大学物理上 重点 17页

1-6　已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为,式中x的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)t＝4s时质点的速度和加速度．解　(1)质点在4.0s内位移的大小(2)由得知质点的换向时刻为(t＝0不合题意)则所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为(3)t＝4.0s时1-11　一质点P沿半径R＝3.0m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t＝0时,质点位于O点．按(a)图中所示Oxy坐标系,求(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．解　(1)如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P的参数方程为,　坐标变换后,在Oxy坐标系中有,　则质点P的位矢方程为(2)5ｓ时的速度和加速度分别为\n1-13　质点沿直线运动,加速度a＝4-t2,式中a的单位为m·ｓ-2,t的单位为ｓ．如果当t＝3ｓ时,x＝9m,v＝2m·ｓ-1,求质点的运动方程．解　由分析知,应有得(1)由得(2)将t＝3ｓ时,x＝9m,v＝2m·ｓ-1代入(1)(2)得v0＝-1m·ｓ-1,x0＝0.75m．于是可得质点运动方程为1-22　一质点沿半径为R的圆周按规律运动,v0、b都是常量．(1)求t时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈？解　(1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2)要使｜a｜＝b,由可得(3)从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为\n1-24　一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为,式中θ的单位为rad,t的单位为ｓ．(1)求在t＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ值为多少？(3)t为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？解　(1)由于,则角速度．在t＝2ｓ时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2)当时,有,即得此时刻的角位置为(3)要使,则有t＝0.55ｓ2-9　质量为m′的长平板A以速度v′在光滑平面上作直线运动,现将质量为m的木块B轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？解1　以地面为参考系,在摩擦力Fｆ＝μmg的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程Fｆ＝μmg＝ma1F′ｆ＝-Fｆ＝m′a2a1和a2分别是木块和木板相对地面参考系的加速度．若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a＝a1＋a2,木块相对平板以初速度-v′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有-v′2＝2as由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为\n2-13　一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t＝0时,v0＝5m·ｓ-1,x0＝2m,质点质量m＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．解　由题图得由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为对0＜t＜5ｓ时间段,由得积分后得再由得积分后得将t＝5ｓ代入,得v5＝30m·ｓ-1和x5＝68.7m对5ｓ＜t＜7ｓ时间段,用同样方法有得再由得x＝17.5t2-0.83t3-82.5t＋147.87将t＝7ｓ代入分别得v7＝40m·ｓ-1和　x7＝142m\n-16　质量为m的跳水运动员,从10.0m高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2,其中b为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴,求：(1)运动员在水中的速率v与y的函数关系；(2)如b/m＝0.40m-1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)解　(1)运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为运动员入水后,由牛顿定律得P-Fｆ-F＝ma由题意P＝F、Fｆ＝bv2,而a＝dv/dt＝v(dv/dy),代入上式后得-bv2＝mv(dv/dy)考虑到初始条件y0＝0时,,对上式积分,有(2)将已知条件b/m＝0.4m-1,v＝0.1v0代入上式,则得3-22　一质量为m的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点的最初速率是v0．当它运动一周时,其速率为v0/2．求：(1)摩擦力作的功；(2)动摩擦因数；(3)在静止以前质点运动了多少圈？解　(1)摩擦力作功为(1)(2)由于摩擦力是一恒力,且Fｆ＝μmg,故有(2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为(3)由于一周中损失的动能为,则在静止前可运行的圈数为圈\n2-19　光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0,求：(1)t时刻物体的速率；(2)当物体速率从v0减少到12v0时,物体所经历的时间及经过的路程．解　(1)设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN,由上述各式可得取初始条件t＝0时v＝v0,并对上式进行积分,有(2)当物体的速率从v0减少到1/2v0时,由上式可得所需的时间为物体在这段时间内所经过的路程3-19　一物体在介质中按规律x＝ct3作直线运动,c为一常量．设介质对物体的阻力正比于速度的平方．试求物体由x0＝0运动到x＝l时,阻力所作的功．(已知阻力系数为k)解　由运动学方程x＝ct3,可得物体的速度按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为则阻力的功为\n2-21　一物体自地球表面以速率v0竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为Fr＝kmv2,其中m为物体的质量,k为常量．试求：(1)该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)解　分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y轴(如图所示)．(1)物体在上抛过程中,根据牛顿定律有依据初始条件对上式积分,有物体到达最高处时,v＝0,故有(2)物体下落过程中,有对上式积分,有则3-25　用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00×10-2m．第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？解　因阻力与深度成正比,则有F＝kx(k为阻力系数)．现令x0＝1.00×10-2m,第二次钉入的深度为Δx,由于钉子两次所作功相等,可得Δx＝0.41×10-2m\n3-14　质量为m′的人手里拿着一个质量为m的物体,此人用与水平面成α角的速率v0向前跳去．当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出．问：由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少？(假设人可视为质点)解　取如图所示坐标．把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有式中v为人抛物后相对地面的水平速率,v-u为抛出物对地面的水平速率．得人的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为所以,人跳跃后增加的距离3-22　一质量为m的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点的最初速率是v0．当它运动一周时,其速率为v0/2．求：(1)摩擦力作的功；(2)动摩擦因数；(3)在静止以前质点运动了多少圈？解　(1)摩擦力作功为(1)(2)由于摩擦力是一恒力,且Fｆ＝μmg,故有(2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为(3)由于一周中损失的动能为,则在静止前可运行的圈数为圈\n3-30　质量为m的弹丸A,穿过如图所示的摆锤B后,速率由v减少到v/2．已知摆锤的质量为m′,摆线长度为l,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸速度v的最小值应为多少？解　由水平方向的动量守恒定律,有(1)为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力FＴ＝0,则(2)式中v′h为摆锤在圆周最高点的运动速率．又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有(3)解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为4－11　用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动(如图)．记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量．试写出它的计算式．(假设轴承间无摩擦)．解1　设绳子的拉力为FＴ，对飞轮而言，根据转动定律，有(1)而对重物而言，由牛顿定律，有(2)由于绳子不可伸长，因此，有(3)重物作匀加速下落，则有(4)由上述各式可解得飞轮的转动惯量为\n3-35　打桩机锤的质量为m＝10t,将质量为m′＝24t、横截面为S＝0.25m2(正方形截面)、长达l＝38.5m的钢筋混凝土桩打入地层,单位侧面积上受泥土的阻力为K＝2.65×104N·m-2．问：(1)桩依靠自重能下沉多深？(2)在桩稳定后,将锤提升至离桩顶面1m处,让其自由下落击桩,假定锤与桩发生完全非弹性碰撞．第一锤能使桩下沉多少？(3)若桩已下沉35m时,锤再一次下落,此时锤与桩碰撞已不是完全非弹性碰撞了,锤在击桩后反弹起0.05m,这种情况下,桩又下沉多少？解　(1)在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有(1)桩下沉的距离为(2)锤从1m高处落下,其末速率为．由于锤与桩碰撞是完全非弹性的,锤与桩碰撞后将有共同的速率,按动量守恒定律,有(2)随后桩下沉的过程中,根据系统的功能原理,有(3)由式(2)、(3)可解得桩下沉的距离为h2＝0.2m(3)当桩已下沉35m时,再一次锤桩,由于此时的碰撞是一般非弹性的,锤碰撞后的速率可由上抛运动规律得,再根据动量守恒定律,有(4)随后,桩在下沉过程中,再一次应用系统的功能原理,得(5)由式(4)、(5)可得桩再一次下沉的距离h3＝0.033m5－14　设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量解1　由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，\n－17　一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ.(1)求圆盘所受的摩擦力矩.(2)问经多少时间后，圆盘转动才能停止？解　(1)由分析可知，圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩为式中k为轴向的单位矢量.圆盘所受的总摩擦力矩大小为(2)由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量J＝mR2/2.由角动量定理MΔt＝Δ(Jω)，可得圆盘停止的时间为4－23　一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动惯量为450kg·m2的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计.如果此小孩相对转台以1.00m·s－1的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大？解　由相对角速度的关系，人相对地面的角速度为由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有式中J0、J1＝mR2分别为转台、人对转台中心轴的转动惯量.由式(1)、(2)可得转台的角速度为式中负号表示转台转动的方向与人对地面的转动方向相反.\n4－24　一转台绕其中心的竖直轴以角速度ω0＝πs-1转动，转台对转轴的转动惯量为J0＝4.0×10-3kg·m2.今有砂粒以Q＝2tg·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r＝0.10m，求砂粒下落t＝10s时，转台的角速度.解　在时间0→10s内落至台面的砂粒的质量为根据系统的角动量守恒定律，有则t＝10s时，转台的角速度4－26　一质量为m′、半径为R的转台，以角速度ωA转动，转轴的摩擦略去不计.(1)有一质量为m的蜘蛛垂直地落在转台边缘上.此时，转台的角速度ωB为多少？(2)若蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心，当它离转台中心的距离为r时，转台的角速度ωc为多少？设蜘蛛下落前距离转台很近.解　(1)蜘蛛垂直下落至转台边缘时，由系统的角动量守恒定律，有式中为转台对其中心轴的转动惯量，为蜘蛛刚落至台面边缘时，它对轴的转动惯量.于是可得(2)在蜘蛛向中心轴处慢慢爬行的过程中，其转动惯量将随半径r而改变，即.在此过程中，由系统角动量守恒，有5－34　在面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密度为.A点的坐标为，B点的坐标为，求电势差.解　假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度σ的一个完整球面，此时在A、B两点的电势分别为则半球面在A、B两点的电势差\n4－30　如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度ω0在无摩擦的水平面上，作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2的圆周运动.试求：(1)小球新的角速度；(2)拉力所作的功.解　(1)根据分析，小球在转动的过程中，角动量保持守恒，故有式中J0和J1分别是小球在半径为r0和12r0时对轴的转动惯量，即式中J0和J1分别是小球在半径为r０和1/2r０时对轴的转动惯量，即和，则(2)随着小球转动角速度的增加，其转动动能也增加，这正是拉力作功的结果.由转动的动能定理可得拉力的功为4－34　如图所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO′自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始的角速度为ω0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动.问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？(假设环内壁光滑.解　以环和小球为转动系统，由系统的角动量守恒有(1)取环、小球与地球为系统时，由系统的机械能守恒可得(2)由式(1)、(2)可解得小球在B点时，环的角速度与小球相对于环的线速度分别为　　　　小球在C点时，由于总的转动惯量不变，用同样的方法可得环的角速度和小球相对于环的速度分别为\n5－10　一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.解　将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O激发的电场强度为由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，统一积分变量，有积分得5－17　设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.解1　因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理得球体内(0≤r≤R)球体外(r＞R)\n5－19　在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O′的矢量用a表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为证　带电球体内部一点的电场强度为所以，根据几何关系，上式可改写为－22　如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.解1　由题意Q1所受的合力为零解得由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为将Q2从点O沿y轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为\n5－27　两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？解2　(1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1，则若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则(2)两个球面间的电势差5－20　一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一解　取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析r＜R1，该高斯面内无电荷，，故R1＜r＜R2，高斯面内电荷故R2＜r＜R3，高斯面内电荷为Q1，故r＞R3，高斯面内电荷为Q1＋Q2，故电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r＝R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量\n