几何光学-大学物理 110页

第三章几何光学的基本原理本章概述▲基本概念（§3-1、§3-3）光线、实像、虚像、虚物▲基本定理（§3-2）费马原理▲由费马原理导出反射定律和折射定律（§3-4）▲光学系统成像的规律（§3-5—§3-8）球面镜成像薄透镜成像近轴条件▲基点基面法及其意义（§3-9—§3-10）\n§3—1几个基本概念费马原理一、光线与波面光线的概念波面的概念在各向同性介质中的关系球面波平面波波面光线\n二、几何光学的基本实验定律1、光在均匀介质中的直线传播定律2、光通过两种介质界面时的反射定律和折射定律3、光的独立传播定律和光路可逆原理\n三费马原理费马原理：光在指定的两点之间传播，光沿光程为最大、最小或恒定的路程传播。（光程---教材P15页）数学表达式为极值（极小值、极大值或恒定值）实际情况下一般取极小值1、直线传播定律··AB当光在均匀介质（或真空）中从A点传播到B点时，费马原理指出光线走最小路程。由两点之间直线最短这一几何公理知，光线必沿直线传播。光的直线传播定律是费马原理的直接结果。\n光沿遵守反射定律的路径ADB行进时，通过距离最短，费时最少2、反射定律n1n2EDi1·A·BB’D’i2给定点A和B：从B点向分界面引垂线BEB’令B’E=BEDB=DB’，D’B=D’B’ADB=AD+DB=AD+DB’=ADB’AD’B=AD’+D’B=AD’+D’B’=AD’B’光路ADB遵守反射定律光路AD’B不遵守反射定律ADB遵守反射定律，i1=i2ADB’为直线n2A2B2A1B1二、光在平面上的折射，光束单心性的破坏·P’·PP2P1i1i2i1+Δi1i2+Δi21、讨论两条光线PA1、PA2的折射：P（0、y），A1（x1、0）A2（x2、0），P1（0、y1）P2（0、y2），P’（x’、y’）由几何光学可计算出（附录3-1）：决定P’点的位置\nOxn2n1yn1>n2A2B2A1B1·P’·PP2P1光线PA1、PA2受oxy面限制不能认为是任意光线故不能认为P’是所有任意光线的顶点！2、讨论P发出的狭窄空间光束的折射：将ΔPA1A2饶oy轴旋转一小角度，得上述光束●光束中所有光线的折射光的反向延长线均落在P1P2范围内●在旋转中P’在空间画出了一段弧线，旋转角度很小时可近似认为该弧为垂直于图面的直线，单心光束中所有折射光的反向延长线均交于该直线上的各点。折射光束的单心性被破坏！P1P2：弧矢焦线P’在空间画出的垂直于图面的直线：子午焦线弧矢焦线⊥子午焦线\n当P点所发出的光束几乎垂直于界面，即i1＝0时，从（3-2）、（3-3）、（3-4）三式可得:这时P1，P2，和P’三点几乎合在一起，这时折射光束几乎仍保持为单心的。入射方向越倾斜，折射光束的像散就越显著。\n在水面上沿着竖直方向观看水中物体，所见的像最清晰，此时所见像的深度y’与实际物的深度y之比决定于介质的折射率之比n2/n1。若n1>n2，则y’＜y，即水中物体似乎上升了，y’叫做像似深度。（由光疏进入光密）当沿着倾斜角度较大的方向观看时，像的清晰度由于像散而受到破坏，因此像比较模糊。\n当i1=0时，P1、P2、P’点重叠，折射光束能保持单心性。i1↑，折射光的像散越大。透过折射率为n、厚度为d的平行板，以入射角i1观察物体P时，像点P’移动的距离为：PP’=d（1-1/n）\n三、全反射、光学纤维Oxn2n1yn1>n2·Pi1ici1i2I2=π/2由折射定律若n1n2，则i2>i1，当i1=ic，使i2=π/2，sini2=1i1↑,i2↑时，界面不再有折射光，而入射光全部被反射叫全反射全反射临界角\n四、光学纤维光学纤维：直径几微米的单根或多根玻璃或塑料纤维组成。每根分内外两层：n内=n1=1.8；n外=n2=1.4光从内层射到外层，入射角大于临界角的光线由于全反射而在界面上多次反射传到另一端。设光从n0→n1，入射角i，折射角i’n0sini=n1sini’设光从n1→n2，若入射角i1=π/2–i’=ic，则折射角i2=π/2\n只有顶角在等于2i的空间锥体内的全部光线才能发生全反射。若n0=1入射角>i的光线以n\n二、横向放大率定义式：像的横向大小与物的大小之比。即：利用三角形相似及牛顿公式可得计算式：注意：1、如果计算所得是正值，表示像是正的；如果是负值，表示像是倒的。2、>1表示像是放大的，<1表示像是缩小的。（P138）\n各种光学元件成像公式小结:1、单球面折射:①当r→∞时，平面折射：②当n′=-n时，单球面反射:③在单球面反射中，若r→∞时，平面　　　　反射．２、薄透镜成像:当n1=n2时，f=-f′,高斯公式简化\n三、轴上物点作图求象法会聚薄透镜--轴外物点作图成像中的三条特殊光线O.FF’.\nO..发散薄透镜--轴外物点作图成像中的三条特殊光线FF’\n会聚薄透镜--轴上物点及任意光线的作图求像法---像方焦平面!OF’F1’.PP’.\n会聚薄透镜--轴上物点及任意光线的作图求象法---物方焦平面!(另一种作图方法)OPF1P’.F\nOF’...PP’F1’发散薄透镜--轴上物点及任意光线的作图求象法---像方焦平面!\nOF1P’..F发散薄透镜--轴上物点及任意光线的作图求像法—物方焦平面!(另一种作图方法)P\n单一球面界面的作图求像法1．单球面折射：入射光线(物空间)与折射光线(象空间)分布于球面异侧，物、像方焦点F、F’分布于球面顶点O的两侧,曲率中心C为光心.2.单球面反射入射光线(物空间)与反射光线(像空间)位于球面同侧，物、像方主焦点F、F’重合于一点F。\nFCO单球面反射成像中的三条特殊光线+\n注意:(1)近轴物、近轴光线;(2)光线的变向点在界面上！(3)光线必须用带箭号的实直线表示！其延长线用不带箭号的虚直线表示！(4)所有辅助线(如副光轴，焦平面等)都用虚线表示。(5)图中的基点采用规定的字母表示，如C(曲率中心)、O(顶点)、F(物方焦点)、F’(像方焦点)等。\n3---6近轴物点近轴光线成像的条件目前仅研究了光线从单独一点发出而被球面反射或折射后所产生的像点，而且是在近轴光线条件下的成像问题。由于物体总是存在一定形状和大小。不在主轴上的任意一个发光点所发出的光束，经球面反射或折射后是否仍能保持光束的单心性？问题1问题2应在怎样的条件下才能保持单心性，并成像于单独的一点？\n根据费马原理，物体上任意发光点Q所发出的光束经主轴附近的球面反射或折射后，能成像于单独一点Q’的条件是：从Q发出的所有光线到达Q’点时的光程都相等。分别讨论球面反射和球面折射的情况:一、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式从Q点作直线段QP垂直于主轴，从像点Q’作直线段Q’P’也垂直于主轴（见图3－26）。O为球面镜顶点，A为任意入射点，令OP=-S，OP’=-S’，AA’（垂直于主轴）=+h，OA’=-x，PQ=+y，P’Q’=-y’．从Q沿任一光线QA到Q’的光程为:QAQ’＝QA＋AQ’\n用二项式定理将上式展开并略去高次项，即得（见附录3.3）下式：要使所有从Q点发出的光线到Q’点的光程都相等，必须满足这样的一个条件：QAQ’·应与h无关，也就是说，上式中含有h和h2的各项都应等于零，即：\n和（3-32）（3-33）（3-32）式表示如果轴外物点Q和P有相同的S值，则Q’和P’也应当有相同的S’值。即如果物是垂直于主轴的线段则像也是垂直于主轴的线段，这符合理想成像的要求。（3-33）式说明y’与y之比取决于s’与s之比。而且隐含了物面各处成像时被放大同样倍数----几何相似性!\n结论：要使不在主轴上的一个发光点Q能够理想成像于单独一个像点Q′,必须同时满足以下两个限制件：（1）光线必须是近轴的因为只有当|h|<<|r|时,近似值才成立.（2）物点必须是近轴的即|y|<<|s|,这样在光程QAQ’的展开式中的所有高次项才可略去。\n二、近轴物在近轴光线条件下球面折射的物像公式可用同样方法处理球面折射时的情况。下图3表示不在主轴上的Q点成像于Q’点。在近轴物点近轴光线的条件下，从Q沿任一光线到Q’的光程按上节所讨论的结果为：利用QAQ’与无关的条件可得：和物像公式折射定律,可求出横向放大率\n横向放大率小结:(1)球面折射:平面折射:(2)球面反射:平面反射:(3)薄透镜:\n3--7理想光具组的基点和基面逐个球面成像法面临的困难:理论上可以解决任意多个球面的成像问题，但运算繁琐，而且实际的光学系统中各球面间的相对位置往往并不完全知道。解决问题的简化方法：以一个等效的光具组代替整个共轴的光学系统，并设法找出这个光具组的焦点在内的基点，那么就可以不考虑光在该系统中的实际路径而确定像的大小和位置。理想光具组：①可以保持光束单心性②像和物在几何上相似。\n高斯理论成立的条件：1、光线仍旧限于近轴；2、不要求光具组是“薄”的；3、须建立一系列基点和基面(请猜猜?)用这些基点和基面就可以描述光具组的基本光学特性，而不用去研究光具组中实际的光线，从而把问题大大简化。这些基点和基面是：焦点、主点、节点；焦平面和主平面。\n厚透镜是由两个单球面镜组合而成的，因此厚透镜实际上是两个单球面组合的简单光具组。对由任意多个共轴光具组复合而成的情况，可以先把两个相邻的单光具组合并为一个光具组，求出其基点；然后逐次和下一个单光具组合并.所以这里只讨论把两个相邻光具组合并成一个时，如何求出其焦点和主点的位置即可。一、在空气中厚透镜物像公式的高斯形式\n上图表示置于空气中的轴厚度为的厚透镜，P和P’分别为物点和像点，F和F’分别为物方焦点和像方焦点。在近轴条件下，厚透镜的物像关系可以通过对曲率半径为r1和r2的两个折射球面逐次成像求得。设物点P离球面O1的距离为，像点P’离球面O2的距离为，则对折射球面O1由（3-17）式可得:\n对折射球面O2，也可得到：式中是第一个折射球面形成的像与顶点O1间距离。若令：其中是第一个折射球面的像方焦距，并令：其中是第二个折射球面的物方焦距，则上述两个公式可改写为:\n消去上述两式中的，并把测量物距和像距的参考原点从原来的O1和O2处分别移动了距离P和P’后，像距和物距满足如下关系：式中是厚透镜的像方焦距，其值为：（3-42）\n或：再进行适当代换可解得：物像位置的关系式（3-41）可以表示成公式（3－42）的较简单的形式。\n若令：则在空气中厚透镜物像公式的高斯形式即为：二、厚透镜的基点和基面上式在形式上与空气中薄透镜物像公式的高斯形式完全相同。但是必须注意，上式中的物距s不是从顶点O1量起，而从H点量起，H点与O1点间的距离为p；像距S’也不是从顶点O2量起，而是从H’量起，H’与O2点间的距离为p’。\nH和H’点分别叫做物方主点和像方主点。在近轴条件下，通过H和H’点垂直于主轴的平面分别叫物方主平面和像方主平面。一束平行于主轴的入射光，通过光具组后所成的像，即为像方焦点F’；从物方焦点F发出的光，通过光具组后，将成为平行光。在近轴条件下，通过F点和F’点并垂直于主轴的平面分别叫物方焦平面和像方焦平面。主点至焦点的距离即为焦距。总之，测量s和f时，原点取在物方主点H；测量s’和f’时，原点取在像方主点H’。这样，厚透镜的物像公式仍然与前面高斯公式的形式相同。\n如果物距x和像距x’分别从物方焦点和像方焦点量起，f和f’分别从物方主点和像方主点量起，物和像的位置关系仍可用牛顿公式表示，即：\n厚透镜的两个主点的位置可由和两式计算得到。p和p’分别从O1和O2量起，当p和p’为正值时，主点H和H’各自位于顶点O1和O2的右方；当p和p’为负值时，主点各自位于顶点O1和O2的左方。\n例3(习题11)：有一折射率为1.55、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：（1）从物所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。解：（1）利用P199空气中厚透镜物像公式可知：其中n=1.5,r1=4cm,r2=-4cm，δ=8cm\n即主点H1、H2分别位于O1、O2右方和左方4cm处，容易看出，H1、H2重合于球心O。按题意，物离物方主点H的距离为：-（6+4）cm于是由：\n（2）由此可见，得到的是放大的倒立的像。\n三、复合光具组的基点和基面*只要给出了厚透镜的焦点和主点，就可以确定物像之间的关系。为了知道共轭光线之间的关系，还要知道第三对基点——节点。节点分物方节点和像方节点，其特征是通过物方节点K和像方节点K’的任意共轭光线方向不变，即u=u’，如图3－34所示。\n图3－35所示是两个厚透镜（或两个单光具组）组合的复合光具组。对理想光具组，当最后的出射光线平行于相应的入射光线时，这两条光线和主轴的交点K、K’分别叫做物方节点和像方节点。图3－35\n设两个共轴单光具组I和Ⅱ的主点分别为H1、H1’和H2、H2’它们的焦距分别为f1、f1’和f2、f2’。用I的像方焦点F1’和Ⅱ的物方焦点F2之间的距离Δ（称为两系统的光学间隔）或I的像方主点H1’和Ⅱ的物方主点H2之间的距离d来表示它们之间的距离。\nF2在F1’之右时Δ为正；F2在F1’之左时Δ为负。H2在H1’之右时d为正，H2在H1’之左时d为负。各单光具组中涉及的距离都遵照符号法则规定。为简明起见，图中所示的光具组I和Ⅱ的像方焦距都是正的，且Δ和d也是正的。显然，只要用d来代替厚透镜中两个单球面镜间的距离（厚透镜的厚度）δ，并考虑到I和Ⅱ之间的介质的折射率n=1，那么对这一复合光具组来说，其焦距的大小和主点的位置可由（3－43）式、（3—45）式和（3—46）式得到，即：\n上式中，p从H1’量起，p’从H2’量起，而f从H量起，f’从H’量起，如图3－35所示。若考虑到式中d=Δ+f1’-f2，以及在空气中的f1’=-f1，f2’=-f2，则以上三式还可以写成如下形式：（3-51）\n由（3-51）式变形可得：在空气中f2=-f2’，故上式可变为：\n若两光具组接触，则d=0，因而有：\n3.10理想光具组的放大率基点和基面的性质*一、理想光具组的横向放大率下面以厚透镜为例求出理想光具组的放大率。厚透镜的放大率是两个折射球面的放大率之积。由（3-35）式可知：第一个折射球面的放大率为：第二个折射球面的放大率为：\n因此对上式化简得：利用高斯物像公式，厚透镜的横向放大率可写为：上式与薄透镜的横向放大率形式完全相同，上式中的s、s’从主点量起。利用牛顿公式，光具组的横向放大率也可写成：\n二、理想光具组的角放大率角放大率定义为：利用牛顿公式，上式可变为：\n理想光具组的横向放大率与角放大率分别为：可见，对给定的光学系统，无论是单球面，还是复杂光具组，变换光束并不能随心所欲：像尺寸变大必以光束孔径角同倍数变小为代价。\n§3-11一般理想光具组的作图求像法与物像公式*一、焦点和焦平面▲物方焦平面：与无穷远像平面共轭的物平面▲物方焦点F：物方焦平面与主轴的交点▲像方焦平面：与无穷远物平面共轭的像平面▲像方焦点F’：像方焦平面与主轴的交点光线1：平行于主光轴的入射光束经光学系统后必交于F’点光线2：过F点的入射光束经光学系统后必平行于主光轴出射光线3：与主光轴斜交的平行入射光束经光学系统后必交于像方焦平面上轴外同一点光线4：从物方焦平面上轴外同一点发出的入射光束经光学系统后必成为与主光轴斜交的平行出射光束\n二、主点和主平面▲主平面：横向放大率β=+1的一对共轭面▲物方主点H：物方主平面与主轴的交点▲像方主点H’：像方主平面与主轴的交点三、节点▲节点：角放大率γ=+1的一对共轭点属于物方为物方主平面属于像方为像方主平面两主平面上任一对共轭点均与主轴等距离任一对共轭光线的入射点和出射点均与主轴等距离属于物方为物方节点K属于像方为像方节点K’光线5：过节点K和K’的一对共轭光线相互平行\n三、一般理想光具组的作图求像法只要知道了一般理想光具组基点的位置，就可以从指定的任一物点利用简单的作图方法。已知主点H、H’，焦点F、F’，节点K、K’．根据下列步骤可以找到不在主轴上的一个物点Q的像。1、从物点Q发出的平行于主轴的光线QM经光具组折射后，必通过像方焦点F’，它和主平面的交点分别为M、M’，M和M’与主轴的距离相等。\n3、从物点Q作第三条光线经过物方节点K，折射后它经过像方节点K’并且和QK平行。在光束仍能保持单心的条件下，这第三条光线必通过Q’。根据下列步骤可以找到在主轴上的一个物点P的像。2、过物方焦点F的光线QF和物方主平面相交于N点。在像方主平面上取N’点，使N和N’两点到主轴的距离相等，平行于主轴的光线N’Q’就是与光线QN共轭的出射光线。M’F’和N’Q’两光线相交于Q’点，Q’即为像点．\n（1）作任一光线PM，交物方焦平面于B点；（2）作辅助线BK通过物方节点K；（3）在像方主平面上取M’点使M’H’＝MH，从M’点作M’P’平行于BK，则M’P’即为出射光线，它和主轴的交点P’即为像点。\n利用基点基面的作图法带有抽象的意义，因为它没有表示出光线在光具组中实际进行的路线。但我们的目的只是找到像的准确位置，尽管图中没有表示出复杂光具组的实际结构，但在物点和像点附近的光线方向，都是和实际的光线方向相符合的。容易证明，当一个光具组的基点、基面给定时，其物像之间的关系也可用高斯公式和牛顿公式。四、光具组的物像公式当然，这些符号的含义已发生一定变化。\n例题1：凸透镜的焦距为10cm，凹透镜的焦距为4cm，两透镜相距12cm，已知物置于凸透镜左方20cm处，计算像的位置并作光路图。解：如图所示，设物为PQ，就透镜O1而言，根据新笛卡儿符号法则可知：\nf’=10cm（像方焦点在透镜的右方）（物置于透镜的左方）代入薄透镜的高斯公式得：得，（P’Q’），为倒立的实像(未考虑凹透镜的存在)。\n(2)实像P’Q’对凹透镜而言为虚物(像方焦点在透镜O2的左方)S2=20-12=8cm(虚物位于在透镜O2的右方)应用公式可得:(P’’Q’’，正立虚像）\n例题2：在焦距为30cm的凸透镜O1前15cm处置一物点在主轴上，在透镜后d=15cm处放一平面镜O2垂直于主轴，试求像的位置。（1）如图所示，设物点为P，就透镜O1而言，由符号法则可知：「解」f1’=30cm（像方焦点在透镜的右侧）S1=-15cm（物在透镜的左侧）代入高斯公式：得：S1’=-30cm\n因为S1’为负值，像在透镜的左方，所以经透镜O1成的像P’为一虚像，且和物位于透镜的同侧．（2）就平面镜O2而言，S2=-d+S1’=45cm像P’对透镜而言是虚像，这像对平面镜而言是发散光束的顶点，因此是实物，并且物处于平面镜的左方，因此物距为负的。令物像公式中的f’，得:S2’=-S2＝45cm故经平面镜O2成一虚像P’’于平面镜右方45cm处。\n（3）P”又成为透镜O1的物点，因为P”是发散光束的顶点，所以对透镜O1而言是虚物，且位于透镜的右方，所以S3是正的。即：S3＝S2’+d＝（45＋15）cm=60cm，f3’＝-30cm此时物处于透镜的右方，像方焦点在透镜的左方，所以像方焦距为负值。由透镜的物像公式，得：因为S3’为负值，所以最后实像P’’’在透镜的左方60cm处。\nA’B’C·F1’·F2’·F2O2O1L1L2··例4一个凸透镜和一个凹透镜组合成为共轴光具组。用作图法求该光具组的主点、焦点位置。已知F1’、F2、F2’的位置和L1、L2的相对位置，可用逐面成像法求H、H’、F、F’。····FHF’H’ABDC’D’像方主平面物方主平面\n例一虚物PQ位于凹透镜右侧二倍焦距处，试用作图法求它经透镜成的像。\n本章小结▲理解物像的概念及关系，掌握虚物和虚像的实质▲了解费马原理在几何光学中的地位和作用▲熟练掌握几何光学中的新笛卡尔符号法则▲重点学会运用物像公式和光线作图法求解单球面折射反射和薄透镜组的成像问题及分析像的性质▲理解理想光具组的基点和基面的意义及相关作图求像