期）时刻，4物体的位移为，速度为，加速度为。112解：因简谐振动的振动方程为x=Acos(ωt+π)2Aω42T11故t=T/4时刻物体的位移为x=Acos(ω×+π)=−2A242T11速度为v=−Aωsin(ω×+π)=2Aω242加速度为2T112a=−Aωcos(ω×+π)=2Aω24214.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的时，其势能是总能4量的（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l,这一振动系统的周期为。12解：谐振动总能量：E=E+E=kA，kp21121A2E当x=A时，势能：E=kx=k()=，p42241615所以动能：E=E−E=E。kp16mg物块在平衡位置时，弹簧伸长∆l，则mg=k∆l，k=，∆lm∆l振动周期T=2π=2πkg\n15.一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(ωt+π)。则该物体在t=0时刻的动能与2t=T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为，势能之比为。1解：因简谐振动振动方程为x=Acos(ωt+π)212112122122当t=0时，动能：E=mv=m[−Aωsin(ω×0+π)]=mAω=mAωk2222212112势能：E=kx=k[−Acos(ω×0+π)]=0p222121T12122当t=T/8时，动能：E=mv=m[−Aωsin(ω×+π)]=mAωk22824121T1212势能：E=kx=k[−Acos(ω×+π)]=kAp22824动能之比为2：112势能之比为0：kA或046.两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：−21−2x=3×10cos(4t−π)(SI)和x=2×10sin(π−4t)(SI)122它们的合振动的振幅为，初相位为。解：将x2改写成余弦函数形式有：−2−2πx2=2×10sin(π−4t)=2×10cos(4t−)�Oϕ1x2A�由右侧旋转矢量图可知：x1和x2同相，则合成振动的2A1−2−2−2振幅A=A+A=3×10+2×10=5×10(m)12�πA初相位ϕ=ϕ=−（因1、2振动同相位）12三、计算题：1.在一轻弹簧下端悬挂m0=100g砝码时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（令这时t=0）。选x轴向下,求振动方程的数值式。0.1×9.8解：由题意有弹簧弹性系数k=m0g/∆l=N/m=12.25N/m0.0812.25−1−1O弹簧振子角频率ω=k/m=s=7s0.252222212x振幅A=x+v/ω=4+()cm=5cm007\n初相φ=arctg[−v/(xω)]=arctg[−(−21)/(4×7)]=arctg[3/4]00=0.64rad该振动方程的数值式为x=0.05cos(7t+0.64)(SI)2.如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水mF平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。Ox解：设物体的运动方程为x=Acos(ωt+φ)恒外力所做的功即为弹簧振子的总能量：F×0.05=0.5J12当物体运动到左方最远位置时，弹簧有最大弹性势能0.5J，即：kA=0.5J2∴振幅为A=0.204m由ω2=k/m=4(rad/s)2得角频率为ω=2rad/s按题目所述时刻计时，初相为φ=π（负最大位移处且下时刻向正方向运动）∴物体运动方程为x=0.204cos(2t+π)(SI)