大学物理振动课件 98页

第四章振动\n振动是一种普遍的运动形式。如：机械振动电磁振动广义振动：任一物理量(如位移、电流等)振动分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由谐振动在某一数值附近反复变化。其特点是：(1)有平衡点；(2)具有重复性(周期性)\n简谐振动是最简单、最基本的振动形式，一切复杂的振动都可由简谐振动合成。\n4.1简谐振动简谐振动表达式x(t)=Acos(t+)特点(1)等幅振动(2)周期振动x(t)=x(t+T)一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数关系，则称该物理量作简谐振动。X－AA0\n表达式x(t)=Acos(t+)二.描述简谐振动的特征量1.振幅A：即最大位移：x＝±A3.周期T和频率v2.角频率（圆频率）ω（弧度/秒：rad/s）而v=1/T＝ω/2π（Hz）∵ωT＝2π∴T＝2π/ω（s）（完成一次全振动所需的时间）（单位时间内完成全振动的次数）\n4.相位(1)(t+0)是t时刻的相位(2)0是t=0时刻的相位——初相\n三.简谐振动的描述方法1.解析法由x=Acos(t+0)已知表达式A、T、0已知A、T、0表达式2.曲线法0xmx0=00A-Atx0=/2T已知曲线A、T、0已知A、T、0曲线\n3.旋转矢量法0t+00xxt=tt=0x=Acos(t+0)四.相位差=(2t+2)-(1t+1)对两同频率的谐振动=2-1初相差同相和反相：当=2k,(k=0,1,2,…),两振动步调相同,称同相·\n当=(2k+1),(k=0,1,2,…),两振动步调相反,称反相。x2Tx0A1-A1A2-A2x1t反相tx0A1-A1A2-A2x1x2T同相超前和落后若=2-1>0,则x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。\n超前、落后以<的相位角来判断五.简谐振动的速度、加速度1.速度x2Tx0A1-A1A2-A2x1t2超前于12=01=－π/2\n速度也是简谐振动v比x超前/22.加速度也是简谐振动，a比x超前0Ttx、v、ax2Av>0<0<0>0a<0<0>0>0减速加速减速加速AA-A-A-2Ava\n解题方法由初始条件求解振幅和初位相：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0\n\n例题1一质点沿X轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向X轴正方向运动。求1、振动方程；2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；3、如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。解：设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，x=Acos(t+)x=0.12cos(t+)初始条件：t=0时，x0=0.06m,v0>0\n0.06=0.12cos振动方程：YX当t=0时,位移为6cm，且向X轴正方向运动。\n2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度振动方程：\n设在某一时刻t1，x=－0.06m代入振动方程：yx3、如果在某时刻质点位于x=－0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。振动方程：\nYX3π/2t23、如果在某时刻质点位于x=－0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。\n例题2两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：A-AoA/2-A/2YX\nYXA-AoA/2-A/2\n例题3一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，已知ω＝6.0rad/s。试求：1、简谐振动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：000=®-=jwjxvarctan\n所以：φ＝0rad/sA＝0.04mt＝0时：x＝Acos（ωt＋φ）v＝－ωAsin（ωt＋φ）把初始条件代入方程组：0.04＝Acosφ0＝－6Asinφ得：\nyx2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。\n4.2谐振子振动系统：参与振动的一个或几物体所构成的一个系统。谐振系统：作简谐振动的振动系统谐振子：作简谐振动的系统\n一、弹簧振子弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体构成的一个振动系统F根据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）（1）在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。（2）弹性力F和位移x恒反向，始终指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力xXo\n振动的条件:（1）存在回复力；（2）物体具有惯性振动过程：X0A-AF由牛顿第一定律得：得:\n比较结论：（1）弹簧振子的振动为简谐振动。（2）周期：角频率：周期T与振子的本身性质（k和m）有关，而与其它因素无关。例：T在地球和月球上一样。\n二、简谐振动的能量平均值1、振动系统的能量振子动能：振子势能：xX0v\nXXEpEk221kAE=\n谐振系统的总机械能：\n（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：XEpEk221kAE=X\n2、平均值（1）振动位移的平均值：（2）谐振动势能的平均值：\n平均意义上说，简谐振动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。（3）谐振动动能的平均值：结论：\nOlmgT三、单摆\n结论：单摆的振动是简谐振动。设振子最大摆角为θm，若考虑θm的影响：64\nθm真周期/0°1.00005°1.000510°1.001920°1.007730°1.017445°1.039760°1.0719设振子最大摆角为θm，若考虑θm的影响：64\n1、概念2、运动方程重力矩转动定律3、周期与频率4、应用：1）测重力加速度；2）测转动惯量四、复摆\n五.电磁振荡一、振荡电路无阻尼自由电磁振荡电磁振荡：电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象。LC振荡回路：KCL\nCL+Q-Q(1)CLi(2)CL+Q-Q(3)CLi(4)LC回路的振荡过程\n1.LC振荡方程CLi自感电动势：(书P208:9.15式)电容器电压：(书P153：7.43式)回路方程：\n电流：\n电压：在LC电路中，电流、电压、电荷都随时间作简谐振动。结论：2.LC振荡的能量电场能量：磁场能量：\n总能量：在LC电路中，电能和磁能交替转换，但总能量保持不变。结论：\n例4.2弹簧下悬一质量为0.1kg的小球时，其伸长量是8cm。现在弹簧下端挂一个M＝0.25kg的物体构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉4cm后，再给它向上的初速度0.21m/s。取竖直向下为X轴正方向。求：1.物体的振动周期;2.任意时刻的振动函数和速度。解：1.求周期T：由已知：kx0＝mg∴k＝mg/x0=0.1×9.8/0.08＝12.25（N/m）角频率T＝2π/ω≈0.90（s）\n如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。0X/m则振动函数：x(t)=Acos(7t+φ）v(t)=－7Asin(7t+φ）x(0)=0.04m已知：v(0)=－0.21m/s2.求任意时刻的振动函数和速度：\nx(0)=0.04m已知：v(0)=－0.21m/s1）直接把初始条件带入下列公式，求A，φ：\n解得：tanφ＝(－0.21)/(－7×0.04)＝0.75∴φ≈0.64radA＝0.05m所以：v(t)=－0.35sin（7t＋0.64）x(t)=0.05cos（7t＋0.64）Acosφ=0.04m－7Asinφ=－0.21m/s2）根据初始条件列方程组：x(0)=0.04m已知：v(0)=－0.21m/s\n例题4.6在平板上放一质量为1kg的物体，平板沿铅直方向作简谐振动，振幅为2cm，周期为0.5s。求：1.平板位于最高点时,物体对平板的压力是多大？2.平板应以多大振幅运动时，才能使重物跳离平板？0X/mNmg解：如图建立坐标系，选向上为正方向。当平板位于最高处时计时开始。则振动函数为：x(t)＝Acosωt＝0.02cos4πtω＝2π/T\n0X/mNmgx(t)＝0.02cos4πt加速度为：a(t)＝－ω2Acosωt＝－0.32π2cos4πt1.物体受力如图所示，根据牛顿定律：N－mg＝ma在最高处：a＝－0.32π2则：N＝ma＋mg≈6.64（牛顿）2.由：N－mg＝－mω2Acos4πt得：N＝m（g－ω2Acos4πt）\nN＝m（g－ω2Acos4πt）0X/mNmg物体不脱离平板，即N＞0。所以：当g－ω2Acos4πt≤0时，N＜0，物体脱离平板。即：A≥g/ω2＝g/16π2≈0.062m\n4.3阻尼振动一、阻尼振动的微分方程0Xxr：阻力系数ω0：固有频率β：阻尼系数（阻尼因子）mmkorbw==2,:2令22dtxdmvkx=--r动力学方程：\n动力学方程：方程解：周期:阻尼振动周期T大于自由振动周期T0\n讨论：3、当（）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限1、阻尼较小时（），振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。阻尼振动周期大于自由振动周期。2、阻尼较大时（），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。\n阻尼振动曲线\n4.4受迫振动0Xx系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。受迫振动：驱动力：周期性的外力设：一、受迫振动\n0Xx令：tf0xdtdxdtxdowwbcos2222=++tcosFdtdxkxdtxdmo22wr+--=\n稳定振动状态：在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。结论：222wwbwj-=o－arctan\n二、共振1.位移共振：当驱动力的频率时，受迫振动的位移振幅达到最大值的现象。\nA大阻尼小阻尼零阻尼共振频率：共振振幅：阻尼系数越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率O，同时共振振幅Amax也越大。结论：222bwb-=omaxf0A相位：＝－π/2振动相位落后外力π/2,外力与速度同相位。\n2.速度共振：当驱动力频率等于系统固有频率时，受迫振动速度的振幅达到极大值。当ω＝ω0时，速度有极大值：当β＜＜ω0时，位移共振频率ω＝ω0，与速度共振同时发生。22\n应用:电磁共振选台(收音机)乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：破坏外力(强迫力)的周期性;改变系统固有频率;改变外力的频率;增大系统阻尼力..\n例题（作业十.5）：一阻尼系统某一时刻的振幅为A0＝10cm；10s后，其振幅变为A1＝1cm；求振幅变为A2＝0.3cm还需多少时间？解：\n例题（作业十.6）：阻尼振动时（ω0＞β），位移的两个相邻的极大值之比是多少？解：欠阻尼振动的振动函数为：x(t)=Ae－βtcos(ωt＋φ）所以：设t时刻振幅极大，为：XM(t)=Ae－βt则相邻振幅极大为：XM(t+T)=Ae－β(t+T)其中：比值：\n例题（作业十.7；书中4.8）：在简谐力作用下弹簧振子作受迫振动。设重物质量是10kg，弹簧的劲度系数是700N/m，阻力系数是40Ns/m，简谐力的振幅是100N，角频率是10rad/s，求：1.稳态时各时刻重物的速度；2.简谐力的角频率为多大时才能产生共振？共振时速度的振幅是多大？解：1.稳态时：x＝Acos(ωt＋φ）v＝－Aωsin(ωt＋φ)＝Aωcos(ωt＋φ＋π/2)\nv=Aωcos(ωt＋φ＋π/2)222wwbwj-=o－arctan其中：f0＝F0/m=100/10=10;ω02＝k/m＝700/10=70ω2=100;β＝2；代入上两式得：A＝0.2m；φ=－0.295π∴v=2cos(10t＋0.205π)\n2.简谐力的角频率为多大时才能产生速度共振？共振时速度的振幅是多大？简谐力的角频率：产生速度共振。共振时，速度的振幅有极大值：vm＝Aω＝f0/2β＝2.5m/s\n4.5同一条直线上两个简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，其振动方程分别表示为：x\n一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。结论：为其它值时，A介于二者之间。212122212:AAAAA2A1A-=-+=则\n例题：两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动方程。解：xTt\n\n解：例题：两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？\nh如图：Asinπ/6＝A2sinΔφ＝h\n二、同方向，不同频率两谐振动的合成拍设两同方向，角频率分别为和的两简谐振动（>）。它们所对应的旋转矢量分别为和相对于的转动角频率:两矢量同向重合时：合振动振幅极大合振动振幅极小两矢量反向重合时：拍：合振动的振幅时强时弱的现象\n拍的周期：拍的频率：从解析式来分析：\n振幅：随时间缓慢变化为一谐振因子\n同方向,不同频率合成波形如图所示:\n拍现象的应用：用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等\n分振动：yx4.6互相垂直简谐振动的合成\n结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和位相差。\n讨论：yx1.\nyx结论：质点振动轨迹为正椭圆2.\nxy结论：质点作线振动3.\n=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P·.\n四.垂直方向不同频率简谐振动的合成两分振动频率相差很小=(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而2-1随ｔ缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹称为李萨如图形xy=32（Tx:Ty=2:3）2=0,1=/4yxA1A2o-A2-A1两振动的频率成整数比\n相互垂直的简谐振动的合成Tx:Ty\n4.7谐振分析一.一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动-----谐振分析求解一个周期性函数所包含的各种简谐振动的频率及振幅的数学方法称傅立叶分析复杂振动可分解为一系列不同频率的谐振动之和。若F(t)是周期性振动函数，即：F(t＋T)＝F(t)则F(t)可展开成如下傅立叶级数：\n基频：＝2π/Tω是各分振动的最低频，也是周期函数F(t)的频率k称k次谐频若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为:0,20,30,…(基频,二次谐频,三次谐频,…)基频：决定音高（音调）谐频：决定音色（音质）\nak、bk是常数：\n对于每一个k，可把换写成其中：且令A0＝a0，则有：\nA0/2表示F(t)在一个周期内的平均值；Ak和φk分别是第k个谐振动的振幅和初相位。\n方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx0\nxot锯齿波A03050锯齿波频谱图以各谐振动的频率为横轴，以相应的各振动振幅为纵轴所作图解--------一个实际振动的频谱将任一振动分解为许多简谐振动的方法称为频谱分析周期性函数（振动）分解为若干倍频率谐振动，其频谱是分立的线状谱\n二.一个非周期性振动xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图oA可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动频谱是连续谱\n4.8相空间中振动的轨道位形空间：由位置坐标（x，y，z）构成的空间。相空间：由质点的位置x和动量P构成的空间。相空间是法国数学家庞加莱（Poincare）19世纪末提出的。相图上每一点表示了系统在某一时刻的状态。\n一、简谐振动的相图以作简谐振动的弹簧振子为例。由机械能守恒定律得：（总机械能，常量）E＝Ep＋Ek其中：\n其相图是一个椭圆：vXo等能轨道椭圆点图：简谐振动的相空间曲线在O点:E＝0\n二、阻尼振动的相图对于小阻尼振动，其方程为：x＝Ae－βtcos(ωt+φ）质点的动量：P＝mv＝mdx/dt＝－mβAe－βtcos(ωt+φ)－mωAe－βtsin(ωt+φ)\nP＝－mβAe－βtcos(ωt+φ)－mωAe－βtsin(ωt+φ)小阻尼振动的相图是螺旋线簇：图：阻尼振动的相空间曲线坐标原点O称为：“吸引子”或“不动点”