大学物理竞赛辅导(电学) 150页

CollegePhysics大学物理竟赛辅导-电磁学-\n从场的角度认识…§1电流和电流密度方向：正电荷运动的方向单位：安培一.电流强度(宏观量)currentstrength大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量\n需要引入描述电流的空间分布的物理量——电流密度电流场：导体内每一点都有对应的\n二.电流密度(微观量)currentdensity大小:垂直于电流方向的单位面积上的电流强度。方向为该点正电荷定向移动的方向。1.导体中某点的电流密度单位：安培/米2\n与同向与反向载流子数密度为设每个载流子电量为平均漂移速度的大小矢量式\n电流场中的电流线2.电流密度和电流强度的关系“一个矢量场和它的通量的关系”\n“电流线发出于正电荷减少的地方,终止于正电荷增加的地方”.线三.电流连续性方程电流线流出封闭面即电流流出时：电流线流进封闭面即电流流进时：因为电荷守恒定律,则有…封闭面内电荷减少封闭面内电荷增加\n§2稳恒电流与稳恒电场二.稳恒条件电流场中每一点的电流密度的大小和方向均不随时间改变.一.稳恒电流封闭面上的电流密度的通量等于零。或流进封闭面的电流等于流出封闭面电流。或稳恒电流的电路必须闭合。线\n节点电流定律(基尔霍夫第一定律)稳恒电路中流入节点的电流等于流出节点的电流由稳恒条件可得出几个结论---导体表面电流密度矢量均无法向分量(沿轴向).---对无分支稳恒电路,各横截面电流强度相等.\n三.稳恒电场1.稳恒电场--对稳恒电路,导体内存在稳恒电场.--对稳恒电场,由不随时间改变的电荷分布产生.2.稳恒电场和静电场比较相同之处:--电场不随时间改变.--满足高斯定理.--满足环路定理,是保守场引入电势.回路电压定律(基尔霍夫第二定律)稳恒电路中沿任何闭合回路的电动势之和等于电压降之和\n不同之处：--产生稳恒电流的电荷是运动的电荷,电荷分布不随时间改变.--稳恒电场的存在伴随着能量的转移.\n一.电源及电源的作用非静电力electromotiveforce非静电力场强non-electrostaticforce二.电动势把单位正电荷经电源内部由负极移向正极过程中非静电力所作的功.场中某点的非静电场强为单位正电荷在该点受的非静电力.§3电动势\n例：\n一.欧姆定律一段无源电路的欧姆定律a）积分形式b）微分形式导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动方向)和该点场强方向相同.§4欧姆定律和电阻\n欧姆定律的微分形式欧姆定律I对于柱形材料:电阻率:电导率:电导率\n欧姆定律的微分形式的推导在导体内假想一个柱体导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向平行\n例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为和的均匀导电介质，它们的厚度分别为d1和d2，导体的横截面积为S，流过的电流为I。求：（1）两层导电介质中的电场强度；（2）每层导电介质两端的电势差。微分欧姆定律举例\n解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：于是：（2）根据电势的定义可得：\n恒定电流电路定律一、电路上两点的电势差欧姆定律微分形式的推广计算、两端的电势差而一段含源电路。。\n1.不含源的简单电路：2.闭合电路：讨论：。。或——简单电路的欧姆定律——闭合电路的欧姆定律\n约定：IIIR-IR一段含源电路。。\n3.闭和回路的欧姆定律2.一段有源电路的欧姆定律\n二.电阻\n半径为a例：\n解：例一半径为的半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为，求接地电阻。rI跨步电压若通有电流I，求半径为，两个球面的电压。\n另一种解法：rI\n直流电源作用在元件上，电流从0——I，是过程中的现象U、I是变化的，欧姆定律、基尔霍夫定律是否还适用？虽然U、I随时间变化，但满足似稳条件满足似稳条件的电路中，可以用欧姆定律积分形式和基尔霍夫方程组来处理问题§5暂态过程\nLR电路中的暂态过程充磁：K接通1，电能转变成磁能微分方程用分离变量法\n讨论时间常数：是电流从0增加到0.63I0所需时间放磁：电流达到稳定值后，将K拨到2\nRC电路中的暂态过程充电：K接通1放电：K接通2\nLCR暂态过程关于q的二阶常系数微分方程电路方程的解的形式与电路阻尼度有密切关系\n三种阻尼状态显然阻尼度与R、L、C取值有关，电感、电容是储能元件，电阻是耗散性元件，，其大小反映电路中电磁能耗散的情况\n§6电路的典型问题：已知全部电源的电动势、内阻和全部负载电阻，求每一条支路的电流；已知某些支路的电流，求某些电阻或电动势。基尔霍夫电路定理给出了把这些物理量联系起来的完备方程组，从而普遍地解决了电路的计算问题。\n基尔霍夫第一定律（节点电流方程）规定流向节点的电流为负，从节点流出的电流为正汇于节点的各支路电流强度的代数和为零若一个完整电路共有n个节点，则可以写出n-1个独立的节点方程——基尔霍夫第一方程组\n基尔霍夫第二定律（回路电压方程）沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变写方程的约定规定其绕行方向（可以任意规定）标定一个电流方向解出I>0，——实际电流与标定一致解出I<0，——实际电流与标定相反规定电势从高到低电势降落为正，电势从低到高电势降落为负。\n电势降落正负的写法纯电阻元件：若电流方向与绕行方向相同，电势降落为正，若电流方向与绕行方向相反，电势降落为负；理想电源：当电动势的“方向”（由电源内部负极指向正极）与绕行方向相同时为负，反之为正；实际电源有内阻，可以把一个电源看成一个没有内阻的理想电源和一个纯电阻串联，然后按电阻和理想电源的规定分别写出\n独立方程的个数若整个电路可以化为平面电路所有的节点和支路都在一平面上而不存在支路相互跨越的情形——可以把电路看成一张网络网孔的数目就是独立回路的数目若整个电路不能化为平面网络网孔的概念不再适用独立回路个数的判据要依据图论中树图来建立其结论是：对于一个有n个节点P条支路的电路，共有P-n+1个独立回路节点电流方程＋回路电压方程构成完备方程组，可解，且解是唯一的，它原则上可解决任何直流电路问题\n复杂回路的处理方法基尔霍夫第一定律基尔霍夫第二定律n个节点,设(n-1)节点方程设(m+n-1)个未知的支路电流m个网孔,设m个回路方程\n例：\n解：\n应用基尔霍夫定律，原则上可以解决任何一个复杂电路，但如果电路中的回路稍多一些，解方程组就不是一件容易的事，下面我们介绍一种解决复杂电路的常用方法——对称性化简。在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来，导线中也不会有电流，这样就不会改变原来电路的一切情况。对称性化简\n\n解:该电路的等效电路为：B\n17届8.如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1，则A,B两端点间的电阻为ABCDOABCDO根据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同\n例：10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，试求：A，B两点间的等效电阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由对称性知AC与EB，AF与DB电流相同III1I2设：总电流为I,由节点电流关系得其他电流I-I1I2-I1I-I2I1I-I1I-I2-I1由对称性I-I2=I2由AC间电压2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)\n§7静电场及静磁场边界条件介质1介质2界面上的物理量发生突变而不连续，代之以边界条件！\n一、静电场边界条件（2）由静电场环路定理得:（1）由静电场高斯定理得：（3）静电场边界折射定理:静电场的E矢量和D矢量不连续。但:静电场的D矢量的法向分量连续；静电场的E矢量的切向分量连续。\n（1）由静电场高斯定理得：设界面上\n（2）由静电场环路定理得:\n\n二、静磁场边界条件（2）由静磁场环路定理得（1）由静磁场高斯定理得：（3）静磁场边界折射定理静磁场的B矢量和H矢量不连续。但:静磁场的B矢量的法向分量连续；静磁场的H矢量的切向分量连续。\n（1）由静磁场高斯定理得：\n（2）由静磁场环路定理得设界面上\n\n例：半无限大接地导体附近有一点电荷q，求导体表面的感应电荷面密度。在电荷q的感应下，导体表面上将出现感应电荷分布，对O点对称，用(r)表示。PP点处导体表面内侧电场强度为零，则z方向的电场强度分量为：解：\n例：无限大的带电平面的场中平行放置一无限大金属平板求：金属板两面电荷面密度。解：设金属板面电荷密度由对称性和电量守恒导体体内任一点P场强为零\n例：两块近距离放置的导体平板，面积均为S，分别带电q1和q2。求平板上的电荷分布。解：q1q2BA由静电平衡条件，导体板内没有电场2341电荷守恒：\n特例：当两平板带等量的相反电荷时，电荷只分布在两个平板的内表面！由此可知：两平板外侧电场强度为零，内侧——这就是平板电容器。q1q2BA2341\n28届13.（15分）如图所示，面积同为S的两块相同导体薄平板平行放置，间距为d。左侧导体板带电量3Q>0，右侧导体板带电量Q，其右侧相距d处有一个质量为m，电量为-q（q>0）的粒子P。导体板静电平衡后，P从静止释放，假设它可自由穿越导体板，且不会影响板上的电荷分布，试问：经过多长时间T，多长路程S后，P第一次返回其初始位置？dd3QQSQ1Q2-Q2Q1Pm，-qE1E2E3\n28届15.（20分）如图所示电路中，t<0时，电容充电过程已经完成。t=0时，接通电键K。将接通前瞬时时刻记为t=0-,接通后瞬时时刻记为t=0+。t≥0+时，按图中虚线所示方向设定各路电流I1、I2、IC和I3的流向。（1）写出t=0-时刻A、B间电压UAB(0-)和I1(0-)、I2(0-)以及电容器上方极板电量Q(0-)；（2）写出t=0+时刻A、B间电压UAB(0+)和I1(0+)、I2(0+)、IC(0+)、I3(0+)以及电容器上方极板电量Q(0+)；（3）导出任意t≥0+时刻的I1(t)、I2(t)、IC(t)、I3(t)以及电容器上方极板电量Q(t)。εR1R2R3I1I2ICI3KBA\n28届6.（6分）在均匀磁场B的空间中，质量m，电量q>0的粒子，以初速v0开始运动，若v0与B的夹角为锐角Φ，则粒子运动的轨道是等距螺旋线，它的旋转半径（注意：并非螺旋线的曲率半径）R=，螺距H=。BvΦ螺距回转周期回转半径\n28届7.（6分）半径R，电流I的大圆环，在其中央轴距环心x处的磁感应强度大小为B(x)=。有一半径为r<0。可以过圆周上的P1或P2或P3点设置一个竖直、光滑、绝缘转轴，P1、P2、P3点的方位已经在图中示出。设置转轴后，从静止释放的圆板便会作定轴转动，转动角速度的最大值依次记为ω1max，ω2max，ω3max，三个中最大者为。当角速度达到此值时，转轴提供的支持力大小为。\n27届6.（6分）真空中一个正点电荷q处于一立方体内中心处，则通过该立方体表面的总电通量为；通过该立方体的上表面的电通量为。acdbq\n17届7.半径为R的半球面A的球心O’位于O-z轴上距O点R处，半球面横截面与O-xy面平行，坐标原点O处有一电量为q的点电荷，则半球面A的电通量.解：以为半径作一球面，它被半径为R的半球面截下一球冠，球冠的高度为，球冠的面积为：球冠对点电荷q张的立体角为：已知点电荷q在立体角内的电通量为，故在球冠上的电通量为：\n27届7.（6分）已知空气的击穿场强为E0，则置于空气中的半径为R的球形高压起电器（可看作图示导体球壳置于绝缘底座上）最高电压为；若此高压起电器置于真空中，导体球壳上所带电量有无上限（回答有、无、不确定），并说明原因。有，表面受扩张力，电量太大，则扩张力太大，导致导体壳撑破R\nee2eaaOxr1r2x27届11.（15分）如图所示，水平面上两个带有电量+e的点电荷，距离为2a，有一α粒子（所带电量为+2e），很快地从这两个点电荷中间穿过，其路径恰好在两点电荷连线的中垂线上。如果α粒子的速度很快，以致于两点电荷在α粒子穿过时仍保持静止，试求：（1）当α粒子处在位置x处时，两点电荷构成的体系与α粒子之间的相互作用能；（2）α粒子在那些位置时受作用力最大。\n静电场中导体性质：（稳定状态）1.导体内处处无电荷积累；2.导体内电场强度处处为0.\n\nSABCDqd1d0d2ABCDεR0RxrK1K227届15.（20分）四块面积同为S，原不带电的导体薄平板A、B、C、D依次平行放置，相邻间距很小，分别记为d1，d0，d2，如图所示。给B充以电量q>0，再用图中虚直线所示的细导线连接B、C，最终达到静电平衡。（1）试求A到D的电势降UAD；现将图中所示系统达到静电平衡后，通过理想导线，电键K1和K2，电动势为ε的直流电源以及电阻分别为R0，Rx和r的电阻器连接成图中所示电路。开始时K1，K2均断开，而后接通K1，直到电路达到稳定状态。（2）试求该过程中从电源正极朝平板A流去的电量Q，并判断Q的正负号；最后再接通K2，测得流过电阻器r的电流强度始终为零。（3）设Rx为未知量，试求Rx，并给出ε的取值范围。\n26届6.（6分）如图所示，平行板空气电容器已经被直流电源充电到稳定状态，电容器存储的静电能记为W0.（1）不断开直流电源，通过外力让相对介电常数为εr的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，恰好填满两极板所夹空间，该过程中外力做功A1=W0。（2）若通过图中电键K先将直流电源断开，再通过外力让相对介电常数为εr的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，该过程中外力做功量A2=W0。Kεr电阻电源\n由此可得插入介质板后,电容器中的静电能为外力做的功等于静电能的增加,即平行板中插入介质板后,由于两极板间的电压不变,因此电场强度也不变解(1)插入介质前电容器中静电能为因此插入介质板后,电容器中的静电能为外力做的功等于静电能的增加,即(2)由于断开电键后极板上的电荷不变,因此插入介质后电容器的电场为\nyzxσPxσu26届7.（6分）如图所示，无穷大均匀带电平面上的电荷面密度为σ，以平面上某点O为原点设置O-xyz坐标系，其中x轴与带电平面垂直，x轴上P点的坐标x>0。令平面上的电荷一致地沿着y轴负方向匀速运动，速度大小为u，将x，y和z轴的方向矢量记为，和，那么P点的电场强度=，P点的磁感应强度=。\n解(1)无限大带电平面的电场强度为(2)无限大带电平面上沿主轴负方向的电流密度为由于对称性,如图所示的电流元dI1和dI2在P点产生的磁场沿x轴抵消.由此可得P点处的磁感应强度为xyz0dI1dI2P\nPROv026届12.（15分）如图所示，所在平面为某惯性系中无重力的空间平面，O处固定着一个带负电的点电荷，空间有垂直于图平面朝外的匀强磁场B。荷质比为γ的带正电粒子P，恰好能以速度v0沿着逆时针方向绕着O点做半径为R的匀速圆周运动。（1）将O处负电荷电量记为-Q，试求Q；（2）将磁场B撤去，P将绕O作椭圆运动，设在图示位置的处速度为v0，试求P在椭圆四个顶点处的速度大小。（本小问最后答案不可出现Q量。）\n解:(1)点电荷无重力,在库仑力和洛仑兹力作用下作圆周运动设带电粒子P的电量为q,质量为m;则粒子所受的库仑力为带电粒子P磁场中所受的洛仑兹力为带电粒子P所受的合力方向沿半径方向指向圆心O,大小为带电粒子作圆周运动的向心力等于所受的合力,即\n(2)撤去磁场粒子只受库仑力作用,由于开始库仑力大于所需向心力,因此粒子将作椭圆运动.设椭圆中心与点电荷Q的距离为x,则根据角动量守恒定律,1和2两个位置对点电荷Q有起始点也就是椭圆的最远端点,该处速率最小,大小为v0,由于该处速度垂直于半径,因此起始位置的椭圆“半径”应小于该处库仑力对应的圆周半径,如图所示.RQ由能量守恒定律有RQv2v3v4由(1)式得代入(2)式得将代入得\nRQv2v3v4角动量守恒由对称性可得v3=v4.设位置3处椭圆的半径为R3,则有由能量守恒定律有\nRQv2v3v4由(4)式得将R3和x代入(5)式得将代入上式得\nRQv2v3v4由此解得,试卷题解解法：\n26届14.（15分）导体内存在电场时就会有传导电流，电流密度与电场强度之间的关系为，其中为导体电阻率。取一块电阻率为常量的长方形导体块，静止放置，开始时处处无净电荷。（1）开始，沿着导体块长度方向建立匀强电场，导体内即产生传导电流，左右两端面便会累积电荷，电荷面密度分别记为-σ，σ，如图所示。试求σ随t变化的关系和图示方向电流密度j随t变化的关系；（2）将（1）中的电场改取为沿导体长度方向的交变电场，其中ω为正的常量。（2.1）试求σ-t和j-t；（2.2）将t→∞时的j-t表述成，试求和。\n解:(1)设t时刻导体左右两端的电荷密度为-σ和σ,则由此产生的电场为因此导体内的总电场为由题意得,积分得因此电流密度为\n(2)根据(1)的分析,t时刻导体左右两端的电荷密度-σ和σ满足的方程为令由提示得,\n将上述两式代入方程的解得,由t=0时σ=0,得即将C代入电荷密度式得\n由此可得电流密度为\n则有式中\n解:1、2间的线剪断后,1和2向左运动,3向右运动.运动过程中只有静电场力做功,因此能量守恒,即312v3v1v2当三个小球在竖直方向成一直线时,3的速度为最大.三个小球组成的系统所受合外力为零,动量守恒,即由(1)式得,代入(2)式得,25届\n312v3v1v2由此可得球3的最大速度,312v3v1v2312312v3v1v2系统在运动过程中,合外力为零,质心不动.因此3运动的最大距离为CCC25届\n(2)求球壳的电势:由高斯定理可得,球壳外的电场强度为因此球壳外表面的电势为解静电平衡时,球壳内表面带电-(Q+q),外表面均匀带电Q+qQ+q-(Q+q)25届\n(1)求导体表面的电势(ii)球壳内表面的电荷在导体球上产生的电势为(i)导体球的电荷在其表面产生的电势为(iii)球壳外表面的电荷在导体球上产生的电势为(iv)点电荷q在导体球心位置产生的电势为Q+q-(Q+q)由此可得,导体球上的电势为V1~V4可以用电势叠加的方法加以证明.\n由此可算出各节点的电阻:123456BA解(1)AB间等效电路图为12345612345625届\n解25届\n(3)求均匀带电球面上的电场强度假设用一外力F缓慢朝里推移球面电荷,如图所示,向里推移dr所做的功为外力所做的功转化为电场能储存在向里推移形成的球壳内(球壳内原来无电场).球壳的体积为球壳内的能量密度为所需力的大小为根据第2问的结论,球壳内的能量密度为由此得到球壳表面的电场强度为\n解:随时间变化的均匀磁场产生感生电场25届\n解得在最高点处相切\n例：原来不带电的导体球附近有一点电荷,如图所示。求（1）导体球上的电势；（2）若导体球接地，导体上感应电荷的电量解:设：感应电荷面密度为（1）导体是个等势体，若求出O点的电势，即为导体球的电势。\n（2）导体球接地导体是个等势体，O点的电势为0，则：设：感应电荷面密度为\n例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0,R/2)，B点的坐标为(3R/2,0)，则电势差UAB为ABxyoRQ为整个带电球面的电荷解法一：由对称性解法二：由电场→电势C\n电学习题例1解:\n\n电学习题例2—p.6\n解:\n\n电学习题例3—p.7\n解:\n电学习题例4—p.8\n解:\n电学习题例5—p.10\n电学习题例6—p.14\n解:\n电学习题例7—p.16\n\n电学习题例8:p.17\n解:\n电学习题例8-p.18\n解:\n\n\n\n\n\n电学习题例9—p.45\n解:\n电学习题例10—p.21\n解:\n电学习题例12—p.24\n解:\n\n电学习题例15—p.31\n解:\n电学习题例17—p.33\n\n电学习题例20-p.37\n解:\n电学习题例21—p.43\n解:\n\n电学习题例23-p.46\n解:\n电学习题例29—p.55\n解:\n电学习题例30—p.56\n解:\n电学习题例35—p.65\n解:\n\n补例1\n\n电学习题例补2\n解: