大学物理习题208580 29页

2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32习题二2-1一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为的物体，另一边穿在质量为的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为，其对于则为牵连加速度，又知对绳子的相对加速度为，故对地加速度，由图(b)可知，为①又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，有②③联立①、②、③式，得讨论(1)若，则表示柱体与绳之间无相对滑动．\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32(2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时,均作自由落体运动．题2-1图2-2一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道．解:物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-2.题2-2图方向：①方向：②时由①、②式消去，得2-3质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6N，＝-7N，当＝0时，0，＝-2m·s-1，＝0．求当＝2s时质点的(1)位矢；(2)\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32速度．解：(1)于是质点在时的速度(2)2-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力(为常数)作用，=0时质点的速度为，证明(1)时刻的速度为＝；(2)由0到的时间内经过的距离为＝()［1-］；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当时速度减至的，式中m为质点的质量．答:(1)∵分离变量，得即\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32∴(2)(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有(4)当t=时，其速度为即速度减至的.2-5升降机内有两物体，质量分别为，，且＝2．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速＝g上升时，求：(1)和相对升降机的加速度．(2)在地面上观察，的加速度各为多少?解:分别以,为研究对象，其受力图如图(b)所示． (1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为，则对地加速度；因绳不可伸长，故对滑轮的加速度亦为，又在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题2-5图联立，解得方向向下(2)对地加速度为方向向上在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即∴，左偏上．2-6一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．解:依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32，则动量的增量为由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．2-7一质量为的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解:由题知，小球落地时间为．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为，小球上跳速度的大小亦为．设向上为轴正向，则动量的增量方向竖直向上，大小碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．2-8作用在质量为10kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回答这两个问题．解:(1)若物体原来静止，则\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32,沿轴正向，若物体原来具有初速，则于是,同理，,这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即亦即解得，(舍去)2-9一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为求质点的动量及＝0到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．解:质点的动量为将和分别代入上式，得\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32,,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为2-10一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解:(1)由题意，子弹到枪口时，有,得(2)子弹所受的冲量将代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-11一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32+,-证明:设一块为，则另一块为，及于是得①又设的速度为,的速度为，则有②③联立①、③解得④将④代入②，并整理得于是有将其代入④式，有又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取证毕．2-12设．(1)当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到处时需0.6s\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．解:(1)由题知，为恒力，∴(2)(3)由动能定理，2-13以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．解:以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为题2-13图第一锤外力的功为①式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，．设第二锤外力的功为，则同理，有\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32②由题意，有③即所以，于是钉子第二次能进入的深度为2-14设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为,试求质点所受保守力的大小和方向．解:方向与位矢的方向相反，即指向力心．2-15一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端一重物，的质量为，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．解:弹簧及重物受力如题2-15图所示平衡时，有\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题2-15图又所以静止时两弹簧伸长量之比为弹性势能之比为2-16(1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少?解:(1)设在距月球中心为处，由万有引力定律，有经整理，得=\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32则点处至月球表面的距离为(2)质量为的物体在点的引力势能为2-17由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为和的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为，自然长度等于水平距离，与桌面间的摩擦系数为，最初静止于点，＝＝，绳已拉直，现令滑块落下,求它下落到处时的速率．解:取点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有式中为弹簧在点时比原长的伸长量，则联立上述两式，得\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题2-17图2-18如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度＝3m·s-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．解:取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 式中，，再代入有关数据，解得题2-18图再次运用功能原理，求木块弹回的高度\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32代入有关数据，得,则木块弹回高度题2-19图2-19质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．解:从上下滑的过程中，机械能守恒，以，，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有又下滑过程，动量守恒，以,为系统则在脱离瞬间，水平方向有联立，以上两式，得2-20一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．证:两小球碰撞过程中，机械能守恒，有\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32即①题2-20图(a)题2-20图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有亦即②由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以为斜边，故知与是互相垂直的．2-21一质量为的质点位于()处，速度为,质点受到一个沿负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．解:由题知，质点的位矢为作用在质点上的力为所以，质点对原点的角动量为作用在质点上的力的力矩为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 2-22哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)解:哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 ∴2-23物体质量为3kg，=0时位于,，如一恒力作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化．解:(1)(2)解(一)即,即,∴\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32∴解(二)∵∴题2-24图2-24平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少?解:在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即①挂上后，则有②重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．即\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32③联立①、②、③得2-25飞轮的质量＝60kg，半径＝0.25m，绕其水平中心轴转动，转速为900rev·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：(1)设＝100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?解:(1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中、是正压力，、是摩擦力，和是杆在点转轴处所受支承力，是轮的重力，是轮在轴处所受支承力．题2-25图（a）\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题2-25图(b)杆处于静止状态，所以对点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有对飞轮，按转动定律有，式中负号表示与角速度方向相反．∵∴又∵∴①以等代入上式，得由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为这段时间内飞轮的角位移为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32可知在这段时间里，飞轮转了转．(2)，要求飞轮转速在内减少一半，可知用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为2-26固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设＝0.20m,＝0.10m，＝4kg，＝10kg，＝＝2kg，且开始时，离地均为＝2m．求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力．解:设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)． \n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32题2-26(a)图题2-26(b)图(1),和柱体的运动方程如下：①②③式中而由上式求得(2)由①式由②式2-27计算题2-27\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设＝50kg，＝200kg,M＝15kg,＝0.1m解:分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对,运用牛顿定律，有①②对滑轮运用转动定律，有③又，④联立以上4个方程，得题2-27(a)图题2-27(b)图题2-28图2-28如题2-28图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过角时的角速度.解:(1)由转动定律，有∴(2)由机械能守恒定律，有∴题2-29图2-29如题2-29图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速的值；(2)相撞时小球受到多大的冲量?解:(1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：①②上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：③由③式得由①式④由②式⑤所以求得(2)相碰时小球受到的冲量为\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32由①式求得负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．题2-30图2-30一个质量为M、半径为并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．(1)问它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．解:(1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度设碎片上升高度时的速度为，则有令，可求出上升最大高度为(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的角动量为，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即式中为破盘的角速度．于是\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32 得(角速度不变)圆盘余下部分的角动量为转动动能为题2-31图2-31一质量为、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度射入轮缘(如题2-31图所示方向)．(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用,和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．解:(1)射入的过程对轴的角动量守恒∴(2)\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、322-32弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0N·m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大?假设开始时物体静止而弹簧无伸长．解:以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有又故有 题2-32图题2-33图2-33空心圆环可绕竖直轴自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为，环半径为，初始角速度为．质量为的小球，原来静置于\n2、3、7、9、12、13、15、18、24、27、28、29、30、32点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到点与点时，小球相对于环的速率各为多少?解:(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至点时，有①该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，则有②联立①、②两式，得(2)当小球滑至点时，∵∴故由机械能守恒，有∴请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．