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大学物理学2（讲稿）河北工程大学物理系 康山林  第十章真空中静电场一、基本要求：掌握场强叠加原理、高斯定理、环路定理；理解电场、电势与电势能的概念；了解场强与电势的关系。二、重点内容：库仑定律、场强叠加原理、高斯定理、环路定理。三、难点内容：场强与电势的计算。本章内容和方法都比较重要，要着重讲述电场的物质性和场强与电势的计算方法，使学生掌握电场的基本概念和计算场强与电势的基本方法。本章内容计划使用6学时。§10-1电荷 Coulomb定律一、电荷及其特性：1.电荷是物质的一种基本属性。2.电荷有两种，正电与负电；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。3.电荷的多少是电量Q，物体所带的电量是量子化的；基本电荷e=1.6×10-19C；Q=Ne。4.在封闭的系统内电荷总量保持不变(电荷守恒定律)；电荷不能被消灭也不能被创造。5.物体所带的电量与物体的运动无关即与参照系无关。二、Coulomb定律1.点电荷：带电体的大小可以忽略。点电荷是一个理想化的模型。2.Coulomb定律：F=Q1Q2r/（4πε0,r3）；ε0=8.85×10-12N.m2/C2为真空介电常数。（1）适用于点电荷；（2）适用于真空静电场；（3）满足力的独立叠加原理。§10-2场强叠加原理一、电场的物质性：电场是物质的一种存在形式。物质有场和实物两种形式。1.场和实物的物质共性：(1)场和实物都是客观存在的；(2)场和实物都具有能量和质量；(3)场和实物之间存在着相互作用。2.场和实物的物质特性：(1)电场具有分布性，实物具有集中性（体积有限）。(2)电场具有叠加性，实物具有不相容性（不能同时占据同一空间）。二、电场强度1.试探电荷q0：电量足够小的点电荷。2.电场强度：(1)定义：在电场中一点单位试探电荷受的力为该点的电场强度；E=F/q0；(2)电场强度一般是空间坐标的函数，E=E（x，y，z）反映了电场的分布性。三、场强叠加原理\n设试探电荷q0处在若干个电荷产生的电场中，受到作用为：F=F1+F2+···+Fn；F/q0=F1/q0+F2/q0+···+Fn/q0；∴E=E1+E2+···+En=ΣEi；∴电荷体系的电场中任意一点的电场强度等于各个电荷独自存在时在该点产生的电场强度的矢量和，E=ΣEi…………场强叠加原理（反映了电场的叠加性）。四、电场强度的计算1.点电荷电场：∵F=Qq0r/（4πε0,r3），E=F/q0=Qr/（4πε0,r3）。2.点电荷体系的电场：E=ΣEi=1/（4πε0）ΣQiri/ri3。3.连续分布的带电体电场：dE=dqr/（4πε0,r3），E=1/4πε0∫rdq/r3。计算电场强度的一般方法步骤：(1)选取坐标系；(2)确定电荷元dq（点电荷或已知结论的形状）；(3)确定dE，并画出方向；(4)方向处理（投影方法或对称法）；(5)统一变量积分计算结果。 \n例题10-1 一根均匀带电的直棒，已知电荷线密度为λ，直线的长度为l；求：（1）延长线上一点P的电场强度；（2）中垂线上一点P的电场强度；解：（1）选直棒方向为x轴，一个端点为坐标原点；设P点到原点距离为b；取电荷元dq=λdx，坐标为x；则dE=（1/4πε0）·dq/（b-x）2=（λ/4πε0）·dx/（b-x）2；E=λ/4πε0∫0ldx/（b-x）2=（λ/4πε0）·[l/（b-l）b]；（2）选直棒方向为x轴，棒的中点为坐标原点；设P点到原点距离为a；取电荷元dq=λdx，坐标为x；则：dE=（1/4πε0）·dq/（a2+x2）=（λ/4πε0）dx/（a2+x2）；设dE与x方向的夹角为θ；cosθ=x/（a2+x2）1/2；sinθ=a/（a2+x2）1/2；dEx=dEcosθ=（λ/4πε0）xdx/（a2+x2）3/2；dEy=dEsinθ=（λ/4πε0）adx/（a2+x2）3/2；Ex=（λ/4πε0）∫xdx/[a2+x2]3/2=0；Ey=a[λ/4πε0]∫dx/[a2+x2]3/2=a（λ/4πε0）·l/[a2+（l/2）2]1/2；∴E=a（λ/4πε0）·l/[a2+（l/2）2]1/2j。例题10-2. 长度为l的均匀带电直棒，电荷线密度λ，求：任意一点（P点）的场强。（设P点到直棒垂直距离为a，两端的连线与P点到直棒垂直线的夹角分别为θ1和θ2）。解：选直棒方向为x轴，P点到棒的垂点为坐标原点；取电荷元dq=λdx，则：dE=1/4πε0dq/r2=λ/4πε0dx/r2；r2=[a2+x2]；dEx=-dEsinθ=[λ/4πε0]sinθdx/r2；dEy=dEcosθ=[λ/4πε0]cosθdx/r2；∵r=a/cosθ=asecθ；x=atgθ；dx=asec2θdθ；dEx=-λ/4πaε0sinθdθ；Ex=-λ/4πaε0∫sinθdθ=λ/4πaε0（cosθ2-cosθ1）；dEy=λ/4πaε0cosθdθ；Ey=λ/4πaε0∫cosθdθ=λ/4πaε0（sinθ2-sinθ1）；E=λ/4πaε0（cosθ2-cosθ1）i+λ/4πaε0（sinθ2-sinθ）j讨论：(1)对中垂线上一点，θ1=-θ2；cosθ1-cosθ2=0；sinθ2-sinθ1=2sinθ2；∴Ex=0；Ey=λsinθ2/2πaε0=[λ/4πaε0]l/[a2+（l/2）2]1/2；∴E=[λ/4πaε0]l/[a2+（l/2）2]1/2j。(2)l<>a；看作无限长直线，θ1=-π/2；θ2=π/2；Ex=0；Ey=λ/2πaε0；E=[λ/2πaε0]j。(4)在半无限长直线的端平面上的一点，θ1=-π/2；θ2=0；∴Ex=λ/4πaε0；Ey=λ/4πaε0；E=[λ/4πaε0]i+[λ/4πaε0]j;例题10-3一带电半圆环半径为R，电荷线密度为λ；求：圆心处的电场强度。解：dq=λRdθ；dE=dq/4πε0R2=λRdθ/4πε0R2；dEx=dEcosθ=λcosθdθ/4πε0R；Ex=λ/[4πε0R]∫cosθdθ=0；dEy=dEsinθ=λsinθdθ/4πε0R；Ey=dEsinθ=λ/4πε0R∫sinθdθ=λ/2πε0R；E=[λ/2πε0R]j；例题10-4 一均匀带电圆环半径为R；电荷线密度为λ。求：中垂线上一点场强。解：以圆心为坐标原点，垂直圆环平面选为x轴；dq=λRdθ；dE=dq/[4πε0（R2+x2）]=λRdθ/[4πε0（R2+x2）]；由对称性E⊥=0；dEx=dEcosβ=λR/[4πε0（R2+x2）]cosβdθ；Ex=λR/[4πε0（R2+x2）]cosβ∫dθ=λR/[2ε0（R2+x2）]cosβ；cosβ=x/[R2+x2]1/2；E=（λR/2ε0）x/[R2+x2]3/2i=（Q/4πε0）xi/[R2+x2]3/2；\n例题10-5一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ；求：中垂线上一点的电场强度。解：以圆心为坐标原点，垂直圆环平面选为x轴；在圆盘上选取一个细圆环，半径为r，宽度为dr；则dq=σ2πrdr；dE=（dq/4πε0）xi/（r2+x2）3/2=（σxi/2ε0）rdr/（r2+x2）3/2；E=（σxi/2ε0）∫0Rrdr/（r2+x2）3/2=（σi/2ε0）[1-x/（R2+x2）1/2]；E=（σi/2ε0）[1-x/（R2+x2）1/2]=（σi/2ε0）[1-1/（1+R2/x2）1/2]；讨论：（1）R<R，Σq=Q； rR，E=Q/4πε0r2。例题10-7一个均匀带电球体半径为R，电荷密度为ρ；求：电场强度的分布。解：因为电荷分布关于球心对称，选取高斯面为球面，半径为r；则：∮E•dS=E∮dS=E4πr2； r>R，Σq=Q=ρ4πR3/3； rR，E=Q/4πε0r2。 (2)电荷分布柱轴对称（高斯面为闭合圆柱面，柱轴为对称轴）：E=E（r），E∥r；选取高斯面为闭合圆柱面，柱轴为对称轴，Φ=∮E·dS=2πErl。例题10-7一个无限长的均匀带电圆柱面，已知单位长度上带电量为λ，半径为R；求：电场强度的分布。解：电荷分布关于柱轴对称，选取高斯面为闭合圆柱面，长度为l，半径为r；则：∮E•dS=∫E•dS上+∫E•dS下+∫E•dS侧；∵E⊥dS上，E⊥dS下；∴E•dS上=0，E•dS下=0；E∥dS侧，∴E•dS侧；=EdS侧；∴∮E•dS=∫E•dS侧=E∫dS侧=E2πlr；r>R，Σq=λl； rR，E=λ/2πε0r。 (3)电荷分布平面对称（高斯面为闭合柱面，柱轴垂直于对称面）：E=E(x)，│x│相同处E相等；E∥i；选高斯面为闭合柱面，柱轴⊥对称面；Φ=∮E·dS=2ES。例题10-8 一个均匀带电平面，已知电荷面密度为σ；求：电场强度的分布。解：电荷分布关于无限大平面对称，选取高斯面为闭合圆柱面，长度为2x，半径为r；柱轴垂直于带电平面且关于平面对称。则：∮E•dS=∫E•dS左+∫E•dS右+∫E•dS侧；∵E∥dS左，∴E•dS左=EdS左；∵E∥dS右，∴E•dS右=EdS右；∵E⊥dS侧，∴E•dS侧；=0；∴∮E•dS=∫E•dS左+∫E•dS右=2Eπr2；Σq=σπr2。根据高斯定理∮E•dS=Σq/ε0；可得：E=σ/ε。；3．用Guass定理求电通量例题10-9点电荷q放在一个边长为l的立方体的中心，求任一侧面的电通量ΦE。\n解：由于立方体的六个侧面上的电通量都相等；将立方体的六个侧面作为闭合的高斯曲面，根据高斯定理：∮E•dS=6ΦE=q/ε0；ΦE=q/6ε0；作业10（P138）：10-26，10-28，10-29，10-30。\n§10-4静电场环路定理与电势一、静电场环路定理1.表述：静电场的场强沿任意环路积分等于零，∮E·dl=0；2.证明：(1)点电荷的电场：∮E·dl=∮dr/r2=0；(2)电荷系的电场：∮E·dl=Σ∮Ei·dl=0；3.意义：(1)静电场无旋度；RotE=0；(2)静电力是保守力，对应一种势能，称为电势能。二、电势能：1.定义：电势能的减少等于静电场力作的功，所以：W=-∫q0E·dl2.说明：(1)电势能属于电场与电荷（带电体）组成的系统。(2)电势能的数值与零点的选取有关，任意两点的电势能的差与零点的选取无关。三、.电势1.定义：U=W/q0=∫E·dl；2.意义：单位电荷具有的电势能或将单位电荷从电场中一点移到电势零点电场力作的功。3.说明：(1)电势是从能量的角度描述电场分布的物理量。(2)电势的数值与零点的选取有关。三、电势叠加原理1.表述：电荷体系电场中一点的电势等于各个电荷独自存在时在该点产生电势的代数和j即：U=ΣUi；2.证明：∵E=E1+E2+···+En=ΣEi；∴U=∫E·dl=Σ∫Ei·dl=ΣUi；四、电势的计算：当带电体的大小为有限时，一般选取无限远为电势零点，应用电势叠加原理计算电势。1.点电荷电场：U=∫E·dl=∫dr/r2=+C，令r→∞，U=0，C=0；∴U=。2.点电荷系电场的电势：U=ΣUi=Σ；3.连续分布带电体的电场：dU=dq/（4πε0r）；U=[1/(4πε0)]∫dq/r；4.说明：(1)必须先规定电势的零点后，才能应用电势定义和叠加原理计算电势；(2)当带电体的大小为无限时，一般不能选取无限远为电势零点。§10-5场强与电势的关系一、场强与电势的积分关系：1．U=∫OPE·dl；O点为电势零点。2．若场强分布函数已知或可由高斯定理求出，由此关系容易求出电势。二、场强与电势的积分关系1.电势的方向导数：场强在任意方向上的分量等于电势在该方向上的方向导数的负值；即：El=-∂U/∂l。2.电势梯度：E=--[∂U/∂xi+∂U/∂yj+∂U/∂zk]=-gradU；电场强度矢量等于电势梯度的负值。\n3．若电势函数已知由电势梯度容易求出场强。三、等势面与电场线1.等势面：电场中电势相等的点所联成的曲面称为等势面。2.等势面与电场线的关系：(1)电场线垂直于等势面；(2)电场线从高电势指向低电势；(3)电场线密度大的地方等势面的密度也大。\n例题10-10一圆盘半径为R，已知电荷面密度为σ；求：轴线上任一点的电势。解：选圆心为坐标原点，x轴垂直于圆盘面，设轴线上一点坐标为x。在圆盘上选取一个细圆环，半径为r，宽度为dr；则：dq=σ2πrdr；dU==；U==[-x]；例题10-11一个均匀带电球面，带电量为Q，半径为R；求：空间各点的电势。解：由高斯定理容易求得：rR，E=。∴r>R，U=∫E•dr= dr/r2=；r≤R，U= r/r2=；例题10-12 一个无限长圆柱体半径为R，电荷密度为ρ；求：电势的分布。解：（1）先根据高斯定理求电场强度分布函数：因为电荷分布关于柱轴对称，选取高斯面为闭合圆柱面，长度为l，半径为r；则：∮E•dS=∫∫E•dS上+∫∫E•dS下+∫∫E•dS侧； ∵E⊥dS上，E⊥dS下，∴E•dS上=0；E•dS下=0；∵E∥dS侧，∴E•dS侧；=EdS侧；∴∮E•dS=∫∫E•dS侧=E∫∫dS侧=E2πlr；r>R，Σq=ρπR2l； rR，E=ρR2/2ε0r。（2）再求电势分布：对无限长的电荷分布不能选无限远为零点,选圆柱面(r=R)为零点；rR，U==lnR/r；。例题10-13 一均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，半径为R；求：轴线上一点的电场强度。解：由电势叠加原理容易求得轴线上任意一点的电势为：U=[-x]；∵E=[Exi+Eyj+Ezk]=-[∂U/∂xi+∂U/∂yj+∂U/∂zk]；∴Ex=-dU/dx=σ/2ε0[1-x/（x2+R2）3/2]；Ey=-dU/dy=0；Ez=-dU/dz=0；E=σ/2ε0[1-x/（x2+R2）3/2]i；例题10-14 如果电场的电势分布函数为：U=Aln（x2+y2）；求：电场强度分布函数。解：∵E=[Exi+Eyj+Ezk]=-[∂U/∂xi+∂U/∂yj+∂U/∂zk]；∴Ex=-dU/dx=-2Ax/（x2+y2）；Ey=-dU/dy=-2Ay/（x2+y2）；Ez=-dU/dz=0；E=-2A（xi+yj）/（x2+y2）；例题10-15 半径为R的均匀带电球面，带电量为Q；沿半径方向放置一均匀带电直线，长度为l，电荷线密度为λ；细直线的近端距球心距离为b（b>R）；电荷分布不受作用力的影响。求：细先所受的电场力和电势能。解：（1）带电球面产生的电场强度为：E=Q/[4πε0r2]；选取电荷元为：dq=λdr；dF=dqE=[λQ/4πε0]dr/r2；F=（λQ/4πε0）∫bb+ldr/r2=（λQ/4πε0）[1/b-1/（b+l）]；（2）带电球面产生的电势为：U=Q/4πε0r；选取电荷元为：dq=λdr；dW=dqU=（λQ/4πε0）dr/r；W=（λQ/4πε0）∫bb+ldr/r=（λQ/4πε0）ln[（b+l）/b]；作业10（P139）：10-31，10-32，10-33，10-38。\n \n第十一章导体与电介质一、基本要求：掌握导体静电平衡性质和静电场的能量；理解电流密度与电场强度的关系和电源电动势的概念；了解导体静电屏蔽、介质的极化和介质中高斯定理。二、重点内容：导体静电平衡、电容器与电容、静电场的能量、电源电动势。三、难点内容：静电屏蔽、介质的极化和介质中高斯定理。本章内容比较抽象，要着重讲述物质的静电性质和电场与物质的相互作用，使学生加深对基本概念的理解。本章内容计划使用6学时。§11-1导体的静电特性一、静电感应与静电平衡：1.静电感应：在静电场中导体内的电荷在电厂里的作用下重新分布。2.静电平衡条件：(1)导体内场强处处为零；(2)导体表面场强垂直于导体表面。二、导体静电平衡性质：1.导体为等势体，导体表面为等势面。2.导体内部净电荷处处为零，电荷只能分布在导体表面上。3.导体表面上面电荷密度与电场强度成正比即：σ=ε0E；4.导体表面上面电荷密度与表面的曲率有关，曲率越大面电荷密度也越大。三、静电屏蔽1.导体空腔内无电荷：(1)电荷只能分布在导体空腔的外表面上；内表面上处处无电荷。(2)空腔内场强处处为零，与外电场无关；∴导体空腔可以屏蔽外电场。2.导体空腔内有电荷：(1)若空腔内电荷q，分布在导体内表面上q/；则：q+q/=0；(2)空腔内的场强与外电场无关，但是空腔外部场强与空腔内电荷有关。3.接地导体空腔屏蔽内电场：接地导体空腔，电势U=0与空腔内、外电荷都无关。§11-2电容 静电场的能量一、孤立导体的电容：1.定义：C=Q/U；2.意义：导体的电势升高1伏需要的电量。3.孤立导体球的电容：C=4πε0R；4.孤立导体的电容一般很小，没有实用价值。二、电容器的电容1.电容器：两块导体绝缘靠近构成电容器。2.电容器电容：C=Q/ΔU。3.说明：(1)C取决于两极板的形状、大小与相对间距而与Q和ΔU无关。(2)两个极板所带电量一般相同。4.电容器电容的计算：(1)假设带电量；(2)计算电场强度；(3)计算电势差；(4)计算电容量。三、电容器储存的电能：1.对电容器充电过程中电源作功：dA=dqU=qdq/C；A= =Q2/2C=CU2/2；2.电容器储存的电能：电源作的功等于在电容器内部的电场能量，∴WE=Q2/2C=CU2/2。四、静电场的能量密度：1.对于平板电容器：C=ε0S/d，U=Ed；所以WE=CU2/2=ε0E2Sd/2=Vε0E2/2；2.电场的能量密度：we=WE/V=ε0E2/2；\n3.静电场的能量：WE=½∫∫∫ε0E2dV；已知电场强度分布可以求出电场的能量。\n例题11-1 两块平行放置的导体平板A、B，面积均为S；分别带电QA，QB；求：各个导体表面上的电荷分布。解：设导体平板A的两个表面的电荷面密度分别为σ1和σ2，导体平板B的两个表面的电荷面密度分别为σ3和σ4；由电荷守恒得：（σ1+σ2）S=QA； （σ2+σ4）S=QB；分别在导体平板A、B内选取点a和b；由导体静电平衡条件：Ea=（σ1–σ2–σ3–σ4）/2ε0=0；Eb=（σ1+σ2+σ3–σ4）/2ε0=0；解得：σ1=σ4=（QA+QB）/2S； σ2=-σ3=（QA-QB）/2S；讨论：（1）若QA=QB=Q，σ2=-σ3=0；σ1=σ4=Q/S；两导体板内侧的两个表面上无有电荷，电荷仅分布在两导体板的外侧两表面上。（2）若QA=-QB=Q，σ2=-σ3=Q/S；σ1=σ4=0；两导体板外侧两表面上无电荷，电荷仅分布在两导体板的内侧两个表面上。例题11-2 一个半径为R1的导体球，外围一个同心的导体球壳，内外半径分别为R2和R3；导体球和导体球壳分别带电QA，QB；求：（1）各个导体表面上的电荷分布；（2）内球接地时各个导体表面上所带的电量；解：（1）设导体球表面上的电荷密度为σ1，导体球壳的内外表面的电荷密度分别为σ2和σ3；显然：σ1=QA/4πR21；导体球壳内表面带电量为-QA；∴σ2=-QA/4πR22；由电荷守恒可知导体球壳外表面带电量为QA+QB；∴σ3=（QA+QB）/4πR23；（2）内部导体球接地，导体球的电势为零；设此时导体球带电量为Q1，导体球壳内外表面带电量分别为Q2和Q3；由高斯定理和电荷守恒得：Q2=-Q1；Q2+Q3=QB；∵导体球的电势为零：U1=（Q1/R1+Q2/R2+Q3/R3）/4πε0=0；∴Q1/R1-Q1/R2+QB/R3+Q1/R3=0；解得：Q1=QBR1R2/（R2R3-R1R3+R2R1）；Q2=-Q1=-QBR1R2/（R2R3-R1R3+R2R1）；Q3=QB-Q2=QB+Q1=QB[（R2R3-R1R3+2R2R1）/（R2R3-R1R3+R2R1）]。例题11-3 两块平行放置的导体平板面积为S，间距为d；求：电容器的电容量。解：设两导体平板分别带电为Q，-Q；由高斯定理：E=Q/ε0S；两板之间的电势差为：ΔU=Ed=QSd/ε0；电容器的电容量为：C=Q/ΔU=ε0S/d；例题11-4 半径为R1的导体球，外围同心导体薄球壳，半径为R2；求：电容器电容。解：设导体球带电量为Q，则导体球壳内表面带电为-Q；由高斯定理得：E=Q/4πε0r2；两球面之间的电势差为：ΔU=∫Edr=[Q/4πε0]∫dr/r2=Q[（R2-R1）/（4πε0R1R2）]；电容器的电容量为：C=Q/ΔU=4πε0R1R2/（R2-R1）；例题11-5 两块平行放置的导体平板，面积为S间距为d，接在电动势为U的电源两端；将一块面积为S厚度为t的金属板插入其中；（1）保持与电源的连接；（2）充电结束后断开电源；求：插入过程中外力作的功。解：插入前系统的电容量为：C0=ε0S/d；插入后的电容量为：C=ε0S/（d-t）；∵在插入过程中外力作的功等于电容器储存电场能量的增量；（1）保持与电源的连接，电压不变；A=（C-C0）U2/2=ε0SU2/2[1/（d-t）-1/d]；（2）充电结束后断开电源，电量不变；Q=C0U=ε0SU/d；\nA==∙[]；\n§11-3电介质的极化一、电介质的极化机制1.无极分子介质的位移极化：(1)无极分子：分子内部正负电荷中心重合，无固有电极矩P分子=0。(2)无外电场时，大量分子ΣP分子=0。(3)在电场力的作用下，正负电荷发生相向位移，使得：ΣP分子≠0。2.有极分子介质的转动极化：(1)有极分子：分子内部正负电荷中心不重合，存在固有电极矩P分子≠0。(2)无外电场时，由于分子无规则运动ΣP分子=0。(3)在电场力的作用下，分子的固有电矩趋于电场方向转动，使得：ΣP分子≠0。二、极化强度与极化电荷1.极化电荷：介质极化的结果等效于介质表面形成一层束缚电荷，称为极化电荷。2.极化强度：(1)定义：P=limΣΡ分子/ΔV；(2)意义：描述介质的极化程度。3.极化强度与极化电荷的关系：(1)对介质界面：Pcosθ=σ/。(2)对闭和曲面：∮P·dS=-Σq/。4.极化定律：实验发现：P=χε0E；χ为极化率。三、介质中的Guass定理1.介质中的电场：在介质中电场与自由电荷和极化电荷都有关；若自由电荷产生电场为E0，极化电荷产生电场为E/，则介质中：E=E0+E/，。2.介质中的Guass定理：设自由电荷为Q，极化电荷为q/；∮E·dS=Σ[Q+q/]/ε0。∵∮P·dS=-Σq/，∴∮[ε0E+P]·dS=ΣQ；令D=ε0E+P称为电位移矢量；∴∮D·dS=ΣQ。四、D与E之间的关系D=ε0E+P；P=χε0E；∴D=ε0（1+χ）E==ε0εrE=εE；媒质介电常数ε，相对介电常数εr。例题11-6  一个半径为R1的导体球，带有电量；外部有一层介质球壳，半径为R2，相对介电常数为εr；介质球壳外部是真空。求：1）空间各点的电场强度；2）空间各点的电势。五、电介质对电容器电容的影响1.可以增加电容量；2.可以增强电容器的耐压能力。例题11-6 半径为R1的导体球，带有电量Q；外部有一层半径为R2的介质球壳，相对介电常数为εr；介质球壳外是真空。求：（1）空间各点的电场强度；（2）空间各点的电势。解：（1）选取高斯面为球面，则：∮D•dS=D∮dS=D4πr2； r>R1，Σq=Q； rR1，D=Q/4πr2；∵E=D/ε；∴rR2，E=Q/4πε0r2；（2）r>R2，U=Q/4πε0∫dr/r2=Q/4πε0R2；R1>d；求：螺线管内外的磁感应强度。解：选取闭合回路为圆环，半径为r，且与圆环型螺线管同心；由电流分布的对称性得：∮B•dl=∮Bdl=B∮dl=B2πr；r>R+d/2和rR+d/2和r>d，n=N/2πR；∴在螺线管内部，B=μ0NI/2πR=μ0nI；在螺线管外部，B=0； 例题12-6 一根无限长的直导线通有电流I1，有一根长度为b的直导线通有电流I2；垂直于I1放置，近端距离为a；求：直电流I2受到的作用力。解：沿电流I2的方向选为x轴，沿电流I1的方向选为y轴；选取电流元Idl=I2dxi；电流元所处的磁感应强度为B=-μ0I1/2πxk；dF=Idl×B=μ0I1I2dx/2πxj；F=（μ0I1I2/2π）∫dx/xj=（μ0I1I2/2π）ln（a+b）/aj；a≤x≤a+b；例题12-7  一根导线弯成半圆，半径为R，通有电流为I，放在均匀磁场中；磁感应强度为B且与半圆导线所在平面垂直；求：导线所受的磁力。解：选半圆导线两端点的连线为x轴，圆心为坐标原点，过半圆的中点为y轴，沿磁感应强度为z轴；设半径与x轴的夹角为φ；选取电流元Idl=IRdφτ，；则：dF=Idl×B=BIRdφn；dFx=dFcosφ=IBRcosφdφ；dFy=dFsinφ=IBRsinφdφ；0≤φ≤π；Fx=IBR∫cosφdφ=0，Fy=IBR∫sinφdφ=2IBR；F=2BIRj；例题12-8 半径为R的带电圆盘围绕其中垂轴以角速度ω进行转动，电荷面密度为σ=kr；圆盘在均匀磁场中，B与转轴平行；求：圆盘所受到的磁力矩。解：在圆盘上选取一个细圆环，半径为r，宽度为dr；dq=2σπrdr=2πkr2dr；圆环上电荷转动时相当一个圆电流，dI=ωdq/2π=ωkr2dr；磁矩为：dPm=πr2dI=ωπkr4dr；dM=BdPm=ωπkBr4dr； 0≤r≤R； M=ωπkB∫r4dr=ωπkBr5/5； 例题12-9 一个电子以速率v=1.0×104m/s在磁场中运动，若电子沿x轴正方向通过A点时，受到磁场力沿y轴正方向，大小为F1=8.01×10-17N，当电子沿y轴负方向通过A点时，受到磁场力沿轴的分量为F2z=1.39×10-16N；求：A点的磁感应强度。解：电子受的磁力为：F=qv×B=-ev×B；e=1.6×10-19C；设B=Bxi+Byj+Bzk（1）沿x轴正方向通过A点：v1=vi；F1=-ev1×B=-ev（Byk-Bzj）=FIj；∴Bz=FI/ev=8.01×10-17/（1.6×10-19×104）=0.05T；   By=0；（2）沿y轴负方向通过A点：v2=-vj；F2=-ev2×B=ev（Bxk-Byi）；F2z=evBx；Bx=F2z/ev=1.39×10-16/（1.6×10-19×104）=0.086T；∴Bx=0.086T；By=0；Bz=0.05T；B=Bxi+Byj+Bzk=0.086i+0.05k； 例题12-10 半圆线圈半径为R，通过电流为I2；置于无限长直线电流I1的磁场中；无限长直线恰与半圆的直边重合；求：半圆线圈受到的磁场力。解：沿无限长直线电流I1的方向选为y轴；圆心为坐标原点，x轴过半圆顶点；\n选取电流元I2dl=I2Rdφτ；dF=I2dl×B=I2RBdφn；dF沿半径方向。∵B=-μ0I1/2πxk；x=Rsinφ；∴dF=（μ0I1I2/2π）dφ/sinφ；沿半径方向。dFx=dFsinφ=[μ0I1I2/2π]dφ；0≤φ≤π，Fx=[μ0I1I2/2π]∫dφ=μ0I1I2/2；dFy=dFcosφ=[μ0I1I2/2π]cosφdφ/sinφ；0≤φ≤π，Fy=[μ0I1I2/2π]∫cosφ/sinφdφ=[μ0I1I2/2π]∫dsinφ/sinφ=0；∴F=（μ0I1I2/2）i；\n§12-5 磁介质一、介质的磁化机制1．磁介质的分类：(1)抗磁质：BB0，(3)铁磁质：B>>B0。2．顺磁质的磁化机制：(1)顺磁质的分子具有固有磁矩，Pm分子≠0；(2)无外磁场时分子的无规则运动使分子磁矩的矢量和为零，所以对外不显示磁性。(3)有外磁场时分子磁矩趋于外磁场方向转动，附加磁感强度与外磁场方向相同∴B>B0。3．抗磁质的磁化机制：(1)抗磁质的分子无固有磁矩Pm分子=0；。(2)无外磁场时分子磁矩的矢量和当然为零对外不显示磁性。(3)在外磁场作用下，分子产生附加磁矩，附加磁感应强度与外磁场反方向，B>B0。2．铁磁质磁化规律：(1)初始磁化曲线：缓慢磁化阶段，急剧磁化阶段，饱和磁化阶段。(2)磁滞回线：饱和磁感应强度Bm，剩磁Bs，矫顽力Hc。3．铁磁质的性质：(1)B与H是非线形关系；\n(2)B与H的关系不唯一，与磁化历史有关。五、铁磁质的分类及应用：1．硬铁磁质：(1)特点：剩磁强、矫顽力大、磁滞回线肥胖；(2)应用：制作永久性磁铁。2．软铁磁质：(1)特点：剩磁弱、矫顽力小、磁滞回线瘦小；(2)应用：制作电器的铁芯。例题12-11 一长直同轴电缆，内部导线的半径为R1，外面导体薄圆筒的半径为R2；中间充满相对磁导率为μr的磁介质；电缆沿轴向通有电流为I，内外导体上的电流反向；求：（1）空间各个区域内的H、B和Jm；（2）磁介质表面上的磁化电流IS。解：（1）围绕电缆轴线选取一个半径为r的圆环作为闭合回路，由安培环路定理；∮H•dl=H∮dl=H2πr=ΣI；B=μ0μrH；r0，B与n反向，则Ψ<0。(3)若ξ>0则与l同向，ξ<0则与l反向。3.说明：(1)“–”号是Lorz定律的数学反映。(2)电磁感应定律是一个瞬时性规律。(3)对多匝线圈：Ψ=Φ1+Φ2+…+ΦN,Ψ称为磁通链；若各匝线圈磁通相同Ψ=NΦ；ξ=-NdΦ/dt；三、电磁感应电动势的分类1.动生电动势：由于导体切割磁力线运动产生的电磁感应电动势为动生电动势。2.感生电动势：由于磁场的变化产生的电磁感应电动势为动生电动势。§13-2动生电动势与感生电动势一、动生电动势1.动生电动势的非静电力：Lorentz力，Fk=qv×B；非静电场强为：Ek=v×B2.动生电动势的计算：ξ=（v×B）·dl，ξ=∫（v×B）·dl；对于均匀磁场中直导线：ξ=vBlcosφsinθ。φ=0，θ=π/2；ξ=vBl。3.动生电动势的能量来源：Lorentz力对导体内电荷不作功，磁场不能提供能量，只是将其他形式的能量转换为电能。二、感生电动势1.Maxwell涡旋电场假设：(1)变化磁场周围激发一种电场，称为感生电场。(2)感生电场的电力线为闭合曲线，故又称为涡旋电场。(3)感应电场对电荷的作用力是感生电动势的非静电力，∴ξL=∮EL·dl=-∫∫∂B/∂t·dS；2.静电场与感应电场的对比：共同之处：(1)都是客观存在的物质；(2)对电荷都具有作用力；不同之处：(1)起源不同：静电场起源于电荷，感应电场起源于变化磁场。(2)性质不同：静电场为无旋度、有散度的保守场，感应电场为有旋度、无散度的非保守场。3.感应电动势的计算：1)对一段导线：ξ=∫EL·dl；(2)对闭合回路：ξ=∮EL·dl=-∫∫∂B/∂t·dS；\n例题13-1 一根无限长的载流导线，通有电流为i=I0cosωt；附近放置长为l，宽为b一个矩形线圈，近边到载流导线的距离为a，且导线与线圈共面；求：矩形线圈的感应电动势。解：垂直导线沿矩形线圈的边长方向选为x轴；在矩形线圈内选取一个面积元，dS=ldx；B=μ0i/2πx；dΦ=BdS=Bldx=μ0ildx/2πx=μ0I0cosωtldx/2πx；Φ=μ0I0cosωtl/2π∫dx/x=（μ0I0cosωtl/2π）·ln（a+b）/a；ξ=-dΦ/dt=（ωμ0I0cosωtl/2π）·[ln（a+b）/a]sinωt；例题13-2 一根导线弯成半径为R的半圆，放在磁感强度为B的均匀磁场中；B与半圆平面垂直；导线以速度v垂直于B匀速运动；求：导线中的动生电动势。解：方法一：在半圆导线上选取一线元dl=Rdθ，该线元上的电动势为：dξ=（v×B）·dl=vBRcosθdθ；0≤θ≤π，ξ=vBR∫cosθdθ=2vBR；方法二：设想一根直导线与半圆导线构成一个闭合线圈，其上的磁通量为：Φ=BS=BπR2=常量；闭合线圈上的电动势为ξ0=-dΦ/dt=0；设直导线与半圆导线的电动势分别为ξ1和ξ；则：ξ0=ξ1+ξ=0；∴ξ=ξ1=vBl=2vBR；例题13-3 一根导体直线长度为L，放在均匀磁场中；导线以角速度ω围绕通过导线一个端点且与导线垂直的转轴匀速转动；磁感应强度为B且与转轴平行；求：导体中的动生电动势。解：在直导线上选取一线元dl，该线元的运动速率为v=ωl，；该线元上的电动势为：dξ=（v×B）·dl=vBdl=ωBldl；直导线上的电动势为：ξ=ωB∫0Lldl=ωBL2/2；例题13-4 一矩形线圈匝数为N，截面积为S；在均匀磁场中以角速度ω均匀转动，磁感应强度为B且与转轴垂直；若线圈法线与的夹角为θ；且t=0，θ=0；求：线圈中的感应电动势。解：线圈的磁通量为：Φ=NBScosθ=NBScosωt；电动势为：ξ=-dΦ/dt=ωNBSsinωt；例题13-5 金属直线OD与金属直线OC之间的夹角为θ，构成一个金属框架；磁感应强度B垂直于金属框架平面；一导体杆MN放在导体架上且垂直于OD边，以速度v垂直于MN向右匀速运动；若MN到O点的距离为x，且t=0，x=0；求：下列情况下导体框架内的感应电动势。（1）均匀磁场且B不随时间变化；（2）非均匀时变磁场B=Kxcosωt。解：（1）ξ=Bvl=Bvxtgθ；∵t=0，x=0；∴x=vt；ξ=Bvxtgθ=Bv2t·tgθ；（2）在ΔOMN上距O点为x处选取一个面积元dS=ldx=xdxtgθ，dS上的磁通量dΦB=BdS=Kcosωttgθx2dx；ΦB=Kcosωttgθ∫0xx2dx=Kcosωttgθx3/3；ξ=-dΦB/dt=-Kcosωtx2tgθdx/dt+ωKsinωtx3tgθ/3∵dx/dt=v，∴ξ==Kcosωtx2tgθ（ωxsinωt/3-vcosωt）。例题13-6 半径为R的无限长的螺线管的内部磁感应强度为B=kt；在管内放置一根长度为R的导体直线ab，且aob构成一个正三角形；求：1）管内外的感生电场强度EL；2）直导线上的感生电动势。解：（1）在螺线管内选取一个圆环，半径为，圆心在轴线上；∵∮EL·dl=∮ELdl=EL∮dl=2πrEL，且rn2>n3或n1n3、n2>n3：有半波损失，∆=2n2e±λ/2；二、增透膜与憎反膜1.增透膜：镀膜厚度满足：∆=2n2e±λ/2=[2k+1]λ/2，反射光干涉向消，透射光加强。2.增反膜：镀膜厚度满足：∆=2n2e±λ/2=2kλ，反射光干涉加强，反射光加强。三、劈尖干涉\n1.干涉装置：θ≈0。2.理论分析：入射角i=0；∆=2ne±λ/2为等厚干涉。3.干涉图样特征：(1)干涉条纹为平行直条纹。(2)e=0，∆=λ/2，为零级暗纹。依次排列各级明暗条纹。(3)相邻两条纹对应劈尖膜的厚度差为：∆e=λ/2n；(4)相邻两条纹间距为：b=λ/2θn；(5)白光照射出现彩色条纹。四、Newton环1.干涉装置：2..理论分析：∆=2ne±λ/2；∵R2=r2+[R-e]2≈R2+r2-2Re；∴e=r2/2R；Δ=nr2/R±λ/2；∆=kλ，为明环条纹；∆=[2k+1]λ/2为暗条纹。3.干涉图样特征：(1)干涉条纹为圆形条纹。(2)e=0，Δ=λ/2，中心为暗斑，外围各级明暗圆环。明环半径：r=；暗环半径：r=。(3)相邻两条纹间距不相等，越往外越密；=[rk+1+rk][rk+1-rk]=λ/n，∴k↑，[rk+1-rk]↑；(4)白光照射出现彩色圆环条纹。五、等厚干涉的应用1.测微技术：测量微小的长度或微小的角度极其微小变化。2.测量技术：折射率，光的波长，透镜的曲率半径等。3.检测表面的平整度。§15-4 Michelson干涉仪一、基本结构：二、工作原理；三、特点与用途；\n   例题15-1 扬氏双缝干涉实验中，用一个云母薄片覆盖其中的一条缝；干涉条纹将如何移动?若入射光的波长为λ=550nm，双缝的间距为d=3.0mm，双缝到屏幕的距离为D=2.5m，云母片的折射率为n=1.58，条纹移动的距离为Δx=2.5mm；求：云母片的厚度e。解：（1）原来的双缝干涉中，明条纹的条件为：Δ1=xd/D=kλ，x=kDλ/d；若云母片覆盖上边的狭缝，两条光束的光程差为：Δ2=xd/D+（n-1）e；明条纹的条件为：Δ2=xd/D+（n-1）e=kλ；x/=kDλ/d-De（n-1）/d；∴Δx=x/-x=-De（n-1）/d<0；可知若云母片覆盖上边的狭缝，条纹向下移动；覆盖下边的狭缝，条纹向上移动；（2）∵Δx=x/-x=-De（n-1）/d；∴e=（d/D）×|x/-x|/（n-1）；∴e=（3.0×10-3/2.5）×2.5×10-3/（1.58-1）=5.16×10-6m=5.16μm； 例题15-2 用波长λ=500nm的单色光垂直照射牛顿环装置，已知第k个暗环半径为rk=4mm，第（k+10）个暗环半径为rk+10=6mm；求：透镜的曲率半径。解：∵在牛顿环干涉图样中，暗圆环的半径为r=[kRλ]1/2；r2=kRλ；∴rk2=kRλ；r2k+10=（k+10）Rλ；  r2k+10-rk2=10Rλ；R=（r2k+10-rk2）/10λ=（62-42）×10-6/（10×5×10-7）=4m； 例题15-3 白光垂直照射在厚度为e=380nm的肥皂膜上，肥皂膜的折射率为n=1.33；求：那些波长的可见光在反射中干涉加强。解：在肥皂膜上下两个表面的两束反射光的光程差为Δ=2ne+λ/2；反射中干涉加强的条件为Δ=2ne+λ/2=kλ；∴λ=2ne/（k-1/2）=（2×1.33×380）/（k-1/2）=1010/（k-1/2）nm；k=1，λ=2×1.01×10-6=2020 nm；不属于可见光；k=2，λ=2×1.01×10-6/3=673 nm；属于可见光；k=3，λ=2×1.01×10-6/5=404 nm；属于可见光；k=4，λ=2×1.01×10-6/7=288 nm；不属于可见光；∴波长为404nm的紫光和波长为673nm的黄光在反射中干涉加强。作业17（P252）：17-21，17-22，17-25，17-26。\n§15-5Huygens—Fresnel原理一、Huygens—Fresnel原理1.Huygens原理：在波的传播过程中波面上任一点都可以作为子波源发射子波，所有子波波面的包络决定下一时刻的波面。由惠更斯原理可以用作图方法定性解释波的衍射现象。惠更斯原理可以确定新的波面,但不能确定振幅。2.Huygens-Fresne原理：波面前方一点的扰动等于所有子波在该点引起扰动的相干叠加。3.应用要点：设波面上的面元dS在r远的P点引起的振幅为dA，r与波线之夹角为θ，则：(1)dE∝dS/r。(2)dE与θ有关,考虑倾斜因子K(θ)，则：dE=cosω(t-r/u)dS/r；(3)将所有面元引起的振动考虑位相后积分计算即得到该点的振动，E=∫K(θ)cosω(t-r/u)dS/r。三、衍射的分类1.Fresnel衍射：光源与接收屏都在有限远的衍射。2.Foulanghoff衍射：光源与接收屏都在无限远的衍射，借助薄透镜可以在实验室实现。平行光入射,平行光汇聚,倾斜因子K(θ)相同；且r→∞，∴dE∝dS。§15-6单缝衍射一、实验装置：     二、理论分析——半波带法1.将有效波面划分为一系列的波带：(1)每个波带的面积相等；(2)相邻两波带对应的光程差为半个波长。2.∵各个波带的面积dS相等，dE∝dS，∴各个波带产生的光扰动振幅dEm相同；又∵相邻两波带对应的光程差为半个波长，∴相邻两波带产生的光扰动相抵消。3.屏上一点是明是暗取决于该点对应的半波带的数；N=2k为暗条纹，N=[2k+1]为明条纹。4.半波带数目：∵Δmax=BC=asinθ；∴N=2Δmax/λ=2asinθ/λ。三、单缝衍射公式asinθ=±kλ为暗条纹；asinθ=±[2k+1]λ/2为明条纹；k=1,2,3，……。四、单缝衍射的图样特征1.条纹形状：为平行直条纹；\n2.条纹分布：衍射角θ=0，Δ=0，对应中央明纹或零级明纹；两侧对称分布各级明纹。(1)第k级明纹中心角坐标θk≈sinθk=±kλ/a；第k级明纹中心坐标xk≈fsinθk=±kfλ/a；(2)第k级暗纹中心角坐标θk≈sinθk=[2k+1]λ/a；第k级暗纹中心坐标xk≈fsinθk=[2k+1]fλ/a；3.相邻的两条明（暗）纹间距：Δx=xk+1-xk=fλ/a；角间距：Δθ=θk+1-θk=λ/a；4.明纹宽度：(1)中央明纹宽度为：Δx0=2fλ/a；(2)其他各级明纹宽度为：Δx=fλ/a。5.明纹的亮度：，各级明纹亮度(Ik)随级数k的增加而迅速减小；I0》I1》I2……。(1)中央明纹亮度I0是波面上所有子波叠加的结果；∴中央明纹亮度(I0)最大；(2)第一级明纹亮度I1（对应的波带数N=3）是波面上1/3子波叠加加强的结果,所以I0》I1；(3)第二级明纹亮度I2（对应N=5）是波面上1/5子波叠加加强的结果,所以I0》I1》I2……。6.白光照射出现彩色条纹——衍射光谱。\n§15-7光栅衍射一、实验装置：1.光栅：大量等宽等间距的狭缝平行排列组成光栅。2.光栅常数：d=a+b；二、理论分析—光栅衍射公式1.单缝衍射图样与缝的位置无关。2.光栅衍射是大量单缝衍射的相干叠加。3.光栅衍射公式：当相邻两缝的光程差为kλ时，叠加加强；∴光栅衍射的主极大为：dsinθ=±kλ。三、光栅衍射的图样特征1.条纹形状为平行直条纹；衍射角θ=0，中央主极大或零级主极大。∴中央为零级主极大，两侧对称分布各级主极大。第k级主极大中心的角位置为：sinθk=±kλ/d；  k=1，2，…。第k级主极大中心的位置为：xk=f.tgθk。2.光栅衍射的暗纹中心为：dsinθ=±kλ/N；k=1,2,…,N-1,N+1,…，相邻两个主极大之间有N-1个暗纹，有N-2个次极大。光栅衍射图样中明条纹细窄明亮,暗区宽阔；N越大越显著；3.中央主极大的亮度最大，各级主极大随级数k的增加而迅速减小，I0》I1》I2……。4.级数的上限：∵sinθ≤1，∴k≤d/λ。最大级数为km=d/λ（取整数）。5.缺级：∵dsinθ=±Kλ主极大，asinθ=kλ为暗条纹；∴级数为K=kd/a的主极大将不出现，称为缺级。例如d/a=2，K=2，4，…各级将缺级。例如d/a=3，K=3，6，…各级将缺级。6.白光入射将出现彩色光谱线分布——称为光栅衍射光谱。§15-8圆孔衍射与光学仪器分辨率一、圆孔衍射1.实验装置：2.理论分析方法：仍用半波带法，但光程差为半波长的波带面积不相等理论计算较复杂。3.圆孔衍射图样特征：(1)条纹形状——同心圆条纹；(2)中心为亮斑（Airy斑），外围各级明(暗)圆条纹，Airy斑集中了绝大部分光强（90%）。\n(3)第一级暗纹对应的衍射角θ1≈sinθ1=1.22λ/D；Airy斑半径R=1.22f/D，D为圆孔直径。二、光学仪器分辨率1.Rayleigh判据：两个物点(光源)相互靠近，若第一个衍射图样的中央主极大中心与另一个衍射图样第一级暗纹中心相重合时，两个物(点)恰好能够分辨。2.最小分辨角：由Rayleigh判据可得最小分辨角为：θm≈sinθ1=1.22λ/D。3.光学仪器分辨率：δ=1/θm=0.82D/λ。(1)δ∝D；天文望远镜D=1~10m，(2)δ∝1/λ；电子显微镜λ≈10-11~10-15m。§15-9 X光的衍射一、X光：1.X射线是一种电磁波，λ≈10-10~10-11m。2.X射线具有较强的穿透能力。二、X光的衍射：1.劳厄实验：X射线通过铅板上的圆孔射到晶体片上，在感光胶片上形成圆斑……劳厄斑。2.布拉格公式：X光平行照射晶片，以晶面为镜面在满足折射定律的方向上将出现主极大。设晶格常数为d，X射线的掠射角为φ；则主极大满足：2dsinφ=kλ；……布拉格公式。作业（P252）：18-21，18-22，18-25，18-26。\n§15-10 自然光与偏振光一、自然光在垂直光线的平面内的各个方向上光矢量对称分布；[Ex]=[Ey]，[Ix]=[Iy]。二、偏振光1.完全偏振光：光矢量仅出现在一个确定的方向上，其他方向没有光矢量；[Ix]=0或[Iy]=0。2.部分偏振光：在垂直光线的平面内的某个方向上光矢量分布占优势，[Ix]≠[Iy]。3.偏振度：P=[Imax-Imin]/[Imax+Imin]；自然光P=0；完全偏振光P=1；部分偏振光P<1。二、偏振光的获得：1.物质二向色性起偏；2.折射光和反射光起偏；3.物质的各向异性起偏。§15-11物质的二向色性与Malus定律一、物质二向色性1.线栅起偏器：细导线平行排列构成线栅，沿导线方向的光矢量被吸收，对电磁波起偏。2.二向色性：高导电率长分子链平行排列可以吸收该方向上的光矢量，称为二向色性；3.二向色片：应用二向色性（如含碘聚乙烯醇）物质制作偏振片。允许通过的光矢量方向为偏振化方向。二、Malus定律：若入射二向色片的线偏光的光强为I0，光矢量与偏振化方向的夹角为θ，透出的线偏光的光强为I，则：I=I0cos2θ。1.θ=0，I=I0；2.θ=π/2，I=0。3.若是自然光入射光强为I0，则I=I0/2。三、偏振片的检偏作用：1.偏振片绕光线旋转时，若光强无任何变化则为自然光入射；2.偏振片绕光线旋转时，若光强发生变化且最小光强为零则为线偏振光入射；3.偏振片绕光线旋转时，若光强发生变化但是最小光强不为零则为部分偏振光入射。§15-12 反射与折射光的偏振与Brewster定律一、反射光与折射光的偏振：1.当自然光入射到两种物质的界面上时，反射光与折射光都是部分偏振光；2.反射光在垂直入射面的方向上的光矢量占优势，折射光在平行入射面的光矢量占优势。二、Brewster定律：1.当入射角满足：tgib=n2/n1；反射光为线偏振光，光矢量垂直于入射面；折射光为部分偏振光，光矢量在入射面的方向上占优势，而且偏振度最高。2.推论：以Brewster角入射时，反射光线与折射光线垂直；ib+rb=π/2。三、玻片堆起偏：平行堆放的平面玻璃板构成玻片堆起偏器，可以使折射光成为良好的偏振光。例题17-9 一束光是自然光和线偏振光的混合；通过偏振片并转动偏振片时发现最大光强是最小光强的5倍；求：入射光中自然光的光强与线偏振光的光强之比。解：Imax=IN/2+IP；Imin=IN/2；Imax/Imin=1+2IP/IN=5；∴IP/IN=2； \n例题17-10 测得从一池静水的水面上反射的太阳光是完全偏振光，水的折射率为n=1.33；求：此时太阳处在地平线的多大仰角处。解：设仰角为θ，太阳光的入射角为i；则：θ+i=90º，根据布儒斯特定律，tgi=n=1.33，i=arctg1.33=53.06º，θ=90º-i=90º-53.06º=36.94º，作业19（P268）19-21，19-22，19-23。\n§15-13光的双折射一、光的双折射：自然光入射在晶体上时，一条入射光线对应两条折射光线（o光和e光）。1.寻常光线与非常光线：(1)寻常光线o光（o光）满足折射定律；(2)非常光线（e光）不满足折射定律。2.晶体特征的描述：(1)光轴：晶体内存在一个特殊方向，称为光轴；光沿光轴方向传播时不发生双折射。(2)主截面：晶体表的法线与光轴构成主截面。(3)主平面：晶体内光线与光轴构成主平面。二、o光与e光的偏振特性1.o光和e光都是线偏振光；2.o光矢量垂直其主平面；e光矢量平行其主平面。3.若入射面与主截面重合，o光矢量与e光矢量相互垂直。三、o光与e光的传播特性：1.o光的传播速度是常量,与传播方向无关；e光的传播速度不是常量,与传播方向有关；2.在光轴方向上o光与e光的速度相同；在垂直光轴方向上o光与e光的速度差异最大。四、晶体的主折射率：1.晶体的主折射率：no=c/vo，ne=c/ve⊥；no和ne称为晶体的主折射率。2.晶体的双折射率：κ=[no-ne]；κ称为晶体的双折射率；κ>0，为正晶体；κ<0，为负晶体。五、.双折射的解释：1.o光与e光的波面：o光波面为球面，e光的波面为椭球面，在光轴方向两者重合。2.o光矢量总是垂直光轴；e光沿不同方向传播光矢量与光轴的夹角不同：（1）沿光轴方向传播时o光与e光的光矢量都垂直于光轴，所以两者的速度相同；（2）在偏离光轴方向上o光和e光具有不同的速度产生双折射。3.由于晶体内部的分子结构,对偏离光轴不同方向上的光振动具有不同的传播速度（各向异性），导致光波中两个相互垂直的光振动具有不同的传播方向从而形成双折射。六、双折射偏振棱镜：1．尼科尔棱镜：天然方解石厚度一般太小不能将o光和e光分开；尼科尔棱镜(Nicol)是将方解石加工成的一种偏振棱镜。将两块经过特殊加工的方解石用加拿大胶粘合而成的长方柱形棱镜。方解石的主折射率为：no=1.658，ne=1.486；加拿大胶的折射率为n=1.550；当自然光入射到方解石表面上时(入射角为220)，晶体内两条折射光o光和e光(折射角分别为130和14.60)；到达分界面时(入射角分别为770和75.40)；o光将发生全反射(全反射临界角为700)不能通过晶体；只有e光通过晶体；所以出射的光线是偏振光。2．沃拉斯顿棱镜和洛匈棱镜：沃拉斯顿(Wollaston)棱镜和洛匈(Rochon)棱镜都是由两块光轴相互垂直的直角方解石粘合而成的；利用这种棱镜可以获得两束分得很开的线偏振光；是很好的偏振分光元件。\n七、人为双折射：1.光弹性效应：某些玻璃、塑料等各向同性介质受到外力作用时会产生双折射效应，其光轴方向与外力方向一致,双折射率为：（no-ne）=kP，P为应力压强；利用光弹性效应制作光测弹性仪具有广泛的用途。2.Kell效应：某些溶液在电场中可产生双折射效应,其光轴方向与电场方向一致,双折射率为：（no-ne）=k（λ）E2，E为电场强度；利用Kell效应常用于制作光控开关,灵敏度极高（10-9s）。\n§15-14偏振光的干涉*一、实验装置       自然光通过一个偏振片后,出射线偏振光1；再通过双折射晶片C后,光线2包含相互垂直的两种光振动o光和e光；由于是垂直入射晶片C，所以o光和e光的光线没有分开；但是o光和e光在晶片C中的传播速度不同,引起光程差为Δ=（no-ne）d，所以o光和e光的光波面已经分开；经过偏振片P后光线3中的o光和e光成为相干光，如果将晶片C作成契形则可以在屏幕上看到干涉图样。二、理论分析:设线偏振光的光振动方向与晶片C的光轴夹角为α,光轴与偏振片的偏振化方向夹角为β；Ae2=A1cosα，Ao2=A1sinα；Ae3=Ae2cosβ=A1cosαcosβ=A1sinαcosα，Ao3=A1sinαsinβ=A1sinαcosα；显然Ae3=Ae3；因为Ae3与Ao3之间存在π相位突变，所以位相差为：Δφ=2π(no-ne)d/λ+π；Δφ=2π(no-ne)d/λ+π=2kπ，为明条纹；Δφ=2π(no-ne)d/λ+π=（2k+1）π，为暗条纹；三、椭圆偏振光与圆偏振光:       1.椭圆偏振光：自然光通过偏振片P后成为线偏振光1，.通过双折射晶片C的光线2中包含相互垂直的两种光振动（o光和e光）；设o光和e光的光振动分别为：Ee=A1cosωt，Eo=A2cos（ωt+Δφ）；其轨迹方程为：Ee2/A12+E02/A22-2EeE0cosΔφ/A1A2=sin2（Δφ）；合成光矢量的轨迹一般为椭圆，称为椭圆偏振光。2.圆偏振光：若Δφ=2π(no-ne)d/λ=π/2，A1=A2；合成光矢量的轨迹为圆，称为圆偏振光；此时通过双折射晶片C的o光和e光的光程差为Δ=（no-ne）d=λ/4；称为四分之一波片。\n3.振动面旋转：若Δφ=2π(no-ne)d/λ=π，合成光矢量的轨迹为直线，依然为线偏振光，振动面旋转一个角度；此时通过双折射晶片C的o光和e光的光程差Δ=（no-ne）d=λ/2；此晶片称为半波片。四、旋光现象:1.线偏振光通过某些物质光振动面发生旋转的现象称为旋光现象。2.光振动面发生逆时针旋转的成为左旋物质；光振动面发生顺时针旋转的成为右旋物质。3.旋光晶体：旋转角度与晶体厚度成正比，ψ=ad。4.旋光溶液：旋转角度与溶液浓度成正比，ψ=aCd。测糖计就是根据这一原理制成的。\n第十六章量子物理基础一、基本要求：掌握爱因斯坦光子理论和光电效应方程、康普顿效应、玻尔量子假设和氢原子理论、德布罗意关系；理解不确定原理、波函数、薛定鄂方程；了解黑体辐射、普朗克公式和量子假设、一维势阱中的粒子。二、重点内容：光子和光电效应、波尔量子理论、德布罗意关系、波函数、薛定鄂方程。三、难点内容：黑体辐射、波函数、薛定鄂方程。本章内容比较重要，要着重讲述基本概念和基本规律，使学生加深对基本内容的理解。本章内容计划使用8学时。§16-1黑体辐射的量子理论一、黑体辐射的一般概念：1.单色辐出度Mλ(λ，T)：单位时间内从单位面积上辐射的波长为λ∽λ+dλ的电磁波能量。2.总辐出度M（T）：单位时间内从单位面积上辐射的各种波长的电磁波能量。M（T）=∫0∞Mλ（λ，T）dλ；3.吸收率α与反射率r：(1)吸收率α=吸收的能量/入射的能量；(2)反射率r=反射的能量/入射的能量；(3)对不透明物体：r+α=1；4.黑体：r=0，α=1；能够吸收所有的电磁辐射的理想化模型；空腔小孔是典型的黑体模型。5.Kirchhoff定律：在温度一定的封闭容器内，所有物体的单色辐出度与吸收率之比都相等。Mλ1/α1=Mλ2/α1=……=MBλ；∵α1，α2，…容易测量，∴已知MBλ就可以知道Mλ。二、黑体辐射的实验规律1.黑体辐射的实验曲线；(1)λ=0和λ→∞，MBλ=0；(2)存在一个峰，对应波长λm。2.Stefan—Boltzman定律：M（T）==σT4；σ=5.67×10-8W/m2T4；3.Wien位移定律：λmT=b；b=2.898×10-3m.K。三、黑体辐射经典理论公式1.Rayleigh—Jeans公式：设电磁波满足能量均分原理：MBλ=c1kTλ-4；Rayleigh—Jeans公式在长波段符合实验，短波段与实验不符（紫外灾难）。2.Wien公式：设电磁波分布满足Maxwell速率分布律：MBλ=C2eC/Tλλ-5；Wien公式在短波段符合实验，长波段与实验不符。3.Planck公式：应用内插法导出黑体辐射公式：MBλ=。\nPlanck公式在每一波段都符合实验，并且可以推导出黑体辐射的所有规律。讨论：(1)λ→∞，ehc/kTλ>>1，ehc/kTλ-1≈ehc/kTλ；∴MBλ=C2λ-5eC/Tλ。(2)λ→0，ehc/kTλ≈1+hc/kTλ，MBλ=c1Tλ-4。h=6.63×10-34Js(3)令dMBλ/dλ=0，得λmT=b≈hc/5k=2.898×10-3m.K。(4)E（T）==σT4；σ=6.5×2πk4/h3c2≈5.67×10-8W/m2T4；四、Planck能量子假设和普朗克公式1.带电粒子谐振动时辐射电磁波，其能量与频率成正比ξ=hν，称为能量子。2.带电谐振子吸收或辐射电磁波的能量是量子化的，hν，hν，…，nhν。3.根据量子假设应用统计方法导出黑体辐射的Planck公式。§16-2光电效应一、光电效应实验的伏安特性曲线：1.U与I非线性；2.存在饱和电流IS；3.U=0，I≠0；U=-Ua，I=0。Ua为遏止电压。二、光电效应的实验规律：1.饱和电流IS正比于光强S，意味着光电子数目Ne正比于光强S，即：IS∝Ne∝S。2.遏止电压与光的频率成线性增长关系，意味着EK0=eUa=hν+B。3.存在截止频率νH（红限）：ν≤νH时，光电流I≡0。4.当ν>νH时，立即产生光电流，不需要积累时间。5．波动光学理论不能解释光电效应的上述结论。三、Einstein光子假设：1.光束是光子流，光子必以光速c运动，光子静质量为零（被吸收）。2.光强正比于光子的数目即S∝N。3.光子能量为：ε=hν，光子动量为p=hν/c=h/λ，光子质量为m=hν/c2。四、Einstein光电效应方程：Einstein提出自由电子与光子完全非弹性碰撞，一次性吸收光子；吸收的能量一部分用来克服金属逸出功A另一部分转化为电子的初始动能。∴hν=EK0+A；1.∵光电子数目Ne∝光子数目N，∴IS∝Ne∝N∝S。2.eUa=EK0=hν-A。3.当ν≤A/h时，EK0≡0。∴νH=A/h。4.电子一次性吸收一个光子能量，不需要时间来积累能量，∴ν>νH，就立即产生光电流。§16-3Compton效应一、X光的散射规律：1.X光散射的实验装置：\n2.X光散射的实验规律：(1)散射光有波长λ0的成分，还有λ>λ0的成分。(2)Δλ=λ-λ0,仅取决于散射角φ；φ↑，Δλ↑。(3)φ一定,散射物质的原子序数Z越大，原波长强度Iλ0相对越大，新波长强度Iλ相对越小。3．波动光学理论不能解释Compton效应。二、Compton公式Compton假设X光的光子与自由电子作弹性碰撞；由能量守恒：hv0+m0c2=hv+mc2；或hc[1/λ0-1/λ]+m0c2=mc2…………①；由动量守恒mv=h/λ0n0-h/λn；可得：[mv]2=[h/λ]2+[h/λ0]2-2hcosφ/λ0λ；或[mvc]2=[hc/λ]2+[hc/λ0]2-2h2c2cosφ/λ0λ……………②将①2-②可得：m2c2[1-v2/c2]=[m0c]2-2h2c2[1-cosφ]/λ0λ+2hm0c3[1/λ0-1/λ]；∵m02=m2c2[1-v2/c2]，∴可得：Δλ=λ-λ0=h/m0c[1-cosφ]…………Compton公式。λc=h/m0c=2.42×10-12m……………Compton波长。∴Δλ=λc[1-cosφ]。三、解释X射线散射规律1.光子与自由电子碰撞对应新波长谱线，与原子实碰撞对应原波长谱线。2.由Δλ=λ-λ0=h/m0c[1-cosφ]；显然φ↑，Δλ↑。3.原子序数大，束缚电子数多,光子与原子实碰撞的概率大，所以原波长强度Iλ0越大，新波长强度Iλ相对越小。\n§16-4氢原子的Bohr量子理论一、氢原子光谱规律：1.氢原子光谱线的特点：(1)光谱线是分立的；(2)光谱线是稳定的。2.Balmer公式：λ=Bn2/[n2-4]；B=346.5nm…………Balmer常数。3.Rydberg公式：1/λ=R[1/m2-1/n2]，R=1.096776×107/m…………Rydberg常数。m=1，Lyman系(紫外线)；m=2，Balmer系(可见光)；m=3，Paschen系(红外线)；……。二、经典物理的困难：1.电子绕核作圆周运动辐射电磁波，原子的能量可连续变化，辐射光谱线应当是连续的。2.辐射电磁波的过程中，原子的能量应逐渐减小为零，辐射的光波不应当是稳定的。三、Bohr的量子假设：1.定态假设：原子有一系列能量分立的稳定态E1，E2，…；处于定态的原子不辐射电磁波。2.跃迁假设：原子从高能态跃迁到低能态时发射一个光子，光子的能量满足：hν=En-Em；3.轨道量子化假设：电子绕原子核旋转的角动量满足：L=mvr=nh/2π；n=1,2,……。四、Bohr氢原子理论1.氢原子的半径：∵L=mvr=nh/2π，mv2/r=e2/4πε0r2；∴rn=n2[ε0h2/me2]=n2r1。r1=5.29×10-11m。2.氢原子的能量：mv2/r=e2/4πε0r2；动能Ek=mv2/2=e2/8πε0r；势能EP=-e2/4πε0r；原子的能量为：En=-e2/8πε0rn=-1/n2[me4/8πε02h2]=-1/n2E1；E1=ξ=13.6eV……玻尔能子。3.氢光谱规律：∵hc/λ=En-Em=ξ[1/m2-1/n2]；∴1/λ=[1/m2-1/n2]ξ/hc==R[1/m2-1/n2]； R=ξ/hc=1.096776×107/m。§16-5实物粒子的波粒二象性一、实物粒子的波动性1.deBroglie关系：德布罗意提出实物粒子都具有波动性满足：ν=E/h=mc2/h，λ=h/P=h/mv。2.deBroglie关系的实验验证：1927年Thomson（英）和Davisson（美）分别作了电子衍射实验,验证了电子的波动性。二、Heisenberg不确定关系1.位置与动量的不确定关系：ΔPx·Δx≥h，ΔPy·Δy≥h，ΔPz·Δz≥h：证明：设一光子作用一粒子，动量的不确定量为：ΔPx=2hSinθ/λ；位置的不确定量为：Δx=D，根据Rayleigh判据：Sinθ≥1.22λ/D；∴ΔPx·Δx=1.22h≥h，2.能量与时间不确定关系：ΔEΔt≥h；E=mv2/2,ΔE=vΔ(mv)=vΔp；ΔEΔt=vΔtΔp=ΔPΔx≥h。3.不确定关系的意义：(1)不确定关系是物质波粒二象性的反映，并非测量误差引起的结果。\n(2)不确定关系否定了经典确定性状态和轨道的概念，意味着量子状态和轨道有统计意义。三、物质波的波函数1.自由粒子波函数：自由粒子的动量与能量都不变，频率与波长都确定，对应平面单色波，y=Acos2π[νt-x/λ]。∵ν=E/h,λ=h/P；y=Acos2π[νt-x/λ]=Acos2π/h[Et-pxx]。∴自由粒子的波函数为：Ψ=Ψ0exp[-i/（Et-p·r）]=Ψ0exp｛-i/[Et-（pxx+pyy+pzz）]｝。2.波函数的统计意义：光的衍射图样：亮纹处光强大，光子数目多，光子在此处出现的概率大；∴P∝IS∝E2；电子衍射图样：峰处电流大，电子数目多，电子出现的概率大；∴P∝│Ψ（x，y，z,t）│2；∴粒子在｛x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz｝范围内出现的概率为：dP（x，y，z,t）∝│Ψ（x，y，z,t）│2dxdydz。表示波的强度│Ψ（x，y，z,t）│2=dP/dxdydz代表粒子的概率密度分布。3.波函数的标准化条件：（1）单值，（2）连续，（3）有限。4.波函数的归一化：∫∫∫Ψ2（x，y，z,t）dxdydz=1。(1)反映了物质不灭定律；(2)相差常数因子的波函数都等价；(3)归一化条件可确定波函数的幅值。五、实物粒子的波粒二象性1.任何实物粒子（m0≠0）都有波粒二象性，deBroglie关系反映了两者的联系。2.与实物粒子所缔合的波只能反映粒子在空间出现的的概率密度分布。(1)νλ=E/h·h/P=mc2/mv=c2/v>c，∴物质波的波函数不能表示任何信号的传播。(2)相差常数因子的两个波函数等价说明物质波的波函数不能表示任何物理量的分布。(3)波函数本身没有确切的物理意义，波函数共轭平方代表实物粒子在空间概率密度分布。§16-6Schrodinger方程及其应用一、Schrodinger方程1.自由粒子Schrodinger方程：自由粒子波函数Ψ(x,y,z,t)=Ψ0exp｛-i/[Et-(pxx+pyy+pzz)]｝；∂2Ψ/∂x2=-px2/2Ψ，∂2Ψ/∂y2=-py2/2Ψ，∂2Ψ/∂z2=-pz2/2Ψ；∂Ψ/∂t=-iE/Ψ；（=h/2π）E=Ek+E0（E0为常量与波动无关）,E=p2/2m；∴-2/2m·[∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2]Ψ=i∂Ψ/∂t，2=∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2……Laplance算符；-2/2m2Ψ=i∂Ψ/∂t……Schrodinger方程。2.势力场中粒子Schrodinger方程：E=p2/2m+U(x,y,z,t)；∴-2/2m[2+U(x,y,z,t)]Ψ=i∂Ψ/∂t，引入Homiton算符=-2/2m[2+U(x,y,z,t)]；Ψ=i∂Ψ/∂t……Schrodinger方程。3.定态Schrodinger方程：若U=U(x,y,z)与t无关，则令Ψ(x,y,z,t)=f(t)ψ(x,y,z)；代入Schrodinger方程可得：2/2m[2+U(x,y,z)]ψ(x,y,z)f(t)=iψ(x,y,z)df(t)/dt；\n2/2m2ψ(x,y,z)/ψ(x,y,z)+U(x,y,z)=idf(t)/f(t)dt=E；等式左端为x,y,z的函数，右端为t的函数；欲使等式恒定成立必须等于一个相同的常数E。∴2ψ(x,y,z)+2m/2[E-U(x,y,z)]ψ(x,y,z)=0；……定态Schrodinger方程。df(t)/f(t)=-iEdt/；f(t)=exp（-iEt/）；Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)exp[-iEt/]……定态波函数。4.Schrodinger方程的意义：(1)Schrodinger方程是量子力学中基本规律。(2)已知势能函数U(x,y,z,t)可由Schrodinger方程求出波函数，可知粒子在空间的概率分布。(3)借助力学量算符可以求得各个力学量的统计平均值，从而可以知道粒子的运动状态。二、Schrodinger方程的应用——一维无限深势阱中的粒子1.一维无限深势阱：势能函数为：U=∞，x≤0和x≥a；U=0，0≤x≤a。2.势阱中粒子的波函数：一维定态Schrodinger方程为：d2Ψ/dx2+8mπ2/h2[E-U（x）]Ψ=0；(1)x≤0：令β2=8mπ2/h2[U-E]，Schrodinger方程为：d2Ψ1/dx2-β2Ψ1=0；Ψ1=A1eβx+A2e-βx；∵U=∞，β=∞，x≤0；∴eβx=0，e-βx=∞，∵波函数必须有限，∴A2=0，Ψ1=0。(2)x≥a：令β2=8mπ2/h2[U-E]，Schrodinger方程为：d2Ψ3/dx2-β2Ψ3=0；Ψ3=B1eβx+B2e-βx；∵U=∞，β=∞，x≥0；∴e-βx=0，eβx=∞，∵波函数有限，∴B1=0，Ψ3=0。(3)0≤x≤a，U=0，d2Ψ2/dx2+8mπ2E/h2Ψ2=0；令k2=8mπ2E/h2，d2Ψ2/dx2+k2Ψ2=0；Ψi=C1sinkx+C2coskx；由波函数连续性：∵Ψ2（0）=C2=Ψ1（0）=0；∴C2=0；∵Ψ2（a）=C1sinka=Ψ3（a）=0；∴k=nπ/a；Ψ2=C1sinnπx/a；由波函数归一化∫Ψ2（x）dx=C12∫[sinnπx/a]2dx=1；得：C1=[2/a]1/2；∴Ψ2=[2/a]1/2sinnπx/a。∴Ψ=[2/a]1/2sinnπx/a，0≤x≤a，（势阱内部）；Ψ=0，x≤0和x≥a，（势阱外部）。3.能量量子化：∵k=nπ/a；∴En=n2h2/8ma2；n=1，2，…，最小能量E1=h2/8ma2≠0；4.势阱内粒子的概率密度分布：Ψ2=2/asin2nπx/a，(1)n=1,Ψ2=2/asin2πx/a；在x=a/2，出现1个峰。(2)n=2,Ψ2=2/asin22πx/a;在x=a/4，3a/4，出现2个峰。(3)n=3，Ψ2=2/asin23πx/a，在x=a/6，3a/6，5a/6，出现3个峰。\n∴n越大，出现的峰越多，粒子的位置就越难确定。当n→∞，粒子的位置完全不能确定。例题16-1 假设太阳为黑体，辐射峰所对应的波长为λm=465nm；求：（1）太阳的表面温度；（2）太阳的总辐出度；解：（1）据Wine定律：T·λm=b=2.89×10-3K·m；T=b/λm=2.89×10-3/（456×10-9）=6230K；（2）根据玻尔滋蔓定律：M（T）=σT4=5.67×10-8×（6230）4=8.54×107W/m2； 例题16-2 一个点光源辐射功率为P=100W，发射光线的波长为λ=500nm；求：（1）光子的质量m、动量p和能量ε；（2）单位时间内光源发出的光子的数目ns；（3）在距离光源r=1km处，单位时间内垂直通过单位面积的光子数目n；（4）若人的眼睛直径d=5mm，在r=1km处，单位时间内进入人眼的光子数目N；解：（1）ε=hν=hc/λ=6.63×10-34×3×108/500×10-9=4.0×10-19J=2.5eV；m=ε/c2=h/λc=6.63×10-34/（3×108×500×10-9）=4.4×10-36kg；p=mc=h/λ=6.63×10-34/500×10-9=1.34×10-27kg·m/s；（2）P=nsε=nshc/λ；  ns=P/ε=100/4.0×10-19=2.5×1020 1/s；（3）n=ns/4πr2=2.5×1020/（4π10002）=2.0×1013 s-1m-2；（4）N=nS=nπd2/4=2.0×1013×3.14×25×10-6/4=3.9×108； 例题16-3 金属钨的红限波长为λh=690nm，如果光电子的初动能为Ek0=1.5eV；求：（1）金属的逸出功；（2）遏止电压；（3）入射光的波长。解：（1）钨金属的逸出功为：W=hc/λh=6.63×10-34×（3×108）/690×10-9=2.86×10-19J；（2）遏止电压为：Ua=Ek0/e=1.5V；Ek0=1.5eV=1.5×1.6×10-19=2.4×10-19J；（3）由爱因斯坦方程，Ek0=hc/λ-A；λ=hc/（Ek0+W）；λ=6.63×10-34×（3×108）/（2.4×10-19+2.86×10-19）=5.4×10-7m=540nm； 例题16-4 一束x射线被自由电子散射，（自由电子可以看作是静止的）；在散射角为φ=450的方向上，散射的x射线的波长为λ=2.2×10-3nm；求：（1）入射的x射线的波长；（2）电子的反冲动能。解：（1）由康普顿方程，Δλ=λ-λ0=h（1-cosφ）/mec=λ-λc（1-cosφ）；λc=h/mec=2.42×10-12m=2.42×10-3nm；∴λ0=2.2×10-3-2.42×10-3×（1-cos450）=1.49×10-3nm；（2）∵hv0+m0c2=hv+mc2；∴Ek=（m-m0）c2=h（v0-v）=hc（1/λ0-1/λ）；∴Ek=hc（1/λ0-1/λ）=6.63×10-34×3×108（1/1.49-1/2.2）×10-12=4.3×10-14J。 例题16-5 一个能量为ε0=4.0×103eV的光子与一个静止的电子发生碰撞；求：电子可以获得的最大能量。解：入射光子的波长为：λ0=hc/ε0=6.63×10-34×3×108/（4.0×103×1.6×10-19）=3.11×10-10m；由康普顿方程，Δλ=λ-λ0=h（1-cosφ）/mec=λ-λc（1-cosφ）；当散射角为φ=1800时电子获得的能量最大，此时散射光的波长为：λ=λ0+λc（1-cos1800）=3.11×10-10+2×2.42×10-12=3.158×10-10m=315.8nm；散射光子的能量为：ε=hc/λ=6.63×10-34×3×108/3.158×10-10=3.94×103eV；\n电子可以获得的最大能量为：ΔE=ε0-ε=60eV；\n例题16-6 氢原子的巴耳末线系中有一条光谱线的波长为434nm，求：（1）求相应的光子的能量；（2）该光谱线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生的，求n和k是多少?（3）最高能级为En的大量氢原子可以发射几个线系，共有几条谱线?解：（1）ε=hc/λ=6.63×10-34×3×108/434×10-9=4.58×10-19J=2.86eV；（2）对于巴耳末线系k=2，∵En=E1/n2，E1=-13.6eV，ε=En–Ek=E1（1/n2-1/22）；∴1/n2=1/22+ε/E1=1/4-2.86/13.6=0.04； 1/n=0.2； n=5；（3）对于n=5能级上的大量氢原子可以发射4个线系，k=1，2，3，4；共有10条谱线：λ5~4；λ5~3，λ4~3；λ5~2，λ4~2，λ3~2；λ5~1，λ4~1，λ3~1，λ2~1； 例题16-7 已知氢原子的巴耳末线系中波长最长的一条光谱线的波长为656.28nm，试求：巴耳末系和帕邢系中波长最长的光谱线的波长。解：（1）对于巴耳末系：1/λ=R（1/22-1/n2）；当n→∞时，谱线的波长最长；∴巴耳末系中谱线的最大波长为：λmaxB=4/R=656.28nm；（2）帕邢线系：1/λ=R（1/32-1/n2）；当n→∞时，谱线的波长最长；∴λmaxP=9/R；∴λmaxP/λmaxB=9/4；λmaxP=9×656.28/4=1476.63nm； 例题16-8 已知电子的动能为Ek=10eV，位置的不确定量为Δx=5.0×10-11m；求（1）电子的波长；（2）电子速率的不确定量。解：（1）电子的动量为：P=[2mEk]1/2；λ=h/P=h/[2mEk]1/2=6.63×10-34/[2×9.1×10-31×16×10-19]1/2=3.9×10-10m；（2）Δx·ΔP≥h；Δx·mΔv≥h；Δv≥h/（mΔx）=1.46×107m/s；v=[2Ek/m]1/2=[2×10×1.6×10-19]/9.1×10-31]1/2=1.876×106m/s；∴Δv与v比较不可忽略； 例题16-9 静止质量为m0=9.1×10-31kg的电子被电势差为U=100kV的电场加速；（1）如果考虑相对论效应，试求电子的德布罗意波长；（2）如果不考虑相对论效应，试求电子的德布罗意波长；并计算两者的相对误差。解：电子获得的动能为：Ek=eU=1.6×10-19×100×103=1.6×10-14J；电子的静止能量为：E0=m0c2=9.1×10-31×（3×108）2=8.19×10-14J；电子的运动能量为：E=eU+m0c2=8.19×10-14+1.6×10-14=9.79×10-14J；（1）电子的动量为：p/=[E2-E02]1/2/c=5.36×10-14/3×108=1.79×10-22kg·m/s；λ/=h/p/=6.63×10-34×/1.79×10-22=3.71×10-12m；（2）不考虑相对论电子的动量为：p=[2m0Ek]1/2=1.7×10-22kg·m/s；λ=h/p=6.63×10-34×3×108/1.7×10-22=3.88×10-12m；Δλ=λ-λ/=0.17×10-12m；Δλ/λ=0.17/3.88=0.044=4.4‰； 例题16-10 一维无限深势阱中粒子的波函数为：Ψn=[2/a]1/2×sinnπx/a，         0≤x≤a；求：当n=1时，在x=0∽a/4的范围内发现粒子的概率。解：当n=1时，Ψ1=[2/a]1/2×sinπx/a，在x=0∽a/4的范围内发现粒子的概率为：\nP=∫0a/4Ψ21dx=（2/a）∫0a/4（sinπx/a）2dx=1/4-1/2π=0.0908=9.08‰；作业21（P296）：21-30，29-31，21-33，21-36。 \n附录：A、相互垂直的两个简谐振动的合成：设质点同时参与两个振动：x=A1cos(ωt+φ1)，    y=A2cos(ωt+φ2)；x/A1=cosωtcosφ1+sinωtsinφ1；……①     y/A2=cosωtcosφ2+sinωtsinφ2；……②①×cosφ2-②×cosφ1得③：①×sinφ2-②×ssinφ1得④：xcosφ2/A1-ycosφ1/A2=sinωt[sinφ1cosφ2-sinφ2cosφ1]=-sinωtsin(φ2-φ1)……③xsinφ2/A1-ysinφ1/A2=cosωt（sinφ2cosφ1-sinφ1cosφ2）=cosωtsin(φ2-φ1)……④③式平方+④式平方得到质点的轨迹方程为：x2/A12+y2/A22-2xycos(φ2-φ1)/A1A2=sin2(φ2-φ1)。 B、强迫振动的稳定解：微分方程：d2x/d2t+2βdx/dt+ω02x=HcosΩt；………… ①HcosΩt称为策动力。通解为：x=X+x*；X为齐次通解，x*为任意一个特解。X=A/e-βtcos（ωt+Ф）；t→∞，X=0。稳定情况下x=x*；令x=x*=acosΩt+bsinΩt；……②将②代入①得：-Ω2[acosΩt+bsinΩt]-2βΩasinΩt+2βΩbcosΩt+ω02acosΩt+ω02bsinΩt=HcosΩt；（ω02a+2βΩb-Ω2a）cosΩt+（ω02b-2βΩa-Ω2b）sinΩt=HcosΩt；∴ω02a+2βΩb-Ω2a=H，ω02b-2βΩa-Ω2b=0；解得：a=H[Ω2-ω02]/[（Ω2-ω02）2+4β2Ω2]；b=2βΩH/[（Ω2-ω02）2+4β2Ω2]；令a=H[Ω2-ω02]/[（Ω2-ω02）2+4β2Ω2]=Acosφ，b=2βΩH/[（Ω2-ω02）2+4β2Ω2]=-Asinφ；则强迫振动的稳定解为：x=acosΩt+bsinΩt=AcosΩtcosφ-AsinΩtsinφ=Acos（Ωt+φ）。其中：A=[a2+b2]1/2=H/[（Ω2-ω02）2+4β2Ω2]1/2，tgφ=-b/a=2βΩ/（Ω2-ω02）；（1）稳定强迫振动的频率取决于策动力频率，（2）振幅与频率有关。 C、驻波的能量：1.驻波方程：y1=A0cos[ωt-2πx/λ]，y2=A0cos[ωt+2πx/λ]；∴y=y1+y2=2A0cos2πx/λ·cosωt；x=kλ/2，y=0，为波节；x=（2k+1）λ/4，y=2A0，为波腹。2.能量的分布：动能密度：wk=½ρ[∂y/∂t]2=2ρω2A20cos22πx/λsin2ωt；动能密度：wp=½ρu2[∂y/∂x]2=2ρω2A20sin22πx/λcos2ωt；能量密度：w=wk+wp=2ρω2A20[cos22πx/λsin2ωt+sin22πx/λcos2ωt]；=∫wdt=ρω2A20=常量。显然：波节处（x=kλ/2）wk=0，wp=2ρω2A20cos2ωt，动能为零，势能最大；波腹处x=[2k+1]λ/4，wp=0，wk=2ρω2A20sin2ωt，势能为零，动能最大；t=0,波节处：wk=0，wp=2ρω2A20，能量最大；波腹处：wp=0，wk=0，能量为零；t=T/4,波节处：wk=0，wp=0，能量为零；波腹处：wp=0，wk=2ρω2A20，能量最大；∴在t=0~t=T/4这段时间内，波节附近的势能逐渐转换为波腹附近的动能；t=T/2；波节处：wk=0，wp=2ρω2A20，能量最大；波腹处：wp=0，wk=0，能量为零；∴在t=T/4~t=T/2这段时间内，波节附近的势能波腹处转换为波腹附近的动能；\n因此在波节与波腹之间，动能和势能相互转换。在一个完整的波段内，能量保持不变。3.能量的传播：能流密度：I1=ρω2A2sin2ω（t-x/u）ui，I2=-ρω2A2sin2ω（t+x/u）ui，I=I1+I1=ρω2A2[sin2ω（t-x/u）-sin2ω（t+x/u）]ui=平均能流密度=0。能量在波节与波腹之间以振荡的形式传播，平均而言能量不传播。\nD、机械波半波损失的证明：设两种介质的界面处为：x=0；入射波方程为：y1=A1cos[ω(t-x/u)]，反射波方程为：y/1=A/1cos[ω(t+x/u)+φ1]，透射波方程为：y2=A2cos[ω(t-x/u)+φ2]；在界面处(x=0)，由振动(速度)的连续性可知：[∂y1/∂t+∂y/1/∂t]x=0=[∂y2/∂t]x=0；可得:A1sinωt+A/1sin[ωt+φ1]=A2sin[ωt+φ2]…………①由能量守恒可知：[I1+I/1]x=0=[I2]x=0；∵I=ρω2A2sin[ω(t-x/u)+φ]u；故得：ρ1u1[A21sin2ωt-A/21sin2[ωt+φ1]=ρ2u2A22sin2[ωt+φ2]…………②②①得：ρ1u1[A1sinωt-A/1sin(ωt+φ1)]=ρ2u2A2sin[ωt+φ2]…………③将①式代入③式：ρ1u1[A1sinωt-A/1sin(ωt+φ1)]=ρ2u2A1sinωt+A/1sin[ωt+φ1]，(ρ1u1-ρ2u2)A1sinωt=(ρ1u1+ρ2u2)A/1sin[ωt+φ1]，即：；………④∵④式右端与时间无关，∴必有sinφ1=0，φ1=0或π；（1）若(ρ1u1-ρ2u2)>0，φ1=0；反射波与入射波同相位，不存在半波损失；（2）若(ρ1u1-ρ2u2)<0，φ1=π；反射波与入射波反相位，存在半波损失； E、由麦克斯韦方程导出电磁波波动方程：在没有电荷和电流的空间，麦克斯韦方程为：divE=0，rotE=-∂B/∂t=-μ∂H/∂t；divH=0，rotH=∂D/∂t。若电磁场仅在x方向上变化，E=E（x，t），H=H（x，t）；由divE=0，得∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z=0；∵∂Ey/∂y=0，∂Ez/∂z=0；∴∂Ex/∂x=0，Ex=常量；由divH=0，得∂Hx/∂x+∂Hy/∂y+∂Hz/∂z=0；∵∂Hy/∂y=0，∂Hz/∂z=0；∴∂Hx/∂x=0，Hx=常量；由rotE=-μ∂H/∂t；（∂/∂xi+∂/∂yj+∂/∂zk）×（Exi+Eyj+Ezk）=-μ（∂Hx/∂xi+∂Hy/∂yj+∂Hz/∂zk）；由rotH=-ε∂E/∂t；（∂/∂xi+∂/∂yj+∂/∂zk）×（Hxi+Hyj+Hzk）=-ε（∂Ex/∂xi+∂Ey/∂yj+∂Ez/∂zk）；得：      ∂Ey/∂x=-μ∂Hz/∂t；…………①      ∂Hz/∂x=-ε∂Ey/∂t；…………②将①式对x求导得：∂2Ey/∂x2=-μ∂2Hz/∂t∂x，将②式对t求导得：-ε∂2Ey/∂t2=∂2Hz/∂x∂t；两式相减得：∂2Ey/∂x2-εμ∂2Ey/∂t2=0；与∂2y/∂t2-u2∂2y/∂x2=0比较可知：u=[1/εμ]1/2。将①式对t求导得：-μ∂2Hz/∂t2=∂2Ey/∂x∂t，将②式对x求导得：∂2Hz/∂x2=-ε∂2Ey/∂x∂t；两式相减得：∂2Hz/∂x2-εμ∂2Hz/∂t2=0；与∂2y/∂t2-u2∂2y/∂x2=0比较可知：u=[1/εμ]1/2。于是得到一维平面简谐波波动方程为：∂2Ey/∂x2-εμ∂2Ey/∂t2=0；…………③；∂2Hz/∂x2-εμ∂2Hz/∂t2=0；…………④；其通解为：Ey=E0cosω[t-x/u]……⑤；Hz=H0cosω[t-x/u]…………⑥；其中u=[1/εμ]1/2。将⑤式对t求导得∂Ey/∂t=-ωE0cosω[t-x/u]；将⑥式对x求导得：∂Hz/∂x=ω/uH0cosω[t-x/u]；∵∂Hz/∂x=-ε∂Ey/∂t；∴εE0=H0/u=H0/√εμ）；√εE0=√μH0；\n F：由普朗克公式推导维恩公式、瑞利—金斯公式和维恩定律和斯特藩—玻尔兹曼定律：令x=hc/kTλ，MB（x，T）=2πk5T5/h4c3×x5/[ex-1]。1.当λ→0，x=hc/kTλ》1，ex-1≈ex；MB（λ，T）=2πhc2λ-5e-hc/kTλ=C1eC/Tλλ-5……维恩公式。2.当λ→∞,x=hc/kTλ《1,ex≈1+x，ex-1=x=hc/kTλ；MB(λ,T)=2πhckTλ-4……瑞利—金斯公式。3.令dMB/dx=0,得5-x=5e-x,x=hc/kTλm=4.966；Tλm=hc/4.966k=2.898×10-3mK；维恩定律.。4.E（T）=∫0∞M（λ，T）dλ=2πhc-2[kT/h]4∫0∞x3[ex-1]-1dx=6.494×2πhc-2[kT/h]4=σT4；……斯特藩—玻尔兹曼定律。σ=6.494×2πhc-2[k/h]4=5.67×10-8Wm-2K-4；∂βαθδεμγηλνξπρΔΣγσφψω∫∞√ΨΦΩ>≈<∵∴≤≥↑↓│±⊥⊙⊕∥∝≠()