大学物理典型例题分析 14页

大学物理典型例题分析第13章光的干涉例13-1如图将一厚度为l，折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为l，测量中点C处的光强与片厚l的函数关系。如果l=0时，该点的强度为，试问：(1)点C的光强与片厚l的函数关系是什么；(2)l取什么值时，点C的光强最小。解(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为相应的相位差为例13-1图M2M1lC点C的光强为：其中：I1为通过单个狭缝在点C的光强。(2)当时点C的光强最小。所以例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T1，T2为一对完全相同的玻璃管，长为l，实验开始时，两管中为空气，在P0处出现零级明纹。然后在T2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。设l=20cm,光波波长，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移动200条，求这种气体的折射率。S1L1L2T2T1S2SEP0P0¢例13-2图解当两管同为空气时，零级明纹出现在P0处，则从S1和S2射出的光在此处相遇时，光程差为零。T2管充以某种气体后，从S2射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要向下移动，出现在处。如干涉条纹移动N条明纹，这样P0处将成为第N级明纹，因此，充气后两光线在P0处的光程差为\n所以即代入数据得例13-3.在双缝干涉实验中，波长l=5500Å的单色平行光垂直入射到缝间距a=2´10-4m的双缝上，屏到双缝的距离D=2m．求：（1）中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;(2)用一厚度为e=6.6´10-6m、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处?解:(1)因为相邻明（暗）条纹的间距为，共20个间距所以（2）覆盖玻璃后,零级明纹应满足:设不盖玻璃片时,此点为第k级明纹，则应有所以零级明纹移到原第7级明纹处.例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长l=5461Å的平面光波正入射到钢片上。屏幕距双缝的距离为D=2.00m，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为Dx=12.0mm.，(1)求两缝间的距离。(2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？(3)如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？解(1)此处(2)共经过20个条纹间距，即经过的距离(3)不变。\n例13-５如图波长的光线垂直入射在折射率照相机镜头上，其上涂了一层折射率的氟化镁增透膜，问：若在反射光相消干涉的条件中取k=1，膜的厚度为多少？此增透膜在可见光范围内有没有增反？解因为，所以反射光经历两次半波损失，所以无半波损失，反射光相干相消的条件是：代入k=1和求得：此膜对反射光相干相长的条件：将d代入波长412.5nm的可见光有增反。例13-6.在Si的平面上形成了一层厚度均匀的SiO2的薄膜，为了测量薄膜厚度，将它的一部分腐蚀成劈形（示意图中的AB段）。现用波长为600.0nm的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹。在图中AB段共有8条暗纹，且B处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度。（Si折射率为3.42，SiO2折射率为1.50）SiO2膜例13-6图例13-5图n3=1.5n2=1.38n1=1d解：上下表面反射都有半波损失，计算光程差时不必考虑附加的半波长，设薄膜厚度为e。B处暗纹有：B处第8条暗纹对应上式例13-７为了测量金属细丝的直径，把金属丝夹在两块平玻璃之间，形成劈尖，如图所示，如用单色光垂直照射\n，就得到等厚干涉条纹。测出干涉条纹的间距，就可以算出金属丝的直径。某次的测量结果为：单色光的波长，金属丝与劈间顶点间的距离L=28.880mm，30条明纹间得距离为4.295mm,求金属丝的直径D？解30条明纹29个间距，相邻两条明纹间的间距为其间空气层的厚度相差，于是其中q为劈间尖的交角，因为q很小，所以代入数据得DL例13-7图例13-8图例13-8在牛顿环实验中用紫光照射，借助于低倍测量显微镜测得由中心往外数第k级明环的半径，径，k级往上数第16个明环半径，平凸透镜的曲率半径R=2.50m。求：紫光的波长？解根据明环半径公式：例13-9图以其高精度显示光测量的优越性。\n例13-9在迈克耳孙干涉仪的两臂中分别引入10cm长的玻璃管A、B，其中一个抽成真空，另一个在充以一个大气压空气的过程中观察到107.2条条纹移动，所用波长546nm。求:空气的折射率？解：设空气的折射率为n,两臂的光程差为相邻条纹或说条纹移动一条时，对应光程差的变化为一个波长，当观察到107.2条移过时，光程差的改变量满足：例13-10如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小空气缝隙，现用波长为l的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。例13-10图例13-10解图解：设某暗环半径为r，由图可知，根据几何关系，近似有再根据干涉减弱条件有式中k为大于零的整数,把式(1)代入式(2)可得k为整数,且例13-11利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面的曲率半径，方法是将已知半径的平凸透镜的凸球面放置在待测的凹球面上，在两球面间形成空气薄层，如图所示。用波长为l的平行单色光垂直照射，观察反射光形成的干涉条纹，试证明若中心o点处刚好接触，则第k个暗环的半径与凹球面半径，凸面半径()及入射光波长l的关系为:解：如图所示，第k个暗环处空气薄膜厚度为\n由几何关系可得近似关系：例13-11图,第k个暗环的条件为：即得证。大学物理典型例题分析第14章光的衍射例14-1水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光，垂直入射于宽0.437mm的单缝缝后放置一焦距为40cm的透镜，试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中央明纹的宽度。解:两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度，对第一级暗条纹（k=1）求出其衍射角式中q1很小中央明纹角宽度为透镜焦面上出现中央明纹的线宽度中央明纹的宽度与缝宽a成反比，单缝越窄，中央明纹越宽。例14-2在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长和并垂直入射于单缝上，假如的第一级衍射极小与的第二级衍射极小相重合，试问：（1）这两种波长之间有何关系？（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？解（1）由单缝衍射的暗纹公式：\n因为的第一级暗纹与的第二级暗纹重叠有（２）(1)(2）由式(1)式(2)当即时，则相应的两暗纹重垒。例14-3若有一波长为l=600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽a=0.6mm的单缝上，缝后有一焦距f=40cm的透镜。试求：（1）屏上中央明纹的宽度;（2）若在屏上P点观察到一明纹，op=1.4mm问P点处是第几级明纹，对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带？解：(1)两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度（２）根据单缝衍射的明纹公式：在衍射角j较小的条件下联立式（１）式（２）得所以p点所在的位置为第三级明纹，由可知当时，可分成个半波带。例14-4波长l=6000Å的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主级大的衍射角为且第三级是缺级。(1)光栅常数等于多少；(2)透光缝可能的最小宽度a等于多少；(3)选定了上述d和a后，求在屏幕上可能呈现的主级大的级次。解(1)由光栅衍射，主极大公式：\n(2)由光栅公式知第三级主级大的衍射角的关系式：由于第三级缺级，对应于最小可能的a，的方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向，即由式（1）式（2）可得（3）由得因为第3级缺级，所以实际呈现:等各级主级大，第4级看不见。例14-5一台光谱仪备有1500条/mm，900条/mm和60条/mm三块光栅，今欲用它测量波长约为7´10-4mm的红光波长，选用那块光栅比较合适？解：由光栅公式试用1500条/mm的光栅观察:，所以k仅能取0，故此光栅不合适。试用900条/mm的光栅观察:取，，出现第一级主极大位置适合观察，故选此光栅较合适。试用60条/mm的光栅观察：取\n取条纹间距太小，不适合。例14-6用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠光谱线，问：(1)平行光线垂直入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？(2)平行光线以入射角入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？(3）由于钠光谱线实际上是波长及,两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹将此双线分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透镜的焦距为2m.。解（1）根据光栅方程可见k的可能最大值相应于，按题意知，光栅常数为代入数值得k只能取整数，故取k=3,即垂直入射时能看到第三级条纹，可以看到:-3,-2,-1,0,1,2,3共7条明纹。（2）如平行光以i角入射时，由光程差的计算公式，光程差为:其中衍射角q入射角i为代数量，斜入射时的光栅方程为:同样，k的可能最大值相应于，在O点上方观察到的最大级次为k1，取得取而在o点下方观察到的最大级次为k2，取得\n取所以斜入射时，总共有，共７条明纹。（3）对光栅公式两边取微分波长为l及的第k级的两条纹分开的角距离为光线正入射时，最大级次为第3级，相应的角位置为所以，钠双线分开的线距离例14-7一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.08mm，用波长为l=4800Å的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜，求：(1)在透镜焦平面处的屏上双缝干涉条纹的间距Dx；(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。解：（1）双缝干涉第k级亮纹条件：第k级亮纹在屏上的位置：相邻亮纹的间距：单缝衍射中央亮纹包迹内，可能有主极大的数目为：中央亮纹宽度：可能有主极大的数目为：又因所以：双缝衍射±5级主极大缺级。在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：,即。\n例14-8一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条缝宽为,在光栅后放一焦距的凸透镜，现以的单色平行光垂直照射光栅，求：(1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?(2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?解单缝衍射暗纹的条件：单缝衍射第１级暗纹的条件：即中央明条纹宽度为:(2)光栅衍射主极大公式:即当只能取整数，取，即第2级主极大。等５个主极大。例14-9波长为500nm的单色光，以30°入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求：（1）此光栅每1cm上共有多少条缝？（2）最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？解（1）斜入射时光栅公式原中央明纹处衍射角第二级光谱且已知则有（2）令衍射角，得\n，看不见；取同理令得零级亮纹下方的最高级次：，该级条纹看不见；取所以可以看见：共7条谱线。例14-10以波长0.11nm的X射线照射岩盐晶面，实验测得在X射线与晶面的夹角(掠射角)为11°30’时获得第一级极大的反射光。问：（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？（2）如以另一束待侧的X射线照岩盐晶面，测得X射线与镜面的夹角为17°30’时获得第一级极大反射光，则待测X射线的波长是多少？解（1）（2）大学物理典型例题分析第15章光的偏振例15-1若要使振幅为A0振动方向如图的线偏振光的光振动方向旋转90°，最少需要几块偏振片？这些偏振片怎样放置才能使透射光的光强最大。解至少需要两块偏振片p1和p2如图放置才能使线偏振光的光振动方向旋转90°，p2A0p1ba例15-1图透过偏振片的振幅为透过偏振片的振幅为\n当时，透射光的振幅最大，，因为光强，所以当时，即偏振片与振幅A０成角时才能使透射光强最大。例15-2为了对光强进行调制，在两偏振方向正交的起偏器M和检偏器N之间，插入一片以角速度w旋转的理想偏振片p，入射自然光强为，试求由系统出射的光强是多少？解设时，旋转的理想偏振片•••例15-2图p和起偏器M的夹角，则t时刻的夹角为，偏振片p和检偏器N之间之间的夹角则为，所以t时刻透过偏振片Ｐ的光强为系统出射的光强为=00,900,1800,2700时，输出光强为零。=450,1350,2250,3150时，输出光强为。每旋转偏振片p一周，输出光强有“四明四零”。例15-3在两个偏振化方向正交的偏振片之间插入第三个偏振片。(1)当最后透过的光强为入射自然光强的1/8时，求插入第三个偏振片偏振化的方向；(2)若最后透射光强为零，则第三个偏振片怎样放置？解(1)设插入的第三个偏振片偏振化方向与第一个偏振片偏振化方向的夹角为a，则与第三个偏振片偏振化方向的夹角为（）,设入射线自然光的强度为光经过三个偏振片后的光强为：已知解得其中：a为插入的偏振片与第一个偏振片之间偏振化方向的夹角。（2）同理\n解得例15-4一束光是自然光和偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为轴，旋转偏振片时，测得透射光强强度的最大值是最小值的5倍，求入射光束中，自然光与线偏振光的光强比值。解：设入射光束中自然光强为I0，线偏振光的光强为I1，则垂直通过一偏振片后，透射光强最大时，最大时，线偏振光全通过，透过偏振片的自然光强度始终为透射光强最小时，最小时，线偏振光被偏振片完全吸收又因为即所以例15-5已知方解石晶体的o光和e光的折射率分别为=1.658，=1.486今将该晶体做成波晶片，使光轴与晶面平行，用波长为l=589.3nm的单色偏振光入射，光的振动方向与光轴成a=450角，若使出射光是圆偏振光，问这镜片的最小厚度是多少？解：要使透过波晶片的光是圆偏振光，除满足题中给的条件a=450，使Ao=Ae外，还要求晶片有特定的厚度d，从而使o光和e光的相位差为p/2，光程差为l/4，即对波长为l=589.3nm的光而言是四分之一波片。则晶片的最小厚度为：