大学物理下册复习 14页

12.4/29半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别ExxEθRdsEyOy为+λ和-λ，求圆心处的场强．[解答]在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ，电荷元为dq=λds，在O点产生的场强大小为，场强的分量为dEx=dEcosθ，dEy=dEsinθ．对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为dsExxEθREyOy．S2S1E`S1S2EEd2rS0E`S012．11/30一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E`．在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为，高斯面内的体积为V=2rS，包含的电量为q=ρV=2ρrS，根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES，高斯面在板内的体积为V=Sd，包含的电量为q=ρV=ρSd，根据高斯定理Φe=q/ε0，\n可得场强为E=ρd/2ε0，(r≧d/2)．②方法二：场强迭加法．（1）由于平板的可视很多薄板迭而成的，以r为界，下面平板产生E2dyryoE1d的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ=ρdy，产生的场强为dE1=dσ/2ε0，积分得，③同理，上面板产生的场强为，④r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r=d/2，得E2=0、E=E1=ρd/2ε0，E就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12．15/30真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2σ，B平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？[解答]两平面产生的电场强度大小分别为EA=2σ/2ε0=σ/ε0，EB=σ/2ε0，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E=EA-EB=σ/2ε0，方向由A平面指向B平面．两平面间的电势差为U=Ed=σd/2ε0，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为W=qU=qσd/2ε0．BoAPrArCrB图13.113．1/56一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）\n[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0，可得P点的电场强度为．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为13．3/56金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心qobar图13.3为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势迭加，大小为13．10/58圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效DS1S2S0rR2R1εl应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为q=λl，根据介质中的高斯定理Φd=q，可得电位为D=λ/2πr，方向垂直中心轴向外．\n电场强度为E=D/ε=λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为．电容为．在真空时的电容为，所以倍数为C/C0=ε/ε0．13．14一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C=(1+εr)ε0S/2d．（2）电容器充电前的电容为C0=ε0S/d，充电后所带电量为Q=C0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1=ε0S/2d；介质中的一半的电容为C2=ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1+Q2=Q．①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2．②解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为．同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为．\n13．17/58两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：（1）在半径为r(a>b，求B0与pm．[解答]（1）直线转动的周期为T=2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为dq=λdr，形成的圆电流元为dI=dq/T=ωλdr/2π，在圆心O点产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr，整个直线在O点产生磁感应强度为，\n如果λ>0，B的方向垂直纸面向外．（2）圆电流元包含的面积为S=πr2，形成的磁矩为dpm=SdI=ωλr2dr/2，积分得．如果λ>0，pm的方向垂直纸面向外．（3）当a>>b时，因为，所以．．14．20/99一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．[解答]（1）线圈半径为R=0.04m，面积为S=πR2，磁矩为pm=NIS=πR2NI，磁力矩为M=pmBsinθ．当θ=π/2时，磁力矩最大Mm=pmB=πR2NIB=0.18(N·m)．（2）由于M=Mmsinθ，当M=Mm/2时，可得sinθ=0.5，θ=30°或150°．15．3/112一螺绕环中心周长l=10cm，线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100mA．求：（1）管内磁感应强度B0和磁场强度H0为多少？（2）设管内充满相对磁导率μr=4200的铁磁质，管内的B和H是多少？（3）磁介质内部由传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B`各是多少？[解答]（1）管内的磁场强度为=200(A·m-1)．磁感应强度为B=μ0H0=4π×10-7×200=2.5×10-4(T)．（2）当管内充满铁磁质之后，磁场强度不变H=H0=200(A·m-1)．\n磁感应强度为B=μH=μrμ0H=4200×4π×10-7×200=1.056(T)．（3）由传导电流产生的B0为2.5×10-4T．由于B=B0+B`，所以磁化电流产生的磁感应强度为B`=B-B0≈1.056(T)．16．1/145一条铜棒长为L=0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO`在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B=1.0×10-4T．求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高．[解答]设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间dt后转过的角度为dθ=ωdt，OO`BABL/5ω图16.1扫过的面积为dS=R2dθ/2，切割的磁通量为dΦ=BdS=BR2dθ/2，动生电动势的大小为ε=dΦ/dt=ωBR2/2．根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高．AO和BO段的动生电动势大小分别为dθLωoRl，．由于BO>AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为=4.71×10-4(V)．[讨论]如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为．16．6/146如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t=0时，x=0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．BMNOvCDxθ图16.6（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变；（2）非均匀的交变磁场B=Kxcosωt．[解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为x=vt，\n杆的有效长度为l=xtanθ=v(tanθ)t，动生电动势为εi=Blv=Bv2(tanθ)t．（2）导体杆扫过的三角形的面积为S=xl/2=x2tanθ/2=v2t2tanθ/2，通过该面的磁通量为感应电动势为，即：．16．7/146如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ=3t2+2t+1，式中Φ的单位为毫韦伯，t的单位为秒．求：BR图16.7（1）在t=2s时回路中的感生电动势为多少？（2）电阻上的电流方向如何？[解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得Φ=(3t2+2t+1)/103，感生电动势大小为ε=|dΦ/dt|=2(3t+1)/103．t=2s时的感生电动势为1.4×10-2(V)．（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．16．9/146如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ=60°角，B=kt（k为大于零的常数）．长BAθLDBnv图16.9为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t=0时，x=0）．[解答]经过时间t，导体杆运动的距离为x=vt，扫过的面积为S=Lx=Lvt，通过此面积的磁通量为Φ=B·S=BScosθ=Lvkt2/2．感应电动势的大小为ε=dΦ/dt=Lvkt．\n由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．16．10/147长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I=I0cosωt规律随时BABvDCxrxdrxbxa图16.10间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．[解答]电流I在r处产生的磁感应强度为，穿过面积元dS=bdr的磁通量为，穿过矩形线圈ABCD的磁通量为，回路中的电动势为．显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．16．17/148长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I=I0sinωt时，Ibca图16.17求直导线中的感应电动势．[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B=μ0I/2πr．在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为，互感系数为．当线圈中通以交变电流I=I0sinωt\n时，直导线中的感应电动势大小为．16．19两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．[解答]两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的向量和B=B1+B2，磁场的能量为．（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ=0，所以，自感系数为．（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ=π，所以，自感系数为．16．21/149一螺绕环中心轴线的周长L=500mm，横截面为正方形，其边长为bboo`bI图16.21=15mm，由N=2500匝的绝缘导线均匀密绕面成，铁芯的相对磁导率μr=1000，当导线中通有电流I=2.0A时，求：（1）环内中心轴在线处的磁能密度；（2）螺绕环的总磁能．[解答]（1）设螺绕环单位长度上的线圈匝数为n=N/L，中心的磁感应强度为B=μnI，其中μ=μrμ0．磁场强度为H=B/μ=nI，因此中心轴在线能量密度为=2π×104(J·m-3)．（2）螺绕环的总体积约为V=b2L，将磁场当作匀强磁场，总磁能为W=wV=2π×104×(0.015)2×0.5=2.25π=7.07(J)．\n16．25/149一平行板电容器的两极板面积为S的圆形金属板，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q=qmsinωt．求：（1）电容器中的位移电流密度；（2）两极板间磁感应强度的分布．[解答](1)平行板电容器的面电荷密度为σ=q/S，位移电流密度为．（2）在安培-麦克斯韦环路定律中，两极板间没有传导电流，即I=0．由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为C=2πr，使磁场的方向与环路的方向相同，左边为．环路所包围的面积为S`=πr2，右边的位移电流为．因此，两极板间磁场强度的分布为，磁感应强度的分布为．