大学物理一-6 4页

复习上堂课内容复习上堂课内容二.动量守恒定律2、质心质心代表质点系质量分布的平均位1、守恒条件置，质心可以代表质点系的平动vvF=0,Δp=0∑inr∑mirivi=1v1vr=r=rdmcnc∫一个质点系所受的合外力为零时，M∑mi这一质点系的总动量就保持不变。i=112例1.一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此例2.求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的半圆形铁丝的质心。质心位置。解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，解:建立如图的坐标系，显然由对称性,yc=0.θ以λ表示线密度，dm=λdl.θ在离原点处取宽为dx的窄条，其质量为dm,由对称性知质心应在y轴。()ydm=σdS=σ⋅2ydx=2σxdx∫λydla∴yc=y=Rsinθdl=Rdθ质心坐标为m1π12x2xdma2Oyc=∫RsinθλRdθ=2λR∫∫022σxdx2m0mxC===a232∫dma∫22σxdxxQm=πRλ∴yc=R注意：质心不在铁丝上。0dxπ3433、质心运动定律、质心运动定律(2)质心运动定理(1)系统的动量vvnrvdpicdvv∑mrvvF外===∑MMaciidrdrvcidtdti=1M=∑mr=icMdtdt质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系vvv统的总质量与系统质心加速度的乘积。Mvc=∑mivi=∑pi它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积的作用下，质心以加速度ac运动。561\n例3质量为m1和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上由运动学公式得x1=x10+∫0tv1dt用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们t将在何处相遇？x2=x20+∫0v2dt两者相遇时x1=x2于是有Cttm2m1x10+∫01v1dt=x20+∫0v2dtOx20x10或t()解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外x10−x20=∫0v2−v1dt力，水平方向动量守恒。m1建立如图坐标系，以两个小孩连线中点为原由动量守恒得mv+mv=0v2=−v11122m点，设开始时他们的坐标分别为x、x，任一21020时刻的速度分别为v1、v2，坐标x1、x2。代入上式得78⎡⎛m⎞⎤m+m§3.6-3.7质点的角动量和角动量守恒定律t112t()x10−x20=∫0⎢−⎜+1⎟v1⎥dt=∫0−v1dt⎣⎝m2⎠⎦m21.定义:rmx−mxt220210rrrL或∫0v1dt=L=r×prm1+m2Pr将上式代入xxtϖdt即得大小:L=rpsinϕPϕ1=10+∫01ϕ方向:右手螺旋法则rmx−mxmx+mxr220210110220x=x+==x110cm+mm+m1212描述运动的重要物理量,又称动量矩;结果表明，两小孩在内力作用下，将在他们共同的质心相遇。单位:kg·m2/s910例题按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形2.对确定参考点而言；ϕ轨道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力2r为，e其中e为电子或氢原子核的电荷量，rrF=kpmpr2rdrmr为轨道半径，k为常数。因为电子的角动量具有量子Or化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于hO2πL=pr=mvrL=pd=prsinϕ的整数（n）倍，常数h叫做普朗克常量，问电子运动容许的轨道半径等于多少？rdprϕϕ解:设电子的质量为m，绕原子核运动的圆轨道半prdv2rrr径为r，速度为v，那么电子的向心加速度a=nOr由于作用在电子上的向心力就是原子核对电子的静电引力，由牛顿第二定律3.微观领域—角动量量子化.11122\n22ev二.角动量守恒定律rF=k=ma=m2nrrvrrdL１．质点的角动量定理=×=rFM由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征，dtdLvdvvdrvvvdpvvvvvv即=(r×p)=×p+r×=v×p+r×F=MhdtdtdtdtL=mvr=nn=1,2,3...2π即:质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合22nh由以上两式，得r=外力对同一点的力矩.224πkme2.讨论:①M、L须相对同一参考点；由上式可知，电子绕核运动容许的轨道半径与n平方成正比。即只有半径等于一些特定值的轨道才是t2vvv容许的，轨道半径的量值是不允许的。Mdt=L−LMdt叫作冲量矩②积分形式：∫21t113143．角动量守恒定律讨论:vvvv①自然界普遍规律之一（宏观、微观）；守恒条件：M=r×F=0则Δ=L0②在有心力场中的运动，必有角动量守恒；vrr（行星绕太阳、人造卫星运动等）Lrp=×=常矢量③对确定参考点而言。如果作用在质点上的外力对某定点O的力矩为零，则质点对O的角动量在运动过程中保持不变。这叫做质点的角动量守恒定律。1516实例：例：摆球对O和O’点的角1)对固定点O，质点m所受合外力矩:rvrr如图所示，将一个质量为m的小球动量是否守恒？M=R×(mg+T)以逆时针为正O’系在轻绳的一端，绳穿过一竖直r∑Mo=mgR−TRsinαϖL+L+=mgR−TRcosθ=0的管子，一手执绳，先使小球以rr2ϖ2Olθ速度v在水平面内沿半径为r的圆111r.T×则对O点角动量守恒(大小、方向均不变)m1rrr周运动，然后向下拉绳，使小球mRoL=R×mvL=Rmv=mvlsinθ的半径减小为r2,实验发现，这时αrmg2)对固定点O’，质点m所受合外力矩:小球的速度增大为v2。实验得到的规律是F∑Mo'=mglsinθ≠0vr=vr+L+rrrL对O’点角动量Lo'=l×mv2211.×大小Lo’=mvl方向随时间变化不守恒上式两边乘小球质量m，得mvr=mvr2211*合外力矩、角动量均对同一点而言由此可见，尽管小球在绕O点转动时的动量时刻在变化，而其角动量却是恒定的。因此，在研究物体的转动时，角动量将代替动量而起重要的作用。17183\n例：长为l的轻杆，其两端分别固定有质量为m和3m3的物体，§3.8质点系的角动量定理取与杆垂直的固定轴O，重物m与O轴的距离为l，绕轴4r转动的线速度为。求它们对转轴的总角动量。vrrrrdLiPMi=ri×(Fi+∑fij)=·i·⎛3l⎞ùvUi≠jdtirr−·rr·解：两球的角速度相等ω=v⎜⎟ij⎝4⎠m3lOi、j相互作用的力矩之和为Fiffji·3mrrrrrrrij故3m质点线速度为：4r×f+r×f=(r−r)×f=0·jllvviijrjrjiijijri·v′=ω=⋅=方向：沿转轴方向⇒∑∑r×f=0rj·443l3iijii≠jo总角动量为：4rrrdr质点系所受的合外力矩3ll3llvM=∑ri×Fi=(∑Li)等于该质点系的角动量L=mv+3mv′=mv+3m=lmvidti对时间的变化率44443无外力矩，质点系总角动量守恒1920例：如图所示，两个同样重的小孩,各抓着跨过滑轮绳子的§3.9质心参考系中的角动量两端。一个孩子用力往上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑urrrrurrur轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？Lm=×∑rvmic=+∑()rrvvci′′×()+iiii又：两个小孩重量不等时如何？（设两小孩起初都不动）rrrururrurur=rmcc×+×vrcici∑∑mvii′+mrv′′i×+∑mrvii×′解：以滑轮轴为参考点，把小孩,滑轮和绳看作一系统rrRR×mgMA:ú、MB:U合外力矩为零质心对O系统对C系统对C点动量＝系统对Cur的角动量点质心＝系统角动量守恒LA:ULB:ú以U为正0点角动量LC0rrL=mR()υ−υ=常量⇒υ=υ同时到达υυ21212v1ururur·c·若m1与m2不等⇒M外=()m2−m1gR≠0LmCi=∑ir′×v′iC··dL()viABM外=()m2−m1gR=L=Rm1υ1−m2υ2v’idturururuurr`·m>mdLi12⇒<0⇒υ<υm2先到达体轻的小LrpL=cc×+rc·mdt12·idL孩上升快m10⇒υ1>υ2m1先到达ri·dt2122oururuururururuurdLurdpdL=×+rcLrpL=×+cccdtdtdt对于定点O，质点系所收的合外力距为：uururuurururuururuururuurM=×=+×=∑∑rFii()rrFrc′′iiic×+×∑∑FirFi根据质点系角动量定理：uruururuururuururdpdLrFrF×+×′=r×+cci∑∑iicdtdtuuruuururuurdL质点系所收的对质心的合外力Mr=×′F=cci∑i矩等于质心参考系中该质点系dt对质心的角动量的变化率234