大学物理：力学作业 25页

1.2一质点的运动学方程为试求：(1)轨迹方程；(2)第1秒末到第3秒末的位移；(3)在这段时间的平均速度；(4)第3秒末的速度和加速度。解：(1)由题意，在直角坐标系中运动学方程表示为：消去时间t可得轨迹方程，即(2)由题意，第1秒末到第3秒末的位移为：(3)由平均速度的定义得第1章习题\n(4)由速度和加速度的定义，得则第3秒末的速度和加速度分别为：\n1.3质点M在水平面内运动轨迹如图所示，OA为直线，AB、BC段分别不同半径的两个1/4圆周。设t=0时，M在O点，已知运动方程为，求t=2s时的法向和切向加速度。OABC15mR1=15mR2=30m解：由题意，在自然坐标系中质点的运动学方程为当t=2s时质点位于BC圆弧上\nOABC15mR1=15mR2=30m由速度的定义得切向和法向加速度的大小为：当t=2s时\n1.6距海岸（视为直线）500米处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速n=1r/min转动，当光束与岸边成60°时，光束沿岸边移动速度多大？解：首先建立p的运动方程x(t)\n解：（2）角加速度随时间变化的规律为1.10某种电动启动后转速随时间变化的关系为，式中，．求（1）时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后6s内转过的圈数．（1）因得（3）启动后6s内内转过的圈数\n1.12一个人以2.0km.h-1速率自东向西而行，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至4.0km.h-1时看见雨滴与人前进方向成135度落下。试求雨滴对地的速度。根据速度变换定理画出矢量图解：得雨滴对地的速度大小为方向为：西偏南45度角\n2.1一木块能在与水平面成θ角的斜面上以匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，求它能沿该斜面向上滑动的距离。x取沿斜面向上为x轴正向，由牛顿定律分别列出下滑过程的动力学方程：解：选定木块为研究对象，其受力如图所示。上滑过程的动力学方程：分离变量积分得第2章习题\n解：2.7一质量为1kg的质点在力的作用下作直线运动。在t=0时，x0=5.0m，v0=6.0m.s-1，求质点在任意时刻的速度和位置。由牛顿第二定律得：由速度的定义\ndmoxyba2.14试求质量面密度为σ的均匀矩形板对通过板面中心且垂直于板面的轴的转动惯量。设矩形板的长和宽分别为a和b。=m(a2+b2)/12注意：质量元的选取；积分上下限。\n2.17如图所示，圆柱体A的质量m1=16kg，半径R=15cm，可绕其水平固定轴转动，一柔软轻剩绕在圆柱体上，其一端系一质量为m2=8.0kg的物体B，若不计摩擦力和绳的质量，求：(1)B由静止下落1.0s后下落的距离；(2)绳的张力。m1m2解分别以物体、圆柱体为研究对象，进行受力分析，取竖直向下为y轴正向，如图所示。由牛顿第二定律和刚体绕定轴转动的转动定律列方程得联立求解：yAB\nm1m2绳的张力为：物体的加速度为：物体由静止下落1s后下落的距离为：\n3.3如图所示，传递带以恒定的速度v水平运动，传递带上方高为H处有一盛饲料的漏斗，它向下释放饲料，若单位时间的落料量为r，试求传递带受到饲料的作用力的大小和方向（不计相对传送带静止的饲料质量）Hv解以t~t+dt内落到传递带上的饲料为研究对象，它的质量为dm=rdt，在与传递带接触之前的速度大小为：与传递带接触之后的末动量为：则初动量为：该研究对象受到传递带的弹力和自身重力，分别为：根据动量定理第3章习题\n忽略微小量得：由矢量三角形可知：与传递带的夹角为：所以，传递带受到饲料的作用力与互为作用力和反作用力的大小：与的大小相同；方向：与的方向相反。θ\n3.4质量分别为m1和m2的两个运动员，在光滑的水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时双方静止，相距为l。问：他们将在何处相遇？把两个运动员和绳看作一个系统，建立如图坐标系，以两个运动员的中点为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为m1的运动员坐标为x10，质量为m2的运动员坐标为x20，在t时刻，两人在坐标x处相遇，则Cm2m1x10x20xO解系统水平方向不受外力，此方向动量守恒，他们在任意时刻的速度分别v1为v2，则\nCm2m1x10x20xO联立以上两式得：\n3.6一质量为M、半径R的均匀圆盘通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度w转动。若在某时刻，一质量为m的小碎块从盘边缘裂开，且洽好沿铅直方向上抛，问它可达到多大高度？破裂后圆盘的角动量为多大？解碎块抛出时的初速度为：碎块从盘边缘裂开，且洽好沿铅直方向抛出，对碎块，由机械能守恒得：碎块从盘边缘裂开过程中，系统只受重力，重力对转轴的力矩为零，满足角动量守恒定律，则：所以：wMRmv0\n3.8长为1m、质量为2.5kg的一均质棒，垂直悬挂在转轴O上，用F=100N的水平力撞击棒的下端，该力的作用时间为0.02s。试求：(1)棒所获得的角动量；(2)棒的下端点上升的距离。解(1)根据角动量定理，力F作用于棒的冲量矩等于棒角动量的增量，则Ol1.0mF(2)力撞击后，棒运动过程中，机械能守恒，棒悬垂时自由端所在平面为零势能面，设棒的下端点上升的距离为h，则\n棒的下端点上升的距离为Ol1.0mF\n3.10在一光滑水平面上固定半圆形滑槽，质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入滑槽端，滑块与滑槽的摩擦系数为m，滑块运动情况及受力分析如图所示。试求当滑块从滑槽另一端滑出时，摩擦力所做的功。mv0NOfq解由题意，根据受力分析图，可知N提供向心力，则而对于滑块，由动能定理，得：\n当滑块从槽一端滑出时，其速度大小为：由动能定理，整个过程中摩擦力所做的功：\n3.12如图所示，有一表面光滑的圆柱体和一弹簧T，圆柱体的底面半径为R，弹簧的质量为m，，劲度系数为k，开始时质量为m的物体在A处，弹簧无伸长，如果在拉力F的作用下，它沿柱面切向匀速地由A运动到B处，试计算F所做的功。RaqBAC解由题意，在整个过程中，重力所做的功为：弹力所做的功为：整个过程中，拉力所做的功为A，对物体，由动能定理，得可求得\n3.20如图所示，质量为2m，长l的均匀细杆可绕通过其上端的水平光滑固定轴O转动，另一质量为m的小球，用长也为l的轻绳系于O轴上。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一角度θ，然后使其自由摆下与杆端相碰撞（设为弹性碰撞），结果使杆的最大偏角为π/3，求小球最初被拉开的角度θ。Oll解设小球与杆端碰前的速度为v，对小球由机械能守恒得：小球与杆端碰撞瞬间，受转轴的作用力在水平方向上有分力，水平方向上系统的动量不守恒，但系统的角动量守恒，得\nOll小球与杆端碰撞是完全弹性碰撞，碰撞过程中动能守恒，得：碰后，杆上升，只有重力做功，对杆，机械能守恒，得：联立以上各式，解得：\n3.21有一水桶，截面积很大，桶内水深1m，在桶底开了一0.2m2截面积的小孔，使水能连续流出。求：(1)水的流量；(2)在桶下方多少距离处，水流截面积变为孔口面积的一半？(1)选桶底为参考平面，由伯努利方程，得：则水的流量为：解(2)设在桶下方h2距离处，水流截面积变为孔口面积的一半。由连续性原理和伯努利方程得：