大学物理3牛顿定理 59页

第2章运动与力2.1牛顿定律2.2常见力2.2应用牛顿定律解题2.3惯性系和非惯性系2.4惯性力\n2.1牛顿运动定律一.牛顿第一定律（惯性定律）和惯性系任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止的或作匀速直线运动的状态。1.定义了惯性参考系2.定性了物体的惯性和力\n二.牛顿第二定律m为惯性质量三.牛顿第三定律(作用力与反作用力作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物体上\nFF()=tFF)(=v=-kvFF)(=x=-kx弹性力阻尼力打击力变力的几种形式：应用牛顿第二定律时应注意：1.上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量都是同一时刻的物理量。F是一个变力3.在一般情况下力是作用在质点上外力的矢量和。F2.\n直角坐标：自然坐标:FF==mamayxxy{=tmv2=mdvdρ式中Fx影的代数和作用在质点上的外力在X轴上投5.牛顿第二定律的投影形式：4.要注意定律的矢量性。FF=mamannt={t\n2.2常见力一、万有引力，重力牛顿在开普勒行星三定律基础上，提出了万有引力定律适用于质点与质点、质点与球体、球体与球体重力：物体与地球之间的引力。设物体离开地面高度为H\n开普勒行星三定律:设行星绕太阳的轨道半径为R，周期为T与太阳及行星的质量有关万有引力定律----证明：例：地球半径缩小1%，而质量不变，地表面的重力加速度增大的百分比？\n二、弹性力1、弹簧x0=0oxmF=-kxX>0,F<0X<0,F>02、拉紧的绳子MFA、B段上有张力TAB\n3、相互压紧的两物体间的正压力NN垂直与接触面，并指向物体内部三、摩擦力1、静摩擦力FfsF=fk两物体相对静止，当有滑动趋势最大静摩擦力fsmaxN2、滑动摩擦力两物体相对静止，当有滑动趋势静摩擦系数k一般\n例用一种钳子夹住一块质量M=50kg的棍凝土砌块起吊（如图）．已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数为0.4。如果：（1）钳子匀速上升，（2）钳子以0.2m/s2的加速度上升，（3）钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时，上端悬挂点突然停止运动(设悬挂点到砌块重心之间的距离l=4m),为使砌块不从钳子口滑出，至少必须对砌块施加多大正压力？l2.3应用牛顿定律解题\n=4m/s50kgMvlm已知：===0.44m0aN()1求：==?()2a=0.2m/s2N=?2gf解：=()1MMa=a02gf=Mf=mN=gM2mN=613N()2a=0.2m/s2=a=gM2mN=+()509.80.20.42×()+625NMgfNfN\nvl2M2m=gMN+()gN=Mvl22m50=9.80.4244×()+2=836N(3)物体以v=4m/s，半径l的圆周运动\n例图中A为定滑轮,B为动滑轮，三个物体m1=200g，m2=100g，m3=50g，求：（1）每个物体的加速度；（2）两根绳子中的张力T1与T2.假定滑轮及绳的质量以及摩擦均可忽略不计。ABTm1m21T2m3\n解：已知：=200kgm1=100kgm2=50kgm3求：aT1a21T2(1)(2)T2T2T1gTm11a1()m2T2ga1a2+m3gT2()a1a2gm1T1m1a1=()a1a2gm2T2m2=+m3gT2()a1a2=m32T2T1=\n=4gm1=m2m1m3m2m3++4m1m2m1m3m2m3+a11.96m/s2=gm1=m3m2+4m1m2m1m3m2m3+a23.92m/s22()()a1a2==3.921.961.96m/s2+()a1a2==3.921.965.88m/s2+T1=gm1=m3m2+4m1m2m1m3m2m3+81.57NT2=gm1=m3m2+4m1m2m1m3m2m3+40.785N\n解题步骤：参照系坐标系画隔离体图写出用文字表达的牛顿方程用文字表达的解答代入数字数字答案（写上单位）\n解：建立如图坐标系例：质量为m的物体在重力作用下，以V0初速与水平成角抛出，空气阻力f=-kmv求t时刻物体的运动速度，位置，轨迹和物体运动轨迹fmg分析可知合力为分离变量，并积分xy\n\n例：10米跳台游泳池水深HLmg解：分析人体受重力Ffmg浮力F阻力f分离变量\n运动员入水速度为运动员在泳池底部以v=2m/s速度翻身HLFfmg设运动员质量m=50kg代入数据得实际\n例摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速度平方成正比，设比例系数为常数k,则可表示为F=-kv2．设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，（1）求速度v对时间的变化规律。（2）求路程x对时间的变化规律。（3）证明速度v与路程x之间有如下关系：v=v0e-k’x(式中的k’=k/m。)（4）如果v0=20m/s,经15s后，速度降为vt=10m/s,求k’。（5）画出x、v、a随时间变化的图形。\nFmkv20已知：=v求：(1)v(t)(2)x(t)(3)证明v=v0e-k’x解：(1)ddvtFk2=v=m´=kkm∵=ddvtk2v´´=ddvtk2v´=ddvtk2vòòvtv00=0vt1v1´kv=0tv1´k+0v∴\n=ddxt0tv1´k+0vòt0=dxt0tv1´k+0v()1ln=´k0tv1´k+=ddxtv=0tv1´k+0v(2)\n(3)´x()ln=´k0tv1k+v=0vln=v0ve´kx=v0ve´kx=v0ve´kx´k=300m-11102015=11´kt(4)=v020m/s=15s若\n例在半径为R的光滑球面的顶点处，一质点开始滑落，取初速度接近于零。试问质点滑到顶点以下多远的一点时，质点离开球面？qRqgmN\n解：设质点在θ角时离开球面Nv2cosRgmmq=(1)sinddvtgmmq=(2)由式(2)vdddvtqqgsin==ddvtdqdq=dvR=qRgsindqvdv22cosqRgq0=v(3)1cosqRg()22=v0ò=qRgsindqvdvòq0vqRqgmN\nv2cosRgmmq=1cosqRg()=cosRgq21cosq=230=N当质点脱离轨道时有：由式(1)得：v2cosRgq=(4)(3)1cosqRg()22=v(4)代入(3)得：cosq=23arc∴=31qRhcosR=RqRqgmNh\nxy例.质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。mgN解：A\nxyAmgN\n例.由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其它作用力，设地球半径为6378000m）解：设地球半径为R，地球表面的重力近似等于引力宇宙飞船受的引力：运动方程：mgvy\n两边积分：飞船脱离地球引力时：令v=0\nBA例.密度为的液体，上方悬一长为l，密度为2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：（1）棒刚好全部浸入液体时的速度。（2）若2<1/2，棒浸入液体的最大深度。（3）棒下落过程中能达到的最大速度。oxx解：（1）\nx=l时：（2）最大深度时有v=0\n求极值（3）\n例：质量为m＝１０kg,长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮，挂着质量为m1=10kg的物体，如图，开始时l1=l2=20cm＜l３，速度为零。设绳子不伸长，轮、绳的质量和轮轴桌面的摩擦不计。求当链条全部滑到桌面上时，系统的速度和加速度。m1gXoTTaax\n解：选如图坐标系，设链条在桌边挂的部分为x,则：解（１）、（２）得xm1gXoTTaa当链条全部滑到桌面时\nxm1gXoTTaa\n例*一条均匀的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为a，另一边长度为b,且0＜b＜a。试证链条从静止开始到滑离钉子所花时间为：+2agblnab+abBCab\n求证：=t+2agblnab+abT=()mLLxa()mLLxgmLxgT=mLxaTmLxgaBCTa()mLLxgAB证：+=aLb设总长为：()a==2xLgLddvt=ddvxddxt=ddvxvòvdvv0=dxòxa()2xLgL=2xgLgLa得：\nòvdvv0=dxòxa()2xLgL=()Lgv122x2Lxa2La=)Lgv122x2Lxab(Lg2=vx2Lxabddxt=òt0=dxòa+bax2LxabLg2=dtLg2t\ndxòa+bax2Lxab=Lg2t=Lg2lnab+ab+2ab+2agblnab+ab=òt0=dxòa+bax2LxabLg2=dtLg2t\naM例：各面间光滑，求am和mgNMgN’RaMMmyx解：以上方程组不足以求解问题mamaaMmMa联立方程可解\n例*：在一质量为M，长为L的均直细棒沿长线上，有一质量为m的质点，质点距棒的一端为a,求两物体间的吸引力。maxdxM，LdMoxL+a-xFdF解：分析两物体间存在万有引力，分析万有引力公式适用的情况。\n问题：半径为R，质量为M的均质圆环，轴线上距圆心为L处有一质量为m的质点，求引力。MRLmdMdF积分有\n例*：如上图，设绳长为L，质量为m,求M受力的大小和绳中任意一点的张力(不计地面摩擦，M，L一起运动）。解：建立坐标系，并取绳中一段微元讨论。MFxTMfF-fm,L设系统以加速度a运动，对于dm有dxxT+dT\n对于M：对于系统xTMfF-fm,LdxxT+dT对于dm：\n例**:摩擦力抵千钧T1T2ABdd/2d/2TT+dTdsNfxyT1T2ABds\n分离变量,并积分dd/2d/2TT+dTdsNfxy\n结论：e.g.F(x)=-kxe.g.F(v)=-kve.g.F(t)=-kt\n2.3惯性系和非惯性系aE运动符合牛顿定律牛顿定律在惯性系成立近似惯性系地面参考系，自转加速度a~3.4cm/s2太阳参考系，绕银河系加速度a~310-8cm/s2地心参考系，公转加速度a~0.6cm/s2例：加速小车上的小物体车上观察者（S参考系）：地面观察者(E参考系)：F=0,a=0F=0，=a’0运动不符合牛顿定律aS’牛顿定律不成立的参照系为非惯性\n2.4惯性力两个平动参考系之间，加速度变换设S系为惯性系1，S’系为非惯性系2,质点为3质点m在S系在非惯性系引入虚拟力或惯性力在非惯性系S'系结论可推广到非平动的非惯性系，如转动参考系。牛二在非惯性系形式上成立\n例：一匀加速运动的车厢内，观察单摆，平衡位置和振动周期如何变化？（加速度a0，摆长l，质量m）解：在S'系a0SS'mg-ma0T平衡位置周期类比\n例：自由落体的参照系SS'a=gmgmaS'是理想的无外力作用的参考系可以严格检验惯性定律例：惯性离心力质点m在S'静止在S向心加速度RSS'T离心方向\n重力加速度*在地表面用g，已考虑惯性离心力在内g赤道=9.778m/s2g北极=9.832m/s2wq\n例：水桶以旋转，求水面形状？解：水面z轴对称，选柱坐标系。任选水面一小质元，在切线方向静止，在旋转参考系rzmgmrw2N\naM例：各面间光滑，求am和mgNMgN’RaMMmyxmaMgN’RMa-Mx’y’xymgNa-mM\n例.升降电梯相对于地面以加速度a沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物（m1>m2）。求：（1）物体相对于电梯的加速度。（2）绳子的张力。解：消去TTT\n例：如图所示滑轮系统，滑轮质量和摩擦均不计，计算绳中张力和各物体的加速度。ABm1m2m3解：对各物体作受力分析对m2和m3两物体以滑轮B（非惯性系）为参照系m1gT1m2gT2m3gT’2a1a11a'm2a1-m3a1-\nm1gT1m2gT2m3gT’2a1m2a1-m3a1-a3Ba2BABm1m2m3