大学物理一-7 5页

复习上堂课内容复习上堂课内容rrrvrr(1)系统的动量质点的角动量L=r×p质点的力矩M=rF×vvvMvc=∑mivi=∑pi大小:L=rpsinϕ大小:Mr=Fsinϕ结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质方向:右手螺旋法则方向:右手螺旋法则心的速度与系统质量的乘积１．质点的角动量定理v(2)质心运动定理dLdvvvvvvvM、L须相对同一参vv=()rpvprFM×=×+×=vdpdvvdtdt考点F===∑icMMavvv外dtdtc2．角动量守恒定律M=r×F=0vrrLrp=×=常矢量质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。13.质点系的角动量定理及角动量守恒2§4.1-4.2牛顿第二定律积分形式之二：动能定理2.讨论：现讨论力在一段空间位移内的累积效应与物体运①标量，没有方向，但有正负。动状态变化间的关系。πr若0≤θ<，力对物体作正功；rcϖ3一功及其讨论2ϖ2θ3r若θ=π，力不对物体作功；θ2rF31.功的定义：设物体在力F作用下产生位移dr，2bF2rϖrθF1则定义此间该力对物体所作的功为π11若<θ≤π，力对物体作负功。arr2dA=F⋅dr=Fdrcosθ②过程量,一般与路径有关;bvrbA=∫∫aF⋅dr=aFcosθdrrrdAF⋅drrv即功等于力和位移的点积。③功率：描述作功快慢P===F⋅vdtdt功的单位焦耳（J）。单位：瓦（W）342.牛顿第二定律的积分形式之二——动能定理代入积分式，有b设物体在变力作用下，由abA=∫vbmvdv=1mv2−1mv2drrrrvvbaϖvrrva22ϕfbb点沿曲线运动到b点，a、bdrϕfrϖvbbrvrv12两点的速度分别为ϖva、ϖvbb。记:Ek=2mvrrv期间，f作功为r为物体的动能。aϖvavrrraϖvabbA=∫∫af⋅dr=afcosϕdr则有:A=E−Ekbka在轨迹曲线的切向有dvfcosϕ=ma=mt动能定理——dtrvdrrdv合外力对物体作的功等于物体动能的增量。因v=，所以fcosϕdr=mvdt=mvdvdtdt动能的单位也是焦耳。561\n2.讨论：例2有一密度为ρ的细棒，长度为①动能:质点因运动而具有的能量;l，其上端用细线悬着，下端紧贴着动能是状态量,功是过程量;密度为ρ′的液体表面。现将悬线剪ρ②功的物理意义:l断，求细棒在恰好全部没入液体中功是物体在运动过程中能量改变的量度。rxvvv时的沉降速度。设液体没有粘性。G③动能定理的微分形式：dE==dAFdr⋅=⋅=⋅FFvdrrvvrρ′xdtdtdtdt利用动能定理重做！B④功和动能在不同的参考系中具有不同的量值，即解:细棒下落过程中合外力（G−B）它们具有相对性。但动能定理在不同参考系中均成对它所作功为立，与参考系的选择无关。bvrlA=∫∫aF⋅dr=0Fdx78LvA=∫l()()G−Bdx=∫lρl−ρ′xgdxv000212=ρlg−ρ′lgO2ρxLs应用动能定理l例3传送机通过滑道将长为L、质量为m的柔软匀r质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面ρgl2−1ρ′gl2=1mv2=1ρlv2Gx上滑动s距离后停下来。已知滑道上的摩擦可不计，222rρ′x物与台面间的摩擦系数为μ，而且s＞L，试计算物体求得B的初速度v0。2ρgl−ρ′glv=解由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面ρ之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量成正比，所以它所受台面的摩擦力fr是变化的。变化的摩擦力表示为910Lvv0由动能定理OxLs⎛L⎞12−μmg⎜s−⎟=0−mv0⎝2⎠2x0b。121212122(1)求质点在A(a,0)点和B(0,b)点时的动能。∴EKB=mvx+mvy=mvx=maω2222(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的vvv(2)F=mai+maj过程中分力Fx、Fy所做的功。xyvvvvv22=−maωcosωti−mbωsinωtj解：(1)r=acosωti+bsinωtj00012222A=Fdx=−mωacosωtdx=−mωxdx=maω∴x=acosωty=bsinωtx∫ax∫a∫a2bb012222vx=−aωsinωtvy=bωcosωtAy=∫0Fydy=−∫0mωbsinωtdy=−∫amωydx=−mbω172183\n4.3势能2.弹性力作功：弹性力与位移正比反向B一一.几种常见力的功.几种常见力的功r胡克定律Fk=−xΔsi1.重力作功：重力可认为是恒力。CΔhiθik为弹簧的倔强系数，单位牛/米。r在重力作用下,质量为m的物体由高度h2Gh1设:弹簧自然伸长处物体的位rFh的B点,沿曲线运动至离地面高度为置为坐标原点O，将物体拉至1h2的C点。x1位置，在F作用下到达x2位Oxxr置时，弹性力作功为A。2x1在曲线上取一小位移Δsi，与重力的夹角为θirr物体位移dx，微元功dA=Fdx=−kxdx由功(微元功)的定义,ΔAi=G⋅Δsi=mgΔsicosθi=mgΔhi在B到C过程中，路径有无数,但重力作功相同,为物体位移x1→x2,弹性力F作功为x21212A=∑∑ΔAi=mgΔhi=mg(h1−h2)=mgh1−mgh2A=∫∫dA=−kxdx=kx1−kx2x122结论：重力作功与其路径无关，只与其始末位置有关19。20弹性力作功也与其路径无关，只与其始末位置有关。3.万有引力的功drz设两质点,质量分别为M和m,它们之间的万有引力为dA可写为rθCrdvvmMr+FzFGr=−mMdA=−GdrM1r2r2mdrxOrrθC位移dr的元功为万有引力F在全部路程中作的功为y1rd+IIrFvvvrmM⎛11⎞IdA=F⋅dr=Fcosθdr2AG=−dr=GmM⎜−⎟Mx∫rL1()rr2rO由图看出位移dr在F方向的投影值⎝21⎠r2yM2vvdr=drcos(π−θ)=−drcosθ结论：万有引力作功只与始、末位置有关，与质点所行经路径无关。2122z二.保守力的功与系统的势能rrm二.保守力的功与系统的势能2.关于成对力的功FF221rr′rm1dr′r1.保守力与非保守力力总是成对的，rrrrdr2定义:r1drrdr1通过讨论成对力作12凡是作功与其路径无关，只与其始末位置有关的rr功，将加深我们对保r′+dr′力.称保守力.守力的理解和认识。yxr实例:重力、万有引力、弹性力及静电力等.设质点1、2的质量为m1、m2，F1是质点1受到质点rrr2的作用力，F2是质点2受到质点1的作用力。数学判据:A=∫F⋅dr=0rr由牛顿第三定律F1=−F2rr即:沿任意闭合路径一周，保守力所作的总功为零。设dt时间内质点1、2分别完成位移dr1、dr2，则由矢rrrr不具有这种性质的力叫做非保守力.(耗散力为其一种。)量图知dr2=dr1+dr′，这里dr′是质点2相对于1的相23对位移。24(摩擦力、阻力、爆炸力等.)4\nzr期间两力作元功分别为rF2m23.势能F1rr′rrrrrm1dr′rdA=F⋅dr,dA=F⋅drrrdr2保守力作功只与始末位置有关，与路径无关，可引111222rrrdr1dr1r21入一个相对位置的函数.rrr′+dr′两元功之和为y定义:由相互作用的物体之间相对位置决定的能量E，称为势能。xPrrrrrrrrrdA=F1⋅dr1+F2⋅dr2=F1⋅dr1+F2⋅()dr1+dr′规定保守力在位置1状态至位置2状态时对物体的作rrrrrrr=()−F2+F2⋅dr1+F2⋅dr′=F2⋅dr′功为A=EP1–EP2=-(EP2-EP1)可见，成对作用力所作的总功只与作用力及相对位移有关，而与每个质点各自的运动无关。即,保守力做的功等于势能增量的负值.结论：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参如保守力作正功，物体系的势能E↓P考系选择无关的不变性质。只要牛顿第三定律成立，无论从什么参考系去计算，成对力所作的功都一样。25如保守力作负功，物体系的势能EP↑26势能实例:②关于势能零点的选取:A=mgh−mgh=E−E重12P1P2重力势能:常取地面为零点，EP重=mgh1212A弹=kx1−kx2=EP1−EP21222弹力势能:弹簧的自然伸长为零点,EP弹=kx2⎛11⎞E=−GMmA=−GMm⎜−⎟=E−E引力势能:无限远处为零点,P引0引0⎜rr⎟P1P2r讨论:⎝ab⎠③注意：势能既取决于系统内物体之间相互作用的①势能的相对性：形式，又取决于物体之间的相对位置，势能属于物由保守力作功的特点，有实际意义的是两点之间的体系统而不是单个物体的。势能差值，因而，势能只具有相对意义，只有取定某点为势能零点，才能定出其他位置的势能值。④只有保守力作用的物体系统才有相关的势能.27284、势能曲线利用势能曲线可判断物体在各个位置所受保守力的保守力作用下,系统的总能E=E+E大小和方向。kp量(红线)保持不变保守力做的功等于势能增量的负值EP(h)EP(x)EPA=−(EP2−EP1)=−ΔEpEEEEAEBOEkEk0rkkE当系统内的物体在保守力F作用下沿x轴发生位移PEPEPdx时，保守力作的微元功为hxOH′HOdA=Fcosϕdx=fdx=−dExp重力势能弹性势能引力势能r式中ϕ为F与x轴正向的夹角。比较两式得系统在每一位置时的动能的大小可方便地在图上显示dEPf=−x出来。因动能不可能为负值，只有符合的运动才可能dx发生，所以，根据势能曲线的形状可以讨论物体的运保守力沿某个坐标轴的分量等于势能对此坐标的动。29导数的负值。305