大学物理-教案(上) 142页

..第一章质点运动学§1-1质点运动的描述一、参照系坐标系质点1、参照系为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。2、坐标系为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。3、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）⑵质点突出了物体两个基本性质1）具有质量2）占有位置⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。二、位置矢量运动方程轨迹方程位移1、位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是直角坐标系，为质点的位置矢量（1-1）位矢大小：（1-2）方向可由方向余弦确定：，，2、运动方程z..\n..质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。运动方程⑴矢量式：（1-3）⑵标量式：，，（1-4）3、轨迹方程从式（1-4）中消掉，得出、、之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为，，得轨迹方程为（抛物线）4、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。设、时刻质点位矢分别为、，则时间间隔内位矢变化为（1-5）称为该时间间隔内质点的位移。（1-6）大小为讨论：⑴比较与：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量⑵比较与（A→B路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下。当时，。⑶什么运动情况下，均有？三、速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。1、平均速度如图1-3，定义：（1-7）称为时间间隔内质点的平均速度。(1-8）方向：同方向。说明：与时间间隔相对应。2、瞬时速度粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。z..\n..定义：称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度。（1-9）结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。（1-10）式中，。、分别为在、轴方向的速度分量。的大小：的方向：所在位置的切线向前方向。与x正向轴夹角满足。3、平均速率与瞬时速率定义：（参见图1-3）称为质点在时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。定义：称为时刻质点的瞬时速率，简称速率。当时（参见图1-3），，，有可知：即（1-11）结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。说明：⑴比较与：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。⑵比较与：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。四、加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。1、平均加速度定义：（见图1-4）称为时间间隔内质点的平均加速度。2、瞬时加速度z..\n..为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。定义：称为质点在时刻的瞬时加速度，简称加速度。（1-12）结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。式中：，。、分别称为在x、y轴上的分量。的大小：的方向：与x轴正向夹角满足说明：沿的极限方向，一般情况下与方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。瞬时量：，，，综上：过程量：，，，矢量：，，，，，标量：，，五、直线运动质点做直线运动，如图1-51、位移：沿+x轴方向；：沿-x轴方向。2、速度，沿+x轴方向；，沿-x轴方向。3、加速度，沿+x轴方向；，沿-x轴方向。z..\n..由上可见，一维运动情况下，由、、的正负就能判断位移、速度和加速度的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。六、运动的二类问题运动方程、等例1-1：已知一质点的运动方程为（SI），求：⑴t=1s和t=2s时位矢；⑵t=1s到t=2s内位移；⑶t=1s到t=2s内质点的平均速度；⑷t=1s和t=2s时质点的速度；⑸t=1s到t=2s内的平均加速度；⑹t=1s和t=2s时质点的加速度。解：⑴mm⑵m⑶m/s⑷m/sm/s⑸m/s2⑹m/s2例1-2：一质点沿x轴运动，已知加速度为(SI)，初始条件为：时，，m。求：运动方程。解：取质点为研究对象，由加速度定义有（一维可用标量式）由初始条件有：得：由速度定义得：z..\n..由初始条件得：即m由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。§1-2圆周运动一、自然坐标系图2-1中，BAC为质点轨迹，时刻质点P位于A点，、分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，切向和法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图1-7，质点做半径为的圆周运动，时刻，质点速度（2-1）式（2-1）中，为速率。加速度为（2-2）式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速度，记为（2-3）式（2-3）中，（2-4）为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。2、法向加速度z..\n..式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图1-8，质点由A点运动到B点，有因为，，所以、夹角为。（见图1-9）当时，有。因为，所以由A点指向圆心O，可有式（2-2）中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为（2-5）大小为（2-6）式（2-6）中，是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。3、总加速度（2-7）大小：（2-8）方向：与夹角（见图1-10）满足4、一般曲线运动圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。讨论：⑴如图1-10，总是指向曲线的凹侧。⑵时，，质点做直线运动。此时z..\n..⑶时，有限，质点做曲线运动。此时⑷三、圆周运动的角量描述1、角坐标如图1-11，时刻质点在A处，时刻质点在B处，是OA与x轴正向夹角，是OB与x轴正向夹角，称为时刻质点角坐标，为时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。2、角速度平均角速度：定义：（2-9）称为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。定义：（2-10）（2-11）结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。说明：角速度是矢量，的方向与角位移方向一致。3、角加速度为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。（1）平均角加速度：z..\n..设在内，质点角速度增量为定义：（2-12）称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬时角加速度：定义：（2-13）称为时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。（2-14）结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加速度是矢量，方向沿方向。4、线量与角量的关系把物理量、、、、等称为线量，，等称为角量。（1）、与关系如图2-7，时，有即（2-15）（2）、与关系式（2-15）两边对求一阶导数，有即（2-16）（3）、与关系即（2-17）z..\n..§1-3相对运动本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。一、相对位矢设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图1-13，二坐标系相应坐标轴平行，M相对于E运动。质点P相对E、M的位矢分别为、，相对位矢为：(2-18)结论：P对E的位矢等于P对M的位矢与对E的位矢的矢量和。二、相对位移由（2-18）有（2-19）结论：P对E的位移等于P对M的位移与对E的位移的矢量和。三、相对速度将式（2-18）两边对时间求一阶导数有（2-20）结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。四、相对加速度由式（2-20）对时间求一阶导数有（2-21）结论：P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量和。例1-3：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为，和，速度为，试说明下式正确的有哪些？⑴⑵⑶z..\n..⑷解：因为标量矢量，所以⑴不对。又，而，故⑵不对。而，因此⑶正确。由于中为曲率半径，而这里为位矢的大小，不一定是曲率半径，所以⑷不对。例1-4：在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中，，都是正的常数，则时刻齿尖P的速度和加速度大小为多少？解：例1-5：一质点运动方程为（SI），求：（1）（2）解：⑴m/s⑵m/s2(注意此方法，给定运动方程，先求出、，之后求，这样比用求简单)例1-6：抛射体运动，抛射角为，初速度为，不计空气阻力，⑴问运动中变化否？、变否？⑵任意位置、为多少？⑶抛出点、最高点、落地点、各为多少？曲率半径为多少？解：如图所取坐标，x轴水平，y轴竖直，为抛射点。⑴质点受重力恒力作用，有，故不变.z..\n..∵，而改变，∴变。∵而不变，变，∴变。⑵任意位置P处，质点的、为⑶抛射点处，，，有最高点：，，∵落地点：与出射点对称∴例1-7：一质点从静止（）出发，沿半径为m的圆周运动，切向加速度大小不变，为m/s2,在时刻，其总加速度恰与半径成45°角，求解：依题意知，与夹角为45°，有①∵②由②有得：s例1-8：某人骑自行车以速率向西行使，北风以速率吹来（对地面），问骑车者遇到风速及风向如何？解：地为静系E，人为动系M。风为运动物体Pz..\n..绝对速度：，方向向南；牵连速度：，方向向西；求相对速度方向如何？∵∴有图1-15。∵∴45°方向：来自西北。或东偏南45°。第二章牛顿运动定律§2-1牛顿运动定律力一、牛顿运动定律1、第一定律时，（2-1）说明：⑴反映物体的惯性，故叫做惯性定律。⑵给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。2、第二定律（2-2）说明：⑴为合力⑵为瞬时关系⑶矢量关系⑷只适应于质点⑸解题时常写成（直角坐标系）（2-3）（自然坐标系）（2-4）3、第三定律z..\n..（2-5）说明：⑴、在同一直线上，但作用在不同物体上。⑵、同有同无互不抵消。二、几种常见的力1、力力是指物体间的相互作用。2、力学中常见的力（1）万有引力（2-6）即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量、的乘积成正比，和它们距离的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。（2）弹性力弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。（3）摩擦力当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。3、两种质量由可证明：，适选单位可有。∴以后不区别二者，统称为质量。§2-2力学单位制和量纲（自学）§2-3惯性系力学相对性原理一、惯性参照系z..\n..在运动学中，参照系可任选，在应用牛顿定律时，参照系不能任选，因为牛顿运动定律不是对所有的参照系都适用。如图2-1，假设火车车厢的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，显然小球受合外力=0，当火车以加速度向前开时，车上人看见小球以加速度向后运动。而对地面上人来说，小球的加速度为零。如果取地参系，小球的合外力等于零，故此时牛顿运动定律（第一、二定律）成立。如果取车厢为参照系，小球的加速度，而作用小球的合外力，故此时牛顿运动定律（第一、第二定律）不成立。凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。说明：（1）一个参照系是否为惯性系，要由观察和实验来判断。天文学方面的观察证明，以太阳中心为原点，坐标轴的方向指向恒星的坐标轴是惯性系。理论证明，凡是对惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。（2）地球是否为惯性系？因为它有自转和公转，所以地球对太阳这个惯性系不是作匀速直线运动的，严格讲地球不是惯性系。但是，地球自转和公转的角速度都很小，故可以近似看成是惯性系。二、力学相对性原理在1-3中已讲过，参照系E与M，设E是一惯性系，M相对E以做匀速直线运动，即OM也是一惯性系，二参照系相应坐标轴平行，在E、M上牛顿第二定律均成立，设一质点P1质量为m，相对E、M有（2-7）设P相对E、M的速度分别为、，有（2-8）上式两边对求一阶导数有（2-9）可见，P对E和M的加速度相同。综上可知，对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式（见（2-7）），在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对其它惯性系是否在运动（见（2-9）），这个原理称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。§2-4牛顿定律应用举例例2-1:如图2-2，水平地面上有一质量为M的物体，静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为，若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？解：⑴研究对象：Mz..\n..⑵受力分析：M受四个力，重力，拉力，地面的正压力，地面对它的摩擦力，见图2-3。⑶牛顿第二定律：合力：分量式：取直角坐标系x分量：①y分量：②物体启动时，有③物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即，由②解出N，求得为：④④代③中：有⑤可见：。时，要求分母最大。设∵∴时，。代入⑤中，得：方向与水平方向夹角为时，即为所求结果。强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标）。例2-2：质量为的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值为，为常数。求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。解：⑴研究对象：m⑵受力分析：m受两个力，重力及空气阻力，如图2-4。⑶牛顿第二定律：合力：z..\n..y分量：即①时，物体达到了最高点，可有为②∵∴③时，，例2-3：如图2-5，长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于原点o，开始时小球处于最低位置，若小球获得如图所示的初速度z..\n..，小球将在竖直面内作圆周运动，求:小球在任意位置的速率及绳的张力。解：⑴研究对象：m⑵受力分析：小球受两个力，即重力，拉力，如图2-6。⑶牛顿定律：应用自然坐标系，运动到处时，分量方程有，方向：①方向：②由②有：即作如下积分：有得：代①中，得：例2-4：如图2-6，一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端各系一质量为和的物体，且，设滑轮的质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加速度相对地面向上运动，试求两物体相对定滑轮的加速度大小及绳中张力。解：⑴研究对象：、⑵受力分析：、各受两个力，即重力及绳拉力，如图2-7。⑶牛顿定律设对定滑轮及地加速度为、，对定滑轮及地加速度为、，：：如图所选坐标，并注意，，有解得：z..\n..例2-5：如图2-8，质量为的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一质量为的木块放在的斜面上，与间无摩擦。试求对地的加速度和对的加速度。解：⑴研究对象：、⑵受力分析：受三个力，重力，正压力，地面支持力。受两个力，重力，的支持力，如图2-9所。取坐标系，设对地加速度为，对的加速度为，对地的加速度为有由牛顿得二定律有：：x分量：①y分量：②：③由①、②、③有：强调：相对运动公式的应用。第三章动量守恒和能量守恒定律§3-1质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理1、动量质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量，记为。（3-1）说明：⑴是矢量，方向与相同⑵是瞬时量⑶是相对量z..\n..⑷坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量牛顿第二定律原始形式由此有积分：（3-2）定义：称为在时间内力对质点的冲量。记为（3-3）说明：⑴是矢量⑵是过程量⑶是力对时间的积累效应⑷的分量式∵（3-4）∴分量式（3—4）可写成（3-5）、、是在时间内、、平均值。3、质点的动量定理由上知（3-6）结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。说明：⑴与同方向⑵分量式（3-7）⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化z..\n..⑷成立条件：惯性系⑸动量原理对碰撞问题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含个质点，第个质点的质量和速度分别为、，对于第个质点受合内力为，受合外力为，由牛顿第二定律有对上式求和，有因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故，有（3-8）结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。式（3-8）可表示如下（3-9）即（3-10）结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。例3-1：质量为的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间，打击前铁锤速率为，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？解：设竖直向下为正，由动量定理知：强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量例3-2：一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x方向运动，N·S（沿方向）N·S（沿方向）z..\n..∵∴例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为kg，速率m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为°。⑴求碰撞过程中小球受到的冲量⑵设碰撞时间为s，求碰撞过程中小球受到的平均冲力解：⑴如图3-1所取坐标，动量定理为〈方法一〉用分量方程解N·S〈方法二〉用矢量图解如上图3-1所示。∵,∴故为等边三角形。m/s,沿方向∴N·S，沿方向。⑵N注意：此题按求困难（或求不出来）时，用公式求方便。§3-2动量守恒定律由式（3-8）知，当系统受合外力为零时(3-11)即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。说明：⑴动量守恒条件：，惯性系。⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。z..\n..⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。⑷时，若在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。⑸动量守恒是指（不随时间变化），∴此时要求。⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。例3-4：如图3-2，质量为的水银球，竖直地落到光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的速度分别为、，大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第三等份的速度。解：〈方法一〉用分量式法解研究对象：小球受力情况：只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故水平方向动量守恒。在水平面上如图3-2取坐标，有∴〈方法二〉用矢量法解∵及∴即即有图3-3。可得m/s得强调：要理解动量守恒条件例3-5：如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为长为的小车，车上一端有一质量为的人，起初、均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？解：研究对象：、为系统∵此系统在水平方向受合外力为零，z..\n..∴在此方向动量守恒。〈方法一〉（对地）即如图所取坐标，标量式为即积分（，在A处，，在B处）即得由图3-4知：<方法二〉标量式：即积分：①可知：②由①、②得：例3-6：质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用以与水平方向成角的速率向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解：如图3-5，设P为抛出物体后人达到的最高点，、分别为抛球前后跳跃的距离。研究对象：人、物体组成的系统，∵该系统在水平方向上合外力=0，∴在水平方向上系统的动量分量守恒。设在P点，人抛球前、后相对地的速度分别为、，在P点抛球后球相对地速度为，有z..\n..标量式：即得：强调：，。因为是与同时产生的，而人速度为时，还没产生§3-3碰撞一、碰撞碰撞特点：⑴碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。⑵机械能二、完全弹性碰撞1、对心情况（一维）如图3-6，以与为系统，碰撞中（3-12）（3-14）（，沿+x方向；反之，沿-x方向）解得：（3-15）z..\n..讨论：⑴（交换速度）⑵2、非对心情况设，且，可知，、系统动量及动能均守恒，即（3-16）（3-17）可知，、、是以为斜边的直角三角形，如图3-7。§3-4动能定理一、功定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不变。如图3-8，功为(3-18)即(3-19)说明：⑴为标量⑵功是过程量⑶功是相对量⑷功是力对空间的积累效应⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。z..\n..2、变力的功设质点做曲线运动，如图3-9。为变力，在第个位移元中，看作恒力，对物体做功为质点从过程中，对质点做的功为功的精确数值为即：（3-20）讨论：⑴恒力功⑵直线运动设，如图3-10，质点在中，功为⑶合力功设质点受个力，，，…，，合力功为二、功率定义：力在内对物体做功为，下式称为在时间间隔内的平均功率。下式称为瞬时功率，即（3-21）z..\n..三、质点的动能定理1、动能定义：（3-20）式（3-20）中，、分别为物体质量和速率。称为质点的动能。说明：⑴为标量；⑵为瞬时量；⑶为相对量。2、质点的动能定理设做曲线运动，如图3-11，合力为，在a、b二点速度分别为、。在c点力为，位移为，由牛顿定律有：（切线上）即即做如下积分：可写成：（3-21）结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。说明：⑴⑵为过程量，为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。⑶动能定理成立的条件是惯性系。⑷功是能量变化的量度。例3-7：如图3-12，篮球的位移为，与水平线成角，，球质量为，求重力的功。解：⑴研究对象：球z..\n..⑵重力为恒力⑶强调：恒力功公式的使用.例3-8：如图3-13，远离地面高处的物体质量为，由静止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对做的功。解：c点：例3-9：力(SI)作用在的质点上。物体沿x轴运动，时，。求前二秒内对作的功。解：⑴研究对象：⑵直线问题，沿+x轴方向〈方法一〉按作在此有：∵∴做如下积分：有∵即∴〈方法二〉用动能定理作例3-10：质量为的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14所示。若时，，试求时，解：在到过程中，外力功为由动能定理为：z..\n..即§3-5保守力与非保守力势能一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点1、万有引力功及特点如图3-15，设质量为物体在质量为的引力场中运动，（不动），从中，引力功=？在任一点c处，（变力）（3-22）∵∴又∵∴（3-23）特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。2、重力功及特点如图3-16，质点经acb路径由，位移为，在地面附近重力可视为恒力，故功为（3-24）特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。3、弹性力功及特点如图3-17，称为弹簧振子，处于x处时，它受弹性力为从坐标过程中，弹性力做功为z..\n..（3-25）特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。如：物体可以从处向左移，然后向右平移至处，也可以从处直接移到处。但是，无论怎样从处移到处，弹性力做的功都是上述结果。二、保守力和非保守力1、保守力与非保守力如果力对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：（3-26）及（3-27）由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。三、势能对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：（3-28）结论：保守力功=相应势能增量的负值。[*从理论上讲，∵∴即是无旋的，∵∴与有对应关系，可定义为与相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]（3-29）（3-30）（3-31）z..\n..说明：（1）（2）（3）§3-6功能原理机械能守恒定律一、质点系的动能定理系统中有个物体，第个物体受合外力为，合内力为，在某一过程中，合外力功为，合内力功为，由单个质点的动能定理，对第个质点有：（3-32）。对上式两边求和，有（3-33）（3-34）结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。二、功能原理作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。由质点动能定理有（3-35）结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。⑵功是能量变化或转化的量度⑶能量是系统状态的单值函数z..\n..三、机械能守恒定律由功能原理知，当时，有（3-36）结论：当时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度时，有人列出了方程（不计空气阻力）列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？解：⑴动能定理为合力功=质点动能增量⑵功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取、地为系统）⑶机械能守恒定律∵∴即可见，此人用的是质点的动能定理。例3-12：如图3-19，质量为的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为，槽半径为。求从A→B过程中摩擦力做的功。解：〈方法一〉按功定义，在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为z..\n..〈方法二〉用质点动能定理受三个力，，，由有即∴〈方法三〉用功能原理取、地为系统，∵无非保守内力∴，功为（不作功，及槽对地的力也不做功）由有即注意：此题目机械能不守恒。例3-13：质量为、的二质点靠万有引力作用，起初相距，均静止。它们运动到距离为时，它们速率各为多少？解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即①②由①、②解得：z..\n..第四章刚体的转动§4-1刚体运动一、刚体定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。说明：⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的。二、刚体运动刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。（2）转动：1）绕点转动2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等）三、定轴转动（本章仅讨论此情况）定义：转轴固定时称为定轴转动。转动特点：⑴刚体上各点的角位移相同（如：皮带轮），各点的、相同。⑵刚体上各点的、、一般情况下不同。说明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。见图4-1。⑵§4-2力矩转动定律转动惯量一、力矩1、外力在垂直于轴的平面内如图4-2：z..\n..定义：⑴力矩：（4-1）⑵力矩：大小：（，称为力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、构成的平面即与轴平行。注意：是、间夹角。2、外力不在垂直于轴的平面内如图4-3：∵对转动无贡献∴对转动有贡献的仅是。产生的力矩即的力矩，故上面的结果仍适用。说明：平行轴或经过轴时。二、转动定律时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。推导：如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统，这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。考虑第个质点：质量：到轴的距离：受力：外力：；内力：（设、在垂直于转轴的平面内）在切线方向上由牛顿定律有：（4-2）即（4-3）（4-3）×:（4-4）每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有（4-5）可证明。证明如下：z..\n..如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力，他们是一对一对的作用力和反作用力。对、两质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对第个质点作用力，为第个质点对第个质点作用力。∵与共线∴力臂相等又∵与等值反向∴与产生力矩等值反向，故与力矩合=0由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。令（4-6）即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。说明：⑴,与方向相同⑵为瞬时关系⑶转动中与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。*比较⑷为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。三、转动惯量1、：转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为。求：⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量；z..\n..⑵系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量；⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？解：⑴⑵⑶讨论：⑴与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果）⑵与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果）⑶与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×该轴与质心轴之距离平方。如例4-2：如图4-7，质量为长为的匀质杆，求：⑴它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？⑵它对过一端且平行于c轴的A轴转动惯量为多少？解：⑴如图4-7所取坐标，⑵如图4-8所取坐标，用平行轴定理解：说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量分别为、，滑轮视为圆盘，其质量为半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。z..\n..解：受力分析：：重力，桌面支持力，绳的拉力；：重力，绳的拉力；：重力，轴作用力，绳作用力、取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得：及，，解得：讨论：不计时，（即为质点情况）例4-4：一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间内下降了一段距离，试求整个滑轮的转动惯量（用，，和表示）解：受力分析z..\n..由牛顿第二定律及转动定律得：及，，§4-3转动动能力矩的功转动动能定理一、转动动能如图4-13，刚体绕过O处轴（垂直图面）转动，角速度为，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。设各质点质量为，，，…，与轴距离为，，，…，转动动能为：（4-6）*比较：二、力矩的功如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点力（可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力），在作用下刚体有一角位移，力的作用点的位移为，则在该位移中作的功为：（4-7）即：力矩元功=力矩×角位移（力矩与角位移点积）在力矩作用下，从过程中，力矩的功为z..\n..（4-8）说明：⑴常力矩功⑵力矩功是力矩的空间积累效应⑶内力矩功之和=0（与质点情况不同）⑷力矩的功功率：比较：三、刚体定轴转动的动能定理即做如下积分可得（4-9）即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。例4-5：在例4-3中，若B从静止开始下落时，⑴合外力矩对c做的功=？⑵c的角速度=？解：⑴由例3知，对c的合外力矩为（常力矩）z..\n..⑵例4-6：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆相连，弹簧倔强系数，细杆质量为。杆可绕c轴无摩擦转动。若当时弹簧为原长，那么细杆在的位置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？解：取、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。，。，代入得注意：机械能守恒定律条件及应用。§4-4角动量角动量定理角动量守恒定律一、角动量1、角动量定义：，称为刚体角动量（或动量矩）说明：⑴⑵z..\n..2、冲量矩转动定律（4-10）（4-11）做如下积分：定义：为在内对刚体的冲量矩（4-12）说明：（1）冲量矩是矢量（2）冲量矩是力矩的时间积累效应*比较：二、角动量定理由上知（4-13）即：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量（或动量矩）定理。三、角动量守恒定律已知当时，有（4-14）即：当合外力矩时，则此情况下刚体角动量守恒，称此为角动量守恒定律。说明：⑴角动量守恒条件是某一过程中。⑵⑶角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和基本粒子（如电子，中子，原子，光子，…）等微观粒子的运动。例4-7：如图4-17，轻绳一端系着质量为的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔o用力拉着，如图所示。质点原来以等速率作半径为的圆周运动，当拉动绳子向正下方移动时，质点的角速度z..\n..解：研究对象：受力分析：重力、桌面支持力、绳的作用力。可见转动中，受合外力矩=0，即∴得注意：角动量守恒条件及应用（守恒时，不一定守恒，反过来也如此）例4-8：如图4-18，A、B两圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是、，它们半径和质量分别为、和、。求A、B对心衔接后的最后角速度。解：研究对象：A、B系统在衔接过程中，对轴无外力矩作用，故有即：讨论：假若的转动方向与题中相反，则假设为正，则有：例4-9：如图4-19，长为，质量为的匀质细杆，可绕过O的光滑水平轴转动。起初杆水平静止。求：⑴t=0时，⑵杆到竖直位置时，⑶杆从水平到竖直过程中外力矩功=？⑷杆从水平到竖直过程中杆受冲量矩大小为多少？解：⑴z..\n..即⑵以、地为系统，其能量方程有⑶⑷冲量矩=例4-10：长为，质量为的匀质细杆，可绕上端的光滑水平轴转动，起初杆竖直静止。一质量为的小球在杆的转动面内以速度垂直射向杆的A点，求下列情况下杆开始运动的角速度及最大摆角。⑴子弹留在杆内⑵子弹以射出。解：⑴子弹留在杆内分两个过程：1）弹射入杆过程。、、为系统，角动量守恒，即①（强调：此过程动量不守恒及原因）2）上摆过程。、、地为系统，系统机械能守恒，有②初态末态①、②：⑵子弹射出a)子弹与杆作用过程。以杆、子弹为系统，其角动量守恒①射前射后b)杆上摆过程。以杆、地球为系统，其机械能守恒。z..\n..②初态末态①、②解得：*：若已知，求，方法完全一样，只不过为未知数。注意角动量守恒，而不是动量守恒。有关概念：热运动：分子做不停的无规则运动热现象：物质中大量分子的热运动的宏观表现（如：热传导、扩散、液化、凝固、溶解、汽化等都是热现象）。分子物理学与热力学的研究对象：热现象微观量：描述单个分子运动的物理量。（如：分子质量、速度、能量等）宏观量：描述大量分子热运动集体特征的物理量。（如：气体体积、压力、温度等）统计方法:对个别分子运动用力学规律，然后对大量分子求微观两的统计平均值。分子物理学研究方法:建立宏观量与微观量统计平均值的关系从微观角度来说明宏观现象的本质。分子物理学是一种微观理论。热力学研究方法:实验定律为基础,从能量观点出发,研究热现象的宏观规律。它是一种宏观理论。第五章气体分子运动论§5-1平衡态理想气体的状态方程一、状态参量用来描述气体状态的物理量称为状态参量。一般用气体体积，压强和温度来作为状态参量。注意：⑴是气体分子能到达的空间体积，单位：⑵是气体作用于器壁单位面积上的正压力，单位：帕斯卡（Pa）。有时也用下面单位：⑶温度是描述物体冷热程度的物理量。表示温度常用两种温标（温度的标尺）来表示，即z..\n..温标与关系：二、平衡态平衡过程系统与外界：研究的对象称为系统，系统所处的环境称为外界。1、平衡态在不受外界影响的条件下，气体的宏观性质不随时间改变的状态称为平衡态。这里的外界影响指与外界无能量交换。说明：平衡态是一种热动平衡。2、平衡过程当气体与外界交换能量时，它的状态就会发生变化，一个状态连续变化到另一个状态所经历的过程叫做状态的变化过程，如果过程中的每一中间状态都无限趋于平衡态，这个过程成为平衡过程。3、P—V图如图5-1，P—V图上一个点代表系统的一个平衡态，P—V图上一条曲线表示系统一平衡过程。注意：不是平衡态不能在P—V图上表示。三、理想气体状态方程1．理想气体服从下面三个定律的气体2、理想气体状态方程用上述三条定律可证明，对一定质量的气体有（5-1）设、、是标准状态下、、值，（5-2）z..\n..设为气体质量，则（、为摩尔质量和标准状态下摩尔体积）∴令（5-3）上式为理想气体状态方程数值及单位：§5-2理想气体的压强公式一、理想气体微观模型⑴分子大小不计（视为质点）⑵碰撞外分子间作用不计⑶分子间及分子与器壁间碰撞看作完全弹性碰撞二、统计假设⑴分子不存在特殊位置，在各位置出现可能性均等⑵分子沿各个方向运动的可能性是均等的三、压强公式推导为方便，考虑边长为、、的长方体容器，设有个分子，分子质量为，如图5-2所取坐标，气体处于平衡态时，容器器壁上各处的压强相同，∴在此只计算一个面上的压强即可。以A面为例。第一步：分子在单位时间内对A面的冲量设第个分子速度为，分量式：（5-4）z..\n..由动量定理知，分子与A面碰撞1次受冲量为(用了微观模型⑴、⑶)：（5-5）分子与A碰后又弹到B面（不计分子间碰撞），之后由B面又弹回A面，如此往复.单位时间内分子与A面碰撞次数为（5-6）单位时间内分子受冲量为（5-7）单位时间内A受分子冲量为（5-8）由上可知，每一分子对器壁的碰撞以及作用在器壁上的冲量是间歇的不连续的。但是，实际上容器内分子数目极大，他们对器壁的碰撞就象密集雨点打到雨伞上一样，对器壁有一个均匀而连续的压强。第二步：单位时间内所有分子对A面的冲量（5-9）第三步：压强公式设单位时间内A面受平均冲力大小为，有（5-10）所求压强为（5-11）①式中：可知（5-12）可有（5-13）即（5-14）根据统计假设⑵，有（5-15）由（5-14）、（5-15）z..\n..（称方均根速率）（5-16）（5-16）（5-11）得（5-17）或（5-18）式（5-18）中，（5-19）为气体分子平均平动动能。式（5-17）、（5-18）即为所求结果。说明：⑴的微观本质或统计性质是：单位时间内所有分子对单位器壁面积的冲量。⑵由推导知，、、均是统计平均值，∴也是一个统计平均值。这些统计平均值是统计规律，而不是力学规律。⑶统计平均值、、、等是宏观量，表示气体分子集体特征，而不代表个别分子。（宏观量是相应微观量的统计平均值）⑷的表达式适合任何形状容器⑸推导中没考虑分子碰撞，若考虑结果也不变。§5-3气体分子的平均平动动能与温度的关系理想气体状态方程为：（为分子总数，为分子数）令，叫做波尔兹曼常数。∴理想气体状态方程又可写：∵，∴与上式比较有：说明：⑴∵是统计平均量，∴也是统计平均量。分子数很大时，温度才有意义，对于个别分子来说，温度是无意义的。⑵为宏观量，是大量气体分子热运动的集体表现。⑶的微观本质：是分子平均平动动能的量度，或反映了大量气体分子热运动的剧烈程度。⑷若，则，但实际上这是不对的，根据近代量子论，尽管，但是分子还有振动，故（平均动能）。这说明经典理论的局限性。z..\n..§5-4能量按自由度均分原则理想气体内能分子运动除平动外，还可能有转动，振动，此时不能把分子看成质点。为了研究分子平均能量，我们先给出自由度的概念。一、自由度自由度：决定某物体空间位置所用的独立坐标数1、质点：自由质点：用x、y、z表示，∴自由度=3（如：飞机飞行情况（视为质点））平面运动：用x、y表示，∴自由度=2（如：船在海面上行使情况（视为质点））受约束质点沿固定路径运动：自由度=1。（如火车视为质点时情况）2、细杆（自由的）质心c（相对于质点）：3个平动自由度。杆的方位：用方向角、、表示（与x、y、z轴分别平行）∵∴、、中只有=2独立变数。即绕质心转动自由度为2。自由细杆自由度=3（平动）+2（转动）=53、刚体（自由的）质心c（相当于质点）：3个平动自由度轴的方位：2个自由度刚体饶轴转动角坐标：一个转动自由度自由刚体自由度=3（平动）+（2+1）（转动=6（如：空中飞来的乒乓球、足球等）。4、分子单原子分子（质点）：自由度=3（平动）刚性双原子分子（相当于细杆）：自由度=5（3个平动，2个转动）刚性多原子分子（相当于自由刚体（非杆））：自由度=6（3个平动+3个转动）非刚性双原子分子：自由度=6（3个平动，2个转动，1个振动）非刚性多原子分子：自由度=3n（3个平动，3个振动，（3n-6）个振动）（n个分子，n）在无特殊声明下仅讨论刚性情况。z..\n..二、能量均分原理对理想气体，分子平均平动动能为∵∴此式表示，每一平动自由度上具有相同的平均平动动能，值为，这个结论虽然是对平动而言的，但可以推广到转动和振动。经典统计力学证明，对于处于温度T的热平衡态下的物质系统（固、液、气），分子的每一个自由度都具有相同的平动动能，其值为，这称为能量按自由度均分原理。（此原理为统计规律）用、、分别表示平动、转动、振动自由度，则平动动能=转动动能=振动动能=平均动能=平动动能+转动动能+振动动能=我们知道，每一个振动自由度上，平均动能=平均势能。（平均能量）=平均动能+平均势能=单原子分子：，，刚性双原子分子：，，刚性多原子分子：，，非刚性双原子分子：，，以后不做声明时，均视为刚性分子，自由度用表示分子平均能量（=平均动能）=（5-20）三、理想气体内能内能：气体所有分子动能与势能总和。注意：内能与机械能不同。z..\n..对理想气体，无相互作用（无分子间相互作用势能），∴只考虑刚性时，内能=分子平均动能⑴气体内能：⑵气体内能：（5-21）结论：理想气体内能是温度T的单值增加函数。（∵，∴）例5-1：某种理想气体，在，时，内能，问它是单原子、双原子、多原子分子的哪一种？解：∴是单原子分子。强调：可用表示例5-2：某刚性双原子理想气体，处于0℃。试求：⑴分子平均平动动能；⑵分子平均转动动能；⑶分子平均动能；⑷分子平均能量；⑸摩尔的该气体内能。解：⑴⑵⑶⑷⑸§5-5麦克斯韦速率分布律一、速率分布概念z..\n..在气体分子中，分子速率的大小很不一致，它可以小到0，也可以大到很大。在某一时刻，对某一分子而言，它的速率为多大，沿什么方向运动完全是偶然的，是没有规律的。但是对大量分子整体来说，在一定条件下，他们的速率分布遵从着一定的统计规律。现在来说明这个问题。假设把分子的速率按其大小分为若干长度相同的区间，如：从0～100为第一区间，100～200为第二区间，…。实验和理论都已经证明，当气体处于平衡态时，分布在不同区间的分子数是不同的，但是，分布在各个区间内的分子数占分子总数的百分率基本上是确定的。所谓的分子速率分布就是要研究气体在平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总分子数的百分率。二、麦克斯韦速率分布律令为分子数，平衡态下在速率内分子数为，则：：表示在速率区间内出现的分子数占总分子数的比率。（或一个分子出现在内的几率）实验表明：与及有关，当很小时，可认为与成正比，比例系数是的函数，即（5-22）的物理意义：在速率附近，单位速率间隔内出现的分子数占总分子数的比率。在近代测定气体分子速率的实验获得成功之前，麦克斯韦和玻尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子按速率分布的统计规律，其结果为：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可忽略时，分布在足够小的速率区间内分子数占总分子数的比例为：（5-23）式中：是气体分子质量，为玻尔兹曼常数，是热力学温度。比较（5-22）、（5-23），有：（5-24）式中：称为麦克斯韦速率分布律。说明：⑴它是一个统计规律，只适用于平衡态。⑵归一化条件：如5-5图所示，在内分子数占总分子数比为：在0～区间内，此比率为：z..\n..即（5-25）上式叫做的归一化条件，它的物理意义为：在气体速率区间出现的分子数占总分子数的比为1。几何意义：曲线与轴围成面积=1。三、三种速率1、最可几速率定义：使取最大值的速率为最可几速率。记做。可见，对等速率间隔而言，附近速率区间内分子数占总分子数的比最大。注意：不是最大速率。=？（此时，约分）即（5-26）2、平均速率在内分子数为∵很小，∴可认为个分子速率相同，且均为，这样，在内个分子速率和为：在整个速率区间内分子速率总和为：∴个分子的平均速率为积分z..\n..（5-27）3、方均根速率在内分子数为，内的个分子速率平方和为：在整个速率区间上分子速率平方和为：个分子速率平方的平均值为：（分部积分）（5-28）另外：前面已讲过：说明：⑴、、各有其用如：：可用来讨论速率分布；z..\n..：可用来计算平均距离；：可用来计算平均平动动能。⑵〈〈⑶注意：及的物理意义。例5-3：如图所示，⑴若二曲线对应同一理想气体，则哪条曲线对应大？⑵在⑴中，哪条曲线对应的气体内能大？⑶若二曲线为不同气体同一温度情况，则哪条曲线对应的气体分子质量大？解：⑴∵，而，∴⑵∵，∴⑶∵，而，∴例5-4：图示的曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线，由图可知，⑴⑵=？解：⑴∵又∴⑵例5-5：若气体分子的速率分布曲线如图，图中A、B两部分面积相等，则图中的物理意义是什么？解：占总分子数的比率；占总分子数的比率∵A部面积=B部面积∴出现在大于和小于速率的分子数相同。例5-6：三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度相同，而方均根速率之比为::=1:2:4，则其压强之比::=？z..\n..解：::=∵::==1:2:4∴::=§5-6分子的平均自由程和平均碰撞次数一、分子间碰撞从上节讨论可知，气体分子运动速率很大，如在0℃时，分子中大多数分子的速率都在200～600m/s，即在1s内气体分子要走几百米，但在我们几米远处打开汽油瓶，却要经过数秒钟甚至数分钟才能闻到汽油的气味。何故？这是因为气体分子从一处移至另一处时，要不断与其他分子碰撞，碰撞后分子不是沿直线运动而是折线。（这个问题是克劳修斯提出的）碰撞是气体分子运动论的重要问题之一，它有一定的应用上的理论价值。如：研究输运过程时，必须考虑到分子之间的相互作用对运动情况的影响，即分子间的碰撞机制。二、平均碰撞次数和平均自由程1、定义：分子连续两次碰撞之间所走过的平均路程叫做分子的平均自由程，记做。一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数叫做平均碰撞频率，记做。可见：从空间角度反映了分子间的碰撞频繁程度；：从时间角度反映了分子间的碰撞频繁程度。2、、推导为计算简便，做如下面假设：⑴所有分子都是直径为的刚球（对理想气体分子模型修正）⑵某分子A以运动，其他分子不动。A与其他分子碰撞后，沿图5-10中折线运动1s内，A走过路程。由图知，凡是离A运动的折线abcd小于的分子，都将和A分子碰撞，1s内分子运动的轨迹为轴作半径为的柱体，则由上知，凡球心在这个柱体内的分子都将与Az..\n..碰撞。设为气体分子数密度，有以上推导中，认为A运动，其他分子不动，实际上，其他分子也在运动，因此对上式做修正，修正后结果（可由麦克斯韦速率分布求得修正系数）为：（简介用相对运动方法推导）（5-29）由定义，A每走一个，就与其他分子碰一次，∴=单位时间内走过的路程=（5-30）说明：⑴、是对大量分子统计平均结果，是统计平均量。⑵不是分子真实直径，而称为有效直径。这是因为分子之间距离小到一定程度时，表现为斥力，而且很大，故他们不能相接触。⑶以上各节是在平衡态条件下得到的结果。例5-7：下面答案哪一个反映了理想气体分子在等压过程中的平均碰撞频率与热力学温度的关系？A与无关；B与成正比；C与成反比；D与成正比解：故C对。例5-8：某理想气体在、时的速率分布曲线如图5-11所示，若在、时的压强相等，则平均自由程关系为下面答案的哪一个？A；B；C；D无法比较解：∵而相同∴又相等∴。故选C图5-11例5-9：一定量的理想气体，，当时，下面那一个答案正确？A，；B，；C，；D，；z..\n..解：由题意知，，∵∴故B对。§5-7玻耳兹曼统计分布麦克斯韦速率分布是对理想气体而言的，玻耳兹曼把它推广到在某一力场中的运动分子情况，在力场中的分布结果叫做玻耳兹曼分布（或麦克斯韦—玻耳兹曼分布）。本节通过一个特例—重力场中分子数密度随高度（重力势能）分布，来阐明玻耳兹曼分布律。对于理想气体，则空间分布是均匀的，考虑重力后，气体分子的分布不再均匀，其粒子数密度随高度变化而变化。在此，取地为坐标原点，竖直向上为Z轴正向，为讨论方便，考虑地面附近的大气，此时认为温度和重力加速度均恒定。对于Z处的压强，它为Z处垂直于Z轴的单位面积上方空气柱（平行Z轴）的重量，在处，压强为，即有一压强增量。∵（随Z增加而减小）∴=一底面积为1高为的气柱重量，即（为质量密度）（为分子质量，为分子数密度）积分：（为处），得或写成（5-31）上式为气体压强随高度分布，由上式有：（为处）（5-32）上式为分子数密度随高度（或势能变化）的表述式。z..\n..推广：一般力场中，用表示相应势能，则有（5-33）上式叫做玻耳兹曼分布律。说明：玻耳兹曼分布是一种经典统计，对于微观世界的现象，虽然必须用量子理论（量子统计：玻色—爱因斯坦统计，费米—狄拉克统计）才能解释，而经典统计只能看成是量子理论的极限近似，但是经典统计的结果，在很多情况下还是与实际符合的。如：在分析半导体中载流子按能量分布问题时，一般情况下仍可采用经典统计结果。第六章热力学基础§6-1内能功热量一、内能内能：物体中所有分子无规则运动动能+势能（分子振动势能、相互作用势能）。真实气体：（中有2个独立）理想气体：说明：⑴是状态的单值函数，由（）决定（中只有2个独立变量），为态函数，其增量仅与始末二状态有关，而与过程无关。⑵理想气体，是温度的单值增加函数。二、功与热量的等效性焦耳曾经用实验证明：如用做功和传热的方式使系统温度升高相同时，所传递的热量和所做的功总有一定的比例关系，即1卡热量=4.18焦耳的功可见，功与热量具有等效性。由力学知道。对系统做功，就是向系统传递能量，做功既然与传热等效，则向系统传热也意味着向系统传递能量。结论：传递能量的两种方式做功z..\n..传热说明：做功与传热虽然有等效的一面，但本质上有着区别。区别做功：通过物体作宏观位移完成。作用是机械运动与系统内分子无规则运动之间的转换。从而改变内能。传热：通过分子间相互作用完成。作用是外界分子无规则热运动与系统内分子无规则热运动之间的转换。从而改变了内能。§6-2热力学第一定律一、热力学第一定律一般情况下，当系统状态发生变化时，作功和传热往往是同时存在的。设有一系统，外界对它传热为，使系统内能由，同时。系统对外界又作功为，那么用数学式表示上述过程，有：(6-1)上式即为热力学第一定律的数学表达式，它表明：系统吸收的热量，一部分用来增加内能，一部分用来对外作功。对微小过程：(6-2)说明：⑴热力学第一定律就是能量转化与守恒定律，它是自然界中的一个普遍规律。它也可表述为“第一种永动机是不可能制造成功的。”⑵系统状态变化过程中，功与热之间的转换不可能是直接的，总是通过物质系统来完成。向系统传递热量，使系统内能增加，再由系统内能减少来对外作功；或者外界对系统作功，使系统内能增加，再由内能减少，系统向外界传递能量：功热量⑶热力学第一定律对各种形态的物质系统都适用。只要求初始二态为平衡态，而中间过程可是平衡过程，也可以是非平衡过程。⑷的符号意义：>0系统对外界作功；<0外界对系统作正功；>0系统吸热；<0系统放热；>0系统内能增加；<0系统内能减少。z..\n..二、气体的功如图6-1所示，气体在汽缸中，压强为，活塞面积，活塞移动时，气体经历的微小变化过程，视为处处均匀，且不变，气体对外（活塞）作功为（气体体积增量）=阴影面积从：=曲线下面积(6-3)结论：⑴不仅与始末二状态有关，且还与过程有关。（如图6-2中，实线与虚线过程从中的功不同，这由曲线下面积比较可知）∴功为过程量。⑵由知∵是过程量∴也是过程量说明：∵∴>0系统对外界作功<0外界对系统作功在上图知：时：系统对外界作功;时：外界对系统作功.§6-3热力学第一定律在理想气体的等值过程中的应用热力学第一定律是一条普遍的自然规律，应用很广泛。本节仅讨论理想气体在等容、等温及等压过程中的应用。一、等容过程设一汽缸，活塞固定不动，有一系列温差微小的热源汽缸与他们依次接触，则使气体温度上升，也上升，但保持常数，这样的准静态过程，称为等容过程，图上的线称为等容线。等容过程：⑴特点：⑵功：⑶热力学第一定律：（微小过程）（有限过程）（6-4）结论：等容过程中，外界传给气体的热量，z..\n..全部用来增加气体内能。气体对外作功=0。二、等温过程设一汽缸，活塞上放置沙粒，汽缸与恒温热源接触。现在沙粒一粒一粒地拿下，则气体与外界压强差依次差一微小量，∵要增大及=常数，∴要减小，这样的准静态过程即为等温过程。图上的线称为等温线。∵，∴等温线为双曲线的一支，并且时，对应曲线比对应的曲线离原点较远。等温过程：⑴特点：⑵内能变化：⑶热力学第一定律：（微小过程）即（6-5）结论：等温过程中气体吸收的热量全部用来对外作功，气体内能不变。三、等压过程汽缸活塞上的砝码保持不动，令汽缸与一系列温差微小的热源依次接触，气体的温度会逐渐升高，又∵=常数（气体压强与外界恒定压强平衡），∴也要逐渐增大。这样的准静态过程称为等压过程，图上曲线为等压线。等压过程：⑴特点：⑵内能变化及功：（6-6）（6-7）⑶热力学第一定律：（微小过程）z..\n..即（6-8）结论：等压过程中，气体吸收的热量一部分转换为内能另一部分转换为对外作功。由上可知：、在不同过程中结果不同，这说明了它们是过程量。例6-1：已知，一定量的单原子理想气体经历如图所示的过程，试求：全部过程中，⑴⑵⑶解：⑴⑵⑶〈方法一〉（利用热力学第一定律）〈方法二〉=（利用内能公式计算）注意：、为过程量，为状态量z..\n..§6-4气体热容量一、热容量概念质量为的物体，温度从升到时，吸热为，与成正比，与成比例设为比例系数，有：（6-9）：比热，：热容量，：为摩尔热容量，记做。：1物质温度升高1时吸收的热量。故可表示为（6-10）二、等容摩尔热容量及等压摩尔热容量1、：⑴意义：等容过程中，物质温度升高1时所吸收热量。⑵=？（理想气体）（6-11）单原子分子理想气体=刚性双原子分子理想气体刚性多原子分子理想气体⑶热量（6-12）2、⑴意义：等压过程中，气体温度升高1时所吸收热量⑵∵∴（6-13）单原子分子理想气体z..\n..=刚性双原子分子理想气体刚性多原子分子理想气体⑶热量：（6-14）3、比热比单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子说明：⑴热容量是过程量⑵?理想气体，时，∵此二过程中，相同，∴结论：∵等压过程中吸热一部分用来增加内能，一部分用来对外作正功，∴⑶、不仅适用于理想气体，也适用于其他气体，只不过、有所不同。⑷适用于任何过程。证明如下：数学角度：可见适用于任何过程物理角度：任何过程：（∵）例6-2：单原子分子理想气体，由0℃分别经等容和等压过程变为100℃，试求各过程中吸热=？解：⑴等容：z..\n..⑵等压：*：已知时，用计算比较方便。§6-5绝热过程一、绝热过程及其方程1、绝热过程：气体与外界无热量交换的变化过程。如：平常的热水瓶内进行的变化过程可近似看作绝热过程。气体迅速自由膨胀（由两室组成，中间用隔板隔开，开始气体全在左室，突然拉开隔板，左室气体将迅速膨胀，由于过程进行的很快，来不及与外界交换热量，故近似为绝热过程）。绝热过程：⑴特点：[注意：是，不仅是]⑵功：内能：⑶热力学第一定律：结论：绝热膨胀过程中，内能的减少完全用来气体对外作功，气体与外界无能量交换。2、绝热方程绝热膨胀中：及∵，而，（一定）∴，即、、均变化。绝热过程方程：（6-15）（6-16）（6-17）说明：⑴一般情况下，、、互不相等。⑵过程方程只适用于某一特定过程。如只适用于绝热过程，而状态方程适用于理想气体的所有过程。z..\n..二、绝热线及等温线的讨论绝热过程在图画出。如图实线所示，此曲线称为绝热线。虚线表示同一气体的等温线，A为二曲线交点。从图上看出，绝热线比等温线陡一些，这可作如下解释：⑴数学解释等温：即（A点切线斜率）绝热：即（A点切线斜率）∵∴故绝热线要陡些。⑵物理解释假设气体从A点开始体积增加，由及知，在此情况下，都减小（无论是等温过程还是绝热过程）。由知，气体等温膨胀时，引起减小的只有这个因素，气体绝热膨胀时，由于，∴引起减小的因素除了的增加外，还有减小的因素，∴相同时，绝热过程中下降的快。例6-3：一定量的理想气体经绝热过程由状态（、）（、），求此程中气体对外作的功。解：〈方法一〉〈方法二〉例6-4：双原子理想气体（刚性），从状态A（、）沿直线出发到B（、），试求：⑴⑵⑶z..\n..解：此题目为非等值过程⑴⑵=阴影面积[或]⑶例6-5：一定量的理想气体，由平衡态A变化到平衡态B，则无论经过什么过程，系统必然：A对外作正功；B内能增加；C从外界吸热；D向外界放热解：在全过程中是否作正功，是否吸热或放热都无法确定，∵、是过程量，它与具体过程有关。但是可知，，∴。故选B。例6-6：试讨论理想气体在下图Ⅰ、Ⅲ两个过程中是吸热还是放热？Ⅱ为绝热过程。解：由图知：（∵）∵∴放热吸热（若从，则有，）例6-7：如图所示，单原子理想气体，经过一平衡过程，、均为直线。试求：（1）及中，、、（2）中温度最高状态为何？（3）过程中是否均吸收热量？解：（1）（等容过程）z..\n..（非等值过程）（梯形面积）（2）等温线的位置知，在中，温度递增，∴最高温度状态一定在中。①段方程②②①：时，只有：即（此时，∴有极大值），可知：温度最高状态为（，）（也可用求对应的状态，此状态即为态，∵理想气体内能是的单调增加函数）在过程中，∵（或用等温线位置判断），∴，由此可知。又∵，∴，即在过程中每一微小过程气体均吸热。在过程中，∵不是绝热过程（、关系式不是）∴此过程中吸热与放热之和=0可见中有放热存在，故中不均是吸热。*：⑴，并不能说明是绝热过程，绝热过程特征是⑵不一定是吸热过程（即的过程）§6-6循环过程卡诺循环热机效率一、循环过程z..\n..在生产实践中需要持续不断地把热转换为功，但依靠一个单独的变化过程不能达到这个目的。如：汽缸中气体作等温膨胀时，它从热源吸热对外作功，它所吸收的热量全部用来对外作功。但是，由于汽缸长度总是有限的，这个过程不能无限地进行下去，所以依靠气体等温膨胀所作的功是有限的，为了维持不断地把热量转变为功，必须利用循环过程。1、循环：系统经过一系列状态变化过程又回到原状态。2、特点：循环一次⑴⑵净功==循环曲线围成图形面积3、种类：①正循环（顺时针）：吸热作功—热机②逆循环（逆时针）：放热对外作功—致冷机4、热机、致冷机工作原理⑴热机：如图循环净功即热机效率：定义（6-18）⑵制冷机：如上图作逆循环外界对系统作功=即=或制冷系数：定义循环特征：功：循环面积热机效率：（指吸热，不是净吸热）（一般热机）二、卡诺循环循环过程中类别很多，但是理论上有实际意义的是卡诺循环。正循环（热机）1、循环的分过程：四个分过程：：等温膨胀：绝热膨胀：等温压缩：绝热压缩z..\n..2、热机效率：热机效率一般式：（=纯吸热的分过程吸热之和净吸热）（对任何热机成立）①卡诺热机：等温②绝热即③①、②、③（6-19）说明：⑴只与、有关，越大，越小，则越大。也就是说，当两热源温差越大，从高温热源吸取的热量的利用价值就越大。⑵是的特例，前者仅适用于卡诺循环，后者适用于一般过程的循环。⑶卡诺循环的工作物质不一定为理想气体，可以是弹性体、磁性物质等（卡诺定理已经证明了与工作物质无关，只与、有关。逆循环（制冷机）1、循环一次结果：从吸热-向放热（面积）净功即结论：逆循环中，工作物质从低温热源吸热，接受外界作功为，向高温热源放热为。从低温热源吸取热量的结果，使低温热源温度降低，这就是制冷z..\n..机原理。2、制冷系数制冷机把热量从低温热源（物质）传给高温热源（物体）是有代价的，即外界必须对它作功，这个代价的大小常用制冷系数来标定。定义：制冷系数=工作物质从低温热源吸取的热量与外界对它作的功的比值。（一般式）对卡诺可逆机，有∴（可大于1）（6-20）由上可知，越小，就越小，说明从温度越低的热源吸热所消耗的外界功就越大。例6-8：一卡诺可逆热机工作在温度127℃和27℃的两个热源之间，在一次循环中工作物质从高温热源吸热600J，那么系统对外作的功=？解：例6-9：某理想气体分别进行了如图所示的两个卡诺循环：Ⅰ和Ⅱ，且两条循环曲线所围面积相等，设循环Ⅰ的效率为，每次循环在高温热源处吸的热量为，循环Ⅱ的效率为，每次循环在高温热源处吸的热量为，则A；B；C；D。解：效率，∵，∴效率，∵（循环面积相等）∴故选B例6-10：一定量的双原子理想气体（刚性）作如图所示的循环，求解：〈方法一〉z..\n..（1）（2）∵及∴有：%〈方法二〉∴%注意：此循环不是卡诺循环。不成立。§6—7热力学第二定律一、热力学第二定律任务自然界中的热力学过程的进行都是有方向的。如：①两个不同温度的物体相互接触时，热量总是从高温物体传给低温物体，这就是热传导过程。相反的过程是：热量自动地从低温物体传给高温物体，但是这个过程从没看见过。②在焦耳实验中，重物下降带动轮浆克服水的摩擦力作功，此功转变为热使水温度变高，这就是摩擦生热过程。相反的过程是：水自动冷却而把重物提起来，但是从来没看见过这样的过程。z..\n..③一瓶香水，打开盖后，分子由于热运动要跳到外边，在瓶附近的人可以闻到香水的气味，这就是分子的扩散过程。相反的过程是：香水分子应自动地再回到瓶中，但是，这样的过程也是谁也没见过。④有一容器被隔板分为A、B两部分，当初A部分有气体，B部分为真空，抽掉隔板后气体就充满了整个容器，这就是自由膨胀过程。相反的过程是：气体自动收缩回到A中，这样的过程也从没看见过。等等。以上的例子说明自然界中发生的过程总是自动地向一个方向进行。热力学第二定律正是反映了自然界中热力学过程的方向性问题。它不同于热力学第一定律，热力学第一定律指出了热和功转换中的数值关系（能量守恒），并不能说明过程进行的方向。如热传导问题，热力学第一定律只能说明一个物体得到的热量等于另一个物体，所失的热量，至于哪个物体得到热量，哪个物体失去热量，热力学第一定律不能加以说明，热力学第二定律是经验的总结。二、热力学第二定律的两种表述开尔文表述（开氏表述）：不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其它变化。说明：1）其它变化：指热源和作功对象以外的物体的变化。2）从一个热源吸热并将热量全部变为有用功的热机（效率=100%），叫做第二类永动机。它不同于第一类永动机，因为它不违反热力学第一定律。有人计算过，如果能制造第二类永动机，使它从海水这一单一热源吸热而完全变为有用功，那么海水的温度只要降低0.01K，所做的功就可供全世界所有工厂一千多年之用。但是由热力学第二定律知，第二类永动机是一种幻想。因此开尔文表述可等价说成“第二类永动机是不可能制造出来的。”3）开氏说法并不是说热量不能完全变成功，只是说在不引起其它变化的情况下，热量不能完全变成有用功。如：气缸中理想气体等温膨胀时，气体从热源吸热，热量全部用来对外界作功，但此时气体的体积增加了，气体不能回到原状态，这就是其它变化。克劳修斯表述（克氏表述）：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。注意：克氏说法并不是说热量不能从低温物体传到高温物体，而是不能自动地传到高温物体。如：致冷机，在外界对系统做功的情况下，低温物体才能向高温物体传热，但是这种热传导不是自动的，是在外界做功条件下进行的。三、两种表述的等效性实际上，热力学第二定律的两种表述是完全等效的。证明如下：证明方式：（1）违背克氏说法的，也就违背了开氏说法。z..\n..（2）违背开氏说法的，也就违背了克氏说法。证：（1）设克氏说法不成立，即允许有一种循环Ⅰ，产生的唯一效果使从低温热源自动向高温热源传递热量。在此二热源之间又有一个热机Ⅱ，每一次循环它从高温热源吸热，向低温热源放热，对外作功。把Ⅰ、Ⅱ看成复合机，一次循环后，有：低温热源净放热为零；高温热源净放热；复合机对外作功。结论：复合机循环一次从单一热源吸热完全变为有用功，而没产生其它影响，显然这违背了开氏说法。（2）设开氏说法不成立，即允许有一热机Ⅰ，循环一次只从单一热源吸热，并完全变为功而不产生其它影响。在热源（高温热源）和（低温热源）之间有一卡诺致冷机，它接受Ⅰ对外作功使从低温热源吸热，向高温热源放热，把Ⅰ、Ⅱ看成联合机，完成一次循环有：低温热源放热；高温热源净吸热；联合机组无任务变化。结论：相当于热量自动从低温热源传到高温热源，显然，这违背了克氏说法。由此可知，违背克氏说法也违背开氏说法，违背开氏说法的也违背克氏说法。这说明了两种说法是等效的。说明：1）克劳修斯说法指出了热传导是不可逆的，而开尔文说法指出功变热是不可逆的，由于此两种说法是等效的，所以，这两种不可逆是可以相互推断出来的。2）热力学第一定律只要求在过程中能量守恒，对过程进行方向没有任何限制，热力学第二定律指出热力学过程进行的方向。在循环中，热力学第一定律指出，第二定律指明了。例6-11：绝热线和等温线能否交于两点？解：①从热力学第一定律角度看：假设绝热线与等温线有两个交点，如图所示，那，在等温过程中有：，即在绝热过程中，，，z..\n..∴，即。可见，上面结果矛盾，故假设不对，即绝热线与等温线不能有两个交点。②从热力学第二定律角度看：假设绝热线与等温线交于两点，如上图，这两个过程构成了一个循环。整个循环的结果是，循环一次后，只从单一热源吸热并全部用来对外作功，而没产生其他任何影响。显然，这是违背热力学第二定律的。故绝热线与等温线不能有两个交点〔即不能构成一个循环〕。§6-8可逆过程与不可逆过程一、可逆过程与不可逆过程前面讲过，自然界中发生的热现象是有方向性的，这种有方向性的过程，就是不可逆过程，详细定义如下：定义：一个过程，每一步都可能在相反的方向进行而在外界不引起其他变化，这个过程叫做可逆过程，否则称为不可逆过程。二、例子1、可逆过程：如：无摩擦的准静态过程。2、不可逆过程：如：热传导、功热转换、气体自由膨胀、扩散等。结论：一切与热现象有关的实际过程都是不可逆的。§6-9热力学第二定律的统计意义下面通过对气体自发自由膨胀来说明热力学第二定律的统计意义。如图所示，用一活动隔板p，将容器分为容积相等的A、B二室，A中充满气体，B为真空。现考虑任一个分子，如分子a。在P抽掉前，a在A内运动，P抽掉后，它就可在整个容器内运动，由于碰撞，他可能一会在A内，一会在B内。因此，对任一个分子而言，他处在A、B内的几率是相等的，即为。如果考虑三个分子，他们原先都在A室，如果把P抽掉，他们就有可能在B室。总之，这三个分子在容器中的分配有8种可能，见下表全部回到A室（自动收缩）的几率为。z..\n..根据几率理论，如果分子数为N，上述自动收缩的几率应为。所以分子数N越大，自动收缩的几率越小。假定气体为，分子总数为，则自由膨胀后，自动收缩的几率是，这是微不足道的。实际上也就是说气体这种膨胀是不可逆过程。以上说明：不可逆过程实际上是一个从几率较小的状态到几率较大的状态转变的过程。由上可知，一个不受外界影响的孤立系统，其内部发生的过程（自发过程）总是由几率小的状态向几率大的状态进行，这就是热力学第二定律的统计意义。§6-10熵一、熵的引进自然界中发生的热力学过程都是有方向性的，如：热传导、气体自由膨胀、扩散等。判断前一个不可逆过程方向的标准是温度的高低，判断后一个不可逆过程的标准是分子密度的大小。这样，对不同的过程就有不同的标准来判断。为了把判断不可逆过程方向的标准统一起来，我们引进熵的概念。熵用表示，是态函数。二、熵增加原理1、是态函数，在微小过程中有：（6-21）：此过程中系统吸热量；：为温度。可逆过程取“=”号，不可逆过程取“>”；对有限过程：；可逆过程取“=”号，不可逆过程取“>”。2、一些结论a)绝热可逆过程中熵不变b)绝热不可逆过程中熵增加，此结论称为熵增加原理。考虑问题时，适选系统，使系统为绝热情况，系统内发生的情况由熵增加原理知，应该向着熵增加方向进行，可见，熵增加原理可判断不可逆过程进行方向。说明：⑴熵增加原理是热力学第二定律的数学表述。⑵熵的物理本质（即从微观角度来看熵的统计意义）：在分子的无序运动中，在几率大的时候比在几率小的时候更强烈，所以，熵也可以说成是大量分子无序度的量度。例6-12：计算理想气体经可逆过程由状态z..\n..过程的熵增加。解：对于可逆过程，有：∵∴例6-13：理想气体自由膨胀（绝热），体积由变为，试求此过程中的熵变。解：在此过程中，系统与外界绝热，系统对外界又不作功，即，∴绝热自由膨胀中温度不变。此过程为不可逆过程，但是只要膨胀的初始与终了二状态都为平衡态，则他们就对应一定的熵值，∵为态函数。为了求出不可逆过程中的熵变，总可以适选一个连接始末二状态（平衡态）的可逆过程，使得利用可逆过程终的熵变公式来求出B、A二态熵差。此题中，，∴选用一个等温可逆过程连接始末二态。第七章真空中的静电场静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。§7-1电荷库仑定律一、电荷1、电荷种类正电荷负电荷作用同性相斥异性相吸（一般地说：使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电子）2、电荷守恒定律z..\n..电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它是物理学的基本定律之一。3、电荷量子化在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷的整数倍。这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。二、库仑定律点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点一样，是假想模型）库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比，与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部静电学的基础。数学表达式：受的作用力：斥力（同号）吸引（异号）采用国际单位制，其中的比例常数。写成矢量形式：令，（7-1）说明：①是对是作用力，是由指到的矢量。②对的作用力为：③库仑定律的形式与万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，这是区别。§7-2电场电场强度一、电场1、电荷间作用z..\n..电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即两种看法①超距作用：电荷电荷到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着电场，其他带电体受到的电力是电场给予的，即②场观点：电荷场电荷近代物理学证明后者是正确的。2、静电场的主要表现表现电场力：放到电场中的电荷要受到电场力。电场力作功：电荷在电场中移动时，电场力要作功。二、电场强度从静电场的力的表现出发，利用试验电荷来引出电场强度概念来描述电场的性质。试验电荷（点电荷且很小），放入A点，它受的电场力为，试验发现，将加倍。则受的电场力也增加为相同的倍数，即实验电荷：…受力：…可见，这些比值都为，该比值与试验电荷无关，仅与A点电场性质有关，因此，可以用来描述电场的性质，定义：（7-2）为电荷的电场在A点处的电场强度。三、场强叠加原理试验电荷放在点电荷系所产生电场中的A点，实验表明在A处受的电场力是各个点电荷各自对作用力的矢量和，即：按场强定义：（7-3）z..\n..上式表明，点电荷系电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和，这称为场强叠加原理。四、场强计算1、点电荷电场的电场强度在A处产生的场强为：假设A处有试验电荷，受力为，有即(7-4)由指向A，>0与同向（由）<0与反向（由）*点电荷电场球对称。2、点电荷系电场的电场强度即(7-5)3、连续带电体电场的电场强度把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有：产生场强为总场强4、电偶极子等量异号点电荷相距为，如图所示，这样一对点电荷称为电偶极子。由-的矢量叫做电偶极子的轴，叫做电偶极子的电矩。*在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时，这个分子构成了一个电偶极子。例7-1：已知电偶极子电矩为，求⑴电偶极子在它轴线的延长线上一点A的；⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B的。z..\n..解：⑴如图所取坐标，（与同向）⑵如图所取坐标*分立电荷产生场强的叠加问题。例7-2：设电荷均匀分布在半径为的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距的p点的场强。解：如图所取坐标，x轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，部分在p点产生的电场为：z..\n..根据对称性可知，∴>0：沿x轴正向<0：沿x轴负向（x轴上关于原点对称）结论：与圆环平面垂直，环中心处=0，也可用对称性判断。，例7-3：半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度为，计算轴线上与盘心相距的p点的场强。解：如图所示，x轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为、宽度为的圆环在p点产生的场强为：（均匀带电圆环结果）∵各环在p点产生场强方向均相同，∴整个圆盘在p点产生场强为：z..\n..>0：背离圆盘<0：指向圆盘即与盘面垂直（关于盘面对称）讨论：时，变成无限大带电薄平板，，方向与带电平板垂直。例7-4：有一均匀带电直线，长为，电量为，求距它为处p点场强。解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，段在p处产生场强为：①由图知：代⑴中有：，∴讨论：无限长均匀带电直线,,.即无限均匀带电直线，电场垂直直线，，背向直线；，指向直线。例7-5：有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求在平面附近任一点场强。z..\n..解：如图所取坐标，x轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于z轴的无限长窄条，阴影部分在p点产生场强为（无限长均匀带电直线结果）（由对称性可知）结论：无限大均匀带电平面产生均匀场，大小为>0背离平面<0指向平面§7-3电力线电通量一、电力线电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。1、用电力线描述规定：方向：电力线切线方向大小：的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=即（即：某点场强大小=过该点并垂直于的面元上的电力线密度。）2、静电场中电力线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。⑵任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。二、电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用表示。下面分几种情况讨论。z..\n..匀强电场⑴平面S与垂直。如图所示，由的大小描述可知：⑵平面S与夹角为，如图所示，由的大小描述知：式中为的单位法线向量。2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量如图所示，在S上取面元，可看成平面，上可视为均匀，设为单位法向向量，与该处夹角为，则通过电场强度通量为：通过曲面S的电场强度通量为：（7-6）在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量（7-7）注意：通常取面元外法向为正。§7-4高斯定理一、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。如图所示，为正点电荷，为以为中心以任意为半径的球面，上任一点处为：1、通过闭合曲面的电场强度通量为：z..\n..（、同向）结论：与无关，仅与有关2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量⑴在S内情形如图所示，在S内做一个以为中心，任意半径的闭合球面S1，由1知，通过S1的电场强度通量为。∵通过S1的电力线必通过S，即此时，∴通过S的电场强度通量为⑵在S外情形。此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即穿入与穿出S面的电力线数相等，∴结论：S外电荷对无贡献在S内0在S外3、点电荷情况在点电荷电场中，任一点场强为通过某一闭合曲面电场强度通量为：即（7-8）上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明⑵z..\n..高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。>0时，不能说S内只有正电荷当<0时，不能说S内只有负电荷=0时，不能说S内无电荷注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。⑷高斯定理说明与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不是说只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，是由S内、外所有电荷产生的结果。⑸高斯面可由我们任选。二、高斯定理应用举例下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。例7-6：一均匀带电球面，半径为，电荷为，求：球面内外任一点场强。解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点值相等。⑴球面内任一点的场强以O为圆心，通过P1点做半径为的球面为高斯面，高斯定理为：∵与同向，且上值不变∴∴即均匀带电球面内任一点P1场强为零。注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。z..\n..2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个别点有可能为零）⑵球面外任一点的场强以O为圆心，通过P2点以半径做一球面作为高斯面，由高斯定理有：方向：沿方向（若，则沿方向）结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。0图7-20例7-7：有均匀带电的球体，半径为，电量为，求球内外场强（8-13）。解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的相同。（1）球内任一点P的以O为球心，过P点做半径为的高斯球面S1，高斯定理为：∵与同向，且S1上各点值相等，∴∴沿方向。（若，则沿方向）结论：注意：不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。（2）球外任一点P2的以O为球心，过P2点做半径为的球形高斯面S2，高斯定理为：z..\n..由此有：沿方向结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。曲线如左图。例7-8：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为，求直线外任一点场强。解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P做半径为高为的圆柱高斯面，上底为S1、下底为S2，侧面为S3。高斯定理为：在此，有：∵在S1、S2上各面元，∴前二项积分=0又在S3上与方向一致，且=常数，∴即由带电直线指向考察点。（若，则由考察点指向带电直线）上面结果将与例4结果一致。例7-9：无限长均匀带电圆柱面，半径为，电荷面密度为，求柱面内外任一点场强。解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点值相等。1）带电圆柱面内任一点P1的z..\n..以OO’为轴，过P1点做以为半径高为的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。高斯定理为：在此，有：∵在S1、S2上各面元，∴上式前二项积分=0，又在S3上与同向，且=常数，∴∴结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=02）带电柱面外任一点场强以为轴，过P2点做半径为高为的圆柱形高斯面，上底为S1’，下底为S2’，侧面为S3’。由高斯定理有：∵=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=∴，由轴线指向P2。时，沿P2指向轴线结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。例7-10：无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求平面外任一点场强。解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的值相等。设P为考察点，过P点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S1，左端面为S2，侧面为S3，高斯定理为：在此，有：∵在S3上的各面元，∴第三项积分=0又∵在S1、S2上各面元与同向，且在S1、S2上=常数，∴有：z..\n..即：（均匀电场）垂直平面指向考察点（若，则由考察点指向平面）。此结论与例5完全一致。例7-11：有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）；2）。求：板内、外场强。解：1）设P1为板内任一点，有即：设P2为B右侧任一点（也可取在A左侧），即2）设P3为二板内任一点，即设P4为B右侧任一点（也可取在A左侧）即：上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算4）由高斯定理求出。§7-5静电场力的功电势z..\n..此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述静电场的性质。一、静电场力的功力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只与始末二位置有关，而与路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的功=势能增量的负值（7-9）在此，我们研究一下静电力是否为保守力。1、点电荷情况点电荷置于O点，实验电荷由a点运动到b点。在c处，在位移内，静电力对的功为：∵∴∴:（7-10）可见：仅与的始末二位置有关，而与过程无关。2、点电荷系情况设在的电场中，由场强迭加原理有：从中，静电场力的功为：∵上式左边每一项都只与始末二位置有关，而与过程无关∴点电荷系静电力对作的功只与始末二位置有关，而与过程无关。3、连续带电体情况对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2中结论仍成立。综上所述，静电场力为保守力（静电场为保守力场）。在静电场中运动一周，静电力对它作功为：（代替）z..\n..（7-11）此式表明，静电场中的环流=0（任何矢量沿闭合路径的线积分称为该矢量的环流），这一结论叫做场强环流定律。静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定律。（（7-10）、（7-11）等价，由（7-11）知，电场线不可能闭合）二、电势能电势1、电势能：∵静电场为保守力场，∴可以引进相应势能的概念，此势能叫做电势能。设、为在a、b二点的电势能，可有（7-12）电势能的零点与其他势能零点一样，也是任意选的，∴对于有限带电体，一般选无限远处（电势能只有相对意义，而无绝对意义）选，令b点在无穷远，有结论：在电场中某点的电势能=从该点移到电势能为零处电场力所作的功，在此,电势能零点取在无限远处。2、电势由表达式知，它与位置a有关，还有有关。但是且仅与位置a有关，而与无关。它如同一样，反映的是电场本身的性质，该物理量称为电势，记做，定义：为a点电势，选时，有（7-13）选，有（7-14）结论：电场中某一点a的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零处（即电势能为零处）静电力对它做的功。A点电势等于把单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。说明：1）为标量，可正、负或0。单位：z..\n..2）电势的零点（电势能零点）任选。在理论上对有限带电体通常取无穷远处电势=0，在实用上通常取地球为电势零点。一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地方都可以方便地将带电体与地球比较，以确定电势。3）电势与电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，而电势能是电场中电荷与电场组成的系统所共有的，若电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存在的。4）场强的方向即为电势的降落方向。3.电势差：电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。（7-15）结论：a、b二点电势差等于单位正电荷从静电力做的功。三、电势的计算1、点电荷电势：2、点电荷系电势设有点电荷，（7-16）结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和，此结论为静电场中的电势叠加原理。3、连续带电体电势z..\n..设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，在a处产生电势为：整个带电体在a处产生的电势为：例7-12：均匀带电圆环、半径为，电荷为，求其轴线上任一点电势。解：如图所示，x轴在圆环轴线上，〈方法一〉用解：圆环在其轴线上任一点产生的场强为（与x轴平行）〈方法二〉用电势叠加原理解把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，在p点产生电势为：整个环在p点产生电势为：讨论：1）处，2）时，，环可视为点电荷。例7-13：一均匀带电球面，半径为，电荷为，求球面外任一点电势。解：如图所取坐标，场强分布为z..\n..0（球面内）（球面外）球面外任一点P1处电势（∵积分与路径无关，∴可沿方向）结论：均匀带电球面外任一点电势，如同全部电荷都集中在球心的点电荷一样。球面内任一点P2电势可见，球面内任一点电势与球面上电势相等。（∵球面内任一点，∴在球面内移动试验电荷时，无电场力作功，即电势差=0，∴有上面结论）例7-14：有二个同心球面，半径为、，电荷为，，求二面的电势差。解：〈方法一〉用解在二球面间，场强为：〈方法二〉用电势叠加原理解内球面在二球面上产生电势分别为：外球面在二球面上产生电势分别为：z..\n..二球面电势分别为：§7-6等势面场强与电势的关系一、等势面1、等势面：电势相等的点连接起来构成的曲面称为等势面。如：在距点电荷距离相等的点处电势是相等的，这些点构成的曲面是以点电荷为球心的球面。可见点电荷电场中的等势面是一系列同心的球面，如左图所示。2、场中等势面性质1）等势面上移动电荷时电场力不作功设：设点电荷沿等势面从a点运动到b点电场力作功为：2）任何静电场中电力线与等势面正交证：如下图所示，设点电荷自a沿等势面发生以位移，电场力作功为：∵在等势面上运动，∴∵,,∴，即故电力线与等势面正交，垂直于等势面。说明：在相邻等势面电势差为常数时，等势面密集地方场强较强。z..\n..二、场强与电势关系是描述电场性质的物理量，他们应有一定的关系，前面已学过、之间有一种积分关系（无限远处）那么，、之间是否还存在着微分关系呢？如图所示，设b为无限接近的二点，相应所在等势面分别为、。单位正电荷从过程中，电场力作功=电势能增量负值，即（7-17）又代（7-17）中，有：∵是任意的，∴上式若成立必有两边相应系数相等，即（7-18）（7-19）（7-20）（矢量式）（7-21）以上是场强与电势的微分关系。数学上，叫做的梯度，记作：（其中算符）（7-22）结论：电场中任一点场强等于电势梯度在该点的负值。例7-15：用场强与电势关系求点电荷产生的场强解：如图所取坐标，z..\n..，沿x轴正向，，沿x轴负向。例7-16：一均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为。试求：1）盘轴线上任一点电势；2）由场强与电势关系求轴线上任一点场强。解：1）x轴与盘轴线重合，原点在盘上。以O为中心内半径为外半径为的圆环在p处产生的电势为：整个盘在p点产生的电势为：2)，沿x正向；，沿x负向（p在处）z..\n..例7-17：在x轴上放置一端在原点的长为的细棒上，每单位长度分布着的正电荷，其中为常数。若取无限远处电势=0，试求：1）y轴上任一点p的电位；2）试用场强与电位关系求解：1）段在y轴上任一点p产生的电势为整个棒在点产生的电势为2），沿y正向；，沿y负向。§7-7电偶极子在电场中力矩如图所示，电偶极子在均匀电场中，力偶矩为：大小：矢量式：第八章静电场中的导体和电介质§8-1静电场中的导体一、静电感应导体的静电平衡条件1、静电感应z..\n..2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。（2）静电平衡条件从场强角度看：①导体内任一点，场强；②导体表面上任一点与表面垂直。从电势角度也可以把上述结论说成：①导体内各点电势相等；②导体表面为等势面。用一句话说：静电平衡时导体为等势体。二、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：导体静电平衡时其内，∴，即。S面是任意的，∴导体内无净电荷存在。结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：静电平衡时，导体内∴，即S内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A点附近出现+q，B点附近出现-q，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，,但静电平衡时，导体为等势体，即，因此，假设不成立。结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。z..\n..（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q，其内腔中有点电荷+q，在导体内作一高斯面S，高斯定理为静电平衡时，。又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q，∴腔内表面必有感应电荷-q。结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷+q。3、导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积元（很小）上，电荷分布如图所示，过边界作一闭合柱面，S上下底、均与平行，S侧面与垂直，柱面的高很小，即与非常接近，此柱面并且是关于对称的。S作为高斯面，高斯定理为（注意与无限大带电平面的区别）。结论：导体表面附近，。4、导体表面曲率对电荷分布影响根据实验，一个形状不规则的导体带电后，在表面上曲率越大的地方场强越强。由上面讲到的结果知，E大的地方，必大，所以曲率大的地方电荷面密度大。5、尖端放电z..\n..三、静电屏蔽由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响。另一方面，一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界的带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等。例8-1：在电荷+q的电场中，放一不带电的金属球，从球心到点电荷所在距离处的矢径为，试问（1）金属球上净感应电荷？（2）这些感应电荷在球心处产生的场强？解：（1）0（2）球心处场强（静电平衡要求），即+q在处产生的场强与感应电荷在处产生场强的矢量和=0。方向指向+q。（感应电荷在处产生电势=？球电势=？选无穷远处电势=0。）z..\n..§8-2电容电容器一、孤立导体的电容在真空中设有一半径为R的孤立的球形导体，它的电量为q，那么它的电势为（取无限远处电势=0）对于给定的导体球，即R一定，到变大时，U也变大，变小时，U也变小，但是确不变，此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，仅与导体大小和形状等有关，因而有下面定义。定义：孤立导体的电量q与其电势U之比称为孤立导体电容，用C表示，记作：（8-1）对于孤立导体球，其电容为。C的单位为：F（法），1F=1C/1V。在实用中F太大，常用或，他们之间换算关系：。（电容与电量的存在与否无关）二、电容器实际上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然影响导体电容。下面我们具体讨论电容器的电容。1、电容器：两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。2、电容器电容：如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+q，-q，如果A、B电势分别为、，那么A、B电势差为，电容器的电容定义为：（8-2）z..\n..由上可知，如将B移至无限远处，=0。所以，上式就是孤立导体的电容。所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以，孤立导体电容是B放在无限远处时的特例。导体A、B常称电容器的两个电极。三、电容器电容的计算1、平行板电容器的电容设A、B二极板平行，面积均为S，相距为d，电量为+q，-q，极板线度比d大得多，且不计边缘效应。所以A、B间为均匀电场。由高斯定理知，A、B间场强大小为。（8-3）2、球形电容器设二均匀带电同心球面A、B，半径、，电荷为+q，-q。A、B间任一点场强大小为：，。讨论：（1）当时，有，令，则即——平行板电容器结果。（2）A为导体球或A、B均为导体球壳结果如何？z..\n..3、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为、，电荷为+q，-q，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量，是柱高。由高斯定理知，A、B内任一点P处的大小为（可知：在计算电容器时主要是计算两极间的电势差）。四、电介质对电容器电容的影响以上所得电容是极间为真空情况，若极间充满电介质（不导电的物质），实际表明，此时电容C要比真空情况电容大，可表示，或。与介质有关，称为相对介电系数。以上各情况若充满电介质（极间），有：球形：；平板：；柱形：。称为介质的介电常数。（）五、电容器的串联与并联在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来。若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。1、串联：z..\n..几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。设A、B间的电压为，两端极板电荷分别为+q，-q，由于静电感应，其它极板电量情况如图，。由电容定义有（8-4）1、并联：每个电容器的一端接在一起，另一端也接在一起。（特点：每个电容器两端的电压相同，匀为，但每个电容器上电量不一定相等）等效电量为：，由电容定义有：（8-5）例8-2：平行板电容器，极板宽、长分别为a和b，间距为d，今将厚度t，宽为a的金属板平行电容器极板插入电容器中，不计边缘效应，求电容与金属板插入深度x的关系（板宽方向垂直底面）。解：由题意知，等效电容如左下图所示，电容为：z..\n..说明：C大小与金属板插入位置（距极板距离）无关；注意：（1）掌握串并联公式；（2）掌握平行板电容器电容公式。例8-3：半径为a的二平行长直导线相距为d（d>>a），二者电荷线密度为，，试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。解：（1）如图所取坐标，P点场强大小为：（2）注意：（1）公式。（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件。§8-3电介质的电极化一、电极化实验表明，充电后的电容器去掉电源，再插入某种电介质（如：玻璃，硬橡胶等），则极板间电压减小了。由知，E减小了。E是如何减少的呢？从平板电容场强公式知，E的减小，意味着电介质与极板的接触处的电荷面密度减小了。但是，极板上的电荷没变，即电荷面密度z..\n..没变，这种改变只能是电介质上的两个表面出现了如图所示的正、负电荷。电介质在外电场作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的电极化。电极化时电介质表面处出现的净电荷称为极化电荷（束缚电荷），称为自由电荷。可见，电荷面密度（自由电荷面密度）-（极化电荷面密度），即减小了。（束缚电荷受到限制，∴束缚电荷量比自由电荷少的多，故比少的多。）∴E减小。另外，可从图看出，产生的场强，与产生的场强相反，所以它的场强为，即减小了，这也可以解释实验结果。二、电极化的微观机理1、电介质分类（2类）（1）无极分子电介质：无外电场时，分子正负电荷中心重合（如等）。（2）有极分子电介质：即使无外电场时，分子的正负电荷中心也不重合（如：等）。分子正负电荷中心不重合时相当于一电偶极子。2、电极化微观机理（1）无极分子的电极化无极分子在没有受到外电场作用时，它的正负电荷的中心是重合的，因而没有电偶极矩，如图a所示，但当外电场存在时，它的正负电荷的中心发生相对位移，形成一个电偶极子，其偶极矩方向沿外电场方向，如图b所示。对一块介质整体来说，由于电介质中每一个分子都成为电偶极子，所以，它们在电介质中排列如图，在电介质内部，相邻电偶极子正负电荷相互靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍是电中性的，但在和外电场垂直的两个端面上就不同了。由于电偶极子的负端朝向电介质一面，正端朝向另一面，所以电介质的一面出现负电荷，一面出现正电荷，显然这种正负电荷是不能分离的，故为束缚电荷。结论：无极分子的电极化是由于分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，这种电极化称为位移电极化。z..\n..（2）有极分子的电极化有极分子本身就相当于一个电偶极子，在没有外电场时，由于分子做不规则热运动，这些分子偶极子的排列是杂乱无章的，如图d所示，所以电介质内部呈电中性。当有外电场时，每一个分子都受到一个电力矩作用，如图所示，这个力矩要使分子偶极子转到外电场方向，只是由于分子的热运动，各分子偶极子不能完全转到外电场的方向，只是部分地转到外电场的方向，即所有分子偶极子不是很整齐地沿着外电场方向排列起来，如图f所示。但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大。无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上都产生了束缚电荷。结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区分它们。§8-4电介质中的电场高斯定理电位移一、电介质中的电场从上节看到，当电介质受外电场作用而电极化时，电介质出现极化电荷，极化电荷也要产生电场，所以，电介质中的电场是外电场与极化电荷产生电场的叠加，即，大小：。1、下面以平行板电容器为例求电介质中场强E。由电容器定义，有（无介质）为电压，为电量。（有介质）为电压，为电量。z..\n..2、极化电荷面密度介质内电场：。即：（极化电荷面密度）（8-6）二、有介质时的高斯定理根据真空中的高斯定理，通过闭合曲面S的电场强度通量为给面所包围的电荷除以，即此处，应理解为闭合面内一切正、负电荷的代数和，在无电介质存在时，；在有介质存在时，S内既有自由电荷，又有极化电荷，应是S内一切自由电荷与极化电荷的代数和，即、分别表示自由电荷和极化电荷。实际上，难以测量和计算，故应设法消除之。下面以平行板电容器为例，来讨论之。设极板上自由电荷面密度为，介质在极板分界面上极化电荷面密度为，介质相对介电常数为。取柱形高斯面，底面、分别在介质和极板内，且与板面平行，为侧面，与板面垂直。此时，高斯定理为z..\n..由上可知，不出现了。定义：（8-7）称为电位移矢量（注意此式只适用于各向同性电介质，而对各向同性的均匀电介质，为一常数）。高斯定理为：（8-8）说明：（1）上式为电介质中的高斯定理，它是普遍成立的。（2）是辅助量，无真正的物理意义。算出后，可求。（3）如同引进电力线一样，为描述方便，可引进电位移线，并规定电位移线的切线方向即为的方向，电位移线的密度（通过与电位移线垂直的单位面积上的电位移线条数）等于该处的大小。所以，通过任一曲面上电位移线条数为，称此为通过S的电位移通量；对闭合曲面，此通量为。可见有介质存在时，高斯定理陈述为：电场中通过某一闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内包围的自由电荷的代数和。（4）电位移线与电力线有着区别：电位移线总是始于正的自由电荷，止于负的自由电荷（可从定理看出）；而电力线是可始于一切正电荷和止于一切负电荷（即包括极化电荷）。如：平行板电容器情况（不计边缘效应）。z..\n..例8-4：平行板电容器，板间有二种各向同性的均匀介质，分界面平行板面，介电常数分别为、，厚度为、，自由电荷面密度为。求（1）、=？（2）电容器C=？解：（1）=？设二种介质中电位移矢量分别为、，在左极板处做高斯面S，一对面平行板面，面积均为A，侧面垂直板面，由高斯定理有其中，左底面=0，侧面上。又，，即，方向垂直板面向右。同样在右极板处做高斯面，一对面平行极板面，面积均为，侧面与板面垂直，由高斯定理有：，即，方向向右。可见，，即两种介质中相同（法向不变）。方向向右。（2）C=?例8-5：在半径为R的金属球外，有一外半径为的同心均匀电介质层，其相对介电常数为，金属球电量为Q，试求：（1）场强空间分布；（2）电势空间分布。z..\n..解：（1）由题意知，均是球对称的，取球形高斯面S，由有Q>0：沿半径向外；Q<0：沿半径向内。（2）介质外任一点P电势介质内任一点Q电势球为等势体，电势为例8-6：有一个带电为+q半径为的导体球，与内外半径分别为、带电量为-q的导体球壳同心，二者之间有两层均匀电介质，内层和外层电介质的介电常数分别为、，且二电介质分界面也是与导体球同心的半径为的球面。试求：（1）电位移矢量分布；（2）场强分布；（3）导体球与导体空间电势差；（4）导体球壳构成电容器的电容。解：（1）由题意知，场是球对称的。选球形高斯面S,由有得，沿半径向外。z..\n..（2）与同向，即沿半径向外。（3）（4）强调：（1）与关系；（2）电势差求法；（3）电容器的概念及电容求法。§8-5电场的能量一、带电电容器的能量一个电中性的物体，周围没有电场，当把电中性物体的正、负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场。所以，通过外力做功可以把其它形式能量转变为电能，贮藏在电场中。今以带电电容器为例进行讨论。如图所示，设t时刻，两极板上电荷分别为+q(t)和-q(t)，A、B间电势差为：再把电量从B移到A，外力做的功为。当A、B上电量达到+Q和-Q时，外力做的总功为：z..\n..外力功全部转化为带电电容器贮藏的电能，电容器储存的电能为：（8-9）二、电场的能量由上可知，平行板电容器能量与E,V,有关。因为场强为匀强电场，应均匀分布，故单位体积内能量，即能量密度为（8-10）（8-11）说明：（1）①适用于任何电容器；②适用于任何电场。（2）对任一带电系统整个电场能量为。（3）由（1）知，能量存在是由于电荷的存在，电荷是能量的携带者，但（2）式表明，能量是存在于电场中，电场是能量的携带者。在静电场中能量究竟是电荷的携带的还是电场携带的，是无法判断的。因为在静电场中，电场和电荷是不可分割地联系在一起的，有电场必有电荷，有电荷必有电场，而且电场与电荷之间有一一对应关系，因而无法判断能量是属于电场还是属于电荷。但是，在电磁波情形下就不同了，电磁波是变化的电磁场的传播过程，变化的电场可以离开电荷而独立存在，没有电荷也可以有电场，而且场的能量能够以电磁波的形式传播，这一事实证实了能量是属于电场的，而不是属于电荷的。例8-7：无限长圆柱形电容器是由半径为的导体圆柱和同轴的导体组成的，（1）电容器上具有的电场能量；（2）证明：，Q、C分别为l长导体上电量及l长电容器电容。解：如图所取坐标，原点在圆柱轴线为r轴。由题已知，其场是轴对称的，由高斯定理知，介质内任一点P的场强大小为（介质外E=0）在半径为r，厚为dr，高为的薄圆筒内，电场能量为z..\n..所求能量为：。证明：例8-8：有一个均匀带电荷为Q的球体，半径为R，试求电场能量。解：由高斯定理知，场强为在半径为r,厚为dr的球壳内，能量为：所求能量为：注意：（1）表达式建立；（2）积分分段。第九章稳恒电流的磁场稳恒电流：导体中电流不随时间变化（也叫直流电）。z..\n..§9-1基本磁现象安培假说人们对磁现象的研究是很早的，而且开始时是与电现象分开研究的。发现电、磁现象之间存在着相互联系的事实，首先应归功于丹麦物理学家奥斯特。他在实验中发现，通有电流的导线（也叫载流导线）附近的磁针，会受力而偏转。1820年7月21日，他在题为《电流对磁针作用的实验》小册子里，宣布了这个发现。这个事实表明电流对磁铁有作用力，电流和磁铁一样，也产生磁现象。1820年8月，奥斯特又发表了第二篇论文，他指出：放在马蹄形磁铁两极间的载流导线也会受力而运动。这个实验说明了磁铁对运动的电荷有作用力。1820年9月，法国人安培报告了通有电流的直导线间有相互作用的发现，并在1820年底从数字上给出了两平行导线相互作用力公式。这说明了二者的作用是通过它们产生的磁现象进行的。综上可知，电流是一切磁现象的根源。为了说明物质的磁性，1822年安培提出了有关物质磁性的本性的假说，他认为一切磁现象的根源是电流，即电荷的运动，任何物体的分子中都存在着回路电流，成为分子电流。分子电流相当于基元磁铁，由此产生磁效应。安培假说与现代物质的电结构理论是符合的，分子中的电子除绕原子核运动外，电子本身还有自旋运动，分子中电子的这些运动相当于回路电流，即分子电流。磁场的应用十分广泛。如：电子射线、回旋加速器、质谱仪、真空开关等都利用了磁场。§9-2磁场磁感应强度磁力线磁通量一、磁场1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。2、磁场的主要表现（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。（2）功的表现：磁场对载流导体能做功。3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。二、磁感应强度为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。设E、、为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为：z..\n..1、，2、与同磁场方向夹角有关，当与磁场平行时，=0；当与磁场垂直时，。如、磁场方向在x、y轴上，则在z轴上。可知，，可写成：可知：是与电荷无关而仅与O点有关即磁场性质有关的量。定义：为磁感应强度大小：方向：沿方向（规定为沿磁场方向）。说明：（1）是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的地位相当。（2）的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。（3）SI制中，单位为T（特斯拉）。三、磁力线在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线这一辅助概念。1、：方向，某点磁力线切向方向为的方向。大小，规定某处磁力线密度=设P点面元与垂直，为上通过的磁力线数，则磁力线密度，即有：可知：B大处磁力线密；B小处磁力线疏。2、磁力线性质（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。（2）磁力线不能相交，因为各个场点的方向唯一。四、磁通量定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用表示。1、均匀情况(1)平面S与垂直，如图所示，可知（根据磁力线密度定义）（9-1）z..\n..（2）平面与夹角，如图所示，可知：2、任意情况如图所示，在上取面元，可看成平面，上可视为均匀，为法向向量，通过的磁通量为，通过S上磁通量为（9-2）对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故，即（9-3）此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。在这里，此定理只当做实验结果来接受，但是可以从磁场的基本定律和场的迭加原理严格证明。磁通量单位：SI制中为Wb（韦伯）。§9-3毕奥——沙伐尔定律我们曾经讲过，求带电体场强时，把带电体看成是由许多电荷元组成，写出电荷元的场强表达式之后，然后用迭加法求整个带电体的场强。求载流导线的磁感应强度的方法与此类似，把载流导线看作是由许多电流元组成的，如果已知电流元产生的磁感应强度，用迭加法（实验表明迭加法成立），便可求出整个线电流的磁感应强度。电流元的磁感应强度由毕奥——沙伐尔定律给出，这条定律是拉普拉斯把毕奥、沙伐尔等人的实验资料加以分析和总结得出的，故亦称毕奥——沙伐尔——拉普拉斯定律。其内容如下：一、电流元电流元的磁场假设在导线上沿电流方向取，这个线元很短，可看作直线，又设导线中电流为，则称为电流元，如下图所示，在P点产生的磁感应强度为：大小：与成正比，与与（从电流元到P点的矢量）的夹角正弦成正比，与大小的平方成反比，即可写成K与磁介质和单位制选取有关。对于真空和国际单位制，z..\n..，其中（称为真空磁导率），方向：沿方向（矢量式）（9-4）此式是毕奥——沙伐尔定律的数学表达式。说明：（1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。（2）是矢量，方向沿电流流向。（3）在电流元延长线上。（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P点产生的为（9-5）二、磁场计算例9-1：设有一段直载流导线，电流强度为I，P点距导线为a，求P点=？解：如图所示，在AB上距O点为处取电流元，在P点产生的的大小为方向垂直指向纸面（方向）。同样可知，AB上所有电流元在P点产生的方向均相同，所以P点的大小即等于下面的代数积分统一变量，由图知垂直指向纸面z..\n..讨论：（1）时，，，。（2）对无限长（A在O处），，，。强调：（1）要记住，做题时关键找出、、。（2）、是电流方向与P点用A、B连线间夹角。例9-2：如图所示，长直导线折成角，电流强度为I，A在一段直导线的延长线上，C为角的平分线上一点，AO=CO=r，求A、C处。解：任一点是由PO段和OQ段产生的磁感应强度、的迭加，即，A处？A在OQ延长线上，∴即：垂直指向纸面大小：在此（2）C点的=？由题知，（大小和方向均相同）有方向垂直纸面向外，大小为：在此z..\n..例9-3：如图所示，一宽为a的薄金属板，其电流强度为I并均匀分布。试求在板平面内距板一边为b的P点的。解：取P为原点，x轴过平板所在平面且与板边垂直，在x处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生的方向为：垂直纸面向外，大小为（均匀分布）所有这样窄条在P点的方向均相同，所以求的大小可用下面代数积分进行：强调：（1）无限长载流导线产生磁场（2）迭加方法要明确。例9-4：如图所示，半径为R的载流圆线圈电流为I，求轴线上任一点P的磁感应强度。解：取x轴为线圈轴线，O在线圈中心，电流元在P点产生的大小为设纸面，则在纸面内。分成平行x轴分量与垂直x轴分量。在与在同一直径上的电流元在P点产生的、，由对称性可知，与相抵消，可见，线圈在P点产生垂直x轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x轴分量。的方向沿x轴正向。讨论：（1）x=0处，（2）x>>R，（3）线圈左侧轴线上任一点方向仍向右。强调：N匝线圈：z..\n..例9-5：载流螺线管的磁场。已知导线中电流为I，螺线管单位长度上有n匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的。解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P点为x处取长为，上含线圈为。因为螺线管上线圈饶得很密，所以，段相当于一个圆电流，电流强度为。因此宽为的圆线圈产生的大小为：所有线圈在P点产生的均向右，所以P点为讨论：螺线管无限长时，，，。半无限长：如B在无穷远处，A轴线上的一点有，，。例9-6：如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为、的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I。求c圆心O处＝？(2)若小半圆绕AB转，此时O处＝？解：由磁场的迭加性知，任一点是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O在直线段沿长线上，故直线段在O处不产生磁场。(1)＝？小线圈在O处产生的磁场大小为：（每长度相等的圆弧在O处产生的磁场大小相同）；方向：垂直纸面向外大线圈在O处产生的磁场大小为：方向：垂直纸面向里z..\n..方向：垂直纸面向外(2),可知、均垂直纸面向里。方向：垂直纸面向里§9-4运动电荷的磁场我们知道，电流是一切磁现象的根源，而电流是由于电荷定向运动形成的。可见，电流的磁场本质上是运动电荷产生的。因此，我们可以从电流元所产生的磁场公式推导出运动电荷所产生的磁场公式。如图所示，有一段粗细均匀的直导线，电流强度为I，横截面面积为s，在其上取一电流元，它在空间某一点产生的磁感应强度为，为电流元到P点的矢径。按经典电子理论，金属导体中的电流是大量自由电子的定向运动形成的，为研究方便，我们可等效地认为该电流是正电荷产生的，正电荷的运动方向就是电流方向。设电荷（正电荷，下同）的电量为q，单位体积内有n个做定向运动的电荷，它们的运动速度均为恒矢。下面求I=?在导线上取长为V的一柱体，那么，在单位时间内通过此柱体右端面S的电荷数为：n(VS)单位时间内通过此面的电量为：q(nVS)由电流强度定义有：I=qnVS,故与同向，∴该电流元内有定向运动的电荷数目为∴电流元内一个运动电荷产生的磁感应强度为z..\n..（9-6）说明：(1)式中是由运动电荷到考察点的矢量；(2)此式对正、负电荷均成立。(3)研究运动电荷的磁场，在理论上就是研究毕奥——沙伐尔定律的微观意义。例9-7：设电量为+q的粒子，以角速度做半径为R的匀速圆周运动，求在圆心处产生的。解：<方法一>按，运动电荷产生的为大小为：r=R，，∴方向：垂直纸面向外。<方法二>用圆电流产生的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q形成的电流流线与+q运动的轨迹（圆周）重合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知，的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载流线圈在其中心产生的大小公式，可求出的大小。设运动频率为f，可有§9-5安培环路定律在电场中，我们介绍了高斯定理，由它可求出满足一定对称条件的场强，简化计算。那么，在磁场中是否也有与电场中高斯定理地位相当的规律呢？回答是肯定的，这就是安培环路定律，其内容是下面分几种情况来阐述。1、闭合电线L内有电流情况z..\n..设L为平面闭合曲线，所在平面与纸面垂直，直导线在纸面内并垂直L所在平面，如图（a）所示，（b）为俯视图。在L上取一线元，a、b为始、终点，和的夹角为，oa=r，在a处的大小为，的方向如图所示（在纸面内）(a)(b)图9-16设c是与ab交点，所以很小，当积分方向反向时，即当积分绕向与I的流向遵守右手螺旋定则时，上式取“+”，此时，可认为电流为正；当积分绕向与I的流向遵守左手螺旋定则时，上式取负号，此时可认为电流为负。2、闭合曲线L不包含电流情况把上面长直导线平移到L外，则（b）图可表示如下：仍有结论：L不包围电流时3、在中有n条平行导线情况z..\n..即（9-7）此式即为安培环路定律的表达式。它表明：沿一个回路积分等于此回路内包围电流的代数和的倍。说明：（1）如果不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。（2），说明了磁场为非保守场（涡旋场）。（3）安培环路定律只说明仅与L内电流有关，而与L外电流无关。对于是内外所有电流产生的共同结果。例9-8：求下列情况=？解：由安培环路定律有：例9-9：有一无限长均匀载流直导体，半径为R，电流为I均匀分布，求分布。解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆周，在每一个圆周上的大小是相同的。（1）导体内P处=？过P点做以a为圆心半径为的圆周，aP与轴垂直，安培环路定律为（取过P点的一电力线为回路）可知即方向如图所示（与轴及垂直）（2）导体外任一点Q处=？过Q点做以O为圆心，为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：可有：，z..\n..方向如图所示（与轴线及垂直）例9-10：如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共N匝，电流为I，求环内任一点=？解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取P所在磁力线为积分路径可知：即，方向在纸面内垂直OP图9-22讨论：（1）因为r不同时，不同，所以不同半径r处大小不同。（2）当L表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点B的大小为，为单位长度上的匝数。（3）如果环外半径与内半径之差<<环中心线的半径R时，则可认为环内为均匀磁场（大小），即大小均为。（4）环形螺线管中结果与无限长直螺线管中心轴线上的大小相同。与应用高斯定理求场强一样，并不能由安培环路定律求出任何情况下的磁感应强度,能够计算出的要求磁场满足它的对称性。在具有一定对称性的条件下，适选积分回路，才能计算出的值。运用安培环路定律时的程序如下：（1）分析磁场的对称性；（2）适选闭合回路（含方向）；（3）求出，（4）利用,求出的值。§9-6带电粒子在外磁场中受力前面，从运动电荷在磁场中受力情况定义了。实验知：时，电荷受力z..\n..；时，,现讨论与夹任意角情况。如图所示，取坐标y沿方向，在xy面内，将分解成平行于及垂直于方向的分量、，即.平行于方向运动不受作用∴对带电粒子作用仅是对垂直运动的作用，受力为（9-8）说明：（1）上式叫做洛仑兹力公式。它对正、负电荷都成立。q>0，沿方向；q<0，沿反方向。（2）时，；时，（3）因为，所以，对带电粒子不做功。（4）在均匀磁场中，：做圆周运动；与既不平行，也不垂直：做螺旋运动。（5）在电磁场中运动电荷受力公式为：例9-11：用探测电荷（q>0）探测空间O点电磁场，在O处电荷速度及受力探测如下：试求：（1）O点；（2）O点。解：带电粒子在电磁场中受力为：（1）=？在（a）中，，，由①知：②q>0，及沿+x方向∴沿+x方向，大小为③（2）在（b）中，∴在（c）中，，即z..\n..沿+x方向，及，∴沿+y方向的大小：∴§9-7磁场对载流导体的作用一、安培定律实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。二、安培定律的数学表述如图所示，AB为一段载流导线，横截面积为S，电流为I，电子定向运动速度为，导体放在磁场中，在C处取电流元，C处磁感应强度为，方向向右，电流元中一个电子受洛仑兹力为设单位体积内有n个定向运动电子，则电流元内共有运动电子数为，电流元中电子受合力即电流元受力为即电流元受力（9-9）此式为安培定律的数学表达式说明：（1）（2）对任意形状的载流导线和任意的磁场，都成立。对于一段导线受力可表示为（3）如图所示，电流元位于原点，方向沿+z，z..\n..在y轴上，坐标为(0,y,0)，方向沿+y。在处产生的磁场为受作用力为：在O处产生的，所以受力为结论：电流元间作用力不满足牛顿第三定律。三、计算举例例9-12：如图所示，一段长为L的载流直导线，置于磁感应强度为的匀强磁场中，的方向在纸面内，电流流向与夹角为，求导线受力=？解：电流元受到的安培力为大小为：方向为：垂直指向纸面。导线上所有电流元受力方向相同∴整个导线受到安培力为：可化为标量积分方向：垂直指向纸面讨论：（1）时，=0。（2）时，。注意：AB是闭合回路一部分，孤立的一段载流导线是不存在的。以上是载流直导线在匀强磁场中的受力情况，一般情况下，磁场是不均匀的，这可从下面例子中看到。例9-13：如图所示，一无限长载流直导线AB，载电流为I，在它的一侧有一长为l的有限长载流导线CD，其电流为，AB与CD共面，且，C端距AB为a。求CD受到的安培力。解：取x轴与CD重合，原点在AB上。X处电流元，在x处方向垂直纸面向里，大小为：z..\n..方向：沿方向。CD上各电流元受到的安培力方向相同∴CD段受到安培力可化为标量积分，有方向：沿方向。注意：因为本题CD处于非均匀磁场中，所以CD受到的磁场力不能用与磁场中的受力公式计算，即不能用计算。以上是载流直导线在磁场中的受力情况，实际上，载流导线不全是直的，有载流典型导线，这可以从下面例题看出。例9-14：如图所示，半径为R、电流为I的平面载流线圈，放在匀强磁场中，磁感应强度为，的方向垂直纸面向外，求半圆周和受到的安培力。解：如图所取坐标系，原点在圆心，y轴过a点，x轴在线圈平面内。（1）受到安培力=？电流元受到安培力，大小为方向为：沿半径向外各处电流元受力方向不同（均沿各自半径向外），将分解成及来进行叠加。=？（沿+x方向）（奇函数对称区间积分为0）实际上由受力对称性可直接得知=0。（2）=?考虑电流元，它受安培力为，大小为，方向：沿半径向外。上各电流元受力方向不同，z..\n..∴也将分解成，处理。=？（沿-x方向）=？讨论：（1）各电流元受力方向不同时，应先求出及，之后再求及。（2）分析导线受力对称性。如此题中，不用计算，就能知道它们为0。（3），圆形平面线载流线圈在均匀磁场中受力为0。推广：任意平面闭合线圈在均匀磁场中受安培力为0，这样，某些问题计算得到简化。§9-8磁场对载流线圈的作用实验表明，当通电线圈悬挂在磁场中时，可发生旋转，这说明线圈受到了磁场对它施加力矩的作用，磁场对线圈产生的力矩称为磁力矩，下面来推导磁力矩公式。一、匀强磁场中情况设矩形线圈边长为、，电流为I，线圈法向为（与电流流向满足右手螺旋关系），与夹角为，，各边受力情况：（1），方向向上，方向向下可见，，（ad,bc边受合力为0）（2）方向：垂直纸面向外方向：垂直纸面向里可见，ab、cd边受力形成了一力偶，力矩大小为：力矩方向方向。定义：（9-10）线圈磁矩（它只与线圈有关），由此可得出的矢量式为：（9-11）z..\n..此式即为所求。说明：（1），大小，方向与线圈法向一致。（2）对N匝线圈，。（3）时，时，。即为平衡位置（a）:稳定平衡如图9-33所示，当从０有一增量时（线圈受某种扰动），线圈位置如虚线所示。此时线圈受到一力矩作用，既结果是使线圈回到平衡位置，所以=0时称为稳定平衡。（b）：不稳定平衡如图9-34所示，当时，线圈受某一扰动后会偏离此位置，如虚线所示。此时线圈受到一力矩作用，即结果是使线圈远离这一平衡位置，所以成为不稳定平衡位置。（4）由（3）知，线圈在磁力矩作用下，它是趋于磁通量最大位置，即方向位置。（5）对任何平面线圈在匀强磁场中均成立。例9-16：求例10-15中线圈的＝？＝？解：（1）＝？大小：；方向：垂直纸面向外。（2）＝？与同向，∴＝0注意：计算时要注意下面步骤：（1）判断方向。（2）判断与夹角。（3）找出大小，根据计算出大小及的方向。二、非匀强磁场中情况平面载流线圈在非匀强磁场中，一般情况下，线圈所受的合磁力及合磁力矩均不为零，此时线圈即有平动又有转动。§9-9磁介质中的磁场（1）与磁场有相互影响的实物物质称为磁介质，实际上一切实物都是磁介质。（2）磁介质放在磁场中而产生磁场的状态称为磁化状态。z..\n..一、磁介质的磁化磁导率1、顺磁质与抗磁质的特征空间任一点磁场是原来磁场与磁介质产生的附加磁场的迭加，即实验表明：如果均匀的磁介质充满有磁场的空间，则与同向或反向。定义：与同向的磁介质称为顺磁质（如：Mn，Cr，N2）与反向的磁介质称为抗介质（如：Au，Ag，Cu，H2）说明：（1）一切抗磁质和大多数顺磁质均有。（2）但有为数不多的顺磁质（如：Fe，Ni），这类磁介质称为铁磁质。2、顺磁质及抗磁质磁化的主要机理（1）顺磁质分子或原子中各个电子对外界产生的磁效应的总和相当于一圆电流，该圆电流称为分子电流。它形成的磁矩称为分子磁矩。组成顺磁质的分子有一定的磁矩，无时（见图a），由于分子热运动，方向混乱，使磁效应抵消，整个磁介质对外不显磁性。当有外磁场，每个分子磁矩都受到磁力矩作用，如图b，此力矩使分子磁矩转向方向，由于分子的热运动，分子磁矩尚不能与完全一致，只是在一定程度上沿外磁场方向排列起来，因而在磁介质内任一点产生与外磁场方向相同的附加磁感应强度如图c所示。图9-35结论：分子磁矩是顺磁质产生磁效应的主要原因。（2）抗磁质组成抗磁质的分子，在没有外磁场时，对整个分子而言，没有磁效应，它的分子电流为零。因而没有分子磁矩。当处在外磁场中时，分子或原子中的每个电子都受到洛伦兹力作用，这时电子上怎样运动的呢？可以证明：分子中每个电子在恒定的外磁场作用下除作轨道运动及自旋外，轨道平面（或角动量各量）还要以恒定的角速度绕外磁场方向转动，这种转动称为电子的进动。如下图：z..\n..此时，电子受磁力矩方向：，∴时间内：图9-36方向。与同向，与及组成的平面垂直，所以在虚线的圆周上。可见（或角动量）绕转动。该转动称为电子进动，电子的进动亦相当一圆电流。因为电子负电，所以该圆电流的磁矩方向向下，即与方向相反，分子中各个电子因进动而产生的磁效应总和亦与一圆电流等效。该圆电流产生的磁矩称为分子附加磁矩。显然，方向与反向。因为方向都与反向。所以在抗磁质内部任一每个分子的与该点外磁场方向相反的附加磁场。可见，附加磁场是抗磁质产生磁效应的唯一原因。说明：对于顺磁质也存在，分子磁矩，且。因为可忽略，故显顺磁性。所以是顺磁质产生磁效应的主要原因。对于抗磁质，在时，才有附加磁场，所以是抗磁质产生磁效应的唯一原因。（3）磁导率定义：称为磁介质的相对磁导率。对一切抗磁质和大多数顺磁质，，即。对铁磁质：很大（比大得多）。二、磁质中的磁场在磁介质时的安培环路定律磁场强度1、回顾真空中若放入磁介质中，上面二式如何？因为，磁力线是闭合的，所以成立。环路定律形式如何？后面讨论。2、有磁介质时安培环路定律传导电流：导体中电子,或正、负离子作有规则运动形成的电流。因为磁现象的根源是电流，所以安培环路中应是传导电流与分子电流的总和，即（“+”顺磁质，“-”抗磁质）z..\n..（9-12）称为磁介质的磁导率。顺磁质：；抗磁质：；铁磁质：比大得多。∴“+”顺磁质，“-”抗磁质取回路abcd，ab在螺线管内，cd在外。可知图9-37，（9-13）（9-14）式（9-13）为磁介质中的安培环路定律（此积分仅与传导电流有关），式（9-14）中的称为磁场强度。说明：（1）上式是从螺线管中导出的，但普遍成立。（2）为辅助量，无直接的物理意义，有意义的是。（3）安培环路定律利用与真空中实验一样，求时，先求，后求。三、铁磁质简介铁磁质的性质和规律比顺磁质、抗磁质复杂，下面通过研究，z..\n..关系的实验来做一些简单介绍。实验是用图9-38所示的电路来进行的。把待测的铁磁质做成圆环，在圆环上密绕线圈，这样就形成以铁磁质为芯的环形螺线管。线圈通电时，环内磁场强度为：，圆环内的，可用一个接在冲击电流计上副线圈来测量。当原线圈（即环形螺线管）中电流变化甚至反向时，在副线圈中将产生一个感应电动势，由此可把环内的测出来。实验结果得到如图的曲线。图9-37图9-37称为起始磁化曲线，当从零逐渐增加时，亦从零增加，当增大到一定值时（图中点），几乎不再增加，这时磁化达到了饱和。由于磁化曲线不是直线，所以铁磁质的磁导率以及相对磁导率都不是恒量。在磁化达到不饱和后，令减小，则亦减小，但不按减小，而是沿曲线减小，当等于零时，，即磁化场减小到零时，介质的磁化状态并不恢复到原来的起点，而是保留一定的磁性，叫剩磁现象，叫剩余磁感应强度。如果的值等于值，变为零，即介质完全退磁，使介质完全退磁所需的反向磁场强度叫做矫顽力。当反向磁场继续增加时，铁磁质将向反方向磁化，达到饱和后，若使反向磁场的减小到零，然后再向正方向增加，将沿曲线而变化，形成闭合曲线。曲线称为磁滞回线。各种铁磁性材料有不同的磁滞回线。他们的区别在于矫顽力的大小不同。铁磁材料按矫顽力的大小分为两类，即硬磁材料和软磁材料。z..