河南大学物理答案 13页

第6章机械振动思考题6-1判断下列运动哪些是简谐振动．(1)小球在地面上的上下跳动(设小球与地面间是完全弹性碰撞)；(2)小球在光滑的球形凹槽内的小幅度摆动(凹槽半径远大于小球半径)；(3)将细线上端固定，下端悬挂一小球，令小球在水平面内做匀速圆周运动；(4)小朋友在荡秋千时的运动．答：(1)不是;(2)是；(3)不是；(4)不是6-2将弹簧振子的弹簧截去一部分，其振动周期如何变化？任何一个实际的弹簧总是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将是变大还是变小？答：周期减小；周期增大6-3振动的初相位φ有没有绝对的意义？答：没有6-4如果已知振幅A和某时刻的位移x，能否确定该时刻振动的相位？答：不能，因为某一余弦函数的值所对应的角度不是唯一的．6-5弹簧振子的振幅增大一倍，则振动的最大速度、最大加速度和强度怎样变化？答：振动的最大速度增大一倍；最大加速度增大一倍；强度增大为原来的四倍．6-6振幅为A的弹簧振子，当位移是振幅的一半时，它的动能和势能各占总能量的多少？当动能和势能相等时，振子的位移为多少？答：当位移是振幅的一半时，动能为总能量的，势能为总能量的．当动能和势能相等时，位移6-７简谐振动的频率为ν，它的动能变化的频率是多少？答：2ν．6-8*如果将单摆拉开一小角度φ后放手任其自由摆动．若以放手时为记时起点，试问：(1)此φ角是否为摆动的初相位？(2)单摆绕悬点转动的角速度是否为振动的角频率？(3)我们说单摆做简谐振动是指单摆的什么在做简谐振动？答：（１）不是；（２）不是；（３）单摆的摆角13\n6-9*两个摆长不同的单摆A、B各自做简谐振动，若lA=2lB，将两单摆向右拉开一个相同的小角度θ，然后释放任其自由摆动．问：(1)这两个单摆在刚释放时相位是否相同？(2)当单摆B达到平衡位置并向左运动时，单摆A大致在什么位置和向什么方向运动？A比B相位是超前还是落后？超前或落后多少？答：(1)相同；(2)大致在平衡位置稍向右偏的位置，且向平衡位置摆动，A比B相位落后，落后6-10我们知道，简谐振动是周期性振动，那么阻尼振动和受迫振动还是周期性振动吗？答：阻尼振动不是周期性振动，如果受迫振动的驱动力具有周期性那么它还是周期性振动，否则不是周期性运动．6-11*弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐振动有什么不同？答：受力不同，弹簧振子仅受弹簧的线性回复力的作用，而受迫振动除了弹簧的线性回复力外，还有简谐策动力的作用，并且振动的周期也不相同，无阻尼振动的周期为系统的固有周期，而受迫振动的振动周期为策动力的周期．6-12*“受迫振动达到稳定状态时，其运动方程可以写为：，其中A和φ由初始条件决定，ω是驱动力的频率．”这句话对吗？答：“A和φ由初始条件决定”这句话不对，因为受迫振动的振幅A和初相φ并不取决于振子的初始状态，而是与振动系统自身的性质有关，而且也与驱动力的频率和幅值有关．“ω是策动力的频率”是对的．6-13两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐振动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐振动的相位差为多少?答：　6-14*非线性系统是否具有周期性？答：不一定．习题6-1一质点按如下规律沿x轴做简谐振动：（SI制）,求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．13\n解:　由该质点的运动学方程可以看出:振幅,周期,初相,速度的最大值为:,加速度最大值为:6-4一弹簧振子做简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动学方程用余弦函数表示．若t=0时，振子在下列位置：（１）振子在负的最大位移处；（２）振子在平衡位置且向正方向运动；（３）振子在位移为A/2处，且向正方向运动．求振子处在这些位置时的振动初相位．解：　由题意可设该简谐振动的运动学方程为：（１）若t=0时，振子在负的最大位移处，那么有：，所以振动初相位为：．（２）若t=0时，振子在平衡位置且向正方向运动，那么有：，所以．（３）若t=0时，振子在位移为A/2处，且向正方向运动，那么有：，所以初相位．6-6已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图6-25所示．求其振动方程．13\n图6-25解：设该简谐振动的运动学方程为：则速度方程为：　　　　　　　　　　由图可以看出，速度的幅值：联立以上三式解得：．所以振动方程为：6-7某振动质点的x-t曲线如图6-26所示，试求：（１）运动学方程；（２）点P对应的相位；（３）到达点P相应位置所需时间．图6-26解：（１）设其运动学方程为：所以速度方程为：　　　　　　　　由图6-26可以看出：，，且向x轴正方向运动，所以有：　　　　　　　　　　　　解得：当，且向x轴负方向运动，所以有：　　　　　　　　　　　13\n解得：．所以运动学方程为：　　　　（SI制）（２）点P处：　　　　　　，即从而解得点P对应的相位．（３）由（２）的结论可得，因此到达点P相应位置所需时间为．6-8一质点做简谐振动的圆频率为ω，振幅为A．当t=0时质点位于处x=A/2处，且向x轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图．解：　设该质点的简谐振动方程为：则速度方程为：　　　　　　　　当t=0时，，，所以解得．其旋转矢量图为下图所示．题6-8图6-9如图6-27所示，试证明图中的系统是做简谐振动，并求出它们的振动周期（不计摩擦和弹簧的质量）．13\n　　　　　a)　　　　　　　　　　　　b)图6-27解：　a)　选平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向．设小物体质量为m，平衡时弹簧伸长l，则弹簧的劲度系数为：小球在x处，根据牛顿第二定律得：将l代入并整理得：式中，．因此物体在做简谐振动，振动周期为．b)　若设沿斜面向下为x轴正方向，平衡时，弹簧伸长l，则平衡时有：　解得：　　　　　　　　　　　　　当物体沿斜面振动时，弹簧又伸长x，根据牛顿第二定律得：　　将l代入并化简得：，式中因此该物体的振动是简谐振动，振动周期为：．13\n6-11一弹簧振子沿x轴做简谐振动，振子的质量m=2.5kg，弹簧的劲度系数k=250N/m，当振子处于平衡位置右方向且向x轴的负方向运动时开始计时（t=0），此时的动能Ek=0.2J,势能Ep=0.6J,试求：(1)t=0时，振子的位移和速度；(2)系统的振动方程．解:　(1)设系统的简谐振动方程为：因t=0时，振子的动能，，所以解得振子在t=0时的位移为：，（２）．当t=0时有：　　　　　　　　　　联立解得：，．所以该系统的振动方程为：　　　　（SI制）6-12一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50．（１）当此板沿水平方向做频率为2.0Hz的简谐振动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？（２）若令此板改做竖直方向的简谐振动，振幅为5.0cm，要使物体一直保持与板面接触，则振动的最大频率是多少？解：（１）物体不沿板滑动，要求（２）物体总与板保持接触，要求13\n6-13试证明：如果假设氢原子中的电子云是均匀分布在半径为的球体内，并且质子处于该球体的中心，那么质子稍微偏离中心后引起的微小振动是简谐振动．并求其频率公式．将已知数据代入频率的值并和氢光谱的最大频率相比较．证明：　当质子稍微偏离电子云球中心一段距离r时，该处电场为：质子所受的力为：　　　　　　　　此式即说明质子在电子云中心附近做简谐振动，其频率为：此处质子的质量需用约化质量，即：由此得所求频率为：6-14　一质量为m，长度为l的均匀细杆，上端挂在无摩擦的水平固定轴O上，下端用一轻质弹簧连在墙上，如图6-29所示．弹簧的劲度系数为k，当杆竖直静止时，弹簧处于水平原长状态，求杆做微小振动的周期．图6-29解：　设任意时刻杆与竖直方向的交角为θ，以顺时针方向为正，杆在重力和弹簧回复力作用下绕轴摆动，如图6-30所示，根据刚体转动定律，有：13\n　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）杆做微小摆动时，，，杆对O的转动惯量,代入式（１）并化简得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）式（２）为简谐振动方程，杆做简谐振动的圆频率可由式（２）得出为：杆做微小振动的周期为：6-15一质量为5.00kg的物体悬挂在弹簧下端，让其在竖直方向自由振动．在无阻尼的情况下，其振动周期为，在阻尼振动情况下，其振动周期为．求阻力系数．解：　在无阻尼时，系统的频率就是系统的固有频率，有：阻尼情况下，阻尼振动的周期：　　所以解得阻尼系数．所以阻力系数为.6-16一台大座钟的摆长为0.994m，摆锤质量为1.2kg．　（１）要摆自由摆动时，在15.0min内振幅减小一半，求此摆的阻尼系数．（２）要维持此摆的振幅为80不变，需要以多大功率向摆输入机械能．解：（１），（２）13\n6-17两个同频率简谐振动１和２的振动曲线分别如图6-30实线和虚线所示，求：（１）两简谐振动的运动方程；（２）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（３）若两简谐振动叠加，求合振动的运动学方程．图6-30解：（１）若设这两个简谐振动的方程分别为：．由图6-28可以看出，　　解得：．　所以这两个简谐振动的方程分别为：，（２）两简谐振动的旋转矢量如下图所示．可以看出，振动比振动相位超前．（３）若这两个简谐振动合成，那么有：．13\n所以合振动方程为：　　　　题6-18图6-18已知两个同方向同频率的简谐振动的运动学方程分别为：(SI制)求：（１）合振动的振幅及初相位；（２）若有另一个同方向同频率的简谐振动(SI制)，则为多少时，的振幅最大？为多少时，的振幅最小？解：　（１）由同方向同频率简谐振动的合成公式可知：合振动振幅为初相位为：所以合振动方程为：(SI制)（１）当与另一个同频率同振动方向的简谐振动合成时，若使合振动振幅最大，应有：，所以：．若使合振动振幅最小，应有：，所以：6-19有两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差为π/6，第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅和两振动的相位差．13\n解：做旋转矢量图，如下图所示．由余弦定理可得第二个振动的振幅为：分析的量值，满足勾股定理，故两振动的相位差为π/2．6-20已知某音叉与频率为511Hz的音叉产生的拍频为每秒一次，而与另一频率为512Hz的音叉产生的拍频为每秒两次，求此音叉的频率．解：设此音叉的频率为，由拍频公式得：，解得．6-21　将频率为348Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz．若在待测频率音叉的一端加上一个很小的物体，则拍频将减少，求待测音叉的固有频率．解：待测频率的可能值为：因为系统的固有频率，当质量增加时，频率减小．根据题意，音叉质量增加时拍频减小，即变小．在满足和变小的情况下，式中只能取正号，因此待测频率为：　　　　　　　　　　　6-22*　一质点同时参与相互垂直的两个简谐振动：，试证明其轨迹为一斜椭圆，画出图形,并指出该质点的绕行是右旋（即顺时针）还是左旋（即逆时针）？解：　．由垂直振动的合成轨迹标准方程13\n，将相关数据代入并化简的所求轨迹方程为：．可见，这是一斜椭圆方程．由于，所以合振动是左旋的（即逆时针）．轨迹如下图所示．题6-23图6-23*如图6-31所示，在相互垂直的两个方向振动合成的利萨如图形：已知水平方向的振动的圆频率为ω，求竖直方向的振动的角频率．图6-31解：取x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．（1）由图a）可以看出，则（2）由图b）可以看出，，则（3）由图c）可以看出，，则13