大学物理竞赛辅导 52页

力学部分主要公式：（1).牛顿第二定律（2).角动量定理对于质点,角动量对于刚体,角动量(3).保守力与势能关系\n(4).三种势能重力势能弹性势能万有引力势能(5).保守力的特点作功与路径无关\n(6).振动的微分方程圆频率:(7).阻尼振动\nl.水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角始终不变，试求\n解：画隔离体图，受力分析\n列方程：沿绳的方向加速度应该相等：解得：\n例2.质量为M、半径为R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成角。系统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速度。解：设半球面到图示虚线位置时，小滑块与竖直线夹角为以地为参照系.小滑块对地的速度为半球面对地的速度为小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为\n小球速度：水平方向动量守恒系统机械能守恒：解得：\n例3：长为质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与地面之间的摩擦系数解：系统力平衡力矩平衡求得：\n例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个小孔，孔与水面相距为水从小孔流出，求水从小孔流出时的速度。解：在孔处取单位体积的小体元体元左侧面积为单位面积，受力等于该处的压强此体元运动单位距离就可以流出按照牛顿第二定律：速度：右侧面积为单位面积，受力此体元经受力\n例5.质量为长为的匀质棒可绕固定的支点在竖直平面内运动.若棒在与水平线成角位置从静止开始下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力.解:由转动定理这里得到角加速度表达式可写成\n两边积分得到轴反力的两个分量和,列出质心运动方程:法线方向切线方向或写成\n当时,得到\n例6.一长为的细麦杆可绕通过中心的水平转轴在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置一质量与麦杆相同的甲虫以速度垂直落到麦杆的长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度多大？解：以麦杆和甲虫为系统碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为于是有：解得：\n碰后，当甲虫距轴心为时系统的转动惯量为作用在系统上的重力矩为：据转动定理：应有：即：于是甲虫的速度为：\n例7.光滑水平面上有一半径为的固定圆环,长为的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数处处相同,试求的取值范围.解:设初始时细杆的旋转角速度为,转过角后角速度为.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒\n应有:这里解得:细杆质心C将沿着圆的渐开线运动切向加速度为\n法向加速度为列出细杆质心运动方程不打滑的条件:即由于所以\n例8.两个均质圆盘转动惯量分别为和开始时第一个圆盘以的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度\n解：受力分析：无竖直方向上的运动以O1点为参考点，计算系统的外力矩：\n作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。对于盘1：阻力矩\n两边积分对于盘2：\n两边积分于是有：不打滑条件：接触点处两盘的线速度相等\n可解得：\n例9:质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为,问为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解:受力分析:\n列方程:滑轮:不打滑的条件:\n由以上四式解得:\n绳中的张力分析任取线元此线元切向运动方程为：此线元法向运动方程为：\n利用近似：忽略二阶无穷小量，得到：两式相除得到：\n两式相除得到：解此方程得到：当时，于是得到摩擦系数为：\n例10均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系数为µ,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向下滚动,求此临界值.解:质心运动方程θmgfN转动定理纯滚动条件:解得:\n例11.一个质量为m的卫星围绕着质量为M,半径为R的大星体作半径为2R的圆周运动.从远处飞来一个质量为2m,速度为的小流星.恰好沿着卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计,新星的速度仍沿原来方向.（1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞给出新星体能否与大星体M碰撞的判断。\n（1）解:轨道类型与新星的机械能的正负有关.如果动能大于势能,新星可以摆脱地球的吸引,轨道成为非闭合的如果动能小于于势能,新星不能摆脱地球的吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械能的正负来判断轨道的类型.偏心率的定义为\n为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.设碰后新星速度为碰撞过程动量守恒.碰前卫星的运动方程为求得碰前卫星的运动速度:碰撞过程动量守恒求得碰后新星的运动速度:此时的位置相当于在新星运动的近地点.\n我们计算新星近地点的机械能说明新星作椭圆轨道运动.下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系新星运动角动量守恒得到带入远地点的机械能表达式\n此能量应等于新星在近地点的机械能解得经化简得到\n偏心率（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为碰前卫星的速度:质量为m碰前流星的速度:质量为2m碰撞过程动量守恒求得碰后新星的运动速度:此时的位置相当于在新星运动的远地点.\n我们计算新星远地点的机械能说明新星作椭圆轨道运动.新星运动角动量守恒得到带入近地点的机械能表达式\n此能量应等于新星在远地点的机械能解得经化简得到肯定与大星体相碰。\n例12.半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以的角速度旋转一细杆长为,其两端约束在圆环上可作无摩擦的滑动,细杆的位置用OC与铅垂线的夹角表示，C为细杆的质心．试求细杆在圆环上的平衡位置，并分析平衡的稳定性．解：以圆环为参考系，以细杆质心位于轴上时作为重力势能的0点，任意位置时重力势能为\n在细杆上任取线元所受的惯性力（离心力）为此力作功与路径无关，可用势能减少量描述．设轴上的离心势能为０，处的离心势能设为，应有\n离心势能为：系杆总的有效势能\n平衡条件：稳定平衡条件：非稳定平衡条件：由求出三个平衡位置：\n为讨论平衡位置的稳定性，计算二阶导数（１）＝０时当时，取极小值，属稳定平衡当时，取极大值，属不稳定平衡\n（２）＝时取极大值，属不稳定平衡\n（３）当时因，即，或所以当时，定属于稳定平衡．\n例13.水平弹簧振子，弹簧的劲度系数为，振子的质量为，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成正比比例系数为，求形成低阻尼振动的条件。解：据牛顿第二定律，得到或设特解为带入（1）式，得到\n得到两个特解低阻尼（欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，e指数的变量必须是复数。需满足条件即：\nxta.低阻尼（欠阻尼）：b.临界阻尼：c.高阻尼（过阻尼）：\n例14.两弹性系数都是的弹簧它们与质量为两固定端之间的距离为，等于两弹簧原长的和，微微波动一下滑块，使其作微小的振动运动，求振动圆频率。的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为的正点电荷两固定端处各放一电量为的正点电荷解：当位移为时，滑块受力滑块运动方程\n由于，对力作近似处理\n利用得到滑块振动方程变为振动圆频率为