大学物理刚体课件 39页

第四章（2）刚体4-1刚体的定轴转动4-2转动定律转动惯量4-3力矩的功动能定理1\n平动在刚体运动过程中,如果刚体上的任意一条直线始终保持平行,这种运动就称为平动。可用质心运动讨论。T5-0.exe转动在刚体运动过程中,如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。T5-1.exe刚体在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。一、平动和转动(Translationandrotation)既平动又转动质心的平动加绕质心的转动。刚体的运动2\n在刚体转动中,如果转轴固定不动,称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速度和角加速度,在相同的时间内有相等的角位移。但是位移、速度和加速度却不相等。一般情况下,角速度和角加速度是矢量,但在定轴转动中它们的方向沿着转轴,可以用带正负号的标量来表示。二、刚体的定轴转动(Fixed-axisrotation)3\n三、刚体转动的角速度和角加速度角速度的方向由右手定则确定。角加速度刚体在Dt时间内角速度的增量Dw与Dt之比的极限单位：Pdrzxθ角速度刚体在dt时间内的角位移dq与dt之比。4\n、本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：四、匀变速转动公式（=衡量）ω1Dw>0>0ω1Dw<0<05\n五、刚体运动学中角量和线量的关系T5-2.exe由定义得：例1：设圆柱型电机转子由静止经300s后达到18000r/min，已知转子的角加速度a与时间成正比，求转子在这段时间内转过的圈数。解：因角加速度随时间而增大，设：=ct6\n对上式两边积分由条件知所以由角速度定义得到：转子转数：7\n设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,…,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,…,rn。n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：T5-3.exe一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy)刚体动力学8\n式中称为刚体对转轴的转动惯量。代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。T5-3.exe用J表示：9\n二、刚体的转动惯量(Momentofinertia)从转动动能公式看到,刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替与转动惯量有关的因素：刚体的质量、转轴的位置、刚体的形状。10\n例1：一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63rads-1旋转,求转动动能。解：先求细棒对转轴的转动惯量J,然后求转动动能Ek。将棒的中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴,如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为xdxxyo11\n根据式(5-4),应有棒的转动动能为T5-4.exe12\n两个定理1.平行轴定理式中JC为刚体对通过质心的轴的转动惯量,m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。2.垂直轴定理若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系13\n解：两平行轴的距离,代入平行轴定理，得例2：在上一例题中,对于均匀细棒,我们已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。14\n·Roxy例3：求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。解：盘的质量分布均匀,盘的质量面密度为取半径为r、宽为dr的圆环如图所示，其质量为T5-5.exe圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为rdr15\n根据垂直轴定理由于对称性,,所以解得16\n三、力矩作的功在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是在刚体转动中,外力所作的元功为17\n式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。T5-6.exe在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。18\n如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为力矩的瞬时功率可以表示为式中是刚体绕转轴的角速度。19\n例：半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球到达B点时的角动量和角速度。解：小球受重力矩作用θABPR20\n四、动能定理(theoremofkineticenergy)根据功能原理,外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体,外力的功即为外力矩所作的功;系统的机械能为刚体的转动动能。将转动动能的具体形式代入上式并积分,得21\n定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。五、转动定理(Theoremofrotation)T5-7.exe将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子得22\n在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。或者写为上式就是转动定理的数学表达式。23\na[例]定滑轮可视为均匀圆盘，物体与桌面间的滑动摩擦系数为绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮轴摩擦忽略。1)下落加速度2)绳中张力24\n[例]可视为均匀圆柱体的两个滑轮同轴固结在一起，绕O轴转动.转动惯量可加25\nocmg[例]均匀米尺绕O点转动1)刚释放米尺的角加速度2)竖直位置的角加速度3)任意位置的角加速度,加速度26\n[例]已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl=4。求:杆下摆q角后，角速度w=?轴对杆作用力vN=?解：杆地球系统，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=令EP10=末态：EJko2212=w,EmglP24=-sinq则：12402Jmglowq-=sin(1)27\n由平行轴定理JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：wq=267glsin应用质心运动定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q(3)$costmgNmatct方向：q+=(4)28\nalgcl==4672wqsin(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()29\n[例]板静止于光滑台面图示位置，在恒力作用下使之与滑轮无相对滑动的通过轮子，忽略轴摩擦。1)板在运动过程中与轮间摩擦力2)板与轮脱离接触时的速率30\n设刚体绕z轴作定轴转动，体元mi对轴的角动量lzi=rimivi是角速度,vi=ri。lzi=ri2mi或整个刚体对转轴的角动量Lz等于转动惯量与角速度的乘积。一、刚体对转轴的角动量(Angularmomentum)riviOiz·mi定轴转动刚体的角动量守恒定律31\n二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理Mz=Ja写成下面的形式:实验表明,此式更具普遍性。由上式得到刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。32\n角动量定理也可以写为Mzdt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量。对上式积分得到角动量定理的积分形式33\n刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。或恒量在定轴转动中,如果Mz=0,则三、刚体对转轴的角动量守恒定律34\n刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。T5-10.exe35\n若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，当Mz外=0时，Jconst.iziw=å，这时角动量可在内部传递。[例]如图示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬间盘的w0=？P转到x轴时盘的w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)36\n碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：P、x重合时EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)37\n由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR22238\novv[例]光滑桌面上质量为m，长为2L的均匀细杆可绕o点自由旋转，转动惯量为质量为m速率为v的两个小球，相向运动与杆的两端点发生碰撞粘在一起运动。碰撞过程外力矩为零，角动量守恒初态角动量末态角动量其中39