大学物理作业答案 28页

1-11　一质点具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0＝10mi．求：(1)在任意时刻的速度和位置矢量；(2)质点在Oxy平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．题1-11图分析　与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解　由加速度定义式,根据初始条件t0＝0时v0＝0,积分可得又由及初始条件t＝0时,r0＝(10m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x＝10＋3t2y＝2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y＝2x-20m这是一个直线方程．直线斜率,α＝33°41′．轨迹如图所示．1-14　为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为，他随即以仰角冲出，飞越跨度达57m，安全着陆在西岸木桥上，求：officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题1-14图（1）柯飞车跨越黄河用了多长时间？（2）若起飞点高出河面10m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？（3）西岸木桥和起飞点的高度差为多少？分析由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度.解在图示坐标系中，有（1）（2）（3）(1)由式（1），令m，得飞跃时间s（2）由式（3），令，得飞行到最大高度所需时间将代入式（2），得飞行最大高度m则飞车在最高点时距河面距离为mm（3）将s代入式（2），得西岸木桥位置为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\ny=-4.22m“-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.1-16　一质点沿半径为R的圆周按规律运动,v0、b都是常量．(1)求t时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析　在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s＝s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2/R．这样,总加速度为a＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st-s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解　(1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2)要使｜a｜＝b,由可得(3)从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-20　如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析　这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足．再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题1-20图解　由［图(b)］,有而要使,则2-8　如图(a)所示,已知两物体A、B的质量均为m＝3.0kg物体A以加速度a＝1.0m·ｓ-2运动,求物体B与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)分析　该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解　分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B及滑轮列动力学方程,有mAg-FＴ＝mAa(1)F′Ｔ1-Fｆ＝mBa′(2)F′Ｔ-2FＴ1＝0(3)考虑到mA＝mB＝m,FＴ＝F′Ｔ,FＴ1＝F′Ｔ1,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题2-8图讨论　动力学问题的一般解题步骤可分为：(1)分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2)根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3)解方程组,得出文字结果；(4)核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2-13　一质量为10kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线运动,已知F＝120t＋40,式中F的单位为N,t的单位的ｓ．在t＝0时,质点位于x＝5.0m处,其速度v0＝6.0m·．求质点在任意时刻的速度和位置．分析　这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义v＝dx/dt,用积分的方法可求出质点的位置．　　　　　解　因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有依据质点运动的初始条件,即t0＝0时v0＝6.0m·ｓ-1,运用分离变量法对上式积分,得v＝6.0+4.0t+6.0t2又因v＝dx/dt,并由质点运动的初始条件：t0＝0时x0＝5.0m,对上式分离变量后积分,有x＝5.0+6.0t+2.0t2+2.0t32-15　质量为m的跳水运动员,从10.0m高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2,其中b为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴,求：(1)运动员在水中的速率v与y的函数关系；(2)如b/m＝0.40m-1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)题2-15图分析　该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F和水的阻力officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．解　(1)运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为运动员入水后,由牛顿定律得P--F＝ma由题意P＝F、＝bv2,而a＝dv/dt＝v(dv/dy),代入上式后得-bv2＝mv(dv/dy)考虑到初始条件y0＝0时,,对上式积分,有(2)将已知条件b/m＝0.4m-1,v＝0.1v0代入上式,则得3-8　Fx＝30＋4t(式中Fx的单位为N,t的单位为s)的合外力作用在质量m＝10kg的物体上,试求：(1)在开始2ｓ内此力的冲量；(2)若冲量I＝300N·s,此力作用的时间；(3)若物体的初速度v1＝10m·s-1,方向与Fx相同,在t＝6.86s时,此物体的速度v2．分析　本题可由冲量的定义式,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2．解　(1)由分析知(2)由I＝300＝30t＋2t2,解此方程可得t＝6.86s(另一解不合题意已舍去)(3)由动量定理,有I＝mv2-mv1由(2)可知t＝6.86s时I＝300N·s,将I、m及v1代入可得3-9　高空作业时系安全带是非常必要的．假如一质量为51.0kg的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来．已知此时人离原处的距离为2.0m,安全带弹性缓冲作用时间为0.50s．求安全带对人的平均冲力．分析　从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n解1　以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2m处时的速度为(1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有(2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为解2　从整个过程来讨论．根据动量定理有3-11　一只质量的垒球以水平速率扔向打击手，球经球棒击出后，具有如图（a）所示的速度且大小，若球与棒的接触时间为0.025s,求：（1）棒对该球平均作用力的大小；（2）垒球手至少对球作了多少功？分析第（1）问可对垒球运用动量定理，既可根据动量定理的矢量式，用几何法求解，如图（b）所示；也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去不计.题3-11图解（1）解1由分析知，有其矢量关系如图（b）所示，则解之得解2由图（a）有将officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n(2)由质点动能定理，得3-21　用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00×10-2m．第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？分析　由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．解　因阻力与深度成正比,则有F＝kx(k为阻力系数)．现令x0＝1.00×10-2m,第二次钉入的深度为Δx,由于钉子两次所作功相等,可得Δx＝0.41×10-2m3-22　一质量为m的地球卫星,沿半径为3RE的圆轨道运动,RE为地球的半径．已知地球的质量为mE．求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能．分析　根据势能和动能的定义,只需知道卫星的所在位置和绕地球运动的速率,其势能和动能即可算出．由于卫星在地球引力作用下作圆周运动,由此可算得卫星绕地球运动的速率和动能．由于卫星的引力势能是属于系统(卫星和地球)的,要确定特定位置的势能时,必须规定势能的零点,通常取卫星与地球相距无限远时的势能为零．这样,卫星在特定位置的势能也就能确定了．至于卫星的机械能则是动能和势能的总和．解　(1)卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力,由牛顿定律可得则(2)取卫星与地球相距无限远(r→∞)时的势能为零,则处在轨道上的卫星所具有的势能为(3)卫星的机械能为3-29　如图所示,一质量为m′的物块放置在斜面的最底端A处,斜面的倾角为α,高度为h,物块与斜面的动摩擦因数为μ,今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中,且使物块沿斜面向上滑动．求物块滑出顶端时的速度大小．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题3-29图分析　该题可分两个阶段来讨论,首先是子弹和物块的撞击过程,然后是物块(包含子弹)沿斜面向上的滑动过程．在撞击过程中,对物块和子弹组成的系统而言,由于撞击前后的总动量明显是不同的,因此,撞击过程中动量不守恒．应该注意,不是任何碰撞过程中动量都是守恒的．但是,若取沿斜面的方向,因撞击力(属于内力)远大于子弹的重力P1和物块的重力P2在斜面的方向上的分力以及物块所受的摩擦力Fｆ,在该方向上动量守恒,由此可得到物块被撞击后的速度．在物块沿斜面上滑的过程中,为解题方便,可重新选择系统(即取子弹、物块和地球为系统),此系统不受外力作用,而非保守内力中仅摩擦力作功,根据系统的功能原理,可解得最终的结果．解　在子弹与物块的撞击过程中,在沿斜面的方向上,根据动量守恒有(1)在物块上滑的过程中,若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为v2,并取A点的重力势能为零．由系统的功能原理可得(2)由式(1)、(2)可得4－11　质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.题4-11图分析　由于组合轮是一整体，它的转动惯量是两轮转动惯量之和，它所受的力矩是两绳索张力矩的矢量和(officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n注意两力矩的方向不同).对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得.解　分别对两物体及组合轮作受力分析，如图(b).根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有(1)(2)(3),(4)由角加速度和线加速度之间的关系，有(5)(6)解上述方程组，可得4－16　一质量为m′、半径为R的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在某时刻，一质量为m的小碎块从盘边缘裂开，且恰好沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？破裂后圆盘的角动量为多大？分析　盘边缘裂开时，小碎块以原有的切向速度作上抛运动，由质点运动学规律可求得上抛的最大高度.此外，在碎块与盘分离的过程中，满足角动量守恒条件，由角动量守恒定律可计算破裂后盘的角动量.题4-16图解　(1)碎块抛出时的初速度为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n由于碎块竖直上抛运动，它所能到达的高度为(2)圆盘在裂开的过程中，其角动量守恒，故有式中为圆盘未碎时的角动量；为碎块被视为质点时，碎块对轴的角动量；L为破裂后盘的角动量.则4－20　为使运行中的飞船停止绕其中心轴的转动，可在飞船的侧面对称地安装两个切向控制喷管(如图所示)，利用喷管高速喷射气体来制止旋转.若飞船绕其中心轴的转动惯量J＝2.0×103kg·m2，旋转的角速度ω＝0.2rad·s-1，喷口与轴线之间的距离r＝1.5m；喷气以恒定的流量Q＝1.0kg·s-1和速率u＝50m·s-1从喷口喷出，问为使该飞船停止旋转，喷气应喷射多长时间？分析　将飞船与喷出的气体作为研究系统，在喷气过程中，系统不受外力矩作用，其角动量守恒.在列出方程时应注意：(1)由于喷气质量远小于飞船质量，喷气前、后系统的角动量近似为飞船的角动量Jω；(2)喷气过程中气流速率u远大于飞船侧面的线速度ωr，因此，整个喷气过程中，气流相对于空间的速率仍可近似看作是u，这样，排出气体的总角动量.经上述处理后，可使问题大大简化.解　取飞船和喷出的气体为系统，根据角动量守恒定律，有(1)因喷气的流量恒定，故有(2)由式(1)、(2)可得喷气的喷射时间为题4-20图4－21　如图所示，长为、质量为的均质杆，可绕点O在竖直平面内转动，令杆至水平位置由静止摆下，在竖直位置与质量为的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后物体沿摩擦因数为的水平面滑动，试求此物体滑过的距离s.分析本题可分为三个过程，即细杆绕点OofficiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n的转动过程，细杆与物体的完全非弹性碰撞以及碰撞后物体在粗糙水平面上的滑动过程。注意前两个过程，只能运用刚体定轴转动所满足的力学规律.其中，第一个过程满足机械能守恒，如以细杆摆至垂直位置时细杆质心为势能零点，则细杆在水平位置的势能应为(而不是),摆至垂直位置时细杆的动能为(而不是)；第二个过程细杆和物体对点O的角动量守恒（而不是动量守恒，想一想为什么？），此外对完全非弹性碰撞，碰撞后瞬间满足为碰撞后细杆的角速度，为碰撞后物体的速度.解由分析知，有转动过程碰撞过程滑动过程将代入以上三式，解得物体滑过的距离为讨论碰撞时作用在细杆-物体系统的外力均通过点O，外力矩为零，故系统对点O的角动量守恒，但此时转轴的点O处会产生水平方向的轴力分量，使合外力并不为零，故系统动量并不守恒，这是初学者容易犯的一种错误.题4-21图4－25　我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星，其近地点为4.39×105m，远地点为2.38×106m.试计算卫星在近地点和远地点的速率.(设地球半径为6.38×106m)分析　当人造卫星在绕地球的椭圆轨道上运行时，只受到有心力———万有引力的作用.因此，卫星在运行过程中角动量是守恒的，同时该力对地球和卫星组成的系统而言，又是属于保守内力，因此，系统又满足机械能守恒定律.officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n根据上述两条守恒定律可求出卫星在近地点和远地点时的速率.解　由于卫星在近地点和远地点处的速度方向与椭圆径矢垂直，因此，由角动量守恒定律有(1)又因卫星与地球系统的机械能守恒，故有(2)式中G为引力常量，mＥ和m分别为地球和卫星的质量，r1和r2是卫星在近地点和远地点时离地球中心的距离.由式(1)、(2)可解得卫星在近地点和远地点的速率分别为4－27　如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度ω0在无摩擦的水平面上，作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2的圆周运动.试求：(1)小球新的角速度；(2)拉力所作的功.题4-27图分析　沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应保持不变.但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度.至于拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到.解　(1)根据分析，小球在转动的过程中，角动量保持守恒，故有式中J0和J1分别是小球在半径为r０和1/2r０时对轴的转动惯量，即和，则(2)随着小球转动角速度的增加，其转动动能也增加，这正是拉力作功的结果.由转动的动能定理可得拉力的功为5-7　如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为、．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题5-7图分析　从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率．证　设物体平衡时两弹簧伸长分别为、，则由物体受力平衡，有（1）按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸和，即．则物体受力为（２）将式（1）代入式（2）得（３）由式（3）得、，而，则得到式中为常数，则物体作简谐运动，振动频率　　讨论　（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．5-10　某振动质点的x-t曲线如图（a）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n分析　由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x－t图线确定振动的三个特征量A、ω和，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解　（1）质点振动振幅A＝0.10ｍ．而由振动曲线可画出t0＝0和t1＝4ｓ时旋转矢量，如图（b）所示．由图可见初相（或），而由得，则运动方程为题5-10图（2）图（a）中点P的位置是质点从A／2处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c）所示．当初相取时，点P的相位为（如果初相取成，则点P相应的相位应表示为．（3）由旋转矢量图可得，则．5-12　图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程．分析　根据v-t图可知速度的最大值vmax，由vmax＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T和加速度的最大值amax＝Aω2．在要求的简谐运动方程x＝Acos（ωt＋φ）中，因为A和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v－t曲线图可以知道，当t＝0时，质点运动速度v0＝vmax/2＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x轴正向向着平衡点运动．利用v0＝－Aωsinφ就可求出φ．解　（1）由得，则（2）（3）从分析中已知，即officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n因为质点沿x轴正向向平衡位置运动，则取，其旋转矢量图如图（b）所示．则运动方程为　题5-12图5-15　如图（a）所示，质量为1.0×10-2kg的子弹，以500m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为8.0×103N·m-1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x轴正向，求简谐运动方程．题5-15图分析　可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1＋m2和弹簧的劲度系数k确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0和初位移x0）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．解　振动系统的角频率为由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0为又因初始位移x0＝0，则振动系统的振幅为图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位，则简谐运动方程为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n5-19　已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为；．求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动，则为多少时，x1＋x3的振幅最大？又为多少时，x2＋x3的振幅最小？题5-19图分析　可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅，其大小与两个分振动的初相差相关．而合振动的初相位解　（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为，故合振动振幅为合振动初相位（2）要使x1＋x3振幅最大，即两振动同相，则由得要使x1＋x3的振幅最小，即两振动反相，则由得5-20　两个同频率的简谐运动1和2的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1和x2；（2）officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．分析　振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．解　（1）由振动曲线可知，A＝0.1ｍ，T＝2ｓ，则ω＝2π／T＝πｓ-1．曲线1表示质点初始时刻在x＝0处且向x轴正向运动，因此φ1＝－π／2；曲线2表示质点初始时刻在x＝A/2处且向x轴负向运动，因此φ2＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b）所示．则两振动的运动方程分别为　和（2）由图（b）可知振动2超前振动1的相位为5π／6．（3）其中则合振动的运动方程为　　　题5-20图6-5　一横波在沿绳子传播时的波动方程为，式中y的单位为m，t的单位为s．（1）求波的振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时的最大速度；（3）分别画出t＝1s和t＝2s时的波形，并指出波峰和波谷．画出x＝1.0ｍ处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同．分析　（1）已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率u、振幅A及波长λ等），通常采用比较法．将已知的波动方程按波动方程的一般形式书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“-”、“+”的选取分别对应波沿x轴正向和负向传播）．比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法．（2）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别．例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即v＝dy/dt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质的性质决定．介质不变，波速保持恒定．（3）将不同时刻的t值代入已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程y＝y（x），从而作出波形图．而将确定的x值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程y＝y（t），从而作出振动图．officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n解　（1）将已知波动方程表示为与一般表达式比较，可得则（2）绳上质点的振动速度则（3）t＝1ｓ和t＝2ｓ时的波形方程分别为波形图如图（a）所示．x＝1.0m处质点的运动方程为振动图线如图（b）所示．波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别．前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的一个质点，其位移随时间变化的情况．题6-5图6-8　图示为平面简谐波在t＝0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中质点P的运动方向向上．求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5m处质点的运动方程与t＝0时该点的振动速度．分析　（1）从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径．具体步骤为：1.从波形图得出波长λ、振幅A和波速u＝λu；2.根据点P的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相φ0．（2）在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O为x处的运动方程y＝y（t），及该质点的振动速度u＝dy/dt．解　（1）从图中得知，波的振幅A＝0.10m，波长λ＝20.0m，则波速u＝λu＝5.0×103ｍ·ｓ-1．根据t＝0时点PofficiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n向上运动，可知波沿Ox轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy轴负方向运动．利用旋转矢量法可得其初相φ0＝π/3．故波动方程为（2）距原点O为x＝7.5ｍ处质点的运动方程为t＝0时该点的振动速度为题6-8图6-9　一平面简谐波以速度沿Ox轴正向传播，图示为其在t＝0时刻的波形图，求（1）该波的波动方程；（2）P处质点的运动方程．题6-9图分析　（1）根据波形图可得到波的波长λ、振幅A和波速u，因此只要求初相φ，即可写出波动方程．而由图可知t＝0时，x＝0处质点在平衡位置处，且由波的传播方向可以判断出该质点向y轴正向运动，利用旋转矢量法可知φ＝－π/2．（2）波动方程确定后，将P处质点的坐标x代入波动方程即可求出其运动方程yP＝yP（t）．解　（1）由图可知振幅A＝0.04ｍ，波长λ＝0.40ｍ，波速u＝0.08ｍ·ｓ-1，则ω＝2π/T＝2πu/λ＝（2π/5）ｓ-1，根据分析已知φ＝－π/2，因此波动方程为（2）距原点O为x＝0.20ｍ处的P点运动方程为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n6-14图（a）是干涉型消声器结构的原理图，利用这一结构可以消除噪声．当发动机排气噪声声波经管道到达点A时，分成两路而在点B相遇，声波因干涉而相消．如果要消除频率为300Hz的发动机排气噪声，则图中弯管与直管的长度差Δr＝r2－r1至少应为多少？（设声波速度为340m·s-1）题6-14图分析　一列声波被分成两束后再相遇，将形成波的干涉现象．由干涉相消条件，可确定所需的波程差，即两管的长度差Δr．解　由分析可知，声波从点A分开到点B相遇，两列波的波程差Δr＝r2-r1，故它们的相位差为由相消静止条件Δφ＝（2k＋1）π，（k＝0，±1，±2，…）得Δr＝（2k＋1）λ／2根据题中要求令k＝0得Δr至少应为讨论　在实际应用中，由于噪声是由多种频率的声波混合而成，因而常将具有不同Δr的消声单元串接起来以增加消除噪声的能力．图（b）为安装在摩托车排气系统中的干涉消声器的结构原理图．6-19　一警车以25m·s-1的速度在静止的空气中行驶，假设车上警笛的频率为v=800Hz．求：（1）静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；（2）如果警车追赶一辆速度为15m·s-1的客车，则客车上人听到的警笛声波的频率是多少？（设空气中的声速u＝330m·s-1）分析　由于声源与观察者之间的相对运动而产生声多普勒效应，由多普勒频率公式可解得结果．在处理这类问题时，不仅要分清观察者相对介质（空气）是静止还是运动，同时也要分清声源的运动状态．解　（1）根据多普勒频率公式，当声源（警车）以速度s＝25m·s-1运动时，静止于路边的观察者所接收到的频率为警车驶近观察者时，式中s前取“－”号，故有officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n警车驶离观察者时，式中s前取“＋”号，故有（2）客车的速度为=15m·s-1,声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时，观察者收到的频率为7－6　一容器内储有氧气，其压强为，温度为27℃，求：(1)气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列)分析　在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为，由数密度的含意可知，即可求出．解　(1)单位体积分子数(2)氧气的密度(3)氧气分子的平均平动动能(4)氧气分子的平均距离通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解．7－11当温度为0时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（1）氧分子的平均动能和平均转动动能；（2）氧气的内能；（3）氦气的内能.officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n分析（1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3个平动自由度和2个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能，平均转动动能.（2）对一定量理想气体，其内能为，它是温度的单值函数.其中i为分子自由度，这里氧气i=5、氦气i=3.而为气体质量，M为气体摩尔质量，其中氧气；氦气.代入数据即可求解它们的内能.解根据分析当气体温度为T=273K时，可得（1）氧分子的平均平动动能为氧分子的平均转动动能为（2）氧气的内能为（3）氦气的内能为7－14　有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1)说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2)由N和求a值；(3)求在速率/2到3/2间隔内的分子数；(4)求分子的平均平动动能.题7-14图分析　处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数的物理意义.，题中纵坐标officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n，即处于速率v附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握的归一化条件，即.在此基础上，根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.解　(1)由于分子所允许的速率在0到2的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积即曲线下面积表示系统分子总数N.(2)从图中可知，在0到区间内，；而在0到2区间，.则利用归一化条件有(3)速率在/2到3/2间隔内的分子数为(4)分子速率平方的平均值按定义为故分子的平均平动动能为7－18　在一定的压强下，温度为20℃时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×10－8m和27.5×10－8m.试求：(1)氩气和氮气分子的有效直径之比；(2)当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率.分析(1)气体分子热运动的平均自由程，因此，温度、压强一定时，平均自由程.(2)当温度不变时，平均自由程.解　(1)由分析可知(2)由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n而此时的分子平均碰撞频率　　将T＝293K，MN2＝2.8×10－2kg·mol－1代入，可得8－7　如图所示，1mol氦气，由状态沿直线变到状态，求这过程中内能的变化、对外作的功、吸收的热量.分析由题8-4分析可知功的数值就等于p-V图中过程曲线下所对应的面积，又对一定量的理想气体其内能，而氦气为单原子分子，自由度i=3，则1mol氦气内能的变化，其中温度的增量可由理想气体物态方程求出.求出了过程内能变化和做功值，则吸收的热量可根据热力学第一定律求出.解由分析可知，过程中对外作的功为内能的变化为吸收的热量题8-7图8－9　如图所示，在绝热壁的汽缸内盛有1mol的氮气，活塞外为大气，氮气的压强为1.51×105Pa，活塞面积为0.02m2.从汽缸底部加热，使活塞缓慢上升了0.5m.问(1)气体经历了什么过程？(2)汽缸中的气体吸收了多少热量？(根据实验测定，已知氮气的摩尔定压热容Cp，m＝29.12J·mol－1·K－1，摩尔定容热容CV,m＝20.80J·mol-1·K-1)officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n题8-9图分析　因活塞可以自由移动，活塞对气体的作用力始终为大气压力和活塞重力之和.容器内气体压强将保持不变.对等压过程，吸热.ΔT可由理想气体物态方程求出.解　(1)由分析可知气体经历了等压膨胀过程.(2)吸热.其中ν＝1mol，Cp,m＝29.12Ｊ·mol－1·Ｋ－1.由理想气体物态方程pV＝νRT，得ΔT＝(p2V2－p1V1)/R＝p(V2－V1)/R＝p·S·Δl/R则8－140.32kg的氧气作如图所示的ABCDA循环，V2＝2V1,T1＝300Ｋ，T2＝200Ｋ,求循环效率.题8-14图分析　该循环是正循环.循环效率可根据定义式η＝W/Q来求出，其中W表示一个循环过程系统作的净功，Q为循环过程系统吸收的总热量.解　根据分析，因AB、CD为等温过程，循环过程中系统作的净功为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB段)和等体升压(对应于DA段)中发生,而等温过程中ΔE＝0,则.等体升压过程中W＝0，则,所以，循环过程中系统吸热的总量为由此得到该循环的效率为8－15　图(ａ)是某单原子理想气体循环过程的V－T图，图中VC＝2VA.试问：(1)图中所示循环是代表制冷机还是热机？(2)如是正循环(热机循环)，求出其循环效率.题8-15图分析　以正、逆循环来区分热机和制冷机是针对p－V图中循环曲线行进方向而言的.因此，对图(ａ)中的循环进行分析时，一般要先将其转换为p－V图.转换方法主要是通过找每一过程的特殊点，并利用理想气体物态方程来完成.由图(ａ)可以看出，BC为等体降温过程，CA为等温压缩过程；而对AB过程的分析，可以依据图中直线过原点来判别.其直线方程为V＝KT，C为常数.将其与理想气体物态方程pV＝RT比较可知该过程为等压膨胀过程(注意：如果直线不过原点，就不是等压过程).这样，就可得出p－V图中的过程曲线，并可判别是正循环(热机循环)还是逆循环(制冷机循环)，再参考题8－14的方法求出循环效率.解　(1)根据分析，将V－T图转换为相应的p－V图，如图(ｂ)所示.图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环.officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished\n(2)根据得到的p－V图可知，AB为等压膨胀过程，为吸热过程.BC为等体降压过程，CA为等温压缩过程，均为放热过程.故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为CA为等温线，有TA＝TC；AB为等压线，且因VC＝2VA，则有TA＝TB/2.对单原子理想气体，其摩尔定压热容Cp，m＝5R/2，摩尔定容热容CV，m＝3R/2.故循环效率为officiallyestablishedonJuly1,2013,Yibincity,formerlyknownasthebus,integratedoriginalrongzhoubuscompanyinYibincityandMetrobuscompany,formedonlyinYibincityofaState-ownedpublictransportenterprises,thecompanyconsistsofoneortwo,thirdDivision.Integrationofpublictransportservicesisnotyetestablished