大学物理(一)答案 51页

大学物理（一）练习册参考解答第1章质点运动学一、选择题1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(B)，6(D)，7(D)，8(E)，9(B)，10(B)，二、填空题(1).(n=0,1,…),(2).8m，10m.(3).23m/s.(4).16Rt2(5).4t3-3t2(rad/s)，12t2-6t(m/s2).(6).，2ct，c2t4/R.(7).2.24m/s2，104o(8).m/s，0，圆.(9).(10).三、计算题1.有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x=4.5t2–2t3(SI)．试求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度；(3)第2秒内的路程．解：(1)m/s(2)v=dx/dt=9t-6t2,v(2)=-6m/s.(3)S=|x(1.5)-x(1)|+|x(2)-x(1.5)|=2.25m.2.一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为其中b、c是大于零的常量，求从开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．解：根据题意：at=an51\n即解得3.一质点沿x轴运动，其加速度为a=4t(SI)，已知t=0时，质点位于x0=10m处，初速度v0=0．试求其位置和时间的关系式．解：dv/dtt，dvtdtv=2t2vx/dtt2xt3/3+x0(SI)4.一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标.假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．解：又ky∴-kvdv/dy已知y0，v0则5.一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为180km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：vFE=60km/h正西方向vAF=180km/h方向未知vAE大小未知，正北方向由相对速度关系有：、、构成直角三角形，可得（飞机应取向北偏东19.4°的航向）．51\n四研讨题1.在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？参考解答：(1)、(3)、(4)是不可能的．(1)曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；(3)曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；(4)曲线运动法向加速度不可能为零.2.设质点的运动方程为，在计算质点的速度和加速度时：第一种方法是，先求出，然后根据及而求得结果；第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即和.你认为两种方法中哪种方法正确？参考解答：第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，所以　，.第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性（为r方向的单位矢量），.问题的关键：在第二种方法中，如果在第一种方法的讨论中，那么=则也成立！注意：若则必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据质点的运动方程为，，质点作平面曲线运动，如图所示，大小不变，但方向改变！所以即第一种方法是错误的！51\n只有在直线运动中，（显然是大小与方向均不随时间改变的常矢量）速度的大小才等于.对加速度的大小也可以用同样方法加以讨论.第2章质点力学的运动定律守恒定律一、选择题1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(C)，7(B)，8(C)，9(C)，10(B)，11(C)，12(D)，13(B)二、填空题(1).12rad/s.(2).290J(3).3J(4).18N·s(5).(SI)(6).16N·s，176J(7).16N·s，176J(8).，(9).(10).mv，指向正西南或南偏西45°三、计算题1.已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即，k是比例常数．设质点在x=A时的速度为零，求质点在x=A/4处的速度的大小．解：根据牛顿第二定律∴∴2.飞机降落时的着地速度大小v=90km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数m=0.10，迎面空气阻力为Cxv2，升力为Cyv2(v是飞机在跑道上的滑行速度，Cx和Cy为某两常量)．已知飞机的升阻比K=Cy/Cx=5，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离．(设飞机刚着地时对地面无压力)解：以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为x轴正向．设飞机质量为m51\n，着地后地面对飞机的支持力为N．在竖直方向上∴飞机受到地面的摩擦力在水平方向上即x=0时，．x=S（滑行距离）时，v＝0解得∵飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即∴,代入S表达式中并化简，然后代入数据m3.若质量为m1以速率v10运动的物体A与质量为m2的静止物体B发生对心完全弹性碰撞，如何选择m2的大小，使得m2在碰撞后具有最大的动能？又此最大动能是多少？解：在对心完全弹性碰撞中，若v20=0，则有物体B的动能由得又故时，m2的动能有最大值．此最大值是．51\n4.一辆水平运动的装煤车，以速率v0从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为m0的煤卸入煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求：(1)牵引煤车的力的大小；(2)牵引煤车所需功率的大小；(3)牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？解：(1)以煤车和Dt时间内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力F的作用，由动量定理：求出：(2)(3)单位时间内煤获得的动能：单位时间内牵引煤车提供的能量为50％即有50％的能量转变为煤的动能，其余部分用于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗．5.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为m．令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为摩擦力的功==(2)以链条为对象，应用质点的动能定理∑W＝其中∑W=WP＋Wf，v0=0WP==由上问知所以得51\n6.小球A，自地球的北极点以速度在质量为M、半径为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系中轴OO＇与平行，小球A的运动轨道与轴OO＇相交于距O为3R的C点．不考虑空气阻力，求小球A在C点的速度与之间的夹角q．解：由机械能守恒：①根据小球绕O角动量守恒：②①、②式联立可解出．7.质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动．起初，当A离B很远(r=∞)时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v．，A、B系统机械能守恒(A在很远处时，引力势能为零)解得∴8.设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与粒子间距离r的函数关系为，k为正值常量，试求这两个粒子相距为r时的势能．（设相互作用力为零的地方势能为零．）解：两个粒子的相互作用力已知f＝0即r＝∞处为势能零点,则势能四研讨题1.汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？参考解答：51\n汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。2.冲量的方向是否与冲力的方向相同？参考解答：冲量是力对时间的积累，由动量定理：所以，冲量的方向和动量增量的方向相同，不一定与冲力的方向相同。3.一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。参考解答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能E0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为v，动能为mv2/2，动量的大小为mv，系统的机械能为E=mv2/2-mgh=E0=0.4.在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．参考解答：不一定满足守恒条件．例如在水平面上以速度匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球．以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球＋地系统机械能守恒．若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为，则小球对地速度，与绳张力不垂直，故小球摆动过程中绳张力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件．51\n但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的．5.在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？参考解答：在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据Fi=mw2r，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）第2章刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A，)4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)二、填空题(1).v≈15.2m/s，n2＝500rev/min(2).62.51.67ｓ(3).g/lg/(2l)(4).5.0N·m(5).4.0rad/s(6).0.25kg·m2(7).(8).参考解：M＝＝(9).(10).2E0三、计算题1.一砂轮直径为1m质量为50kg，以900rev/min的转速转动．撤去动力后，一工件以200N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8s内停止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半径).51\n解：R=0.5m，w0=900rev/min=30prad/s，根据转动定律M=-Jb①这里M=-mNR②m为摩擦系数，N为正压力，．③设在时刻t砂轮开始停转，则有：从而得b＝-w0/t④将②、③、④式代入①式，得∴Rw0/(2Nt)≈0.52.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mgT＝ma①Tr＝Jb②由运动学关系有：a=rb③由①、②、③式解得：J＝m(g－a)r2/a④又根据已知条件v0＝0∴S＝，a＝2S/t2⑤将⑤式代入④式得：J＝mr2(－1)3.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度．解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图.m1g－T1＝m1aT2－m2g＝m2a设滑轮的角加速度为b，则(T1－T2)r＝Jb且有a＝rb由以上四式消去T1，T2得：开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．51\n4.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J＝．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F＝10N，m＝8.0kg，R＝0.050m．求：(1)滑轮的角加速度；(2)物体A与滑轮之间的绳中的张力；(3)物体B与滑轮之间的绳中的张力．解：各物体受力情况如图．F－T＝ma＝ma()R＝a＝Rb由上述方程组解得：b＝2F/(5mR)＝10rad·s-2T＝3F/5＝6.0N＝2F/5＝4.0N5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m=1.5kg，长度为l=1.0m，对轴的转动惯量为J=．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m¢=0.020kg，速率为v=400m·s-1．试问：(1)棒开始和子弹一起转动时角速度w有多大？(2)若棒转动时受到大小为Mr=4.0N·m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度q？解：(1)角动量守恒：∴＝15.4rad·s-1(2)由转动定律，得：－Mr＝(＋)b0－w2＝2bq∴＝15.4rad51\n6.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为J＝10kg·m2和J＝20kg·m2．开始时，A轮转速为600rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求：(1)两轮啮合后的转速n；(2)两轮各自所受的冲量矩．解：(1)选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒JAwA＋JBwB=(JA＋JB)w，又wB＝0得：w»JAwA/(JA＋JB)=20.9rad/s转速200rev/min(2)A轮受的冲量矩=JA(JA＋JB)=-4.19×102N·m·s负号表示与方向相反．B轮受的冲量矩=JB(w-0)=4.19×102N·m·s方向与相同．7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度w．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为式中r为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为因碰撞前后角动量守恒，所以∴w=6v0/(7L)8.如图所示，一长为l质量为M的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O无摩擦地转动．一质量为m的泥团在垂直于轴O的图面内以水平速度v0打在杆的中点并粘住，求杆摆起的最大角度．解：选泥团和杆为系统，在打击过程中，系统所受外力对O轴的合力矩为零，对定轴O的角动量守恒，设刚打击后两者一起摆起的角速度为w，则有51\n①其中②在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒．当杆摆到最大角度q时有③联立解以上三式可得四研讨题1.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。参考解答：不能．因为刚体的转动惯量与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零．2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力Fr的方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度w逐渐变小．当质心平动的速度vc=0而角速度w¹0时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度w0的大小应满足一定的关系．解题：由质心运动定理:51\n因,得(1)由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律,得(2)由(1),(2)两式可得,令可得这说明当vc=0和w0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．第3章狭义相对论一、选择题1(B)，2(C)，3(C)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C)二、填空题(1).c(2).4.33×10-8s(3).Dx/v,(4).c(5).0.99c(6).0.99c(7).8.89×10-8s(8).(9).5.8×10-13,8.04×10-2(10).,三、计算题1.在惯性系K中，有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于Ｋ系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m．求在K＇系中测得这两个事件的时间间隔．解：根据洛仑兹变换公式:，可得，在K系，两事件同时发生，t1=t2，则，∴51\n解得．在K′系上述两事件不同时发生，设分别发生于和时刻，则，由此得=5.77×10－6s2.在K惯性系中，相距Dx=5×106m的两个地方发生两事件，时间间隔Dt=10-2s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离Dx＇是多少？解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换，对于两事件，有由题意：可得及由上两式可得=4×106m3.一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，(1)隧道的尺寸如何？(2)设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？解：(1)从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。隧道长度为(2)从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为这也即列车全部通过隧道的时间.4.在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生Dt=2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生Dt¢=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？解：令S＇系与S系的相对速度为v，有51\n，则(=2.24×108m·s-1)那么，在S＇系中测得两事件之间距离为：=6.72×108m5.一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？解：两者相撞的时间间隔Δt=5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v=0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为=4(s)．6.设有一个静止质量为m0的质点，以接近光速的速率v与一质量为M0的静止质点发生碰撞结合成一个复合质点．求复合质点的速率vf．解：设结合后复合质点的质量为M′，根据动量守恒和能量守恒定律可得由上面二个方程解得四研讨题1.相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？参考解答：牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换比较上述两个变换式可知，在低速时，即时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。2.同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？51\n参考解答：同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。这个结论与光速不变原理紧密相联。设相对运动的惯性系是和，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和重合时设为。由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为如果在系中两事件同时发生，即，那么在系中两事件的时间间隔与两事件在系中发生的空间间隔有关。当时，。即两事件在系中不同时发生。如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的则，就不再有同时的相对性。3.在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。参考解答：对的。如果系和系是相对于运动的两个惯性系。设在系中同一地点、同一时刻发生了两个事件，即.将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中则可得，说明在系中也是同时发生的。这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。4.静长L0的火车以匀速v行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的观测者，相对于火车静止.甲观测到的长度0，∴(3)(SI)5.如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为．恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F×0.05=0.5J．当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5J，即：J，∴A=0.204m．A即振幅．(rad/s)2w=2rad/s．按题目所述时刻计时，初相为f=p．∴物体运动方程为(SI)．四研讨题1.简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相？参考解答：51\n对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，值就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，则等于。由于是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？2.任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。若振子的质量为M，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为k，可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为例：劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解弹簧振子的振动周期(ml各点的干涉情况．取Q点如图．则从S1、S2分别传播的两波在Q点的相位差为=5p∴x>l各点为干涉静止点．(3)最后考虑0≤x≤11m范围内各点的干涉情况．取P′点如图．从S1、S2分别传播来的两波在P′点的相位差为由干涉静止的条件可得(k=0，±1，±2，…)∴x=5-2k(-3≤k≤2)即x=1，3，5，7，9，11m为干涉静止点．综上分析．干涉静止点的坐标是x=1，3，5，7，9，11m及x>11m各点．7.如图7所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面．波由P点反射，=3l/4，=l6．在t=0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为n．）解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为51\n则反射波的表达式是合成波表达式（驻波）为在t=0时，x=0处的质点y0=0，，故得因此，D点处的合成振动方程是8．一列横波在绳索上传播，其表达式为现有另一列波（振幅也是0.05m）与上述已知横波在绳索上形成驻波，设这一横波在X=0处与已知横波同位相，写出该波的方程。写出绳索上的驻波方程；求出各波节的位置坐标表达式；并写出离原点最近的4个波节的坐标数值。解：(1)由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x轴的负方向．又知x=0处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为(2)驻波表达式∴(SI)波节位置由下式求出．k=0，±1，±2，…∴x=2k+1k=0，±1，±2，…离原点最近的四个波节的坐标是x=1m、-1m、3m、-3m.9．一声源S的振动频率为nS=1000Hz，相对于空气以vS=30m/s的速度向右运动，如图．在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以v=60m/s的速度向左运动．假设声波在空气中的传播速度为u=330m/s，求：(1)在声源S右方空气中S发射的声波的波长；(2)每秒钟到达反射面的波的数目；(3)反射波的波长．解：(1)设一接收器R静止于空气中，声源S以vS速率接近接收器R，则由多普勒效应公式可知，R接收到的声波频率Hz则330/1100=0.30m(2)每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到的波的频率．由多普勒效应公式有：51\nHz(3)接收器接收到反射面的反射波的频率反射波的波长m四研讨题1.波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树叶沿水波前进的方向移动。这是为什么？参考解答：如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运动（不是上下的简谐运动）。这是因为，水波传过时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原来低了，波峰处增加的水量必定是由临近的波谷处移来的。这样，水面上的质元就有了沿水波传播方向的纵向振动，纵向振动和横向振动的合成就使得水面质元做圆周运动。正是由于水面质元的圆周运动（或说是由于质元有沿水波传播方向的纵向振动），使得水面上的树叶等漂浮物沿水波前进的方向移动。2.如果地震发生时，你站在地面上，先感到哪种摇晃？参考解答：地震波在地球内部的传播有纵波（P波）和横波（S波）两种形式，并且纵波（P波）的传播速度比横波（S波）的传播速度快（前者的速度在地壳内是5km/s，在地幔深处是14km/s，而后者的速度是3km/s～8km/s）。当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先上下颠（纵波引起的感觉）然后横向摇（横波引起的感觉），这中间的时间差在日本被称为“自救时间”.3.为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来？参考解答：从传播速度来看，声波在铁轨中的传播速度远远大于声波在空气中的传播速度。低碳钢棒中纵波的速度为5200m/s，而空气中纵波的速度为331m/s.从声音的强度来看，因为波的强度为其中，铁轨的密度ρ及u都分别远远大于空气的ρ及u，在ω，A分别相同的情况下，铁轨中传播的声波的强度也远比空气中声波的强度大。综合以上两个因素可知，把耳朵贴靠在铁轨上就容易判断出远处是否有火车驶来。51\n4.沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相差的公式是：请分析相位干涉仪如何利用这一特征，测定来波方向.参考解答：相位干涉仪就是利用这一特征，测定来波的方向。在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向,称为无源测向.相位干涉测向仪是一种常用的测向系统,其基本结构与工作原理如图所示.两个天线单元A和B相隔一定距离d,水平放置，当雷达电磁波平行传输过来，到达A天线比到达B天线多经过的路程为：式中θ是来波方向与天线轴线的夹角,也就是方位角.则两天线信号的相位差为：式中λ是雷达信号的波长.相位干涉仪一般采用超外差接收机,首先确定信号波长λ,然后根据测出的A、B天线信号的相位差Δφ,就可以利用上式计算出方位角θ.5.利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,请查阅资料说明干涉消声器控制噪声的工作原理.参考解答：利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,其原理如图所示.波长为λ的声波沿管道向右传播,在A处分成两束相干波,它们分别通过r1和r2的路程后再在B处相遇,若Δr=r2-r1恰好等于声波半波长λ/2的奇数倍,则干涉相消,从而达到控制噪声的目的.为了使这类消声器在低频范围内具有较宽的消声频率,一般将多个这样的消声单元串联起来,并且使每一个单元的Δr不等,就可以对不同波长的噪声加以控制.第6章光的干涉一、选择题1(C)，2(A)，3(A)，4(B)，5(A)，6(B)，7(B)，8(C)，9(D)，10(D)二、填空题(1).使两缝间距变小；使屏与双缝之间的距离变大.(2).(3).0.75(4).，(5).(6).113(7).1.2(8).2d/l51\n(9).2(n–1)h(10).三、计算题1.一双缝，缝距mm，两缝宽度都是mm，用波长为的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距m的透镜。求：(1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距；(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。解：双缝干涉条纹：(1)第k级亮纹条件：dsinq=kl第k级亮条纹位置：xk=ftgq≈fsinq≈kfl/d相邻两亮纹的间距：Dx=xk+1－xk=(k＋1)fl/d－kfl/d=fl/d=2.4×10-3m=2.4mm(2)单缝衍射第一暗纹：asinq1=l单缝衍射中央亮纹半宽度：Dx0=ftgq1≈fsinq1≈fl/a＝12mmDx0/Dx=5∴双缝干涉第±5极主级大缺级．∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N=9分别为k=0，±1，±2，±3，±4级亮纹或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．2.用白光垂直照射置于空气中的厚度为0.50μm的玻璃片．玻璃片的折射率为1.50，在可见光范围内(4000～7600)哪些波长的反射光有最大限度的增强?解：加强，2ne+l=kl，nmk=1，l1=3000nm，k=2，l2=1000nm，k=3，l3=600nm，k=4，l4=428.6nm，k=5，l5=333.3nm．∴在可见光范围内，干涉加强的光的波长是l＝600nm和l＝428.6nm．3.白光垂直照射到空气中一厚度为3800的肥皂膜上，肥皂膜的折射率，在可见光的范围内(4000～7600)，哪些波长的光在反射中增强?解：若反射加强，则光程差应满足条件：在可见光范围内，有51\n4.用波长为l＝600nm(1nm＝10-9m)的光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈形膜，劈尖角q＝2×10-4rad．改变劈尖角，相邻两明条纹间距缩小了Dl＝1.0mm，求劈尖角的改变量Dq．解：原间距l1＝l/2q＝1.5mm改变后，l2＝l1－Dl＝0.5mmq改变后，q2＝l/2l2＝6×10-4rad改变量Dq＝q2－q＝4.0×10-4rad5.用波长nm()的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈尖上。劈尖角rad，如果劈尖内充满折射率为的液体。求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。解：设第五个明纹处膜厚为e，则有2ne＋l/2＝5l设该处至劈棱的距离为l，则有近似关系e＝lq，由上两式得2nlq＝9l/2，l＝9l/4nq充入液体前第五个明纹位置l1＝9l/4q充入液体后第五个明纹位置l2＝9l/4nq充入液体前后第五个明纹移动的距离Dl＝l1–l2＝9l(1-1/n)/4q＝1.61mm6.如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小缝隙，现用波长为的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。解：设某暗环半径为r，由图可知，根据几何关系，近似有①再根据干涉减弱条件有②式中ｋ为大于零的整数．把式①代入式②可得(k为整数，且k＞2e0/l)51\n7.在如图所示的瑞利干涉仪中，T1、T2是两个长度都是l的气室，波长为l的单色光的缝光源S放在透镜L1的前焦面上，在双缝S1和S2处形成两个同相位的相干光源，用目镜E观察透镜L2焦平面C上的干涉条纹．当两气室均为真空时，观察到一组干涉条纹．在向气室T2中充入一定量的某种气体的过程中，观察到干涉条纹移动了M条．试求出该气体的折射率n(用已知量M，l和l表示出来）．解：当T1和T2都是真空时，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为零．当T1中充入一定量的某种气体后，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为(n–1)l．在T2充入气体的过程中，观察到M条干涉条纹移过O点，即两光束在O点的光程差改变了Ml．故有(n－1)l－0=Mln＝1＋Ml/l．四研讨题1.如果和为两个普通的独立的单色线光源，用照相机能否拍出干涉条纹照片？如果曝光时间比10-8s短得多，是否有可能拍得干涉条纹照片？参考解答：如果和为两个普通的独立的单色线光源，用照相机不能拍得干涉条纹照片；如果曝光时间比10-8s短得多，有可能拍得干涉条纹照片。所谓干涉就是在观察的时间内，叠加区有一稳定的强度分布。一般的实验中观察时间都远比原子发光的时间10-8s长得多，所以要维持各点强度稳定，就得要求叠加区内各点每时刻相遇的两条光线除了频率相同、振动方向相同之外，还必须相位差恒定。由发光的特点可知，在我们观察的时间内，两个独立光源不可能保证两条光线在确定的点有恒定的相位差。但每时刻，两独立光源发出的两条光线在各点都有一定的相差，即有一确定的谐振叠加结果，只不过在观察的时间内，各种合成结果都会出现，从而得到的观察结果是非相干的。用普通相机只能拍得平均结果，所以无法拍得两个独立的光源的“干涉条纹”照片。如果曝光时间比10-8s短得多，即短到一个原子一次发光的时间，那么就把两个原子发光的某一次的叠加结果记录下来，当然就有一个确定的强度分布。因此可以说，这样的相机有可能拍得干涉条纹。2.用白色线光源做双缝干涉实验时，若在缝后面放一红色滤光片，后面放一绿色滤光片，问能否观察到干涉条纹？为什么？参考解答：不能观察到干涉条纹。判断是否能看到干涉条纹应从两个方面考虑。首先是产生相干叠加的条件，即相干光必须频率相同，在叠加区必须有振动方向相同的分量及有恒定的相位差。其次还要从技术上考虑，如对两光强之比（及两光束光强之比）、光源的非单色性及光源的线度等都有一定的要求，以保证获得清晰的干涉条纹。51\n若在两个缝上分别放置红色和绿色滤波片，不满足频率相同的相干条件，所以不可能看到干涉条纹。3.在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要.请利用所学的知识设计一检测仪监测矿井甲烷浓度.参考解答：介绍瑞利干涉仪监测矿井甲烷浓度。在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要.根据甲烷和纯净空气的折射率不同,运用双光束干涉,通过观察干涉条纹的变化,可以实现对井下空气中甲烷浓度的监测.瑞利干涉仪的结构如图所示,S为狭缝光源,经透镜L1后成为平行光,再由双缝S1、S2分离出两束相干光,分别让它们通过长度相等的两个气室T1、T2后,由透镜L2会聚到其焦平面上形成干涉条纹.若两气室T1、T2内气体相同,则两束光在0点处干涉相长,形成零级明条纹.若将气室T1内充入纯净空气,其折射率用n0表示;将气室T2内充入井下气体,其折射率用n′表示,则两束光到达0点的光程差为：式中,L为气室的长度；λ为光的波长；k为0点处干涉明条纹的级次.假设井下气体中甲烷浓度为x%,则其折射率n′与纯净空气的折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n有如下关系：将其整理为由式(1)和式(2)可得:即为0点处干涉明条纹的级次k与气室中井下气体的甲烷浓度x%之间的关系式.实际应用中,需要使两气室内的气体具有相同的压强和温度,利用读数显微镜可较方便地确定0处干涉明条纹的级次k,在已知波长λ和纯净空气折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n的情况下,即可计算出井下气体的甲烷浓度.4.薄膜尤其是光学薄膜厚度测控技术不断完善,就其测量原理而言,主要有光电极值法、干涉法、石英晶体振荡法椭偏仪法，请查阅相关文献说明薄膜厚度测控技术中的干涉法的物理原理。参考解答：干涉法是纯光学方法的主要内容，比如测量玻璃基底上的膜层厚度,就可采用迈克尔逊干涉仪来测量，在迈克尔逊干涉仪的基本光路中,将固定反射镜置换成待测样品（右上图）,并与另一反射镜形成楔状空气劈而产生等厚干涉。由于是台阶状样品,51\n因而产生的干涉条纹（右下图），当膜厚增加半波长时,两组干涉条纹便错动一个条纹宽度,因此膜厚可表示为：式中l为单色光波长,a为干涉条纹宽度,b为两组条纹错开的距离,m为错开的条纹数目取值为零或正整数。考虑到光束在玻璃和薄膜上反射,相位改变并不相同,因此上式应写为：式中d1和d2分别为玻璃和薄膜的相位变化，对玻璃而言d1=p.在测量时不必确定d2,只需根据前一式子,用两个不同波长的单色光分别测定a、b值而得到d.第7章光的衍射一、选择题1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B)二、填空题(1)．1.2mm，3.6mm(2)．500nm(或mm)(3)．一三(4)．0，，(5)．5(6)．更窄更亮(7)．0.025(8)．照射光波长，圆孔的直径(9)．2.24×10-4(10)．13.9三、计算题1.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm．缝后放一个焦距f=400mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长．解：设第三级暗纹在j3方向上，则有asinj3=3l此暗纹到中心的距离为x3=ftgj3因为j3很小，可认为tgj3≈sinj3，所以x3≈3fl/a．两侧第三级暗纹的距离是2x3=6fl/a=8.0mm∴l=(2x3)a/6f=500nm2.在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长l的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角．再讨论计算结果说明什么问题．51\n解：(1)a=l，sinj=l/l=1,j=90°(2)a=10l，sinj=l/10l=0.1j=5°4(3)a=100l，sinj=l/100l=0.01j=3这说明，比值l/a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显．(l/a)→0的极限情形即几何光学的情形:光线沿直传播,无衍射效应．3.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长l1和l2，垂直入射于单缝上．假如l1的第一级衍射极小与l2的第二级衍射极小相重合，试问(1)这两种波长之间有何关系？(2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？解：(1)由单缝衍射暗纹公式得由题意可知,代入上式可得(2)(k1=1,2,……)(k2=1,2,……)若k2=2k1，则q1=q2，即l1的任一k1级极小都有l2的2k1级极小与之重合．4.氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长l1=0.668mm的谱线的衍射角为j=20°．如果在同样j角处出现波长l2=0.447mm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？解：由光栅公式得sinj=k1l1/(a+b)=k2l2/(a+b)，k1l1=k2l2k2/k1=l1/l2=0.668/0.447将k2/k1约化为整数比k2/k1=3/2=6/4=12/8......取最小的k1和k2，k1=2，k2=3，则对应的光栅常数(a+b)=k1l1/sinj=3.92mm.5.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，l1=440nm，l2=660nm(1nm=10-9m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角j=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．解：由光栅衍射主极大公式得当两谱线重合时有j1=j2即两谱线第二次重合即是51\n，k1=6，k2=4由光栅公式可知dsin60°=6l1=3.05×10-3mm6.以波长400nm─760nm(1nm＝10-9m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．解：令第三级光谱中l=400nm的光与第二级光谱中波长为l¢的光对应的衍射角都为q，则dsinq=3l，dsinq=2=(dsinq/)2=600nm∴第二级光谱被重叠的波长范围是600nm----760nm7.用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长lR在0.63─0.76mm范围内，蓝谱线波长lB在0.43─0.49mm范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现．(1)在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？(2)在什么角度下只有红谱线出现？解：∵a+b=(1/300)mm=3.33mm(1)(a+b)siny=kl，∴kl=(a+b)sin24.46°=1.38mm∵lR=0.63─0.76mm；lB＝0.43─0.49mm对于红光，取k=2,则lR=0.69mm；对于蓝光，取k=3,则lB=0.46mm.红光最大级次kmax=(a+b)/lR=4.8,取kmax=4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为y¢,则，∴y¢=55.9°(2)红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现．y1=11.9°y3=38.4°8.一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3cm，在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜，现以l=600nm(1nm=10-9m)的单色平行光垂直照射光栅，求：(1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2)在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？解：(1)asinj=kltgj=x/f当x<L，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:,所以要求,即.这就是对于容器内压强的限制条件。第11章热力学基本原理51\n一、选择题1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(A)，6(C)，7(D)，8(C)，9(D)，10(A)二、填空题(1).等于，大于，大于.(2).不变，增加(3).在等压升温过程中，气体要膨胀而对外作功，所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量.(4).，(5).500，700(6).(7).(或)(8).500，100(9).功变热，热传递(10).从几率较小的状态到几率较大的状态，状态的几率增大(或熵值增加).三、计算题1.温度为25℃、压强为1atm的1mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍．(普适气体常量R＝8.31，ln3=1.0986)(1)计算这个过程中气体对外所作的功．(2)假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？解：(1)等温过程气体对外作功为=8.31×298×1.0986J=2.72×103J(2)绝热过程气体对外作功为＝2.20×103J2.汽缸内有2mol氦气，初始温度为27℃，体积为20L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体．试求：(1)在p―V图上大致画出气体的状态变化过程．(2)在这过程中氦气吸热多少？(3)氦气的内能变化多少？(4)氦气所作的总功是多少？(普适气体常量R=8.31)51\n解：(1)p－V图如图．(2)T1＝(273＋27)K＝300K据V1/T1=V2/T2，得T2=V2T1/V1＝600KQ=nCp(T2-T1)=1.25×104J(3)DE＝0(4)据Q=W+DE∴W＝Q＝1.25×104J3.1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结ac两点的曲线Ⅲ的方程为,a点的温度为T0(1)试以T0,普适气体常量R表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ过程中气体吸收的热量。(2)求此循环的效率。(提示：循环效率的定义式η=1-Q2/Q1，Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量。)解：设a状态的状态参量为p0,V0,T0，则pb=9p0,Vb=V0,Tb=(pb/pa)Ta=9T0∵∴∵pcVc=RTc∴Tc=27T0(1)过程Ⅰ过程ⅡQp=Cp(Tc－Tb)=45RT0过程Ⅲ(2)4.一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A的温度为TA＝300K，求(1)气体在状态B、C的温度；(2)各过程中气体对外所作的功；(3)经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．解：由图，pA=300Pa，pB=pC=100Pa；VA=VC=1m3，VB=3m3．(1)C→A为等体过程，据方程pA/TA=pC/TC得51\nTC=TApC/pA=100K．B→C为等压过程，据方程VB/TB=VC/TC得TB=TCVB/VC=300K．(2)各过程中气体所作的功分别为A→B：=400J．B→C：W2=pB(VC－VB)=-200J．C→A：W3=0(3)整个循环过程中气体所作总功为W=W1+W2+W3=200J．因为循环过程气体内能增量为ΔE=0，因此该循环中气体总吸热Q=W+ΔE=200J．5.一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000J．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功10000J．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求：(1)第二个循环的热机效率；(2)第二个循环的高温热源的温度．解：(1)且∴Q2=T2Q1/T1即＝24000J由于第二循环吸热(∵)29.4％(2)425K6.如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中K为用来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为m3．开始时活塞在位置Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准状态．现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达位置Ⅲ时停止加砝码；然后接通电源缓慢加热使活塞至Ⅱ；断开电源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至Ⅰ，当上升的活塞被环M、N挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢复到原来状态，完成一个循环．51\n(1)在p－V图上画出相应的循环曲线；(2)求出各分过程的始末状态温度；(3)求该循环过程吸收的热量和放出的热量．解：(1)系统开始处于标准状态a，活塞从Ⅰ→Ⅲ为绝热压缩过程，终态为b;活塞从Ⅲ→Ⅱ为等压膨胀过程，终态为c；活塞从Ⅱ→Ⅰ为绝热膨胀过程，终态为d；除去绝热材料系统恢复至原态a，该过程为等体过程。该循环过程在p－V图上对应的曲线如图所示。(2)由题意可知pa=1.013×105Pa，Va=3×10－3m3，Ta=273K，Vb=1×10－3m3，Vc=2×10－3m3.ab为绝热过程，据绝热过程方程，得bc为等压过程，据等压过程方程Tb/Vb=Tc/Vc得Kcd为绝热过程，据绝热过程方程，得(3)在本题循环过程中ab和cd为绝热过程，不与外界交换热量;bc为等压膨胀过程，吸收热量为Qbc=nCp(Tc－Tb)式中．又据理想气体状态方程有paVa=nRTa，可得da为等体降温过程，放出热量为四研讨题1.热力学中经常用到理想气体,理想气体与热力学究竟是什么关系?参考解答：1.热力学的理论框架无需理想气体热力学理论是普遍的,当然不依赖于理想气体.基础物理热力学的理论框架如下:第一步:由热功当量实验得到了热力学第一定律，由热机与冷机分别得到了热力学第二定律的开尔文表述与克劳修斯表述；第二步：由热力学第二定律导出卡诺定理，给出可逆机效率的表述；第三步:由卡诺定理导出了克劳修斯等式与不等式，定义了熵S，建立了孤立系统熵增加原理。51\n热力学的理论框架,显然并未用到理想气体。2.理想气体在热力学中的作用(1)理想气体为热力学提供了一个简单的实例任何普遍的理论要被人们所接受,就必须有实例,例如在力学中,要使人们接受势能的理论,必须有“万有引力势能与弹簧势能”这种实例.由于理想气体遵从状态方程和焦耳定律,因此理想气体就成了热力学中最简单的实例.(2)理想气体为测量热力学温度提供了一种简单的温度计当可逆卡诺机的工作物质为理想气体时,以理想气体状态方程和焦耳定律为前提,由热力学第一定律和卡诺定理对可逆机效率的表述,可以论证用理想气体温度计就可以测量热力学温度,这体现了理想气体的重要性.除此之外,还可以依据普朗克黑体辐射定律、聂奎斯脱噪声方程设计出辐射温度计、噪声温度计,来直接复现热力学温度.但使用这些所谓‘绝对测量仪器’在技术上是十分繁难的,而且费用昂贵,所以不能普及.这也凸显了理想气体温度计的实用价值.2.冰融化成水需要吸热，因而其熵是增加的．但水结成冰，这时要放热，即dQ为负，其熵是减少的．这是否违背了熵增加原理？试解释之．参考解答：熵增加原理的表述是：在孤立系统（或绝热系统）中发生的任何不可逆过程，系统的熵必增大，只有对可逆过程，系统熵不变．现在水结成冰要放热给环境，应该把水和环境组成孤立系统，在水结成冰的过程中要考虑整个系统的熵变，水的熵減少不违背熵增加原理．3.试讨论温度的相对论变换，热力学系统的绝对温度满足的相对论变换吗？即公式会成立吗？参考解答：成立。考虑一个由理想气体组成的封闭的热力学系统,气体密闭在一容器中,处于热力学平衡状态.该系统相对于惯性参照系K0是静止的,其静止质量为m0.K0相对于另一惯性参照系K以速度v沿x轴正向作匀速运动,观测者相对于K系静止,如图所示.在K0系中,系统的动量和能量分别为：对K系中的观测者而言,v是组成系统的所有粒子的平均漂移速度,系统具有宏观动量.系统的质量、动量和能量分别为：从上面的讨论中我们可以得到：51\n在K0系中,系统的内能U0就是静止能量E0,系统在等容过程中从外界吸收的热量完全用来增加内能,从而增加了系统的静止质量考虑(1)式，(2)式右侧分子中的增量都是K系中的观测结果.dE是系统总能量的增量.是系统宏观动量的增量.此时,系统相对于K的宏观速度v未变.则应理解为因质量增加引起的宏观动能的增量.因此,(2)式右侧分子中的两项分别应为宏观动能是作为整体的系统有序运动的能量.内能增量是系统的微观无序运动能量的增量.从系统总能量的增量中扣除宏观有序运动的能量增量就等于内能的增量,所以比较(2),(3)式，就可以得到上式于1907年,由普朗克和爱因斯坦分别提出：热力学系统的绝对温度满足的相对论变换公式。51